贵州省部分学校2026届高三数学上学期12月联考试题含解析

贵州省部分学校联考2025-2026学年高三上学期12月月考

数学试题

一、单选题

1．已知集合A2,0,1，Bx|3x1，则AB（）

A．x|3x1B．2,0C．x|2x1D．x|2x0

2

2．“m2”是“圆C：xmy2m2的直径为4”的（）

A．充分不必要条件B．必要不充分条件

C．充要条件D．既不充分也不必要条件

10

3．在x13的展开式中，含x9项的系数是（）

999

A．13B．C1013C．130D．130

4．设数列an满足lnan1lnan1，且a981，则a200（）

11

A．e101B．C．e102D．

e101e102

5．将函数fxtanx（02π）的图象向左平移4个单位长度后，所得图象与原图象重合，则（）

π3ππ

A．的最小值为B．的最大值为C．的最小值为D．的最大值

623

7π

为

4

6．某品牌酒产自陕西省宝鸡市．一般来说，年份越久的该品牌酒，其收藏价值越高．已知一箱原价800元

mx

的该品牌酒，储存x（x0）年后的收藏价值fx（单位：元）满足函数关系式fx80026（m为常

数）．若储存6年后的此种品牌酒整箱的收藏价值为1200元，则此种品牌酒储存12年后整箱的收藏价值为

（）

A．1600元B．1800元C．2400元D．2800元

7．若直线ytx2（tR）是曲线ylnx与曲线yexb（bR）的公切线，则b（）

1

A．1B．2C．eD．

e

8．若直线yk(x4)与曲线x93y2只有一个公共点，则k的取值范围是（）

3333

A．(,)B．[,]C．(3,3)D．[3,3]

3333

二、多选题

5

9．已知0,π，sin，则（）

45

253

A．cosB．cos

4525

π2

C．是锐角D．sin

2410

2

10．记数列an的前n项和为Sn，若nan1Snnn，且S12，则（）

A．a24B．an是等差数列

111n

2

C．Snn2n1D．

S1S2Snn1

x2y2

11．已知椭圆C：1（ab0）的左、右焦点分别为F1，F2，A，B分别是C的左、右顶点，P

a2b2

e

为C上不与A，B重合的动点．设C的离心率为，I为PF1F2的内心，r为PF1F2内切圆的半径，延长PI

交线段F1F2于点Q，则（）

22

A．直线PA和PB斜率的乘积为e1B．直线PF1和PF2斜率的乘积为e1

1

C．点P到x轴的距离为1rD．IQePI

e

三、填空题

10

12．复数的虚部是．

12i

13．已知函数fxx2ax8在6,8上单调递减，则a的取值范围是．

14．在棱长为3的正方体ABCDA1B1C1D1中，点M满足AB3BM，则正方体表面到点M的距离为23

的点的轨迹总长度为．

四、解答题

15．如图，四棱锥PABCD的底面ABCD是正方形，PA平面ABCD，PA9,AD6，M是棱PB上靠

近点P的三等分点，N是棱PD上靠近点P的三等分点．

(1)证明：MN//平面ABCD．

(2)证明：MN平面PAC．

(3)求平面MAN与平面ABCD夹角的余弦值．

16．某不透明的瓶子中装有外观完全相同的5个荔枝味糖果和3个樱桃味糖果，每次随机摸出1个糖果．

(1)设每次都是不放回地摸糖果，连续摸2次，求第二次摸得荔枝味糖果的概率；

(2)若每次都是有放回地摸糖果，连续摸3次，单次摸得荔枝味糖果即送1个苹果味糖果，单次摸得樱桃味

糖果即送0个苹果味糖果，所得苹果味糖果均不放入瓶中，设3次摸糖果后得到的苹果味糖果总个数为X，

求X的数学期望．

2

17．已知抛物线C：y2px（p0）的焦点为F，点P1,y0（y00）在C上，PF2，斜率为1的

直线l与C交于M，N两点．

(1)求C的方程；

(2)若MN8，求直线l的方程；

(3)设直线PM与PN的斜率分别为k1，k2，证明：k1k2为定值．

18．已知ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．

2

(1)若sinAsinCsin2BsinAsinC，求角B的大小．

(2)设E为ABC外接圆上的点，ABC外接圆的半径为2，且BE平分ABC，BE23．

（i）当b4时，求ac的值；

3

（ii）证明：sinBAE．

2

19．设函数fxx3ax2．

(1)讨论fx的单调性；

(2)若对任意x0,，fxlnx恒成立，求a的取值范围；

11

(3)当a1时，若fx1fx20，且x1x20，证明：fx1x2ff．

x1x2

参考答案

1．A

【详解】A2,0,1，Bx|3x1，ABx|3x1.

故选：A.

2．A

2

【详解】m2时，圆C：x2y24，直径为4，充分性成立；

2

当圆C：xmy2m2的直径为4时，则C的半径为2，则m24，则m2，必要性不成立，

2

所以“m2”是“圆C：xmy2m2的直径为4”的充分不必要条件．

故选：A

3．D

10r10rr

【详解】二项式x13的展开式的通项为Tr1C10x13,r0,1,2,,10，

911

由10r9，可得r1，则含x项的系数为C1013130．

故选：D.

4．C

a

n1

【详解】由lnan1lnan1，得ln1，所以an1ean．

an

20098102

因为a9810，所以an是公比为e的等比数列，所以a200a98ee．

故选：C

5．D

kπ

【详解】由题意得fx4tanx4tanx，则x4xkπ,kZ，即，kZ．

4

π7π

因为02π，则当k1时，取得最小值为，当k7时，取得最大值为．

44

故选：D.

6．B

12003

【详解】由题意可得f68002m1200，即2m，

8002

2

2m3

所以此种品牌酒储存12年后整箱的收藏价值为80028001800元．

2

故选：B.

7．B

1

【详解】令fxlnx，gxexb，则fx，gxex．

x

设直线ytx2与曲线ylnx相切于点a,lna，

11

ta

则a，解得e，所以公切线ytx2，即yex2.

lnaat2te

令exe，解得x1，所以e2eb，解得b2．

故选：B.

8．B

x2y2x2y2

【详解】曲线x93y2，即1（x3），表示双曲线1的右支，其渐近线方程为

9393

3

yx，

3

直线yk(x4)过定点(4,0)，直线yk(x4)与曲线x93y2，如图，

33x2y2

观察图形得，当且仅当k时，直线yk(x4)与双曲线1的右支只有一个公共点，

3393

33

所以k的取值范围为[,].

33

故选：B

9．AB

π525

【详解】对于A：因为0,，sin，所以cos1sin2，故A正确；

4445445

43

对于B：cos2cos2121，故B正确．

2455

97

对于C：cos2cos21210，所以为钝角，故C错误．

22525

5254

对于D：因为sin2sincos2，

244555

π2224372

所以sinsincos，故D错误．

24222225510

故选：AB.

10．ABD

2

【详解】对于A，在nan1Snnn中，取n1时，a2S1114，故A正确；

22

对于B，当n2时，由nan1Snnn①，得n1anSn1n1n1②，

则①②得nan1n1anan2n，即nan1an20，所以an1an2n2．

又a2a12，所以an是以2为首项，2为公差的等差数列，故B正确；

nn1

对于C，由B项，可得S2n2n2n，故C错误；

n2

1111

对于D，因，

Snnn1nn1

1111111111n

故1，故D正确．

S1S2Sn1223nn1n1n1

故选：ABD.

11．ACD

【详解】如图：

22

x0y0

设Px0,y0，则1．因为Aa,0，Ba,0，所以

a2b2

2222

y0y0y0bca

kk2，A正确．

PAPB2222e1

x0ax0ax0aaa

bbb2c2a21

当P为上顶点时，此时P0,b，则kk1e21，B错误．

PF1PF2ccc2c2e2

11acr1

PF1F2的面积SrPF1PF2F1F2acr，又S2cyPcyP，所以yP1r，

22ce

C正确．

在PF1F2中，连接F1I，F2I．因为I是PF1F2的内心，所以F1I，F2I分别平分PF1F2和PF2F1．由角平

PIPF1PF2PIPF1PF2

分线分线段成比例定理，得，则．因为PF1PF22a，

IQF1QF2QIQF1QF2Q

PIPF1PF22aac

F1QF2QF1F22c，所以．又C的离心率e，所以IQePI，D正确．

IQF1QF2Q2cca

故选：ACD

12．4

101012i1012i1012i10

【详解】因为212i24i，所以复数的虚部是4．

12i12i12i14i2512i

故答案为：4

13．7,12

828a80,

【详解】由题意可得a解得7a12．

6,

2

故答案为：7,12

343

14．π

23

【详解】由题意知以M为球心，23为半径的球与正方体表面的交线长度即为所求，如图，

又由题可得A,B,M三点在一条线上，且BM3，

2

所以BMBB,BMBC，2，在线段取点N，使得，

1MB1MC3323ABMN23

ππ

所以NMBNMC,BBC，

1312

π23π

所以在平面ABCD和平面ABB1A1上的轨迹是圆心为M，半径为23，圆心角为的两段弧，弧长均为；

33

π3π

在平面BCCB上的轨迹是圆心为B，半径为3，圆心角为的弧，弧长为．

1122

343

故轨迹的总长度为π．

23

343

故答案为：π

23

15．(1)证明过程见解析

(2)证明过程见解析

(3)19

19

【详解】（1）连接BD，与AC相交于点O，

因为M是棱PB上靠近点P的三等分点，N是棱PD上靠近点P的三等分点，

所以MN//BD，

又BD平面ABCD，MN平面ABCD，

所以MN//平面ABCD；

（2）因为底面ABCD是正方形，所以AC⊥BD，

因为PA平面ABCD，BD平面ABCD，所以PABD，

因为ACPAA，AC,PA平面PAC，

所以BD⊥平面PAC，

又MN//BD，所以MN平面PAC；

（3）因为PA平面ABCD，AB,AD平面ABCD，

所以PAAB,PAAD，

又底面ABCD是正方形，故ABAD，

以A为坐标原点，AB,AD,AP所在直线分别为x,y,z轴，建立空间直角坐标系，

因为PA9,AD6，所以A0,0,0,M2,0,6,N0,2,6，

则AM2,0,6,AN0,2,6，

设平面MAN的一个法向量为mx,y,z，

ANm0,2,6x,y,z2y6z0

则，

AMm2,0,6x,y,z2x6z0

令z1得xy3，故m3,3,1，

显然平面ABCD的一个法向量为n0,0,1，

设平面MAN与平面ABCD夹角大小为，

mn3,3,10,0,119

则coscosm,n；

mn99119

5

16．(1)

8

15

(2)．

8

【详解】（1）记“第一次摸得荔枝味糖果”为事件A，“第二次摸得荔枝味糖果”为事件B．

5435

则P(A),P(B|A),P(A),P(B|A),

8787

54355

故PBPABPABPAPB|APAPB|A，

87878

5

所以第二次摸得荔枝味糖果的概率为．

8

53

（2）由题可知，每次摸糖果，摸得荔枝味糖果的概率为，摸得樱桃味糖果的概率为．

88

5

记3次摸糖果后摸得荔枝味糖果的次数为Y，则Y~B3,．

8

5

因为3次摸糖果后得到的苹果味糖果总个数为X，所以YX，所以X~B3,，

8

515

所以X的数学期望EX3．

88

17．(1)y24x；

(2)yx1；

(3)证明见解析.

p

【详解】（1）根据题意可得12，解得p2．所以C的方程为y24x．

2

y2y2

12

（2）设M,y1，N,y2，直线l的方程为yxt．

44

yxt,2

由2消去x得y4y4t0，

y4x,

=-

所以Δ1616t0即t1，y1y24，y1y24t，

所以22，解得，

MN11y1y22y1y24y1y2421t8t1

所以直线l的方程为yx1；

（3）证明：因为点P1,y0在C上，所以y02或y02（舍去），所以P1,2，

y24y24

k1k2

由（2）得1y2y2，2y2y2，

111212

44

444y24y24yy16

所以kk2112．

12

y12y22y12y22y1y22y1y24

=-

因为y1y24，y1y24t，

4y1y21644160

所以k1k20，即k1k2为定值．

y1y22y1y244t2444t4

π

18．(1)B；

3

(2)（i）ac26；（ii）证明见解析

【详解】（1）由题意可得sin2Asin2Csin2BsinAsinC，

a2c2b2ac1

根据正弦定理可得a2c2b2ac，所以cosB．

2ac2ac2

π

因为B0,π，所以B．

3

ππ

（2）（i）当b4时，AC为ABC外接圆的一条直径，所以ABC，则ABECBE．

24

设ABC外接圆的圆心为O，则O为AC的中点．连接AE，CE，OE，如图1所示．

π

易得AOECOE，所以AECE4422．

2

222π

在ABE中，根据余弦定理可得AEABBE2ABBEcos，则c226c40．

4

同理，在△CBE中，a226a40，

所以a，c即为方程x226x40的两个根，所以ac26．

（ii）证明：如图2，过点O作OMAE，交AE于点M．

设ABC2，则ABECBE，

AOECOE2，AOMMOE，则AE2ME2OEsin4sin．

AEBE4sin233

在ABE中，根据正弦定理可得，即，所以sinBAE．

sinsinBAEsinsinBAE2

19．(1)答案见解析

(2),1

(3)证明见解析

2a

【详解】（1）fx3x22axx3x2a，令fx0，解得x0或x，

3

2

若a0，则fx3x0，则fx在R上单调递增；

若a0，则当x,0时，fx0，fx在,0上单调递增；

2a2a

当x0,时，fx0，fx在0,上单调递减；

33

2a2a

当x,时，fx0，fx在,上单调递增；

33

2a2a

若a0，则当x,时，fx0，fx在,上单调递增；

33

2a2a

当x,0时，fx0，fx在,0上单调递减；

33

当x0,时，fx0，fx在0,上单调递增.

x3lnx

（2）当x0时，由fx