受力分析-共点力的平衡

■专题三受力分析共点力的平衡

..........................、回归教材,..........................

［人教版必修第一册］

1.第三章第5节P72页，共点力作用下物体平衡的条件是什么？

提示：合力为0。

2.第三章第5节【例1】对小孩进行受力分析时的各力分析顺序能否颠倒？

提示：不能，受力分析时先分析场力（重力），再分析接触力（支持力、摩擦力），其中分析接触力时需

先分析支持力，再分析摩擦力。

3.第三章第5节【例2】三力的平衡用什么方法解决？

提示：①合成法：两个力的合力和第三个力平衡的方法：②正交分解法：③分解法：按作用效果讲行分

解。

4.第三章第5节P75页【练习与评价T3］如何处理04段刚被拉断的题目条件？

提示：此刻OA段达到最大拉力的临界，即OA段拉力为50N。

索养攫升

5.第三章【复习与提高A组T3】设计一个测量纸跟桌面之间的动摩擦因数的小实验？

提示：把纸粘在木块的下表面，使纸跟水平桌面接触，用测力计水平拉木块做匀速运动，测出拉力尸与

木块的重力G,由尸f=F,尸N=G,则〃=区=£即可测出。

产NG

6.第三章【复习与提高B组T7】为什么拔河时身体要往后倾倒，跟地面的夹角很小？

提示：拔河时，可以认为静止的运动员受到重力G、水平方向绳了•的拉力FT和地面对运动员的作用力

?这三个共点力作用而处于平衡，尸的水平分力为静摩擦力R,竖直分量为地面支持力瓜。当绳子上的拉

力增大时，人要不被拉动，要求静摩擦力也增大。由于共点力平衡可知，由于FN=G是不变的，F与地面

的夹角越小，片就越大，因此人要往后倾倒。

..........................、考点突破’..........................

考点一物体的受力分析

知识回扣

受力分析:

1.受力分析的一般顺序

题型一单个物体的受力分析

|如图所示,物体A在竖直向上的拉力厂的作用下能静止在斜面上，关于A受力的个数，下列说法

中正确的是（）

A.A一定受两个力作用B.A一定受四个力作用

C.A可能受三个力作用D.A受两个力或者四个力作用

答案D

解析若拉力尸大小等于物体的重力，则物体与斜面没有相互作用力，所以物体就只受到两个力作用；若

拉力尸小广物体的重力，则斜面对物体产生支持力和静摩擦力，故物体应受到四个力作用。

题型二多个物体的受力分析（整体隔离法）

（2021・广州调研）如图所示，一楔形斜面体置于水平地面上，斜面的倾角为30。，物块A置于斜

面上，用轻弹簧、细绳跨过定滑轮与物块8相连，弹簧轴线与斜面平行，小8均处于静止状态，已知物块

A、3的重力分别为ION和5N,不计滑轮与细绳间的摩擦，则（)

A.弹簧对A的拉力大小为10NB.斜面对4的支持力为5N

C.斜面对4的摩擦力为0D.地面对斜面体的摩擦力大小为5N

弃案C

储析弹簧的弹力等于8的重力，大小为5N,而A的重力沿斜面方向的分力GASin3（r=5N,故斜面对4

的摩擦力为0，故A错误，C正确；斜面对A的支持力fN=GBOS3（）O=545N,B错误：以A、8及斜面

体整体为研究灼象，得地面对斜面体的摩擦力为0,D错误。

典例2.）如图所示，物体A靠在竖直墙面上，在力尸作用下，43保持静止。物体8的受力个数为（）

□1—1

A.2B.3C.4D.5

51c

密析先以AB整体为研究对象，受到竖直向下的重力和竖直向上的推力F,若墙对整体有水平方向的支持

力，则人、8不能保持静止，故焙对整体没有支持力.

再以物体A为研究对象，受力情况如图甲所示，此时，墙对物体4没有支持力。

最后以物体8为研究对象，结合牛顿第三定律，其受力情况如图乙所示，即要保持物体8平衡，B应受到

重力、压力、摩擦力、力小共4个力的作用。

升华雷I

受力分析的两种方法

将加速度相同的几个相互选用原则

整体法关联的物体作为一个整体(1)当分析相互作用的两个或两个以上物体整体的受力情

进行受力分析的方法况及分析外力对系统的作用时，宜用整体法。

(2)在分析系统内各物体(或一个物体各部分)间的相互

将所研究的对象从周围的

作用时，宜用隔离法。

隔离法物体中分离出来，单独进

(3)整体法和隔离法不是独立的，对一些较复杂问题，通

行受力分析的方法

常需要多次选取研究对象，交替使用整体法和隔离法。

跟踪训练

1.如图所示，A、B两质量均匀的钢管，管上端分别用细线悬挂着，管下端搁在水平地面上，处于静止状

态。悬挂A管的细线倾斜，悬挂B管的细线恰好竖直。关于两管的受力情况，下列说法正确的是()

A.地面对A管的作用力方向竖直向上

B.A管的下端有向左运动的趋势

C.地面对B管的支持力可能为零

D.地面对B管的摩擦力方向向右

答案B

侪析解：AB、A管上方的细线对A管的拉力斜向左上方，A管的下端有向左运动的趋势，地面对A管有

向右的摩擦力，同时地面对A管的支持力方向竖直向上，所以地面对A管的作用力方向斜向右上方，故A

错误、B正确；

CD、B管上方的细线沿竖直方向，B管相对于地面水平方向没有运动趋势，地面对B管没有摩擦力；B管

受到重力、细线的拉力、地面的支持力而平衡，所以地面对B管的支持力不可能为零，故CD错误。

故选：Bo

2.图甲为挂在架子上的双层晾衣篮。上、下篮子完全相同且保持水平，每个篮子由两个质地均匀的圆形钢

圈穿进网布构成，两篮通过四根等长的轻绳与钢圈的四等分点相连，上篮钢圈用另外四根等长轻绳系在挂钩

上。晾衣篮的有关尺寸如图乙所示，则图甲中上、下各一根绳中的张力大小之比为()

乙

A.1：1C.5：2D.5：4

芥窠C

便析设一个筛子的质品为加，连接下篇的绳子的技力为不，对下篮，根据平衡条件得4乃=加g,解得不

=哼，设连接上篮的绳子的拉力为不，绳子与竖直方向夹角为仇对两个篮子组成的整体，由平衡条件得

4

4Ticos0=2ingf根据几何关系得sin。=彳=0.6,联立解得刀=：〃ig,则本=：,故C正确，A^B、D

40o，22

错误。

考点二静态平衡问题

知识回扣

1.共点力的平衡条件

⑴平衡状态：物体处于静止或匀速直线运动的状态,即。=0。

Fx=0

(2)平衡条件：户合=0或八八

------火=0

2.平衡条件的推论

(1)二力平衡：如果物体在两个共点力的作用下处于平衡状态，这两个力必定大小相等,方向相反。

(2)三力平衡：如果物体在三个共点力的作用下处于平衡状态，其中任何一个力与其余两个力的合力大小相

等，方向相反。

(3)多力平衡：如果物体在多个共点力的作用下处于平衡状态，其中任何一个力与其余几个力的合力大小相

等，方向相反。

3.求解共点力的平衡问题的常用方法

方法内容

三个共点力平衡时，任意两个力的合力一定与第三个力大小相等、方向相反；

合成与分解法或将任意一个力沿着另外两个力的方向分解，则其分力一定分别与两个力大

小相等、方向相反

物体受到多个力作用平衡时.，将物体所受的力分解为相互垂直的两组，每组力

正交分解法

都满足平衡条件

三个共点力平衡时，将力的矢量图平移，使三力组成一个首尾依次相接的矢量

矢量三角形法

三角形，根据正弦定理.、余弦定理或相似三角形等数学知识求解未知力

典例精讲I

方法一合成法与分解法

典例1＞如图所示,光滑半球形容器固定在水平面上，。为球心。一质量为，〃的小滑块，在水平力厂的作

用下静止于P点。设滑块所受支持力为A,0P与水平方向的夹角为仇下列关系式正确的是（）

A.尸=5^B.F=/^tan0C.kD.FN=wt?tan3

Iclll（7Idll（7

OA

便析法一：合成法

法二：分解法

将滑块所受重力按产生的效果分解，如图乙所示，F=G2=%，FN=G产器。

方法二正交分解法

侬.I》（2023•山东•模拟）质量为，〃的木块,恰好能沿倾角为。的斜面匀速下滑，那么要将木块沿斜面匀

速向上推，需要加一定的水平推力人若重力加速度为g,则下列说法正确的是（)

A.木块与斜面间的动摩擦因数〃=tanO

B.木块与斜面间的动摩擦因数〃=2ian0

C.所加水平推力大小为户=2〃?gsin〃

D.所加水平推力大小为尸=2：in〃cos°

cos2sin2<9

苏案AD

WFrAB.当未施加外力Z7时，根据平衡条件可得加gsin0=〃〃?gcos0

求得木块与斜面间的动摩擦因数〃=tan仇故A正确，B错误；

C.当加水平推力产后，木块沿斜面匀速向上，则物块受到的摩蔡力沿斜面向下，对物体进行受力分析并将

其进行正交分解如下，

x轴：根据平衡条件可得mgsin0—f=Fcos

y轴：根据平衡条件可得〃吆cos〃+Fsin0=N,且片"N,

联立可求得/=2shecos,故C错误，D正确。

cos26>-sin26>

故选ADo

方法三力的三角形法

：1〉（2023•广东・模拟）如图所示的装置，杆Q0沿竖直方向固定，且顶端有一光滑的定滑轮，轻杆0P

用钱链固定于。点且可绕。点转动，用两根轻绳分别拴接质量分别为孙、〃”的小球并系于P点，其中拴

接，小小球的轻绳跨过定滑轮，已知0点到滑轮顶端Q的距离等于0P,当系统平衡时两杆的夹角为a=

120。，则/小：小2为（）

答案D

演析以结点P为研究对象，受力分析如图所示，则拴接小球加轻绳的拉力大小等于wg,由力的平衡条

件将杆0P的支持力广N与轻绳QP的拉力合成且其合力与重力等大反向，因此三力、m2g和FN构

成一个力的三角形，由几何关系可得〃?Ig=2〃22gcos30。，解得如："?2=#:I,故A、B、C错误，D正确。

Q

应用共点力平衡条件解题的步骤：

①确定平衡状态：一般为静止或匀速直线运动状态（即加速度为零）。

②选取研究对象：根据题目要求，选取一个平衡体（单个物体或系统，也可以是结点）作为府•究对象。

③画受力示意图：对研究对象进行受力分析，画出受力示意图。

④合成或分解：一般情况下三个力宜接合成或分解，四个及四个以上的力采用正交分解法。

⑤列方程求解：根据平衡条件列出平衡方程，解平衡方程，对结果进行讨论。

限蹄训练

1.12022•广东•一模）如图甲所示，1。个人用20根等长的绳子拉起一个鼓，一端系在鼓上，一端用手拉住，

每根绳子与竖直方向的夹角均相等，若绳子连接鼓的结点、拉绳子的手分别在其所在圆周上等间距分布，鼓

处于静止状态且鼓面水平，忽略纯子质量，简化图如图乙所示。现仅使鼓在绳子的作用下保持鼓面水平沿竖

直方向缓慢下降，其他条件不变，则在鼓缓慢下降过程中,下列说法正确的是（）

A.绳子对鼓的合力变大B.绳子对鼓的合力变小

C.每根绳子对人的作用力增大D.每根绳子对人的作用力减小

芥案D

斛析鼓在缓慢下降过程中，处「平衡状态，绳子对鼓的合力始终与鼓的重力大小相等，方向用反，所以该

过程中绳子对鼓的合力不变，A、B错误；对鼓受力分析，在竖直方向，根据平衡条件得20/cos8=〃吆，解

得尸=就匕？鼓缓慢下降过程中绳子与竖直方向的夹角夕变小，cos夕变大，则每根绳子上的拉力F减小,

每根绳子对人的作用力尸=尸减小，C错误，D正确。

2.（2023・重庆・模拟）如图所示，一轻杆两端固定两个小球A、B,A球的质量是8球质量的3倍，轻绳跨过

滑轮连接4和B,一切摩擦不计，平衡时和0B的长度之比为（）

A.1：2B.2：1C.1：3D.1：4

答案C

储析设绳上拉力为R，0A长〃，OBKLi，过。点作竖直向下的辅助线交AB于C点，如图所示，对

小球A进行受力分析，其所受绳了拉力尸T和重力，〃型的合力与轻杆的弹力等大、反向，则力的三角形与

△0CA相似，则有禁，同理对8球进行受力分析可得等，联立以上两式可得3="二:，

L）OCL2OCJmA3

故A、B、D错误，C正确。

/〃/〃〃〃〃/

考点三动态平衡问题

知识回扣||

I.在共点力作用下的动态平衡过程中物体始终处于一系列的平衡状态，在问题的描述中常用“缓慢”等语

言叙述。

2.动态平衡的常用方法

(1)解析法

对册究对象进行受力分析，先画出受力小意图，再根据物体的平衡条件，得到因变量与自变量的关系表达式

(通常要用到三角函数)，最后根据自变量的变化确定因变量的变化。

(2)图解法

此法常用于求解三力平衡且有一个力是恒力、另有一个力方向不变的问题。一般按照以下流程解题：

|受力|化“动”为“静”画不同状态“静”中求“动”确定力

分析下的平衡图的变化

(3)用似三角形法

在三力平衡问题中，如果有一个力是恒力，另外两个力方向都变化，且能找到矢量三角形与空间几何三角形

相似，则可利用相似三角形对应边成比例进行计算。

(4)王弦定理法(辅助圆法)

正弦定理法：如图所示，物体受三个共点力作用而处于平衡状态，则三个力中任何一个力的大小分别与另外

两个力的夹角的正弦成正比，即上一=旦=—L。推导过程如下，由于三个力处于平衡状态，则Q和22

sinasinysinf]

的合力与尸3等大反向，如图(2)所示，在三力所构成的矢量三角形中，利用正弦定理可得

F2,利用三角函数化简即可得到上二旦=—幺

sin(l80°-a)sin(l80°-/)sin(l80°-fl)sinasin/sinf5

吊

图1

在动态平衡问题中，如果•个恒力所对的另外两个力的夹角不变，通常能用此法很好解决问题。

辅助圆法：一力恒定，另外两力方向一直变化，但两力的夹角不变，作出不同状态的矢量三角形，利用两力

夹角不变，结合正弦定理列式求解，也可以作出动态圆，恒力为圆的一条弦，根据不同位置判断各力的大小

变化。

基本矢量图，如图所不。

典例精讲

方法一解析法

画D如图所示，某电影中工人清洗楼房的光滑玻璃，用一根绳索将自己悬在空中，己知工人及其装备的

总质量为小，且视为质点，悬绳与竖直墙壁的夹角为仇悬绳对工人的拉力大小为尸「，墙壁对工人的弹力大

小为尸N，工人保持离墙的距离不变，重力加速度为g，则（）

A.若工人缓慢上移，则臼增大，R减小

B.若工人缓慢上移，则臼与心的合力增加

C.FN=,%=mgcos。

tan<9

D.FN="?glan/F、=〃卜

cos<9

弃案D

侪析对人受力分析，如图所示：

CD.由三角函数得月=工，FN=〃?gtan"故C错误，D正确。

cos。

A.若工人缓慢上移，工人保持离墙的距离不变，。增大，cos。减小,tan。增大,

则后增大，尺增大,故A错误；

B.R与人的合力大小等于重力加g，无论工人缓慢上移还是下移，则FT与尺的合力不变，故B错误;

故选D。

方法二图解法

|》如图所示,用竖直木板挡住放在光滑斜面上的小球A,A受到的重力为G。整个装置静止在水平面

上。设斜面和木板对小球A的弹力大小分别为Fi和B。保持K板竖直，在斜面的倾角0缓慢减小的过程

中，A受力的变化情况是（）

A.R增大,G不变，尸2减小B.R减小,G不变，22增大

C.R减小,G不变，尸2减小D.Fi不变，G增大，B增大

答案C

储析小球A受到重力、斜面对小球A的弹力F,和木板对小球的弹力广2,在斜面的倾角6缓慢减小的过

程中，A的重力G不变，尸2方向不变，由图解法知，Q、尸2均减小，故C正确，A、B、D错误。

G

方法三相似三角形法

[，》如图所示,质量均可忽略的轻绳与轻杆承受弹力的最大值一定，杆的A端用皎链固定，光滑轻小滑

轮在A点正上方，8端吊一重物G,现将绳的一端拴在杆的8端,用拉力〃将3端缓慢上拉：在48杆达

到竖直前（均未断），关于绳子的拉力厂和杆受的弹力小的变化，判断正确的是（)

A.b变大B.B变小C.餐变大D.小变小

答案B

设物体的重力为G。以8点为研究对象，分析受力情况，如图所示。

作出力“N与〃的合力”2,根据平衡条件得知，“2="I=G。由△"2"N6s得解得“N=而

G,式中，AB.A。、G不变，则人保持不变，C、D错误；由△BFNBS/XOBA得余=志，8。减小，则

尸一直减小，A错误，B正确。

方法四正弦定理法（或辅助圆法）

I典,4》（多选）如图所示，两根轻绳一端系于结点O,另一端分别系于固定圆环上的4、8两点，O为圆

心。O点下面悬拄物体M,绳OA水平，拉力大小为F\,绳06与绳OA的夹角a=120n,拉力大小为尸2。

将两绳同时缓慢顺时针转过75。，并保持两绳之间的夹角a始终不变，物体始终保持静止状态°则在旋转过

程中，下列说法正确的是（）

M

A.a逐渐增大B.Fl先增大后减小

C.B逐渐减小D.尸2先减小后增大

答案BC

母优方法一：正弦定理法

如图所示，以结点。为研究对•象进行受力分析。由正弦定理得今=熹=磊，其中a=120。不变，则比

oJ11CAy111/./

值不变，》由钝角变为锐角，siny先变大后变小，则Q先增大后减小，夕由90。变为钝角，则sin/J变小，F2

逐渐减小，故B、C正确，A、D错误。

方法二：辅助圆法

物体始终保持静止，合力为零，所以〃吆、R、巳构成封闭的矢量三角形如图所示

由于重力不变，以及R和B夹角。=120。不变，即

夕=60。

矢量三角形动态图如图所示，当

0=0=6&

Q为圆的直径最大，所以Q先增大后减小，人一直减小。

故选BCo

升华晅

一力恒定，另一力方向不变，则用图解法；

一力恒定，另两力均变化，且能找到力的矢量三角形跟几何三角形相似，则用相似三角形法;

一力恒定，另两力均变化，但两力的夹角不变，则可以用正弦定理法。

跟踪训练

1.（多选）（2019•全国I卷）如图，一粗糙斜面固定在地面L,斜面顶端装有一光滑定滑轮。一细绳跨过滑

轮，其一端悬挂物块N,另一端与斜面上的物块“相连，系统处于静止状态。现用水平向左的拉力缓慢拉

动N,直至悬挂N的细绳与竖直方向成45。。已知M始终保持静止，则在此过程中（）

A.水平抖力的大小可能保持不变

B.M所受细绳的拉力大小一定一直增加

C.M所受斜面的摩擦力大小一定一直增加

D.M所受斜面的摩擦力大小可能先减小后增加

OBD

健析选N为研究对象，受力情况如图甲所示，用水平拉力尸缓慢拉动N的过程中，水平拉力”逐渐增

大，细绳的拉力尸T逐渐增大，选项A错误，B正确：对用受力分析，如图乙所示，受重力Gw、支持力A、

绳的拉力FT以及斜面对它的摩擦力Ffo若开始时斜面对M的摩擦力R沿斜面向上，则FT+Ff=G.wsin仇

臼逐渐增大，6逐渐减小，当份减小到零后，再反向增大。若开始时斜面对加的摩擦力R沿斜面向下，此

时.，Fr=Gwsin，+R,当FT逐渐增大时，Ff逐渐增大，C错误，D正确。

2.（多选）如图所示，一斜面固定在水平面上，一半球形滑块固定在斜面上，球心0的正上方有一定滑轮

A（视为质点），细线的一端与一质量分布均匀的光滑圆球B连接，另一端绕过滑轮A在水平向右的拉力产

作用下使圆球B保持静止。改变拉力尸的大小，使圆球B从两球心等高的位置缓慢移动到圆球B的球心正

好在0点的正上方（不考虑该位置的情况）。圆球B不会与定滑轮A接触，则下列说法正确的是（）

A.拉力尸一直减小

B.拉力尸先增大后减小

C.半球形滑块对圆球B的支持力先增大后减小

D.半球形滑块对圆球B的支持力大小保持不变

芥窠AD

制折对B讲行受力分析并合成三角形如图所示，根据几何关系可知图中力构成的矢品三角殄与阴影部分

的三角形相似，则竿=学=方移动过程中，高度力和两球的球心距离r不变，所以半球形滑块对圆球B的

支持力大小保持不变，绳子长度/变短，F减小，BC错误，AD正确。故选AD。

3.（2022・河北・高考）如图，用两根等长的细绳将•匀质圆柱体悬挂在竖直木板的P点，将木板以底边MN

为轴向后方缓慢转动直至水平，绳与木板之间的夹角保持不变，忽略圆柱体与木板之间的摩擦，在转动过程

中（）

A.圆柱体对木板的压力逐渐增大

B.圆柱体对木板的压力先增大后减小

C.两根细绳上的拉力均先增大后减小

D.两根细绳对圆柱体拉力的合力保持不变

答案B

便析设两绳子对圆柱体的拉力的合力为尸T，木板对圆柱体的支持力为rN，从右向左看如图所示，在矢量

三角形中，根据正弦定理第=4/=普，在木板以直线MN为轴向后方缓慢转动直至水平过程中，a不

FNFT

变，y从90。逐渐减小到0,又7+6十。=180。且aV90。，则开始时夕为锐角，当/减小到0。时，外为钝角，

故乃从锐角逐渐增大到钝角，根据黄=啜=翠/，由si”不断减小可知占不断减小，sin产先增大后减

小，可知R光增大后减小，结合牛顿第三定律可知，圆柱体对木板的压力先增大后减小；设两绳子之间的

夹角为2〃，绳子拉力为臼'，贝ij2/Ycos0=Fr，可得n'=熹»，。不变，片逐渐减小，可知绳子拉力不断

减小，故B正确，ACD错误。故选B。

考点四平衡问题中的临界极值问题

知识回扣

1.临界问题：当某物理最变化时，会引起其他几个物理量的变化，从而使物体所处的平衡状态“恰好出现”

或“恰好不出现”，在问题的描述中常用“刚好”“刚能”“恰好”等。

常见临界状态有：

(I)由静止到运动，摩擦力达到最大静摩擦力。

⑵绳子恰好绷紧，拉力尸=0。

⑶刚好离开接触面，支持力FN=0O

2.极值问题：平衡物体的极值，一般指在力的变化过程中的最大值和最小值问题。

典例精讲

方法一数学分析法

|型叼I）如图所示,质量〃?=5.2kg的金属块放在水平地面上，在斜向右上的拉力/作用下，向右以vo=2.O

2

m/s的速度做匀速直线运动。已知金属块与地面间的动摩擦因数“=0.2,g=10m/s0求所需拉力厂的最小

值。

界案2V26N

储折设拉力与水平方向夹角为仇根据平衡条件有Feos8=A（mg—Fsin。），整理得cos0+"sin。=与肾,

y]1+〃2sE(a+8)=卷^(其中sin当夕二方一。时尸最小，故所需拉力产的最小值/访=/〃〃女

N1+42

=2726No

方法二物理分析法

典例2》如图所示,三根长度均为L的轻绳分别连接于C、。两点，A、B两端被悬挂在水平天花板上，相

距2以现在。点上悬挂一个质量为加的重物，为使CD绳保持水平，在。点上可施加力的最小值为（）

A.mgB.彳"〃吆C.2mSD.中g

答案C

储析由题图可知，为使CD绳水平，各绳均应绷紧，由几何关系可知，AC与水平方向的夹角为60。：结

一一更

点C受力平衡，受力分析如图所小，则CD绳的拉力FT=//?^tan30°=3mg；D点受CD绳拉力大小等于

FT,方向向左，耍使。。绳水平，D点两绳的拉力与外界的力的合力应为零，则。。绳对。点的拉力可分解

为沿B。绳的尸|及另一分力尸2,由几何关系可知，当8。绳上的拉力尸与Fl大小相等，且力尸2与B。绳垂

1

直时，B最小，而22的大小等于施加在。点的力的大小，故最小力尸=乃=巧R1]60。=，阳，故C正确。

方法三极限分析法

匚匚〉筷子是中国人常用的饮食工具，也是中华饮食文化的标志之一。筷子在先秦时称为“枕”，汉代时

称“箸”，明代开始称“筷二如图所示，用筷子夹质量为加的小球，筷子均在竖直平面内，且筷子和竖直

方向的夹角均为仇为使小球静止，求每根筷子对小球的压力N的取值范围。已知小球与筷子之间的动摩擦

因数为〃（〃Vtan。），最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为

mgMg

WNW

2(sin0+〃cos0)2(sin0-〃cos0)

侪析筷子对小球的压力太小时，小球有下滑的趋势，最大静摩擦力沿筷子向上，如图中所示。

小球平衡时，有

2Nsin^+2/cosO=nig

联立解得

N=mg

2(sin8+〃cos夕)

筷子对小球的压力太大时，小球有上滑的趋势，最大静摩擦力沿筷子向下，如图乙所示。小球平衡时，有

2N<in〃=+IfcosO

联立解得

N=——整——

2（sin^-//cos。）

综上，筷子对小球压力的取值范围为：-----丝------WNW——警-----

2（sin8+〃cos6）2（sin。一〃cos。）

（一）数学分析法

根据物体的平衡条件列方程，在解方程时利用数学知识求极值。通常用到的数学知识有二次函数求极

值、讨论公式求极值、三角函数求极值以及几何法求极值等。

（-）物理分析法

根据平衡条件作出力的矢量图，若只受三个力，则这三个力能构成封闭矢量三角形，然后根据矢量图

进行动态分析，确定最大值和最小值。

（三）极限分析法

首先要正确地进行受力分析和变化过程分析，找出平衡的临界点和极值点；临界条件必须在变化中去

寻找，不能停留在一个状态来研究临界问题，而要把某个物理量推向极端，即极大和极小。

I1

限蹄训练

1.（2021・江苏）如图所示，倾角<9=37。的斜面上有一木箱，木箱与斜面之间的动摩擦因数"=专。现对木

箱施加一拉力尸，使木箱沿着斜面向上做匀速直线运动。设尸的方向与斜面的夹角为。，在