七年级数学数形思想之平行线及其判定常考点专题训练

数形思想之平行线及其判定常考点专题练习

一、单选题

1.（2021.福建宁德.七年级期末）如图，由两个完全相同的三角板拼成一个四边形，则下列条件能直接判

断A。//8c的是（）

A.ZADB=/CBDB.ZABD=ZCDB

C.ZI3AD=ZDCBD.ZBAD+ZCDA=\S00

【标准答案】A

【思路指引】

根据平行线的判定对每一项分别进行分析即可得出答案.

【详解详析】

解：A、•.〃XDB=NCBD,1.AD/；BC,故本选项正确，符合题意；

B、•.•Z487）=NCDA,「.AB//。。，故本选项错误，不符合题意；

C、由々4）=NDC。，无法得到AO〃8C,故本选项错误，不符合题意；

D.vZ^D+ZCm=180o,..AS//CD,故本选项错误，不符合题意；

故选A.

【名师指路】

本题主要考查直线平行的判定方法，解决本题的关键是要熟练掌握平行线的判定.

2.（2021•安徽和县•七年级期末）如图,下列条件:①N1=N2,@Z3+Z4=180°,@Z5+Z6=180°,

@Z7+Z4-Z1=18O°,@Z7=Z2+Z3,⑥N2=/3中能判断直线的有（）

A.3个B.4个C.5个D.6个

【标准答案】C

【思路指引】

同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行.依据平行线的判定方

法却可得出结论.

【详解详析】

解：①根据内错角相等，两直线平行，可知由N1=N2,可得加丹；

②根据旁内角互补，两直线平行：可知由N3+N4=180。，可得R/。；

③由N5+N6=180。，Z3+Z6=180°,可得N5=N3,即可得至ijH/方；

④由N7+N4-Nl=180。，Z7=Z1+Z3,可得N3+N4=180。，即可得到”/力；

⑤由/7=/2+/3,/7=/14/3可得/1=/2,即可得到R/。；

⑥由N2=N3,不能得到R/A;

故能判断直线的有5个.

故选：C.

【名师指路】

本题考查了行线的判定方法，熟练掌握平行线的行线的判定方法是解答本题的关键.平行线的判定方法：

①两同位角相等，两直线平行；②内错角相等，两直线平行；③同旁内角互补，两直线平行.

3.（2021.四川岳池.七年级期中）如图，C为ZAO8的边04上一点，过点C作CO//O8交ZAO8的平分

线OE于点F,作CA/JLQ4交80的延长线于点H,若NEFD=a,现有以下结论：①NCO*=a；②

NAO”=18（）o-2a;③CH工CD;④NOC"=2。-90。.结论正确的个数是（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

【标准答案】D

【思路指引】

根据平行线的性质可得/双M==结合角平分线的定义可判断①；再由平角的定义可判断②；由

、匕亍线的性质可判断③；由余角及补角的定义可判断④.

【详解详析】

解：vCDZ/OZ?,NEFD=a,

:.NEOB=NEFD=a,

•.•0£平分NA08,

"COF=NEOB=a、故①正确；

ZAOB=2a,

•."O8+NAOH=l80。,

:.ZAOH=\WP-2a,故②正确;

\-CD//OB,CHLOB,

..CH±CD,故③正确；

/.ZA/CO+ZHOC=90°,ZAOB+ZHOC=I80°,

.-.ZOC//=2a-90°,故④正确.

正确为①②®④，

故选:D.

【名师指路】

本预主要考查平行线的性质，角平分线的定义，垂直的定义，灵活运用平行线的性质是解题的关键.

4.（2021•湖南龙山•七年级期末；①。，力，。是直线，若〃〃仇b//c,则a〃c；②a,b,c是直线，若。

卬,则。_Lc；③如果Nl=/2,Z2=Z3,那么/1=/3;④互为邻补角的两个角相等.以上四

个结论中正确的是（）

A.①②B.②③C.③④D.①③

【标准答案】D

【思路指弓I】

根据平行公理及推论，平行线的判定，邻补角的定义逐个判断即可.

【详解详析】

解：byc是直线,a//btb//cf

・・・a〃c,故①正确；

当〃、氏。在同一平面内时，如下图：

若4_1_db.Lc,则4〃。；故②错误；

VZ1=Z2,Z2=Z3,

AZ1=Z3,故③正确；

如果N1和N2互为邻补角，当4=30。,/2=150。也符合，

即互为邻补角的两个角不一定相等，故④错误；

即正确的是①③，

故选：D.

【名师指路】

本题考查了平行公理及推论，平行线的判定，垂直的定义，邻补角定义等知识点，能熟记平行公理及推论、

平行线的判定、垂直的定义、邻补角定义是解此题的关键.

5.（2021•云南红塔•七年级期末）如图，点A,B,E在同一条直线上，不能判定的条件是（）

B.ZC+ZD=180°

C.ZC=ZCBED.NA+NABC=[80。

【标准答案】C

【思路指引】

根据平行线的判定定理：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互1、，两直线平

行分别进行分析即可.

【详解详析】

解：4、NA=NCBE可利用同位角相等，两直线平行判定故此选项不符合题意；

B、NC+NO=180。可利用同旁内角互补，两直线平行判定AO//8C,故此选项不符合题意；

C、NC=4超可利用内错角相等，两直线平行判定不能判定〃改:，故此选项符合题意；

D、4A+N/WC=180。可利用同旁内角互补，两直线平行判定/1Q〃4C,故此选项不符合题意；

故选：C.

【名师指路】

此苞主要考查了平行线的判定，关键是掌握平行线的判定定理.

6.（2021•河南召陵•七年级期中）下列命题是真命题的有（）

①司位角相等；②过一点有且只有一条直线与已知直线平行；③商的平方根是；④已知点与点

以-〃?,〃），阳、〃均不为0,则直线回平行于x轴；⑤已知点A（2,-3）,48//y轴，且A8=5,则点8的

坐标为（2,2）;⑥直线。外一点A与直线”上各点连接而成的所有线段中最短线段的长是8cm,则点A到直

线。的距离是8cm.A.1个B.2个C.3个D.4个

【标准答案】B

【思路指弓I】

根据平行线的性质、平行公理、平方根的定义、坐标与图形，亘线段最短，分别对每个选项进行判断，即

可得到答案.

【详解详析】

解：两直线平行，同位角相等；卯J①错误；

过直线外一•点有且只有一条直线与已知直线平行；则②错误；

病的平方根是±3；则③错误；

已知点4（"?，〃）与点网-以〃），心、〃均不为0,则直线平行于x轴;则④正确;

已知点A（2,-3）,A3〃y轴，且AB=5,则点3的坐标为（2,2）或（2,-8）;则⑤错误；

直浅〃外•点A与直线。上各点连接而成的所有线段中最短线段的长是8cm,则点A到直线〃的距离是

8cm.则⑥正确;

・••真命题有④⑥，共两个，

故选：B.

【名师指路】

本邈考查了平行线的性质、平行公理、平方根的定义、坐标与图形，垂线段最短等知识，解题的关键是熟

记所学的知识，正确的进行判断.

7.（2021•山东莱阳•七年级期中：如图，下列说法错误的是（）

4

7ih

A.VZ1=Z2,：J即、

B.VZ2+Z5=18O°,：.l即4

C.VZ1=Z3,・・・"〃2

D.VZ1=Z4,A/.///：

【标准答案】C

【思路指引】

根据三线八角以及平行线的判定定理对选项分别进行判断即可.

【详解详析】

解：A:••・/］和N2是直线上与A被直线〃所截形成的内错角：由内错角相等，两直线平行，得出/3〃/

B:・・・/2和N5是直线〃与。被直线/2所截形成的同旁内角，且N2+N5=180。，由同旁内角互补，两直

线平行，得出h//U\

C:N1和/3不符合“三线八角”不能构成平行的条件，所以选项C错误；

D:・・・/1和N4是直线。与A被直线/3所截形成的内错角，由内错角相等，两直线平行，得出力〃〃.

【名师指路】

本预考查了三线八角以及平行线的判定定理，正确识别“三线八角”中的同位角、内错角、同旁内角是正确

答题的关键.

8.（2021•安徽马鞍山•七年级期末）如图，若。石〃AC,则下列结论中正确的是（）

A./EDC=4EFCB.ZAFE=ZACD

C.N3=N4D.Z1=Z2

【标准答案】C

【思路指引】

可以从直线DE、AC的截线所组成的“三线八角”图形入手进行判断.

【详解详析】

A2EDC=NEFC不是两直线被第三条直线所截得到的，囚而不能判定两直线平行，故本选项不符合题意;

B.ZAFE=ZACD,是“和3c被AC所截得到的同位角可以判定仪〃8C,但不能判定。后〃AC,故本

选项不符合题意；

C./3=N4这两个角是4c与。E被EC所截得到的内错角，可以判定。石〃AC,符合题意；

D./1=N2是石厂和8c被EC所截得到的同位角和内储角，可以判定Er〃AC,但不能判定DE〃斗C,故

本选项不符合题意；

故选：C.

【名师指路】

正确识别“三线八角”中的同位角、内错角、同旁内角是正确答题的关键，不能遇到相等或互补关系的角就

误认为具有平行关系，只有同位角相等、内错角相等、同旁内角互补，才能推出两被截直线平行.

9.（2021•山东莱西•七年级期末）如图，P,。分别是BCyAC上的点，过点尸作*JL45于点K,作尸S_L4C

于点S,若AQ=PQ,PR=PS,则下面三个结论：®AS=AR-②QP//AR;③△切⑺二△CSP,正确的

是（）

A.①③B.②③

C.①②D.①②③

【标准答案】C

【思路指弓4

根据角平分线的判定，先证反是44c的平分线，再证加松三小出〃勿，可证得4S=AR,QP//AR成立.

【详解详析】

解：如图示,连接AP,

♦;PR=PS,

二.A尸是N8AC的平分线，

;.k\PRm&\PS（HL）

AS=AR,①正确.

•：AQ=PQ

/.ABAP=NQAP=ZQPA

..QP//AR,②正确.

BC只是过点尸，并没有固定，明显MRP主ACSP③不成'、/：.

故选：C.

【名师指路】

本题主要考查三角形全等的判定方法，以及角平分线的判定和平行线的判定，熟悉相关性质是解题的关键.

10.（2021.福建漳平.七年级期中）下列命题中，真命题的个数是（）

①司位角相等；②a,b,c是三条直线，若@_1_第b_Lc,则a_Lc;③a,b,c是三条直线，若2〃3b〃c,

则2〃与④过一点有且只有一条直线与已知直线平行.

A.1个B.2个C.3个D.4个

【标准答案】A

【详解详析】

解：两直线平行，同位角相等，故①是假命题；

在司一平面内，a,b,c是三条直线，若@_1归b±c,则2〃的故②是假命题；

a,b,c是三条直线，若2〃1）,b〃c,则2〃和故③是真命题；

在平面内，过直线外一•点有且只有一条直线与已知直线平行，故④是假命题.

故选A.

二、填空题

II.（2021・广东广宁•七年级期末）如图，若满足条件，则有A8//CO.（要求：不再添加辅助

线，只需填一个答案即可）

【标准答案】NA=N3（答案不唯一）.

【思路指引】

根据同位角相等，两直线平行可知NA=N3时，AB//CD;也可根据内错角相等，两直线平行添加条件N

A=Z1；也可根据同旁内角互补，两直线平行添加条件NA+N4=180。.

【详解详析】

VZA=Z3,

・・・AB〃CD（同位角相等，两直线平行）.

故答案为NA=N3（答案不唯一）.

【名师指路】

此题考杏平行线的判定，正确识别“三线八角”中的同位角、内错角、同旁内角是正确答题的关键.

12.（2021•黑龙江佳木斯•七年级期中）如图所示,用直尺和三住尺作直线A8,CD,从图中可知，直线A8

与直线CD的位置关系为_________.

c.ED

F

【标准答案】平行

【思路指弓I】

先观察直线A4与直线8的特点，可以得出这两条直线平行，用平行的判定即可证明.

【详解详析】

解:设点O如下图所示，即下方三角尺的锐角与直尺的交点

\>O

A___________________________.

•・•直尺和三角尺作直线48,CD,

.\ZDEF=ZBOF,

・・・AB〃CD（同位角相等，两直线平行），

故答案为平行.

【名师指路】

本题主要考查了两平行线的判定：

同位角相等，两直线平行；

内错角相等，两直线平行；

同旁内角互补，两直线平行.

13.（2021.黑龙江海伦.七年级期末）如图，请你添加二个条件使得人。〃8。，所添的条件是

【标准答案】NEAO=/B或N/MC=NC

【详解详析】

当/EAD=NB时，根据“同位角相等，两直线平行“可得AD//BC；

当/DAC=NC时，根据“内错隹相等，两直线平行”可得AD//BC；

当/DAB+NB=180。时，根据“同旁内角互补，两直线平行”可得AD//BC,

故答案是：NEAD=NB或NDAC=NC或NDAB+NB=180。f答案不唯一）.

14.（2021•山东庆云•七年级期末）如图，AB〃CD,EM是NAMF的平分线，N/是/CNE的平分线，EN,

交于点O.若/£+60。=2/尸，则NAA"的大小是一.

【思路指引】

作E/7//A8,则N1=ZAME,Z2=NCNE,而4ME=；NAM尸，所以乙WEN=；NAM尸+NCNE,同

理可得NF=NAM尸+g/CNE,变形得到2//=2//防+/6^,利用等式的性质得

33

2ZF-ZE=-ZAMF,加上已给条件4/硒+60。=2/f，于是得到耳乙四尸二60。，易得ZAM尸的度数.

【详解详析】

解：作EH//AB,如图，

•.AB//CD、

\EH//CD,

;./l=ZAME,Z2=4CNE,

・・•加是NAMr的平分线，

.•./AME」NAMF,

2

・"MEN=NT+N2,

/./MEN=-ZAMF+Z.CNE,

2

同理可得，

NF=/AMF+L/CNE,

2

2ZF=2ZAMF+NCNE,

3

2ZF-/MEN=-ZAMF,

2

•.•/MEN+60。=2/尸，B|J2ZF-ZME/V=60°,

3

-ZAMF=60Q,

2

ZAA/F=40°,

故答案为：40°.

【名师指路】

本迎考查了平行线的性质：两直线平行，同位角相等；两直线立行，内错角相等；两直线平行，同旁内角

互补，合理作辅助线和把一般结论推广是解次问题的关键.

15.（2021.山东牡丹.七年级期末）如图，EF//AD,Z1=Z2,ZBAC=70°,则4G。的度数为

【标准答案】110°

【思路指引】

根据平行线的性质与判定即可求出答案.

【详解详析】

解：'：EF//ADy

.\Z2=Z3,

VZ1=Z2,

AZ1=Z3

:.DG//AB,

・・・/8AC+NAGO=180。，

・•・ZAGD-1100

故答案为：110°.

【名师指路】

本邈考查平行线的性质，解题的关键是灵活运用平行线的性质与判定，本题属于基础题型.

16.（2021•四川青羊•七年级期末）如图4B〃。邑B/平分NABC,反向延长射线BF,与NEDC的平分线

OG相交于点P,若/班第=44。，则NC=—.

ED

【斥准答案】。2。

【思路指引】

延长AB交PD与点M,过点C作CN〃AB,根据角平分线可设N4B尸=NFBC=x,ZCDP=ZEDP=y,

根据平行线的性质可得N4MD=/E。尸=y,再根据三角形的外角性质可得），一工=44。，根据平行线的性质

可得/NCO=180。-2y,NNCB=2x,最后根据N8CO=NNCQ+NNC8即可求得答案.

【详解详析】

解：如图，延长A8交叨与点M过点。作CN//A8,

平分/48C,DG平分NEDC,

・••设NCDP=NEDP=y,

・•・4MBp=NABF=x,

'：MiHDE,

・•・^AMD=ZEDP=y,

•：/AMD=NBPD+/MBP,NRPD=44°,

.•・y=44°+x,

/.y-x=44°,

,:ABHDE,CNHAB,

:.CNIIDE,

，/CDE+NNCD=180。,

JZ/VCD=180°-ZCDE=180°-2>',

♦:CNHAB、

：,ZNCB=ZABC=2xi

・•・NBCD=NNCQ+NNCB

=l80°-2y+2x

=I80°-2(J—x)

=180°-2x440

=92°,

故答案为：92°.

【名师指路】

本题考查了平行线的性质及平行公理的推理，三角形的外角性质，角平分线的定义，正确作出辅助线并熟

练掌握平行线的性质是解决本题的关键.

17.（2021・湖南永定•七年级期末）把下面的推理过程补充完整，并在括号内填上理由.

已知：B,C,E三点在一条直线上，N3=/E,Z4+Z2=I8O°.试说明：ZBCF=ZE+ZF.

解：・・・N3=NE（已知）

C.EFH（）,

VZ4+Z2=I8O0（已知）,

ACD//,

：,CD/I（）,

AZ1=ZF,Z2=,

VZBCF=Z1+Z2（已知）

；・NBCF=NE+NF（等量代换）.

【标准答案】AB-内错角相等，两直线平行；AB-EF-平行于同一条直线的两条直线互相平行；/E

【思路指引】

根据推理过程依次填空即可.

【详解详析】

•・・/3=NE（已知），

・・・£?〃人伏内错角相等，两直线平行）,

/4+N2=l80°（已知），

：,CD//AB,

・・・CD〃斯（平行于同一条直线的两条直线互相平行）,

/.Z1=ZF,Z2=Z£,

•・・/8C产=N1+N2（已知），

:"BCF=NE+NF（等量代换）.

【名师指路】

本翔考查了平行线的性质与判定.熟练掌握相关性质定理是解题关键.

18.（2021•福建•厦门市第十一中学七年级期中）如图，所示已知2440=100。，点F在射线8A

上，口N&9尸=118。，则的度数为.

【标准答案】18。或142。

【思路指引】

分两种情况讨论，画出图形，分别依据平行线的性质，即可得到NZW8的度数.

【详解详析】

解：分两种情况：

①如图，延长E。交人〃于G,

-DE//BC,

.•.NAGO=ZB=1(X)°,

X\Z£DF=il8°,

/.力FB=NEDF-NFGD=118°-100°=18°；

②如图，过尸作/G//8C,

A

\DE

JEEE

BC

,;DE"BC,

；.FGUDE,

/.ZD+ZDFG=180°,ZB+ZBFG=mr,

又•••NA8C=1（X）。，ZEDF=118c,

:.NBFG=80°,ZDFG=62°,

;"DFB=NDFG+NBFG=142?,

故答案为：18。或142。.

【名师指路】

本邈主要考查了平行线的性质.、平行公理的推理以及三角形的外角性质，解题时注意：两直线平行，同位

角相等；两直线平行，同旁内角互补，熟练运用平行线的性质是解决本题的关键.

19.（2021•辽宁建昌七年级期末）一副三角板按如图所示叠放在一起，其中点3、。重合，若固定三角形

4OB,改变三角板AC。的位置（其中A点位置始终不变），下列条件①/84。=30。；②NBW=60。；③

ZBAD=120°;④N8AD=150。中，能得到的CO〃A8的有.（填序号）

【标准答案】①④

【思路指引】

分两种情况，根据。。〃相，利用平行线的性质，即可得到/以。的度数.

【详解详析】

解：如图所示：当。〃AB时,ZBAD=ZD=30°;

如羽所示，当A8〃C。时，ZC=Z/?AC=60°,

.,.Z^D=60o+90o=l50°;

D

/BAD=150。或N/弘。=30°.

故答案为：①④.

【名师指路】

本题主要考查了平行线的判定，平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系，平行线的性质是

由直线的平行关系来寻找角的数量关系.

20.（2021・湖南岳阳•七年级期末）如图，将一副三角板按如图所示放置，ZCAB=ZDAE=90°,NC=45。，

Z£=30°,KACXAC,则下列结论中：①Nl=/3=45。；②若A。平分NC43,则有3C〃AE;③将三

角形ADE绕点A旋转，使得点。落在线段AC上，则此时N4=15。；④若N3=2N2,则NC=N4.其中

结论正确的选项有.（写出所有正确结论的序号）

【标准答案】②③④

【思路指引】

①根据同角的余角相等得N1=N3,但不一定得45。；②都是根据角平分线的定义、内错角相等，两条直线

'F行，可得结论；③根据对顶角相等和三角形的外角等于不相邻的两个内角得和，可得结论；④根据三角

形为角和定理及同角的余角相等：可得结论.

【详解详析】

解:①如图,

ZCAB=ZDAE=90°,

即/1+N2=N3+N2+9O°,

故①不正确；

②;人。平分NC/W,

AZ1=Z2=45O,

VZ1=Z3,

AZ3=45°,

又•••NONBBS。，

AZ3=ZB,

：,BC//AE,

故②正确；

③将三角形ADE绕点4旋转，使得点。落在线段AC上，

则Z4=/ADE-ZACB=60°-45°=15°,

故③正确；

@VZ3=2Z2,ZI=Z3,

AZ1=2Z2,Zl+Z2=90°,

・•・3/2=90°,

.,.Z2=30°,

AZ3=60°,

又/E=30。,

设DE与AH交于点F,则ZAF£=90°,

VZ«=45°,

:.Z4=45°,

AZC=Z4,

故④正确，

故答案为：②③④.

【名师指路】

本邈主要考查了同角的余角相等、角平分线定义、平行线的判定的运用，解超关键是熟练掌握同角的余角

相等及平行线的判定.

三、解答题

21.(2021•吉林辉春•七年级期中)已知：如图，EF//CD,Zl+Z2=180°.

(I)判断GD与。的位置关系，并说明理由.

(2)若CO平分ZAC8,DG平分NCDB,itZ4=40°,求4cB的度数.

【思路指引】

(I)根据EF//CZ)可得Nl+ZACQ=180°,再由Nl+N2=180可得ZACD=N2由此即可证明；

(2)由平行线的性质可得N8OG=/4=40。，再由角平分线的定义可得N2=/8OG=40\则

ZACD=Z2=40°,由此即可得到答案.

【详解详析】

解：⑴AC//DG.

理由：EFI/CD,

ZI+ZACD=l8(y',

又•.•NI+N2=180,

/.ZACD=Z2,

：.ACHDG\

(2)QAC//DG,

，^BDG-^A-W,

.­.Z2=ZBDG=40°,

JZACD=Z2=40",

•.•CD平分ZACB,

.♦ZC4=2ZACO=8(T.

【名师指路】

本题主要考查了平行线的性质与判定，角平分线的定义，解题的关键在于能够熟练掌握平行线的性质与判

定条件以及角平分线的定义.

22.(2021.湖北.武汉市武珞路中学七年级期中)如图AB//DE.试问R?、NE、N8CE有什么关系？

解：ZB+ZE=ZBCE,理由如下：

过点C作C///48

则N8=()

XVAB//DE,CF//AB

・•・()

：・4E=()

.*.ZB+ZE=Z1+Z2()

即4+NE=___________

【标准答案】Zl;两直线平行，内错角相等；DE//CF;平行于同一条直线的两直线平行；Z2;两直线

平行，内错角相等，等星代换，“CE

【思路指引】

过点C作U7/A8,则NA=N1,同理可以得到Nf=N2,由此即可求解.

【详解详析】

解：ZB+ZE=ZBCE,理由如下：

过点C作C27/A8,

则N8=N1(两直线平行，内错角相等)，

又♦:ABHDE、CF//AB,

:・DE〃CF(平行于同一条直线的两直线平行)，

AZE=Z2(两直线平行，内错角相等)

・・・N8+ZE=N1+N2(等量代换)

即NB+NE=N8CE,

故答案为：Z1；两直线平行，内错角相等；DE//CF-平行于同一条直线的两直线平行；Z2;两直线平

行，内错角相等；等量代换；ZBCE.

【名师指路】

本邈主要考查了平行线的性质与判定，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.

23.(2021・安徽临泉•七年级期末)请补全证明过程及推理依据：如图，B、E分别是AC、OF上的点，Z

A+N4B”=180。，ZA=ZF.求证：ZC=ZD

证明：因为NA+NAB尸=180。(),所以AE//BF(),

所以NA=(),乂因为NA=Nf()

所以/=/(),

所以//()

所以NC=NO()

【标准答案】已知；同旁内角互补，两直线平行；NCBA两直线平行，同位角相等；已知；CBF;尸;等

枇代换；AUOP；内错角相等，两直线平行；两直线平行，内借角相等.

【思路指引】

结合图形，根据已知证明过程，写出相关的依据即可.

【详解详析】

证明：因为乙4+/AM=180。（已知），所以4E//BF（同旁内角互补，两直线平行）

所以NA=NC8E（两直线平行，同位角相等），乂因为乙4=//（已知）

所以NCB尸二NF

所以AC〃。尸（内错角相等，两直线平行）

所以NC=NO（两直线平行，内错角相等）

【名师指路】

本题考查证明过程中每一步的依据，根据推理过程明白相关知识点是解题关键.

24.（2021.宁夏盐池•七年级期末）完成下列证明过程，并在括号内填上依据.

如到，点石在上，点?在C。上，ZI=Z2,NB=NC,求证/W〃CD.

证明：・・・/l=N2（已知），Z1=Z4

・・・/2=（等量代换），

:.//BF（）,

AZ3=Z______（）.

又,：/B=/C（已知），

・・・/3=/8

：.AB//CD（）.

【标准答案】Z4;CE;同位角相等，两直线平行；C;两直线平行，同位角相等；内错角相等，两直线

平行

【思路指弓4

根据平行线的判定和性质解答.

【详解详析】

解・・・N1=N2（已知），Z1=Z4（对顶角相等），

・・・/2=N4（等量代换），

七〃8,•（同位角相等，两直线平行），

AZ3=ZC（两直线平行，同位角相等）.

又・・・N8=NC（已知），

，N3=NB（等量代换），

：.AB//CD（内错角相等，两直线平行）.

故答案为：对顶角相等；CE//BF-同位角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等；内错角相等，

两直线平行.

【名师指路】

此题考查平行线的判定和性质，关键是根据平行线的判定和性质解答.

25.（2021.江西石城.七年级期末）【阅读理解】如图1,已知点A是4c外一点，连接A8,AC,求

4AC+N8+NC的度数.

解：过点A作即.,.NBuNEAZ）,ZC=ZDAC.

又ZEAB+^BAC+ZDAC=18（）°（平角定义）/.ZB+ZBAC+NC=180°

从上面的推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”的功能，将々AC,DB,/C“凑”在一起，得出角

之间的关系，使问题得以解决.

【结论应用】（1）如图2,已知AB//ED,则N8+N3CO+NO的度数为.

【拓展探究】⑵直线AB//CQ,直线即交居于点E,交C。于点P,点G和点”分别是直线A/3和

C。上的动点，作直线G”，E7平分ZAEF,HI平分NCHG,以与印交于点/.

①如图3,点G在点上的左侧，点”在点尸的右侧，若NAEF=70。，NCHG=60。，求NEIH的度数.

②如图4,点G在点E的右侧，点H也在点F的右•侧，若ZAEF=a,』CHG=P,其他条件不变，求AEIH

的度数.

③如图5,点G在点£的右侧，点〃也在点尸的右侧，/G〃C的平分线”/交NKEG的平分线即于点其

他条件不变，若NAEF=a,KHG=B,求的度数.

【思路指引】

（I）如图⑵过点。作由48〃a，可得CF〃ED〃AB,利用平行线的性质可得/

BCF,/EDC=NFC'D,将N8+N8C/J+N/J转化为N4C/'+N4C'Z9+/ZX：r'即可；

(2)①解：如图1,过点/作/M//A/由E7平分ZA防，"/平分NCHG,乙4£7=(幺曰7=35。，

ZCT/=|ZC/7G=30°,由A8//CQ,1MHAB,可得IM//CD//AB,可求

ZA/ZZL=ZAE/=35°,ZAf/〃=NCW=3O。即可；

②解：如图2,过点/作/M//AB,日平分NAE尸,H/平分NCHG,可得/AE/=ga,

NCHI=；NCHG=；0,由A8"CQ,IM//AB,可得/M//CD//A4,利用平行线性质可得

乙乙

乙W/E=NA£/=ga,NM/〃=/CH/即可；

③解：如图3,过点、J作MN//AB,,由对顶角性质可得NK£8=/4"=a,由E7平分NKE8,HJ平分

NC”G,可得Z/EG=gNKEB=；a,/JHF=；ZCHG=,由AB〃CQ,MN//AB,可得

MNHCDHAB、由平行线性质可得NM/E=NJEG=ga,NN/H=NCH./=^夕即可.

【详解详析】

解：⑴如图⑵过点。作CF44B,

,：ABUED,

：・CF〃ED〃AB,

：・4ABC=/BCF,/EDC=/FCD,

ZBCD+Z«CF+ZDCF=360°,

...NB+/BCD+ND=NBCF+/BCD+/DCF=360。,

故答案为：360；

(2)①解：如图1,过点/作/M//AB,

•;EI平分ZAEF,HI平分NCHG,ZAEV=70。，ZCHG=60°,

^AEI=-ZAEF=35°,ZCHI=-ZCHG=30°,,

22

-AB//CD,IM11AB,

:.!M//CD//AB,

:"MIE=ZAEI=35°,Z.M1H=NCHI=30°,

乂飞」E——B

Xf

-D

图1

^EIH=NMIE+31H=35°+30°=65°;

②解：如图2,过点/作/M//A8,

•.•£7平分ZAEF,HI平分NCHG,ZAEF=a,4CHG=0、

：./AEI=-ZAEF=-a,ZCH/=-ZCHG=-/?,

2222

­.AB//CD,IM1/AB,

:.IM//CD//AB,

;.NM/E=NAE/=；a,4MIH=/CHI△0,

;"EIH=/MIE+NMIH=D0;

2r

③解：如图3,过点J作MN〃AB,

vZAEF=a,

:"KEB=ZAEF=a,

•;EJ平分NKEB,HJ平分NCHG,ZKEB=a,4CHG=0、

-AB//CD,MNHAB,

:.MNIICDHAB、

:"MJE=/JEG=>a,ZNJH=ZCHJ=-fl,

22

；"EJH=180°-ZMJE-/NJH=180。一；a-.

【名师指路】

本题考查角分线定义，平行线性质，周角，平角，角的和差，关键是用辅助线作出准确图形是解题关键.

26.（2021•吉林双阳•七年级期末）已知点上在A8上，点尸在。C上，点G为射线E尸上一•点.

【基础问题】如图1,试说明：NAGO=NA+/O.（完成图中的填空部分）.

证明：过点G作直线MN4A8,

又,：AB〃CD,

:・MN〃CD()

・・・/A=()()

•:MN〃CD,

AZD=()

ZAGD=NAGM+ZDGM=NA+NO.

【类比探究】如图2,当点G在线段E/延长线上时，直接写出/AG。、NA、N。三者之间的数量关系.

【应用拓展】如图3,A”平分NGA8,DH交AH于点H,且NGO”=2N”QC,N”QC=22。，NH=32。,

直接写出NQG4的度数.

【标准答案】基础问题：平行于同一条直线的两条直线平行；NAGM;两直线平行，内错角相等；NDGM,

两直线平行，内错角相等；类比探究：/AGD=NA-ND;应用拓展：42。.

【思路指引】

基础问题：由MN〃AB,可得NA=NAGM,由MN〃CD,可得NQ=/ZX7M,则N4GO=NAGM+NQGM

=N4+N。；

类比探究：如图所示，过点G作直线同理可得N4=/AGM,NO=NOGM,则NAGO=NAGM-

NDGM=NA-NZX

应用拓展：如图所示，过点G作直线过点”作直线打2〃A8,由PQ//AB,得到/

BAG=NAGM,/BAH=/AHP,由PQ//CD,得到NCOG=NOGM,4CDH=/DHP,再由

/GDH=2/HDC、ZHDC=22°y/八〃£>=32。，可得/GQ/7=44。，N£>HP=22°,贝ijNC£>G=66°,ZAHP=54°,

NDGM=66。，N朋，=54。，再由AH平分N84G,即可得到NAGM=IO8。，则NAGO=NAGA/-NQGM=42。.

【详解详析】

解：基础问题：过点G作直线MNZMB,

义,：AB〃CD,

:,MN〃CD（平行于同一条直线的两条直线平行），

•；WN〃AB,

・・・/A=NAGM（两直线平行，内错角相等），

,:MN〃CD,

・・・/O=NQGM（两直线平行，内错角相等），

・•・NAGO=NAGM+NOGM=NA+NO.

故答案为：平行于同一条直线的两条直线平行；NAGM；两直线平行，内错角相等；NDGM,两直线平

行，内错角相等；

类比探究：如图所示，过点G作直线

又,：AB〃CD,

:・MN〃CD,

:.N4=/4GM,

♦:MN〃CD,

:,ND=/DGM,

^AGD=NAGM-NDGM="NO.

........N_

c

AEB

应用拓展：如图所示，过点G作直线MN〃相，过点月作直线P。〃/W,

又"：AB〃CD,

:.MN〃CD,PQ//CD

,:MN〃AB、PQ〃AB,

・・・/ZMG=N4GM,/BAH=/AHP,

，：MN〃CD,PQ//CD,

:"CDG=/DGM,ZCDH=ZDHP,

*：ZGDH=2ZHDCyZHDC=22\NA”O=32°,

・・・/GQ”=44。，ZDHP=22°t

/.ZCDG=66",/A〃P=540,

.\ZDGM=66°,ZBAH=54°,

,:XH平分N8AG,

・・・/B八G=2NR4"=IO8°,

:.Zz4G/W=108°,

・•・ZAGD=ZAGM-ZDGM=42°.

【名师指路】

本题主要考查了平行线的性质，平行公理，解题的关键在于能够热练掌握平行线的性质.

27.（2021•四川仁寿•七年级期末）阅读并完成下列推理过程，在括号内填写理由.

已知：如图，点。，上分别在线段A4、BC上,AC//DE,4K平分㈤C,DF平分/BDE交BC于点、E、

F.

求证：DF//AE.

证为：平分Za4C（已知），

Zl=Z2=-ZfiAC（）.

2

•/DF平分NBDE（已知），

.•./3=Z4=1（角平分线的定义），

-AC//DE（已知），

:"BDE=NBAC（）.

/.Z2=Z3（）.

:.DF//AE（）.

【标准答案】角平分线的定义；NBDE；两直线平行，同位角相等；等量代换；同位角相等，两直线平行.

【思路指引】

根据角平分线的定义和平行线的性质与判定即可讦明.

【详解详析】

证明：•・・/1£：平分的C（已知），

.•"1=N2=；N8AC（角平分线的定义）.

•.•D尸平分NBDE（已知），

.-.Z3=Z4=1ZBD£（角平分线的定义），

-AC//DE（已知），

:./BDE=ZBAC（两直线平行，同位角相等）.

.•./2=N3（等量代换）.

.'.DF//AE（同位角相等，两直线平行）.

故答案为：角平分线的定义；NBDE；两直线平行，同位角相等；等量代换；同位角相等，两直线平行.

【名师指路】

本邈主要考查了角平分线的定义：平行线的性质与判定，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.

28.（2021・安徽•铜陵市第十五中学七年级期中）如图，已知。为两条相互平行的直线A8,ED之间一点,

ZA8C和NC£）£的角平分线相交于产,ZFDC+ZABC=lS（r.

I)

AJ

(I)求证：AD/IBC；

(2)连结C",当CF//AB,且时，求N3C。的度数;

(3)若NZX»=NC用时，将线段8。沿直线A8方向平移，记平移后的线段为尸。(B,C分别对应尸，

Q,当NPQO-NQOC=20。时，请直接写出NDQP的度数.

【标准答案】(1)证明见解析；(2)ZfiCD=108°;(3)70。

【思路指引】

(I)根据两直线平行，内错角相等得出NEOF=ND48,由角平线的定义得出/即尸=/尸。C,最后根据

同旁内角互补，两直线平行进行求证；

(2)设则/。^=L5x,由两直线平行，内错角相等得出乙48/=1.5工，由角平分线的定义得

出/A6C-%,最后利用两直线平行，同旁内角互补得出关丁人的方程，求解即可，

(3)画出图形，根据两直线平行，同旁内角互补得出NCQF=/C3P,由角平分线的定义与已知条件可求

出乙4BC与//QC,由平移的性质与平行公理的推论得出AD〃P。，最后根据两直线平行，同旁内角互补

列式求解.

【详解详析】

解：⑴证明：・・・4B〃。邑

；,/EDF=/DAB,

YD尸平分NEQC,

EDF=/FDC,

：.ZFDC=ZDAB,

VZFDC+Z/AfiC=180°,

・・・/D48+NABC=180。，

：.AD//BC\

3

(2)VZCFB=-ZZ)CF,i^ZDCF=x,MZCF/；=1.5x,

2

■:CF//AB,

・•・ZABF=ZCFB=\.5xy

,:BE平分N/WC,

J/4BC=2N4BF=3x,

\*AD//BC,

AZFDC+Z^CD=180°,

VZFDC+Z/45C=180°,

・・・/8CO=/A8C=3x,

：,^BCF=2x,

■:CF//AB、

・•・ZABC+ZBCF=I8O°,

A3x+2x=18O°}

.•.x=36°,

AZBCD=3x36°=108°;

(3)如图，・・・NOC/=NCF8,

:・BF〃CD,

.\ZCDF+ZBFD=180°,

\*AD//BC,

AZCBF+ZBFD=180°,

：.4CDF=4CBF,

VAD,BE分别平分NA8C,NCDE,

，/ABC=2/CBF,/CDE=2NFDC,

・•・ZABC=ZCDE=2ZFDC,

ZF£>C+^ABC=180°,

AZA^C=120°,ZFDC=60°,

•・•浅段BC沿直线AB方向平移得到线段PQ,

:.BC〃PQ,

'CAD//BC,

J.AD//PQ,

'：乙PQD-Z(2DC=20",

：・/QDC=NPQD-20。,

・•・ZFDC+ZQDC+ZPQD=60°+ZPQD-200+ZPQD=180°,

・・・/PQO=70。，即NOQP=70。.

故答案为:70。.

本题考查平行线的判定与性质，平行公理的推论，角平分线的定义，平移的性质，熟练运用平行线的判定

与性质是解题的关键.

29.(2021•四川邛味七年级期中)如图，直线AB//CD,点E、F分别是AB、CD上的动点(点E在点F

的右侧)；点M为线段EF上的一点，点N为射线FD上的一•点，连接MN;

(I)如图1,若N8砂二150。，MN_LEb,则NMNF=;

(