双曲线性质92条及其证明

双曲线

L||尸用TP用上2a2.标准方程2_*=13固.-1

4

4.点P处的切线PT平分WF1F2在点P处的内角.

5.PT平分WF1F2在点P处的内角,则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以实轴为直径的圆，除去实轴的两个端点.

6.以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相交.

7.以焦点半径PFi为直径的圆必与以实轴为直径的圆外切.

8.设P为双曲线上一点，则WF1F2的内切圆必切于与P在同侧的顶点

9.双曲线二-*=1(3>0方>0)的两个顶点为4(-4,0),43,0)，与y轴平行的直线交双曲线于Pi、P2时AiPi与

CTO

2

A2P2交点的轨迹方程是.母=1.

10.若凡(%,")在双曲线二-5=1(a>0,b>0)上，则过外的双曲线的切线方程是W-詈=1.

aDCTD

22

11.若凡(%,)，0)在双曲线二-4=1(a>0,b>0)外，则过P。作双曲线的两条切线切点为Pl、P2,则切点弦P1P2

a~h

的直线方程是学-书=1.

a~b~

X2y2h1

12.AB是双曲线二-七二1(a>0,b>0)的不平行于对称轴且过原点的弦，M为AB的中点，则kOM-kAli=—.

a~/尸a

2222

13.若凡(小,%)在双曲线三-与二1(a>0,b>0)内，则被Po所平分的中点弦的方程是父_岑=与-#

alraba!r

2222

14.若凡(小,兄)在双曲线马-占=1(a>0,b>0)内，则过P。的弦中点的轨迹方程是二一3=学一斗.

a~b-a~h~a~b~

y2=1

15.若PQ是双曲线》3a>。)上对中心张直角的弦，则»卜:和=阳口。。k

b2

16.若双曲线匚-[=1(b>a>0)上中心张直角的弦L所在直线方程为Ax+By=\(ABwO),则Q)

a~b~

,巨孙人⑵入年霜.

17给定双曲线。:b2x2-a2y2=a2b2(a>b>0\C力/一/丁二(g_坐曲)2则⑴对上任意给定的点p5,%),

a~-b

它的任一直角弦必须经过C,上一定点M(幺二与鹏,%).

cr-ba~-b

(ii)对C2上任一点A(x0；打)在G上存在唯一的点M’,使得M的任一直角弦都经过P点

X,

18.设PQ。,.%)为双曲线一(a>0,b>0)上一点,P1P2为曲线C的动弦，且弦PPi,PP2斜率存在，记为ki,k2,

则直线P1P2通过定点-6%)(机工1)的充要条件是K•公=产・2.

\-ma

22

19.过双曲线三-2二1(2>0力>。)上任一点4见,)，0)任意作两条倾斜角互补的直线交双曲线于B,C两点，则直线

b2

BC有定向且&抬=一x驾(常数).

a

~yQ

20.双曲线'-二二1(a>0,b>。)的左右焦点分别为Fi,F2,点P为双曲线上任意一点NF、PF、=/,则双曲线的焦

ab

点角形的面积为=b2cot—,P(±—./c2-1-/?2cot2-,±-cot-).

2cv2c2

M上

21.若P为双曲线=1(a>0,b、0)右(或左)支上除顶点外的任一点'F2是焦点,N尸百g=a,/PF/=p,

c-ciap.c-apa、

贝！］----=tan—t—(或-----=tan—cot—).

c-\-a22c+ci22

22

22.双曲线£一卓=1(a>0,b>。)的焦半径公式：耳(一。,0),乙(。,0)

当A/*。,X))在右支上时,\MF}\=ex0+cit\MF21=ex0-a.

当M(%,%)在左支上时,|MF{|=-ex(i-a,\MF?|=-exQ+a.

YJ=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为Fi、F2,左准线为L,则当l<eK亚+1B寸，可在双曲线上

23.若双曲线/一后

求一点P,使得PFi是P到对应准线距离出与PF2的比例中项.

24.P为双曲线二—《二1(a>0,b>0止任一点FiE为二焦点A为双曲线左支内一定点，则|A居|-2〃<\PA\+\PF]\,

a-b-

当且仅当Ag,P三点共线且P在左支时，等号成立.

25.双曲线=1(&>0①>0)上存在两点关于直线/:y=k(x-x{))对掰的充要条件是

crb~

(a2+h2)2(._o.^a}

2>---k/0且％w±一.

a2-b2k2Lb)

26.过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直.

27.过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直.

x=asecco,I

28.P是双曲线，(a>0,b>0)上一点，则点P对双曲线两焦点张直角的充要条件是/=———.

y=blan(p1-tan~0

2222

29.设A,B为双曲线=-3=Z(a>0,b>0,Q(UHl)上两点，其直线AB与双曲线=-与=1相交于P,。厕

a~b-a~b~

AP=BQ.

30.在双曲线三二1中，定长为2m(,77>0)的弦中点轨迹方程为

/b2

cosh2r+/?2sinh2/),cothr=--,x=0U^/=0,弦两端点在两支上

7bx

m=

sinh2r+/?2cosh2/),cothr=-—,y=(M/=0,弦两端点在同支上

31.设S为双曲线二-^-=l(a>0,b>0)的通径，定长线段L的两端点A,B在双曲线右支上移动，记|AB|=/,M(x0,y0)

ub

是AB中点，则当M6S时，有(%)疝n=2+《(d=r+死用与当/v①s时，有禺濡=三,4从+/2.

c2ea2b

32.双曲线^-^-=1(a>0,b>0)与直线Ax+By+C=0有公共点的充要条件是A2a2-B2b2<C2.

a~b~

33.双曲线：一；)_()二:厂=i(a>0,b>0)与直线Ax+8)，+C=0有公共点的充要条件是

a~b~

A2a2-B2b2<(4x°+By。+C)2.

，v2

34.设双曲线与=1(a>0,b>0)的两个焦点为Fi、F2,P(异于长轴端点)为双曲线上任意一点，在WF1F2中，记

crb~

n<yr

ZF\PFL，NPF；鸟=7,则有匚一F=-=e.

±(sin/-sinp)a

35

.经过双曲线E—2二9>°力>。)的实轴的两端点A1和A2的切线,与双曲线上-点的切线相交于％和P2,

则16A

尸

36.已知双曲线rA=1(b>a>0),0为坐标原点,P、Q为双曲线上两动点,且。P_LOQ.(1)

a~

品T击T*.(2)QPF+QQF的最小值为恶;(3)s"的最小值是当.

X2V2__

37.MN是经过双曲线二-匚=1(a>0,b>0)过焦点的任一弦(交于两支)，若AB是经过双曲线中心0且平行于MN

a-b-

的弦，则|AB|2=2a|MN|.

38-MN是经过双曲线二一与二1(a>b>0)焦点的任一弦(交于同支)，若过双曲线中心O的半弦OP_LMV,则

a2kr

21_J1

39.设双曲线:-A=1(a>O,b>O),M(m,o)为实轴所在直线上除中心，顶点外的任一点,过M引一条直线与双曲线

a-b~

2

相交于P、Q两点，则直线ARA2Q(AI,A2为两顶点)的交点N在直线/:久=幺上.

m

40.设过双曲线焦点F作直线与双曲线相交P、Q两点，A为双曲线长轴上一个顶点，连结AP和AQ分别交相应于焦点

F的双曲线准线于M、N两，点，贝！JMFJ_NF.

41.过双曲线一个焦点F的直线与双曲线交于两点P、QAi、A2为双曲线实轴上的顶点，AiP和A2Q交于点M,A2P和

AiQ交于点N,则MF1.NF.

42.设双曲线方程2=1,则斜率为k(k砌的平行弦的中点必在直线/:y的共辗直线尸Er上,而且尿’二一

a-b~a~

22

43.设A、B、C、D为双曲线=-与=1(a>O,b>。)上四点,AB、CD所在直线的倾斜角分别为，直线AB与CD

ab“

□All/例b~cos?sin2p

相交于E目P不在双曲线上，则

\PC\-\PD\b2cos2a-a2sin2a

44.已知双曲线二-]=1(a>0,b>0),点P为其上一点Fl,F2为双曲线的焦点，/4夕工的内(外)角平分线为/,

ab

[ay2-b2x(x±c)y

作分别垂直/于、,当跑遍整个双曲线时、形成的轨迹方程是2

FKF2RSP，RSx+)3=/(c2y2=).

cry1-b1(x±c)2

45.设SBC三顶点分别在双曲线「上，且AB为「的直径，/为AB的共辗直径所在的直线，/分别交直线AC、BC于E

和F,又D为/上一点，则CD与双曲线「相切的充要条件是D为EF的中点.

22

46.过双曲线「-2=1(a>0,b>0)的右焦点F作直线交该双曲线的右支于M,N两点，弦MN的垂直平分线交x轴

alr

\PF\__e_

于P,则

\MN\~2

47.设A(xi,yi)是双曲线与=1(a>0,b>0)上任一点，过A作一条斜率为空的直线L,又设d是原点到直

a-b-

线L的距离，小乙分别是A到双曲线两焦点的距离，则标d=

/V2X2V2

48.已知双曲线一7—4=1(a>0,b>0)和一7—^=4(()</1<1)，一条直线顺次与它们相交于A、B、C、D四点，

a-h-a-h-

则|AB|=|CD|.

49.已知双曲线二-A=1(a>0,b>0)AB是双曲线上的两点，线段AB的垂直平分线与x轴相交于点P(xo,O),则

a~b~

,a"+b~

x>---------或<---------

0aa

2

50.设P点是双曲线二一=1(a>0,b>0)上异于实轴端点的任一点,Fi、F2为其焦点记/月「入，则

a芹

(DI尸"IIP&1=-^^.(2)="cot*

51.设过双曲线的实轴上一点B(m,o)作直线与双曲线相交于P、Q两点，A为双曲线实轴的左顶点，连结AP和AQ分

别交相应于过B点的直线MN:x=〃于M,N两点则NM5N=900^^

a+mb~(n+a)

22

52.L是经过双曲线[-=1(a>0,b>0滤点F且与实轴垂直的直线AB是双曲线的两个顶点,e是离心率，点PeL.

ab

若NAPB=a，则a是锐角且sinaV,或aWarcsin!(当且仅当1Pbi=〃时取等号).

ee

22

xv

53.L是经过双曲线4T=1(a>0,b>0的实轴顶点A且与x轴垂直的直线,E、F是双曲线的准线与x轴交点点P£L,

ab

e是离心率，/EPF=a,H是L与X轴的交点c是半焦距，则a是锐隹且sinaW』或aKarcsin-(当且仅当|PA|二的

eec

时取等号).

22

vV

54.L是双曲线七一与二1(a>0,b>0)焦点Fi且与x轴垂直的直线,E、F是双曲线准线与x轴交点，H是L与x轴

ab

的交点，点PeL,NEPF=a，离心率为e,半焦距为c,则a为锐角且sina工[或aKawsin](当且仅当

e-e~

\PF.|=g、户3时取等号).

22

55.已知双曲线，-]=1(a>0,b>0),直线L通过其右焦点F2,且与双曲线右支交于A、B两点，将A、B与双曲线

a2b2

左焦点%连结起来，则|4A|♦|的82(加(当且仅当AB±x轴时取等号).

CT

22

rv

56设A、B是双曲线――K=l(a>0,b>0粕长轴两端点,P是双曲线上的一点，=/PBA=0,/BPA=y,

a~b~

2

c、e分别是双曲线的半焦距离心率，则有(1)1PA|=JR"|,cosa|tanalan/7=1-e.(3)=^XcotZ.

\a-ccosa\b~+a~

2v2

57.设A、B是双曲线xr-二二1(a>0,b>0)实轴上分别位于双曲线一支内(含焦点的区域\外部的两点，且心、/

a~b~

的横坐标/♦4=/J,(1)若过A点引亘线与双曲线这一支相交于P、Q两点，则NP84=ZQBA；(2)若过B引直线

与双曲线这一支相交于P、Q两点，则NPBA+/。84=18。.

58.设A、B是双曲线?-营=">。八°)实轴上分另啦于双曲线一支内(含焦点的区域)，外部的两点，(】)若过

A点引直线与双曲线这一支相交于P、Q两点，(若BP交双曲线这一支于两点，则P、Q不关于x轴对称)，且

/PBA=NQBA，则点A、B的横坐标与、/满足乙•4=，/；(2)若过B点引直线与双曲线这一支相交于P、Q两点，

且/PBA+AQBA=180，则点A、B的横坐标满足乙•/="

59.设4人.是双曲线£一营二1的实轴的两个端点,°。是与AA垂直的弦’则直线入。与A。的交点P的轨迹是双曲

线工+f=1

b1

r2y2

60.过双曲线二=1(a>0,b>0)的右焦点尸作互相垂直的两条弦AB、CDJIJ\AB\+\CDb);

a~b2Ia-bI

2〃

\AB\+\CD\>——=4a（a=b）

a

22

61.到双由线二-2=1（a>0,b>0）两焦点的距离之比等于二幺（c为半焦距）的动点M的轨迹是姊妹圆

a~b~b

（x±ec）2+y2=（eb）2.

22

62.到双曲线二-与二1（a>0,b>0）的实轴两端点的距离之比等于匕凹（c为半焦距）的动点M的轨迹是姊妹圆

a~b-b

（x±c）2+y2=b2.

22

63.到双曲线二-[=1（a>0,b>0逸两准线和x轴的交点的距离之比为」（c为半焦距）的动点的轨迹是姊妹圆

abb

（工士。）2+/=（2）2（e为离心率）.

e

64.已知P是双曲线二一4二1（a>0,b>0）上一个动点，4'4是它实轴的两个端点且4。，4。,大。_14尸，则Q

a~b

点的轨迹方程是二-生匚=1.

a~a

65.双曲线的一条直径（过中心的弦）的长，为通过一个焦点且与此直径平行的弦长和实轴之长的比例中项.

66设双曲线5-《=1（a>0,b>0良轴的端点为AA,P（x,y）是双曲线上的点过P作斜率为空的直线/过AA

a~b-ayi

分别作垂直于实轴的直线交，于,则（1）\AM\\AM'\=lr.{2}四边形AAM,A/'面积趋近于必.

67.已知双曲线[=1（a>0,b>0）的右准线/与x轴相交于点E,过双曲线右焦点尸的直线与双曲线相交于A、

ab-

B两点，点C在右准线/上，且BC_Lx轴，则直线AC经过线段EF的中点.

68.OA、0B是双曲线（6明[=1（a>O,b>0,且〃工b）的两条互相垂直的弦，O为坐标原点，则（1）直线AB

a2b2

必经过一个定点（华叁,0）.（2）以OA、OB为直径的两圆的另一个交点Q的轨迹方程是（“昌丫+产乂昌）？（除原

b--a-b'-a~b'-a'

点、

69.P（”z）是双曲线巨孚-[=1（a>0,b>0）上一个定点，PA、PB是互相垂直的弦，则（1）直线AB必经过

ab~

一个定点产；黑丁昌修）.（2）以PA、PB为直径的两圆的另一个交点Q的轨迹方程是

224222

bn2_a[b-vn(a+h)]

=-(b2-a2)2（除P点）.

70.如果一个双曲线虚半轴长为b,焦点Fi、F2到直线L的距离分别为出、ch,那么（1）=〃，且Fi、F?在心异

2

侧。直线I和双曲线相切，或L是双曲线的渐近线.（2）<///2>h,且Fi、Fz在I异侧。直线L和双曲线相离，（3）

2

d.d2<b，或Fi、F2在L同侧o直线L和双曲线相交.

71.AB是双曲线二-分二1（a>0,b>0）的实轴，N是双曲线上的动点，过N的切线与过A、B的切线交于。、D两

crb

点，则梯形ABDC的对角线的交点M的凯迹方程是二一与二1（y/0）.

crb~

22

72.设点p（%,先）为双曲线三-*=1（a>0,b>0）的内部（（含焦点的区域））一定点，AB是双曲线过定点P（x0,%）

ab"

的任一弦.

⑴如。>"则当弦AB垂直于双曲线实轴所在直线时（\PA\\PB|）min

（2）如a＜乩则当弦AB平行（或重合）于双曲线实轴所在直线时，（|PA|.|PB|）=一"二犷）一一”.

minb~

73.双曲线焦三角形中，以焦半径为直径的圆必与以双曲线实轴为直径的圆相外切.

74.双曲线焦三角形的内切圆必切长轴于非焦顶点同侧的实轴端点.

75.双曲线两焦点到双曲线焦三角形内切圆的切线长为定值a+c与c-a.

76.双曲线焦三角形的非焦顶点到其旁切圆的切线长为定值c-a.

77.双曲线焦三角形中，外点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数e（离心率）.注:在双曲线焦三角形中，非

焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点.

78.双曲线焦三角形中，其焦点所对的旁心将外点与非焦顶点连线段分成定比e.

79.双曲线焦三角形中，半焦距必为内、外点到双曲线中心的比例中项.

80.双曲线焦三角形中,双曲线中心到内点的距离、内点到同侧焦点的距离、半隹距及外点到同侧焦点的距离成比例.

81.双曲线焦三角形中，半焦距、外点与双曲线中心连线段、内点与同侧焦点连线段、外点与同侧焦点连线段成比例.

82.双曲线焦三角形中，过任一焦点向非焦顶点的内角平分线引垂线，则双曲线中心与垂足连线必与另一焦半径所在直线平

行.

83.双曲线焦三角形中,过任一焦点向非焦顶点内角平分线引垂线，则双曲线中心与垂足的距离为双曲线实半轴的长.

84.双曲线焦三角形中，过任一焦点向非焦顶点的内角平分线引垂线，垂足就是垂足同侧焦半径为直径的圆和双曲线实轴为

直径的圆的切点.

85.双曲线焦三角形中,非焦顶点的内角平分线与焦半径、实轴所在直线的夹角的余弦的比为定值e.

86.双曲线焦三角形中，非焦顶点的法线即为该顶角的外角平分线.

87.双曲线焦三角形中，非焦顶点的切线即为该顶角的内角平分线.

88.双曲线焦三角形中，过非焦顶点的切线与双曲线实轴两端点处的切线相交，则以两交点为直径的圆必过两焦点.

22

89.已知双曲线二-1=1（。＞0力＞0）上有一点尸，过P分别引其渐近线的平行线，分别交x轴于M,N,交），轴于

ab

R,Q,O为原点，则：（1）\OM\-\ON\=a2;（2）\OQ\-\OR\=b2.

90.过平面上的尸点作直线及/2：），=-2人的平行线，分别交x轴于,交），轴于R,Q.（1）若

a.a

22

\OM\\ON\=a2,则P的轨迹方程是二一｝二1（。＞0/＞0）.⑵若|OQ||OR|=〃，则P的轨迹方程是

b

22

马-5=1（4＞0/＞0）.

a-h~

x2y2…

91.点P为双曲线J-与=1（。＞0/＞0）在第一象限的弧上任意一点，过P引无轴、y轴的平行线，交），轴、x轴于

a"b~

M,N，交直线），二一21于Q.R，记AOMQ与AONR的面积为S1,S,,则：|S,-S21=^.

a2

92.点尸为第一象限内一点，过尸弓I*他、），轴的平行线，交），铀、A•轴于，交直线y=于Q,A，记AOMQ

a

与AQVR的面积为S,,已知|£一52上一，则P的轨迹方程是=1（6/＞0力＞0）或=1（。＞0力＞0）

2abb“a

双曲线性质92条证明

1.双曲线第一定义。2.由定义即可得双曲线标准方程。3.双曲线第二定义。

4.设P（%,y。）在第一象限，切线PT（即/）的斜率为k,尸K所在直线4斜率为L,2用所在直线4斜率为刈，尸片与PT

叱此得:

的夹角为a,PF2与PT的夹角为自由两直线夹角公式tan。=

1+攵他

>0

.999212b~(/+5)

%+C片%-Qyj+b^xccrb1+lrcxb2

tana=oQ

22

川4Vna，o)'o+/c)'o+/xo)'o

C/九+4Oo

a%%+c

为

2

从力222b[cr-cx^)2

/_cpCab-hcx0h

tanp=

22222

1+%.^^axoyo-acyo-^-bxoyocxoyo-acyo

"c

：.a=B同理可证其它情况。故切线PT平分点P处的内角。

5.不妨设P在第一象限。作F2关于切线PT的对称点M,由4可知M在PFi上厕4M=外;-Pg=2a，垂足H为F2M

FM

的中点，则OH=——=。，同理可证其它情况。射影H的轨迹是以实轴为直径的圆除去两端点。

2

6.设P,Q两点到与焦点对应的准线的距离分别为&,4，以PQ中点到准线的距离为d，以PQ为直径的圆的半径为r,

4+4PF+FQ_r

则4=2-2e~~~e<r'故以PQ为直径的圆与对应准线相交。

而|万刀=a+c=|片4|,丁与4重合，故内切圆与x轴切于右顶点，同理可证P在其他位置情况。

9.设R(asec0,btane),K(asecQ,-Z?lan0),则A/：y=btan」(x+〃),A,A：y='tan>(/一〃)

a(sec°+l)--67(1-sec^?)

贝1]x=6/cos(p,y=bsAn(p••.P点的轨迹方程为=i

p7b2

10•.•4（GN。）在双曲线二-£二1上.•巨-能=1,对1-5=1求导得：三-咨=0:），="

ab~crb~alrcrIra~y^

•••切线方程为y-%=等（xf）即号-等刁爷=1

11.设4(X2J，6(%，由10得：竿—^竿一罗二1,因为点匕鸟在直线qg上，且同时满足方程

至一方一1,所以“鸟.丁一尸一】

12.设4(不yJiCwjMCwo)则有5-\=1,4-5=1修得：&咨-士咨二0

a<xa/xa«x

(N-,)($+4)(y-))(x+上)」_y一切_12(』+工2)—从%—b?_£

12i2-U-KAB——2—2—2=?KABKOM—2

ab\-x2a(y,+%)〃％aGa

2222

13.由12可得:y-yQ=^^-(X-A^)=>ayoy-ay^-bxQx+bx1=0

2z2222

14..fi12可得：^=!^=>ay-ayoy-hx+bxQx=0

x-x()xa~

1222

=>^x-ay=bxox—=警一苔

a~ha'b~

/?tanabtanP,.._a2

15.设尸(aseca,Atana),Q(asec£,btan£),则』。尸，%------------=-lsmasm/3=——

aseeaasec0b~7

22122222122222

A;r2crscca+b~tanaasec/?+Z?tanpa+Z7sinaa+bsinft

_a2cos2a+b2sin2pcos2a-^cTcos20+/sin2acos20

a*+b4sin2asin2fl+a2b2(sin2cr+sin2/7)

a2-a2s\n~a+b2sin2/?(!-sin2a)+a2-a2sin22+/sin2a(l-sin2/?)

2a4+a2b2(sin2cr+sin2/3)

2a2+{br-«2)(sin2cz+sin2sin2asin2ft2a2^b2-a2^+b2(b1-a2)(sin2a+sin2£)

2rz4+6/2/?2(sin2ez+sin2/?)2«4Z?2+rz2/?4(sin2<z+sin2/7)

(/?2-6z2)(^26?+/?2(sin2«+sin2j[

a^b12a2+b2(sin2a+sin2//

16.将直线AB代入双曲线方程中得：(8%2—A2a2)x2+2Aa2x—a2(]+8%2)=o

^=Aa2B2b2[B2b2-A^a1+\],|人叫=一」疗+1

/2Acr6?(1+W)

设4(%,乂),8(孙、2)则西+苍=一再旌：，卬"一炉/…--OA1OB

riu—Clt5D—Cl

，中2+y>2=0=>Z?2-a2=672/72(A2+B2)=>A2+B2=3一*

2码可及一A2a=2#~/严人〉则

B-b--A~cr\B~b--A-a~

_2JA%，+3汐-(A，+4W_2JA?"+B%4

=\A2a2-B2b2\=\A2a2-B2b2~

17.(1)设双曲线内直角弦AB的方程为：y-q=k{x-p^y=k.x+q-kpo

当斜率k存在时，代入双曲线J方程中得：伍2—Y/卜2一2/4（夕一切八一。2［（夕一切『+从］=0

八/、/、小2a2k（q-kp）一切丫+/］

设4（司，乂），8（工2，）’2）得工|+々二八'»,玉玉=――F—不--

u—aKI）—UK

则PAPB=(x0-X,)(^-x2)+(y0-y,)(y0-y2)

=(公+]卜区+(如—二〃—份，°_/)(M+&)+%：+(4—S—>o)2=0

=2/k(q-kp)(kq-k2p-ky。一x。)一『(k?+1)[(乌一即『+/?[+(/―/公卜；+&-/k?)(q-kp-y。?=0

22222222222

=>2ak(q-kp)-2aky0^q-kp)-2akx0(q-kp)-ak{q-kp^-a{q-kp^-a~bk

222222?2222

-ab+bx^-akx^+b(^-A/?-y0)-aky^-ak(q_kpj+2a2k?y°(q_kp)=()

=-2a2a(q_kp)-/(q_kp)2-b2k2x^+a2y^-a2k2x^H(q-kp『-2Z?2yo(q—Ap)=()

22222221

=2crkpxQ+b?k2P2-crk-p-bkx1-crkx^+2akpq-Icrkqx^+2bkpyQ-Hrkpq-crq

+〃)，：+附2"附)，°=0

/(〃一/『=/(〃2一片)a2+b2

221

n•a'pq-hpq=aqx-bpyn«

0Q，十/

"(9f『=aV：)

/2j2212\

二二二此点在上。当直线斜率不存在时，直线也过上的定点。

即直线AB过定点pXo,y0，C2ABC2

\a-b~b~-a~）

（n）由上可知Cl和C2上点由此建立起一种——对应的关系，即证。

18必要性：设PiP2:），+〃乂=左"-…））。k存在时，代入双曲线方程中得：

(/?2-a2k2^x2+2a?km(y。+"())x-4，〃?(为+『-c『b?=0

/〃/(.％+g)y+a2b2

设为(N,/)’2(9,必)得xi+Z=—2,x,x2=

b2-a2k2

(%一)»(%一%)攵，12-k(加比+mX+为)(％+々)+(〃m+〃而o+)"

(厮一%)(“0一%)斗。2-“0(%+工2)+*0

222

b(lIm)^2hnx0y0Ikx^(w1)Iy^mI1)b(l+rn)

02

cr(l-/?!)^2tox()V0+攵\：(〃7-1)+)寅〃[+1)6Z(l-/7?)

k不存在时，P1P2:x=mxo则y=±2J疗焉,

此一,~er)_b2x1(\-m2)_〃(1+皿)

¥(1-旭)2万片(1-加丫/(1-m)

必要性得证。

充分性：设P1P2过定点（p，4）,则P1P2：y=kx^q-kpo代入双曲线方程得：

(b2_a2kx1_2a2k(q_kp)x_M(q_fq*_Q2b2=0

、r/x7-a2a2k(q-kp)a2(q-kpY+a2br

设外币,),£(々,%)得X+%=力_a2k2,芯&=——16_:2&2

（Y一）’0）（力一%）_%、/+%（9