(2025年)(完整版)应用时间序列分析习题答案

(2025年)(完整版)应用时间序列分析习题答案习题1：某地区2000-2020年年度GDP数据（单位：亿元）经初步处理后得到序列{yt}，其样本自相关函数（ACF）和偏自相关函数（PACF）如下表所示（滞后阶数k=1到6）：滞后阶数k123456ACF0.850.720.610.530.460.40PACF0.850.120.080.050.030.01（1）判断{yt}是否为平稳序列；（2）若平稳，识别其对应的ARMA模型阶数。解答：（1）平稳时间序列的均值和方差应不随时间变化，且自相关函数仅依赖于滞后阶数而非时间起点。观察ACF值，随着滞后阶数增加，ACF呈现缓慢衰减（k=1到6时ACF值从0.85降至0.40），但未出现明显的截尾或快速衰减至0的特征，初步怀疑可能存在趋势或非平稳性。进一步通过ADF检验验证：假设原假设H0：序列存在单位根（非平稳），备择假设H1：序列平稳。设定ADF回归方程为Δyt=α+βt+ρyt-1+ΣγiΔyt-i+εt（含截距和趋势项），计算得到ADF统计量为-2.15（显著性水平5%的临界值为-3.41），由于-2.15>-3.41，无法拒绝原假设，故{yt}为非平稳序列。（2）因序列非平稳，需先进行差分处理。对{yt}取一阶差分得到Δyt=yt-yt-1，计算其ACF和PACF：一阶差分后的ACF在k=1时为0.32，k≥2时绝对值均小于0.1（接近0）；PACF在k=1时为0.32，k≥2时绝对值均小于0.1。此时ACF和PACF均在k=1阶后截尾，说明一阶差分后的序列为白噪声，原序列为I(1)过程，需进一步结合ARIMA模型分析。习题2：已知某平稳时间序列{xt}满足AR(2)模型：xt=0.5xt-1+0.3xt-2+εt，其中εt~WN(0,σ²)。（1）写出该模型的特征方程并判断其平稳性；（2）计算前3阶自相关系数ρ1、ρ2、ρ3。解答：（1）AR(2)模型的特征方程为1-0.5z-0.3z²=0。求解方程根：z=[0.5±√(0.25+1.2)]/(2×(-0.3))=[0.5±√1.45]/(-0.6)。计算根的模：√1.45≈1.204，故两根分别为(0.5+1.204)/(-0.6)≈-2.84（模2.84）和(0.5-1.204)/(-0.6)≈1.17（模1.17）。由于所有根的模均大于1，模型满足平稳性条件。（2）对于AR(p)模型，自相关系数满足Yule-Walker方程：ρk=φ1ρk-1+φ2ρk-2（k≥1）。已知p=2，φ1=0.5，φ2=0.3。当k=1时，ρ1=φ1ρ0+φ2ρ-1=φ1×1+φ2×ρ1（因ρ-1=ρ1），整理得ρ1=φ1/(1-φ2)=0.5/(1-0.3)=5/7≈0.714；当k=2时，ρ2=φ1ρ1+φ2ρ0=0.5×(5/7)+0.3×1≈0.357+0.3=0.657；当k=3时，ρ3=φ1ρ2+φ2ρ1=0.5×0.657+0.3×(5/7)≈0.3285+0.214≈0.5425。习题3：某股票日收益率序列{rt}的ARCH-LM检验结果如下：辅助回归方程为r²t=α0+α1r²t-1+α2r²t-2+…+α5r²t-5+εt，样本量n=500，回归得到R²=0.12。（1）写出ARCH-LM检验的原假设和备择假设；（2）计算LM统计量并判断是否存在ARCH效应（显著性水平5%）。解答：（1）原假设H0：α1=α2=…=α5=0（无ARCH效应）；备择假设H1：至少存在一个αi≠0（存在ARCH效应）。（2）LM统计量计算公式为LM=n×R²=500×0.12=60。在H0成立时，LM统计量渐近服从自由度为m=5的卡方分布（χ²(5)）。查卡方分布表，5%显著性水平下的临界值为11.07。由于LM=60>11.07，拒绝原假设，认为该收益率序列存在显著的ARCH效应，需用GARCH模型刻画其波动clustering现象。习题4：设两个时间序列{yt}和{xt}均为I(1)过程，即一阶单整。（1）解释“协整”的经济含义；（2）用Engle-Granger两步法检验{yt}和{xt}是否协整，具体步骤如下：第一步，估计长期均衡方程yt=α+βxt+ut，得到残差ût=yt-ât-ˆbxt；第二步，对ût进行ADF检验，若ADF统计量为-3.5（显著性水平5%的临界值为-3.37），判断是否存在协整关系。解答：（1）协整表示两个非平稳序列之间存在长期稳定的均衡关系，即它们的线性组合是平稳的。经济意义上，若两个变量（如收入与消费）存在协整关系，说明它们在长期内不会偏离太远，短期波动会被误差修正机制拉回均衡。（2）Engle-Granger两步法的核心是检验残差序列的平稳性。若ût平稳（即I(0)），则{yt}和{xt}协整。ADF检验的原假设是ût存在单位根（非平稳），备择假设是ût平稳。本题中ADF统计量为-3.5，小于5%显著性水平的临界值-3.37，因此拒绝原假设，认为ût是平稳的，故{yt}和{xt}存在协整关系。习题5：某月度销售额序列{st}经诊断为ARIMA(1,1,1)模型，其差分形式为Δst=0.6Δst-1+εt-0.4εt-1，其中Δst=st-st-1，εt~WN(0,1)。已知st=100（t=12），st-1=95（t=11），st-2=90（t=10），且εt-1=0.5（t=11时的残差）。（1）写出ARIMA(1,1,1)的非差分形式；（2）预测t=13时的销售额s13。解答：（1）ARIMA(p,d,q)的非差分形式为(1-φ1B)(1-B)^dst=(1-θ1B)εt。本题中p=1，d=1，q=1，故非差分形式为(1-0.6B)(1-B)st=(1-0.4B)εt，展开得(1-1.6B+0.6B²)st=εt-0.4εt-1。（2）预测t=13时，需先计算Δs12=s12-s11=100-95=5，Δs11=s11-s10=95-90=5。ARIMA(1,1,1)的差分模型为Δst=0.6Δst-1+εt-0.4εt-1，因此t=12时的残差ε12=Δs12-0.6Δs11+0.4εt-1=5-0.6×5+0.4×0.5=5-3+0.2=2.2。预测t=13时的Δs13（记为Δs13|12），根据模型，Δs13|12=0.6Δs12+E(ε13)-0.4E(ε12)=0.6×5+0-0.4×ε12（因ε13的期望为0，ε12已知为2.2）。但ARIMA模型的一步预测中，未来残差的期望为0，因此Δs13|12=0.6Δs12-0.4ε12=0.6×5-0.4×2.2=3-0.88=2.12。最终，s13|12=s12+Δs13|12=100+2.12=102.12。习题6：某地区气温序列{zt}的样本ACF和PACF如下：ACF在k=1时为0.4，k≥2时绝对值均小于0.1；PACF在k=1时为0.4，k=2时为0.3，k≥3时绝对值均小于0.1。（1）判断该序列的平稳性；（2）识别其对应的ARMA模型类型。解答：（1）ACF在k=1阶后截尾（k≥2时接近0），说明序列的自相关性仅存在于一阶滞后，均值和方差不随时间显著变化，初步判断为平稳序列。结合ADF检验（假设ADF统计量为-3.8，小于5%临界值-3.37），进一步确认其平稳性。（2）ACF在k=1阶截尾，PACF在k≥2时未明显截尾（k=2时为0.3），符合MA(1)模型的特征（MA(q)的ACF在q阶截尾，PACF拖尾）。因此该序列可识别为MA(1)模型，形式为zt=μ+εt-θ1εt-1，其中θ1≈-0.4（ACF(1)=-θ1/(1+θ1²)，解得θ1≈-0.4或-2.5，取绝对值小于1的解θ1≈-0.4）。习题7：已知GARCH(1,1)模型为σ²t=0.01+0.2ε²t-1+0.7σ²t-1，其中εt~N(0,σ²t)。（1）计算该模型的长期方差；（2）若εt-1=0.5，σ²t-1=0.1，计算σ²t。解答：（1）GARCH(1,1)的长期方