直线的倾斜角与斜率新建

3.1直线的倾斜角与斜率3.1.1倾斜角与斜率学习目标1.理解直线的倾斜角和斜率的概念.2.掌握求直线斜率的两种方法(重点)3.了解在平面直角坐标系中确定一条直线的几何要素．知识点1直线的倾斜角1．直线倾斜角的概念当直线l与x轴相交时，我们取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角．2．直线倾斜角的取值范围直线的倾斜角α的取值范围是{α|0°≤α＜180°}，并规定与x轴平行或重合的直线的倾斜角为0°．【预习评价】1．只给出一个倾斜角能确定一条直线吗？提示不能．倾斜角只能确定直线的方向，要确定直线还需知道直线上的一个点．2．当一条直线的倾斜角为0°时，这条直线一定与x轴平行吗？提示不一定，也可能与x轴重合．知识点2斜率的概念及斜率公式1．定义：倾斜角α(α≠90°)的正切值．2．记法：k＝tan__α．3．斜率与倾斜角的对应关系．图示倾斜角(范围)α＝0°0°<α<90°α＝90°90°<α<180°斜率(范围)k＝0k>0不存在k<04.经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式：k＝eq\f(y2－y1,x2－x1)．【预习评价】1．已知一条直线的倾斜角α＝45°，则该直线的斜率等于()A.eq\f(\r(2),2)B．－eq\f(\r(2),2)C．1D．－1解析k＝tanα＝tan45°＝1.答案C2．一条直线的斜率等于eq\f(\r(3),3)，则此直线的倾斜角等于________．解析k＝tanα＝eq\f(\r(3),3)，又0°≤α＜180°，故α＝30°.答案30°题型一对直线的倾斜角、斜率的理解【例1】给出下列命题：①任何一条直线都有唯一的倾斜角；②一条直线的倾斜角可以为180°；③倾斜角为0°的直线只有一条，即x轴；④按照倾斜角的概念，直线的倾斜角的集合{α|0°≤α≤180°}与直线集合建立了一一映射关系．其中正确命题有()A．1个 B．2个 C．3个 D．4个解析直线的倾斜角α的范围是{α|0°≤α＜180°}，所以②和④错误；平行于x轴的直线的倾斜角都为0°，所以③错误．答案A规律方法求直线倾斜角的方法及关注点(1)定义法：根据题意画出图形，结合倾斜角的定义找倾斜角．(2)关注点：结合图形求角时，应注意平面几何知识的应用，如三角形内角和定理及其有关推论．【训练】下列命题正确的是()A．两条不重合的直线，如果它们的倾斜角相等，那么这两条直线平行B．若一条直线的倾斜角为α，则此直线的斜率为tanαC．若α，2α，3α分别为三条直线的倾斜角，则α的度数可以大于60°D．若α是直线l的倾斜角，且tanα＝eq\f(\r(2),2)，则α＝45°解析0°≤α＜180°，当α＝90°，此时直线不存在斜率，B错；α＝60°时，3α＝180°，C错；tan45°＝1，D错．答案A考查方向题型二有关直线斜率的运算方向1斜率的定义【例2－1】若直线的倾斜角为60°，则直线的斜率为()A.eq\r(3) B．－eq\r(3) C.eq\f(\r(3),3) D．－eq\f(\r(3),3)解析k＝tan60°＝eq\r(3).答案A方向2运用斜率公式求直线的斜率【例2－2】已知两点A(－3，4)，B(3，2)，过点P(1，0)的直线l与线段AB有公共点．(1)求直线l的斜率k的取值范围；(2)求直线l的倾斜角α的取值范围．解如图所示，由题意，知kPA＝eq\f(4－0,－3－1)＝－1，kPB＝eq\f(2－0,3－1)＝1.(1)要使直线l与线段AB有公共点，则直线l的斜率k的取值范围是k≤－1或k≥1.(2)由题意可知直线l的倾斜角介于直线PB与PA的倾斜角之间，又PB的倾斜角是45°，PA的倾斜角是135°，所以α的取值范围是45°≤α≤135°.方向3斜率公式的应用【例2－3】已知实数x，y满足y＝－2x＋8，且2≤x≤3，求eq\f(y,x)的最大值和最小值．解如图所示，由于点(x，y)满足关系式2x＋y＝8，且2≤x≤3，可知点P(x，y)在线段AB上移动，并且A，B两点的坐标可分别求得为(2，4)，(3，2)．由于eq\f(y,x)的几何意义是直线OP的斜率，且kOA＝2，kOB＝eq\f(2,3)，所以可求得eq\f(y,x)的最大值为2，最小值为eq\f(2,3).规律方法求直线斜率的注意事项(1)在应用斜率公式求斜率时，首先应注意这两点的横坐标是否相等，若相等，则这两点连线必与x轴垂直，即直线倾斜角为90°，故其斜率不存在；若不相等，直接代入公式求解即可．(2)三角函数公式：tan(180°－α)＝－tanα.(记住便可)课堂达标1．对于下列命题：①若α是直线l的倾斜角，则0°≤α<180°；②若k是直线的斜率，则k∈R；③任一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率；④任一条直线都有斜率，但不一定有倾斜角．其中正确命题的个数是()A．1 B．2 C．3 D．42．m，n，p是两两不相等的实数，则点A(m＋n，p)，B(n＋p，m)，C(p＋m，n)必()A．在同一条直线上 B．是直角三角形的顶点C．是等腰三角形的顶点 D．是等边三角形的顶点3．直线l经过第二、四象限，则直线l的倾斜角范围是()A．0°≤α<90° B．90°≤α<180°C．90°<α<180° D．0°<α<180°4．已知点A(1，2)，若在坐标轴上有一点P，使直线PA的倾斜角为135°，则点P的坐标为________．5．求经过下列两点的直线的斜率，并判断其倾斜角是锐角还是钝角．(1)(1，1)，(2，4)；(2)(－3，5)，(0，2)；(3)(2，3)，(2，5)；(4)(3，－2)，(6，－2)．课堂小结1．倾斜角是一个几何概念，它直观地描述并表现了直线对于x轴正方向的倾斜程度．2．直线的斜率和倾斜角都反映了直线的倾斜程度，二者紧密相连，如下表：直线情况α的大小0°0°<α<90°90°90°<α<180°k的范围0k>0不存在k<0k的增减情况k随α的增大而增大k随α的增大而增大3.运用两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)求直线斜率k＝eq\f(y2－y1,x