新疆伊宁生产建设兵团四师一中2017-2018学年高一下学期期末考试数学试卷

2017—2018学年度第二学期高一年级期末数学试卷出卷人：李荣红审卷人：李荣红考试时间：120分钟分值：150分一、选择题（每小题5分，共60分）1．已知集合A＝{x|y＝eq\r(1－x2)，x∈Z}，B＝{y|y＝x2＋1，x∈A}，则A∩B为()A．∅B．{1}C．[0，＋∞) D．{(0,1)}2．下列函数是奇函数的是()A．f(x)＝lg(1＋x)－lg(1－x)B．f(x)＝2x＋2－xC．f(x)＝－|x|D．f(x)＝x3－13．如果函数f(x)＝sin(2πx＋θ)(0<θ<2π)的最小正周期是T，且当x＝1时取得最大值，那么()A．T＝1，θ＝eq\f(π,2)B．T＝1，θ＝πC．T＝2，θ＝πD．T＝2，θ＝eq\f(π,2)4．已知△ABC的三个内角之比为A∶B∶C＝3∶2∶1，那么，对应的三边之比a∶b∶c等于()A．3∶2∶1B.eq\r(3)∶2∶1C.eq\r(3)∶eq\r(2)∶1 D．2∶eq\r(3)∶15．若函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))x，x∈[－1，0，,4x，x∈[0，1]，))则f(log43)＝()A.eq\f(1,3)B.eq\f(1,4)C．3 D．46．已知平面内三点A(－1,0)，B(5,6)，P(3,4)，且eq\o(AP,\s\up6(→))＝λeq\o(PB,\s\up6(→))，则λ的值为()2C.eqB．2C.eq\f(1,2)D.eq\f(1,3)7．将函数y＝f(x)的图象沿x轴向右平移eq\f(π,3)个单位长度，再保持图象上的纵坐标不变，而横坐标变为原来的2倍，得到的曲线与y＝sinx的图象相同，则y＝f(x)是()A．y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3)))B．y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,3)))C．y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(2π,3)))D．y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(2π,3)))8．等比数列{an}的前4项和为240，第2项与第4项的和为180，则数列{an}的首项为()A．2 B．4C．6 D．89．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若A＝eq\f(π,3)，b＝1，△ABC的面积为eq\f(\r(3),2)，则a的值为()A．1C.eqC.eq\f(\r(3),2)D.eqD.\r(3)10．已知向量a＝(cos2α，sinα)，b＝(1,2sinα－1)，α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))，若a·b＝eq\f(2,5)，则taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))等于()A.eq\f(1,3)B.eqB.\f(2,7)C.eq\f(1,7)D.eqD.\f(2,3)11．实数x，y满足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≥1，,y≤aa>1，,x－y≤0，))若函数z＝x＋y的最大值为4，则实数a的值为()A．2D.eqC．4 D.eq\f(3,2)12．已知函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2－x－1，x≤0，,fx－1，x>0，))若方程f(x)＝x＋a有且只有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围为()A．(－∞，0] B．[0,1)C．(－∞，1) D．[0，＋∞)二、填空题（每小题5分，共20分）13．设f(x)＝2x2＋3，g(x＋1)＝f(x)，则g(3)＝________.14．已知A(x,1)，B(1,0)，C(0，y)，D(－1,1)，若eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(CD,\s\up6(→))，则x＋y等于15．函数f(x)＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ωx＋\f(π,3)))(x∈R)，f(α)＝－2，f(β)＝0，且|α－β|的最小值等于eq\f(π,2)，则正数ω的值为________．16.定义运算“⊗”:x⊗y=QUOTE(x,y∈R,xy≠0),当x>0,y>0时,x⊗y+(2y)⊗x的最小值为__________.三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)已知函数f(x)=x+QUOTE(x>3).(1)求函数f(x)的最小值.(2)若不等式f(x)≥QUOTE+7恒成立,求实数t的取值范围.18．(本小题满分12分)设两个向量a，b不共线．(1)若eq\o(AB,\s\up6(→))＝a＋b，eq\o(BC,\s\up6(→))＝2a＋8b，eq\o(CD,\s\up6(→))＝3(a－b)，求证：A、B、D三点共线；(2)若|a|＝2，|b|＝3，a、b的夹角为60°，求使向量ka＋b与a＋kb垂直的实数k.19．1(本小题满分12分)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(A>0，ω>0，|φ|<\f(π,2)))的部分图象如图所示．(1)求函数f(x)的解析式；(2)求函数在区间[－2,4]上的最大值和最小值以及对应的x的值．20．(本小题满分12分)已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a＝2，cosB＝eq\f(3,5).(1)若b＝4，求sinA的值；(2)若S△ABC＝4，求b，c的值．21.(本小题满分12分)已知等比数列{an}的所有项均为正数，首项a1＝1，且a4,3a3，a5成等差数列．(1)求数列{an}的通项公式；(2)数列{an＋1－λan}的前n项和为Sn，若Sn＝2n－1(n∈N)，求实数λ的值．22．(本小题满分12分)是否存在这样的实数a，使函数f(x)＝x2＋(3a－2)x＋a－1在区间[－1,3]上与x轴有且只有一个交点？若存在，求出a的取值范围；若不存在，说明理由．

2017—2018学年度第二学期高一年级期末数学答案112B,A,A,D,C,B,C,C,D,C,A,C13,1114,415,1QUOTE\MERGEFORMAT16,17.(1)因为x>3,所以x3>0.所以f(x)=x+QUOTE=x3+QUOTE+3≥2QUOTE+3=9.当且仅当x3=QUOTE,即(x3)2=9时,上式取得等号,又因为x>3,所以x=6,所以当x=6时,函数f(x)的最小值是9.(2),1≤t≤218．(本小题满分12分)解：(1)eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＝a＋b＋2a＋8b＋3(a－b)＝6(a＋b)＝6eq\o(AB,\s\up6(→))，∴eq\o(AD,\s\up6(→))与eq\o(AB,\s\up6(→))共线，即A、B、D三点共线．(2)∵ka＋b与a＋kb垂直，∴(ka＋b)·(a＋kb)＝0，ka2＋(k2＋1)a·b＋kb2＝0，ka2＋(k2＋1)|a||b|·cos60°＋kb2＝0，3k2＋13k＋3＝0，解得：k＝eq\f(－13±\r(133),6).19．解：(1)由题可知A＝eq\r(2)，eq\f(T,2)＝6－(－2)＝8，∴T＝16，∴ω＝eq\f(2π,T)＝eq\f(π,8)，则f(x)＝eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,8)x＋φ)).又图象过点(2，eq\r(2))，代入函数表达式可得φ＝2kπ＋eq\f(π,4)(k∈Z)．又|φ|<eq\f(π,2)，∴φ＝eq\f(π,4)，∴f(x)＝eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,8)x＋\f(π,4))).(2)∵x∈[－2,4]，∴eq\f(π,8)x＋eq\f(π,4)∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(3π,4)))，当eq\f(π,8)x＋eq\f(π,4)＝eq\f(π,2)，即x＝2时，f(x)max＝eq\r(2)；当eq\f(π,8)x＋eq\f(π,4)＝0，即x＝－2时，f(x)min＝0.20，解：(1)∵cosB＝eq\f(3,5)>0，且0<B<π，∴sinB＝eq\r(1－cos2B)＝eq\f(4,5).由正弦定理eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)，得sinA＝eq\f(asinB,b)＝eq\f(2×\f(4,5),4)＝eq\f(2,5).(2)∵S△ABC＝eq\f(1,2)acsinB＝4，∴eq\f(1,2)·2·c·eq\f(4,5)＝4.∴c＝5.由余弦定理b2＝a2＋c2－2accosB，得b＝eq\r(a2＋c2－2accosB)＝eq\r(22＋52－2×2×5×\f(3,5))＝eq\r(17).21.解：(1)设数列{an}的公比为q，由条件可知q3,3q2，q4成等差数列，∴6q2＝q3＋q4，解得q＝－3或q＝2.∵q>0，∴q＝2.∴数列{an}的通项公式为an＝2n－1(n∈N)．(2)记bn＝an＋1－λan，则bn＝2n－λ·2n－1＝(2－λ)2n－1，若λ＝2，则bn＝0，Sn＝0，不符合条件；若λ≠2，则eq\f(bn＋1,bn)＝2，数列{bn}为首项为2－λ，公比为2的等比数列，此时Sn＝eq\f(2－λ,1－2)(1－2n)＝(2－λ)(2n－1)，∵Sn＝2n－1(n∈N)，∴λ＝1.22,解：∵Δ＝(3a－2)2－4(a－1)>0，∴若存在实数a满足条件，则只需f(－1)·f(3)≤0即可．f(－1)·f(3)＝(1－3a＋2＋a－1)·(9＋9a－6＋a－1)＝4(1－a)(5a＋1)≤0，所以a≤－eq\f(1,5)或a≥1.检验：①当f(－1)＝0时，a＝1，此时f(x)＝x2＋x.令f(x)＝0，即x2＋x