2025-2026学年广东佛山市南海区艺术高级中学高三下册综合测试数学试题（艺高一模） 含答案

/2026届高三下学期综合测试数学试卷（艺高一模）一、单选题1.已知集合，则（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】先求集合，根据集合的并集运算即可求解.【详解】由题意得：，又因为，所以．2.复数，则（）A. B. C. D.2【答案】A【解析】【分析】利用复数除法运算及求模公式计算即可.【详解】因为，所以.3.已知向量，若，则的值为（）A.4 B.5 C. D.【答案】B【解析】【分析】根据向量线性运算以及垂直向量的坐标表示，求得参数值，利用向量模长的坐标计算公式，可得答案.【详解】由，且，则，解得，即，可得，所以.故选：B.4.的展开式中的常数项为（）A.60 B.120 C.160 D.240【答案】D【解析】【详解】共有个因式，从个因式中选择，在剩下的个因式中选择，则的展开式中的常数项为.5.记为等差数列的前项和，公差，、、成等比数列，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据已知条件可得关于的方程，求出的值，即可求得的值.【详解】由题意可知，即，整理可得，解得，故.故选：D.6.已知，，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据与计算出与，从而求出.【详解】因为，，所以，故，解得，所以，故.故选：D7.已知是椭圆的两个焦点，为上一点，且，则的离心率为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据椭圆的定义及条件，表示出，结合余弦定理可得答案.【详解】因为，由椭圆的定义可得，所以，，因为,由余弦定理可得所以，整理可得，所以，即.故选：A.8.设函数，，若存在，，使得，则的最小值为（）A. B.1 C.2 D.【答案】B【解析】【分析】根据题意，由条件可得，即可得到，构造函数，求导得其最值，即可得到结果.【详解】由题意可得，即，所以，又，所以在上单调递增，即，所以，且，令，，则，其中，令，则，当时，，则单调递增，当时，，则单调递减，所以当时，有极大值，即最大值，所以，，所以.故选：B【点睛】关键点睛：本题主要考查了函数同构问题以及导数求最值问题，结合同构函数，然后构造函数求导即可得到结果.二、多选题9.如图所示，在正方体中，O为DB的中点，直线交平面于点M，则下列结论正确的是（）A.直线与直线所成角为 B.平面C.M、O、三点共线 D.直线与平面所成角的为【答案】ABC【解析】【分析】利用几何法求出异面直线的夹角判断A；利用线面垂直的性质判定推理判断B；利用平面的基本事实推理判断C；求出线面角判断D.【详解】对于A，连接，四边形是正方体的对角面，则四边形为矩形，，是直线与直线所成角或其补角，而，因此，A正确；对于B，平面，平面，则，又，平面，则平面，又平面，于是，同理，又，因此平面，B正确；对于C，由，平面，得平面，由，平面，得平面，则是平面和平面的公共点，同理，点和都是平面和平面的公共点，因此三点，，在平面与平面的交线上，即，，三点共线，C正确；对于D，连接，设，连接，由选项B，同理得平面，则为直线与平面所成的角，在中，，因此，，D错误.故选：ABC10.已知点，，点P在圆上运动，则（）A.直线AB与圆C相离 B.的面积的最小值为C.的最大值为6 D.当最小时，【答案】ACD【解析】【分析】求得直线AB的方程为，得到圆心C到直线AB的距离，可判定A正确；由，点P到直线AB的距离的最小值为，结合三角形的面积公式，可判定B错误；根据，可判定C正确；当最小时，得到直线PB与圆C相切，结合切线长公式，可判定D正确.【详解】对于A中，由点，，点P在圆上运动，则圆心为，半径为2，直线AB的方程为，则圆心C到直线AB的距离，所以直线AB与圆C相离，所以A正确；对于B中，因为，点P到直线AB的距离的最小值为，则面积的最小值为，所以B错误；对于C中，由，所以C正确；对于D中，当最小时，直线PB与圆C相切，此时，所以D正确.故选：ACD．11.现进行如下试验：从中任选一个数，记为，若，则试验结束；否则再从中任选一个数，记为，若，则试验结束；否则再从中任选一个数，依次类推，直至选中1为止.记事件“试验过程中，数字被选到”，表示事件发生的概率（），则（）A.B.C.D.且【答案】BCD【解析】【分析】对于选项A，可根据试验过程直接计算；对于选项B，需要根据试验过程分析表达式；对于选项C，根据条件概率公式判断与是否相等；对于选项D，时，有，得，可知，，则有，可得.【详解】对于A，若数字9被选到，有两种情况：第一次选数时，从1到10中选到9，概率为，第一次选到10，第二次从1到9中选到9，概率为，所以，选项A错误；对于B，若数字8被选到，有以下几种情况：第一次就选到8，概率为；发生后，下一次从1到8中选到8，概率为，发生后，下一次从1到9中选到8，概率为，这几种情况彼此互斥，所以，选项B正确；对于C，根据条件概率公式，，若发生，即数字9被选到，那么在选到9的情况下，下一次从1到8中选到8的概率为，即，若发生，即数字10被选到，那么在选到10的情况下，可以下一次从1到9中选到8，也可以是下一次从1到9中选到9，再下一次从1到8中选到8，即，所以，选项C正确；对于D，对于即选中的情况，设为选中数当中不小于的最小整数，则，当时，有，，，结合知，，所以最大数选取是任意的，始终有，对于同时选中情况，不妨设，可理解为从中按规则取数，选中的概率，则有，可得，选项D正确.故选：BCD三、填空题12.直线与圆相交所得的弦长为______．【答案】【解析】【分析】首先确定圆心和半径，应用点线距离公式求圆心到直线的距离，再利用几何法求相交弦长即可.【详解】由，即，所以圆心为，半径为，所以到的距离，综上，直线与圆的相交弦长为.故答案为：13.已知正四棱台中，侧棱与底面所成的角为，，则该四棱台的体积为________．【答案】##【解析】【分析】首先求棱台的高，再代入体积公式，即可求解.【详解】由条件可知，上下底面对角线长为2和4，因为侧棱与底面所成角为，所以高为，则四棱台的体积.故答案为：14.“素数”是指大于1的自然数中，除了1和它本身以外，不能被其它正整数整除的数，例如2､3､都是素数；“孪生素数”是指相差为2的两个素数，例如都是“孪生素数”；关于“孪生素数”有一个著名的猜想：自然数中存在无穷多对“孪生素数”；2013年数学家张益唐证明了“存在无穷多对素数，它们的差不超过7000万”，2014年陶哲轩等数学家证明了“存在无数多对素数，它们的差不超过246”；现在某同学要从小于20的素数中取出4个，则取出的4个素数中恰有两个是“孪生素数”的概率=__________.【答案】【解析】【分析】分两个是“孪生素数”分别是或或或逐个确定，再结合古典概率模型概率计算公式即可求解.【详解】小于20的素数共有，8个，其中“孪生素数”有4对，若取，则不能取7，从中取2个，同时和不能同时出现，故有种，若取，则不能取3，从中取2个，同时和不能同时出现，故有种，若取，再从中取2个，同时，，和不能同时出现，故有种，若取，再从中取2个，同时，，和不能同时出现，故有种，总共有，而从个数中取出4个共有种，所以取出的4个素数中恰有两个是“孪生素数”的概率为，故答案为：四、解答题15.已知数列的前项和为，且满足．（1）求数列的通项公式；（2）已知，求数列的前项和为．【答案】（1）（2）【解析】【分析】(1)利用与的关系，消去求解即可；(2)等差与等比的乘积的数列求和用错位相减法求和即可.【小问1详解】（1）①，当时，，解得，当时，②，式子①②得，故，因为，所以，所以，所以是以1为首项，2为公比的等比数列，所以；【小问2详解】（2）①②①②得：．16.在中，内角的对边分别为，，.（1）求；（2）若，求的面积.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用正弦定理结合三角恒等变换可得，再根据求角B即可；（2）根据两角和差公式求，再由正弦定理求出边，进而可得面积.【小问1详解】因为，由正弦定理可得，且，即，又因为，则，可得，且，所以；则，可得，又因为，所以.【小问2详解】因为，，则，又因为，则，所以.17.在如图所示的几何体中，四边形是边长为4的菱形，，平面，，且．（1）证明：平面平面．（2）若平面与平面夹角的余弦值为，求．【答案】（1）证明见详解（2）9【解析】【小问1详解】因为平面，平面，所以，因为四边形是菱形，所以，，又平面，所以平面，又平面，所以平面平面.【小问2详解】设与交于点，以为原点，分别为轴，过点平行为轴，建立空间直角坐标系，设，则，，，，，所以，，设平面的一个法向量为，则，令，得，，所以，取平面的法向量，所以，解得，故.18.已知函数．（1）求函数在处的切线方程；（2）讨论的单调性；（3）设为两个不相等的正数，且，证明：．【答案】（1）（2）在区间上为增函数，在区间上为减函数（3）证明见解析【解析】【分析】（1）先求切点，再求斜率即可.（2）讨论导数的正负，从而得到原函数的单调性.（3）分别证明不等式的两个方向，先将函数变形成的极值点偏移问题，构造对称函数即可证明，另一个方向构造新函数，研究新函数的最值.【小问1详解】，所以切点由得，，所以切线方程为：，即：【小问2详解】的定义域为．由得，，当时，；当时；当时，．故在区间内为增函数，在区间内为减函数，【小问3详解】变形为，所以．令．则上式变为，于是命题转换为证明：．因为，则有，不妨设．由（2）知，先证．要证：．令，则，∴在区间内单调递增，所以，即．再证．因为，所以，所以，所以需证．令，所以，故在区间内单调递增．所以．故，即．综合可知．19.已知椭圆的离心率为，短轴长为．（1）求椭圆的方程；（2）设是椭圆的左、右顶点，是椭圆的右焦点．过点的直线与椭圆相交于两点（点在轴的上方），直线分别与轴交于点，试判断是否为定值？若是定值，求出这个定值；若不是定值，说明理由．【答案】（1）（2）是定值；【解析】【分析】（1）由椭圆的性质和离心率解方程组求出即可；（2）当斜率不存在时，分别求出直线和的直线方程，得到；当斜率存在时，设出直线方程，直曲联立，表示出韦达定理，由点斜式求出直线方程可得到两点坐标，再用韦