2025-2026学年上海市华东师范大学附属周浦中学第二册高二第一次阶段性测验数学试题 含答案

/2025学年第二学期高二第一次阶段性测试数学试卷2026.3.23（本次考试满分100分，答题时间90分钟）一、填空题（本大题12小题，每小题3分，满分36分）1.函数在区间上的平均变化率等于____.【答案】【解析】【分析】根据题意，利用函数平均变化率的计算公式，进行计算，即可求解.【详解】由函数，可得函数在上的平均变化率为故答案为：.2.函数的驻点为________．【答案】【解析】【分析】对求导，得到，令，即可求解.【详解】因为，所以，令，解得，所以为函数的驻点，故答案为：.3.若，则________．【答案】1【解析】【分析】求出导函数，再求值即可．【详解】的定义域为，，，故答案为：4.若，则__________.【答案】6【解析】【分析】根据排列数的计算公式即可求解.【详解】由可得，所以，故答案为：65.已知6位同学站成一排，若甲同学不站在两端，则有__________种不同的排法.【答案】【解析】【分析】先排甲，再排其余5人.【详解】甲同学不站在两端有种排法，其余5人的全排列有种排法，则共有种不同的排法.故答案为：.6.已知定义域为，且为导函数，若，则________.【答案】【解析】【分析】根据导数的定义，对已知极限式子进行变形，即可求解.【详解】因为，所以f′37.如图所示为函数的图象，则不等式的解集为________.【答案】【解析】【分析】根据图象得到函数的单调性，根据单调性与导数的关系得导数的符号，进而求得不等式的解集．【详解】由图象可知，在，上单调递增，在上单调递减，故当，时，，当时，.原不等式等价于或，则或.所以不等式的解集为.8.现有五人站成一排，则相邻且不相邻的排法种数共有___________种．【答案】24【解析】【分析】根据排列数以及分步计数原理即可求解.【详解】根据题意，将，看成一个整体，，的排列方法有种方法，然后将这个整体与进行全排列，即不同的排列方式有，最后将，插入到三个空中的两个中，有种方法，根据分步计数原理可知排法种数为，故答案为：24.9.设点P在曲线上，点Q在直线上，则PQ的最小值为________.【答案】【解析】【分析】在曲线上求一点，使得过这点的切线与直线平行，再用两条平行线间的距离公式，可求得的最小值.【详解】令，即，解得或.由已知，，所以，代入曲线方程求得，故切点为，斜率为的直线方程为，将两条平行直线的方程化为一般式得，故两平行直线的距离为0−(−4)10=210510.将3个不同的小球放入编号为1，2，3，4，5的盒子内，则5号盒子中至少有一个球的放法有________种.【答案】61【解析】【分析】先算总的将三个不同的小球放入盒子内，再计算5号盒子内没有球的情况即可求解.【详解】将三个不同的小球放入编号为1，2，3，4，5的盒子内，共有种放法，若5号盒子中没有球，则每个球只能放入1，2，3，4号盒子，共有种放法，则5号盒子中至少有一个球的放法有种.11.已知函数在区间上存在极大值与极小值，则实数的取值范围是_________．【答案】【解析】【分析】利用导数求出函数的极大值点和极小值点，由题意可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围.【详解】，则，令，可得，，列表如下：极大值极小值所以，函数的极大值点为，极小值点为，由于函数在区间上存在极大值与极小值，所以，，解得.因此，实数的取值范围是.故答案为：.【点睛】易错点点睛：已知极值点求参数的值，先计算，求得的值，再验证极值点．由于导数为的点不一定是极值点，因此解题时要防止遗漏验证导致错误．12.已知关于的不等式对任意均成立，则实数的取值范围为__________.【答案】【解析】【分析】根据题意，分且和且，两种情况讨论，构造函数，利用导数和基本不等式，求得函数的最值，即可求解.【详解】因为关于的不等式对任意均成立，①当对任意均成立时，可得对任意均成立，令，可得，当时，，单调递增；当时，，单调递减，所以，所以，又由对任意均成立，可得对任意均成立，因为，当且仅当时，即时，等号成立，所以，所以.②当且对于任意均成立时，结合①可知且，此时无解.综上可得，实数实数的取值范围为.故答案为：.【点睛】方法点睛：对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略：1、合理转化，根据题意转化为两个函数的最值之间的比较，列出不等式关系式求解；2、构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；3、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．4、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．二、选择题（本大题4小题，每小题4分，满分16分）13.若为正整数，则等于（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【详解】因为.14.下列求导运算中，不正确的是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】结合导数的基本运算直接判断即可.【详解】选项A：，故A正确；选项B：，故B错误；选项C：x2选项D：2315.已知函数的图像在点处的切线方程是，则（）A. B.2 C. D.3【答案】D【解析】【分析】利用导数的几何意义求出和，即可求得.【详解】函数的图像在点处的切线的斜率就是在该点处的导数，即就是切线的斜率，所以.又，所以.故选：D16.已知定义R在上的函数，其导函数为，若，且当时，，则不等式的解集为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】令，由题意，得出为定义在R上的偶函数，且在上单调递增，再把不等式转化为，利用单调性求解.【详解】令，则，又由，所以.故，即为定义在R上的偶函数；当时，，所以在上单调递增，由，即，所以，解得，所以不等式的解集为.故选：D.【点睛】关键点点睛：本题关键是根据这一信息，构造函数，进而利用函数单调性的定义而得解.三、解答题（本大题满分48分，8+8+10+10+12）17.已知.（1）求曲线在点处的切线方程；（2）求函数的极值.【答案】（1）（2）函数的极小值为，无极大值.【解析】【分析】（1）利用导数的几何意义可求得曲线在点处的斜率，从而求得该处的切线方程；（2）利用导数研究函数的单调性，得到极值点，求得极值.【小问1详解】的定义域为，f'x=所以f1所以曲线在点处的切线方程为y−2=0x−1，即【小问2详解】函数的定义域为，f'x=当时，；当时，.所以函数在上单调递减，在上单调递增.所以函数在处取得极小值，极小值为.所以函数的极小值为，无极大值.18.用0，1，2，5，6，7这六个数字组成没有重复数字的四位数.（1）四位数共有多少个？（2）偶数共有多少个？【答案】（1）300（2）156【解析】【分析】（1）分含和不含两种情况分析，如果含，需先排这个特殊元素，再排列其他数字；（2）分末位是和末位不是两种情况进行排列.【小问1详解】若这个四位数中含，则先从除千位外的三个位置中选一个排，再从其他5个元素中选3个在剩余位置排列，共有A3若这个四位数中不含，则从其他5个数字中选4个进行全排，共有A54所以四位数共有个.【小问2详解】若个位是，则从其它5个数字中任选3个排列在剩余的三个位置，共有种排法；若个位是或，则从其它4个不为的数字中选1个排在千位，再从除千位和个位所排数字之外的4个数中任选2个排在百位和十位，共有A2所以偶数共有个.19.某礼品店要制作一批长方体包装盒，材料是边长为的正方形纸板，如图所示，先在正方形的相邻两个角各切去一个边长为的正方形，然后在余下两角处各切去一个长、宽分别为、的矩形，再将剩余部分沿图中的虚线折起，做成一个有盖的长方体包装盒．（1）求包装盒的容积V（x）关于x的函数表达式，并求出函数的定义域；（2）当x为多少时，包装盒的容积最大？最大容积是多少？【答案】（1），函数的定义域为；（2）边长时，包装盒的容积最大，最大容积是.【解析】【分析】（1）根据已知条件及长方体的体积公式即可得出解析式，根据实际意义得出定义域；（2）利用导数法求函数的最值的步骤即可求解;【小问1详解】因为包装盒高，底面矩形的长为，宽为，所以包装盒的容积为，函数的定义域为．【小问2详解】由（1）得，，令，即，解得或（舍），∴当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减，∴当时，函数取得极大值，也是函数的最大值，所以.即切去的正方形边长时，包装盒的容积最大，最大容积是20.已知函数．（1）讨论的单调性；（2）若在上是单调增函数，求实数的取值范围．【答案】（1）见解析；（2）.【解析】【分析】（1）求出函数的定义域以及导数，结合定义域，讨论和情况下，导数的正负，即可得到的单调性；（2）求出，则在上是单调增函数等价于在上恒成立，分离参数，即在恒成立，令，利用导数求出函数在上的最大值，即可得到实数的取值范围【详解】（1）函数，则函数的定义域为．①当时，故函数在上单调递增；②当时，在有故在单调递减；在有故在上单调递增．综上所述：当时，函数在上单调递增；当时，函数在上为单调递减，在上为单调递减增（2）由，得．若函数为上的单调增函数，则在上恒成立，即不等式在上恒成立．也即在上恒成立．令，则．当时，，在上为减函数，则所以，即的取值范围为．【点睛】本题考查函数单调性与导数的关系，通过导数求单调性以及最值，考查学生转化思想和计算能力，属于中档题．21.已知函数（1）当时，若对任意不等式恒成立，求实数a的取值范围.（2）当在有解，求实数k的取值范围.（3）当函数有两个极值点且时，是否存在实数m，总有成立？若存在，求出实数m的取值范围；若不存在，请说明理由.【答案】（1）（2）（3）存在，.【解析】【分析】（1）利用导数求得在上的最小值，进而利用恒成立可得，可求实数a的取值范围.（2）分离变量得，构造函数，求导可求得的值域，可得实数k的取值范围.（3）利用函数有两个极值点，可得，不等式等价于，令，求导，分类讨论可求得实数m的取值范围.【小问1详解】当时，，令，解得，当时，单调递减，当时，单调递增，所以在上的最小值为.又，所以由对任意不等式恒成立，即.所以的取值范围为.【小问2详解】令，因为，则，故，令，