2026年上海高考数学最后冲刺复习专项01 概率统计3大题型（大题专练）（原卷版）

专项01概率统计

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【命题解码·定方向】命题趋势+2026年预测

【解题建模·通技法】析典例，建模型，技法贯通破类题/变式

【实战刷题·冲高分】精选高考大题+名校模拟题，强化实战能力，得高分

根据近五年上海卷考情，概率统计必考主干，解答题分值14分．

命题趋势：

年份题号核心考点情境难度

202119频率分布、古典概型、期望产品质量检测★☆☆

202219茎叶图、独立事件、二项分布体育比赛★☆☆

202317线性回归、相关系数、条件概率环保数据★☆☆

202417分层抽样、古典概型、分布列校园活动★☆☆

202517频率直方图、全概率、期望交通出行★☆☆

2026年预测：

•统计基础（第一问，6-8分）：频率分布直方图、茎叶图、平均数、中位数、方差/标准差、分层抽样；

高频涉及线性回归方程、相关系数计算

•概率计算（第二问，6-8分）：古典概型、独立事件、条件概率、全概率公式、离散型随机变量分布列、

数学期望；二项分布为次高频考点

命题风格预测

•情境贴合热点：AI数据监测、医疗筛查、环保统计、校园活动、交通出行等生活化场景

•设问结构固定：先统计量计算，再概率+期望，最后轻度决策（如“根据期望判断方案优劣”）

•轻度创新：新增统计意义解释、正态分布识图、卡方检验基础判断，无偏题怪题

最可能考题型

1.频率分布直方图+古典概型+分布列+期望

2.线性回归+条件概率+概率决策

3.分层抽样+全概率公式+二项分布

避坑要点：区分频率/概率、有放回/无放回、独立/互斥事件；分布列列全再算期望，步骤不省略

题型01统计图表+统计量计算

析典例·建模型

1.（交通出行背景）李先生是一名上班族，为了比较上下班的通勤时间，记录了20天个工作日内，家里到

单位的上班时间以及同路线返程的下班时间（单位：分钟），如下茎叶图显示两类时间的共40个记录：

(1)求出这40个通勤记录的中位数M，并完成下列2×2列联表：

超过M不超过M

上班时间

下班时间

(2)根据列联表中的数据，请问上下班的通勤时间是否有显著差异？并说明理由．

2

nadbc

附：2，nabcd，P23.8410.05

abcdacbd

2．（校园大数据场景）王老师将全班40名学生的高一数学期中考试（满分100分）成绩分成5组，绘制

成如图所示的频率分布直方图，现将[50,60)记作第一组，[60,70)、[70,80)、[80,90)、[90,100]分别记作第

二、三、四、五组．已知第一组、第二组的频率之和为0.3，第一组和第五组的频率相同．

(1)估计此次考试成绩的平均值（同一组数据用该组数据的中点值代替）；

(2)王老师将测试成绩在[80,90)和[90,100]内的试卷进行分析，再从中选2人的试卷进行优秀答卷展示，求

被选中进行优秀答卷展示的这2人的测试成绩至少1个在[90,100]内的概率；

(3)已知第二组考生成绩的平均数和方差分别为65和40，第四组考生成绩的平均数和方差分别为83和70，

据此计算第二组和第四组所有学生成绩的方差．

3．（2025·上海虹口·一模）班主任小明为了解本班每位学生每周平均手机使用时长(单位：小时)，在某一学

期每周对全班45名学生进行问卷调查，收集了全部数据并计算出每位学生每周平均手机使用时长，绘制了

相应的统计图表，全班用时最长的为25.6小时.其中，男生每周平均手机使用时长的茎叶图如图所示，女生

每周平均手机使用时长的频率分布直方图如图所示.

(1)求该班男生每周平均手机使用时长的第25百分位数；

(2)小明老师想从本班每周平均手机使用时长小于12小时的学生中任选2人在班会课上做经验分享．设事件

A表示“2人中至多1名男生”，事件B表示“2人中恰有1名学生的每周平均手机使用时长位于区间

11,12”．试判断事件A和事件B是否独立，并说明理由；

(3)小明老师发现本班有t位学生的每周平均手机使用时长超过20小时，这t位学生的数据平均数为23小

时．当去掉这t位学生中用时最长和用时最短的数据后，平均数变为22.7小时，且这t位学生中女生的数据

从小到大依次排序成等差数列．那么这t位学生每周平均手机使用时长的方差是否超过3？请说明理由．

研考点·通技法

•解题步骤：第一步识图（提取频率/频数/组距）→第二步套公式（均值、中位数、方差）→第三步

验算数据

•技巧：频率分布直方图中位数找面积等分线，方差计算先算均值再代入，茎叶图直接提取数据不

看错行

破类题·提能力

1．（2025·上海崇明·一模）为培养学生的社会责任感，某校开展了为期一学期的“温暖社区，青春奉献”志愿

服务活动．活动结束后，学校从甲、乙两个班级中统计了部分学生的志愿服务时长（单位：小时），统计

结果用茎叶图记录如图所示（十位数字作为“茎”，个位数字作为“叶”）．已知甲组有9名学生的数据，乙组

有10名学生的数据．

(1)分别写出甲、乙两组学生服务时长的第70百分位数；

(2)从甲、乙两组学生中各随机抽取1人，求抽取的2人中恰有1人的服务时长超过30小时的概率；

2

(3)记甲组志愿服务时长的方差为s0；在甲组中增加一名学生A得到“新甲组”，若A的志愿服务时长为27，

22

则记“新甲组”志愿服务时长的方差为s1；若A的志愿服务时长为20，则记“新甲组”志愿服务时长的方差为s2；

2、2、2

通过计算比较s0s1s2的大小（结果精确到0.1），并从数学角度解释这一现象．

2．（2025·上海嘉定·二模）某学校对学生的课外阅读时间进行调查，随机抽取了150位学生，得到如下样

本数据频率分布直方图．

(1)估计该校学生的平均课外阅读时间；（同一组数据用该区间的中点值作代表）

(2)估计该校学生课外阅读时间位于区间30,60（单位：小时/月）的概率；

(3)已知该校喜欢阅读的学生占比为18%，初一年级学生占该校总学生数的28%，且初一年级学生中喜欢阅

读的占40%，求其他年级学生中喜欢阅读的比例．（精确到0.1%）

3．2024年法国奥运会落下帷幕．某平台为了解观众对本次奥运会的满意度，随机调查了本市1000名观众，

得到他们对本届奥运会的满意度评分（满分100分），平台将评分分为

50,60、60,70、70,80、80,90、90,100共5层，绘制成频率分布直方图（如图1所示）．并在这些评分

中以分层抽样的方式从这5层中再抽取了共20名观众的评分，绘制成茎叶图，但由于某种原因茎叶图受到

了污损，可见部分信息如图2所示．

(1)求图2中这20名观众的满意度评分的第35百分位数；

(2)若从图2中的20名观众中再任选取3人做深度采访，求其中至少有1名观众的评分大于等于90分的概

率；

(3)已知这1000名观众的评分位于50,80上的均值为67，方差为64.7，位于50,100上的均值为73，方差

为134.6，求这1000名观众的评分位于80,100上的均值与方差．

题型02概率+分布列+期望

析典例·建模型

1．盒子中装有大小和质地相同的6个红球和3个白球；

(1)从盒子中随机抽取出1个球，观察其颜色后放回，并同时放入与其颜色相同的球3个，然后再从盒子随

机取出1个球，求第二次取出的球是红球的概率；

(2)从盒子中不放回地依次随机取出2个球，设2个球中红球的个数为X，求X的分布、期望与方差；

2．（2025·上海崇明·二模）某区2025年3月31日至4月13日的天气预报如图所示．

(1)从3月31日至4月13日某天开始，连续统计三天，求这三天中至少有两天是阵雨的概率；

(2)根据天气预报，该区4月14日的最低气温是9C，温差是指一段时间内最高温度与最低温度之间的差值，

例如3月31日的最高温度为17C，最低温度为9C，当天的温差为8C记4月1日至4日这4天温差的

4

方差为s2，4月11日至14日这4天温差的方差为s2，若s2s2，求4月14日天气预报的最高气温；

12231

(3)从3月31日至4月13日中随机抽取两天，用X表示一天温差不高于9C的天数，求X的分布列及期望．

3．（环保统计）垃圾分类能减少有害垃圾对环境的破坏，同时能提高资源循环利用的效率．目前上海社区

的垃圾分类基本采用四类分类法，即干垃圾，湿垃圾，可回收垃圾与有害垃圾．某校为调查学生对垃圾分

类的了解程度，随机抽取100名学生作为样本，按照了解程度分为A等级和B等级，得到如下列联表：

男生女生总计

A等级402060

B等级202040

总计6040100

(1)根据表中的数据回答：学生对垃圾分类的了解程度是否与性别有关（规定：显著性水平0.05）？

2

nadbc

附：2，其中nabcd，P23.8410.05．

abcdacbd

(2)为进一步加强垃圾分类的宣传力度，学校特举办垃圾分类知识问答比赛．每局比赛由二人参加，主持人A

2

和B轮流提问，先赢3局者获得奖项并结束比赛．甲，乙两人参加比赛，已知主持人A提问甲赢的概率为，

3

1

主持人B提问甲赢的概率为，每局比赛互相独立，且每局都分输赢．现抽签决定第一局由主持人A提问．

2

（i）求比赛只进行3局就结束的概率；

（ii）设X为结束比赛时甲赢的局数，求X的分布和数学期望EX．

研考点·通技法

•解题步骤：判断概率模型（古典/独立/条件）→计算单个事件概率→列全分布列（验证概率和为1）

→代入期望公式

•技巧：有放回抽样用独立事件，无放回用古典概型；条件概率牢记公式，分清先后

���

顺序��|�=��

破类题·提能力

1．（2025·上海闵行·二模）某社团共有12名成员，其中高一男生2人，女生4人，高二男生3人，女生3

人．现从中随机抽选2人参加数学知识问答．

(1)若逐个抽选，求恰好第一个抽选的是男生的概率；

(2)若恰好抽选了1名男生与1名女生，求这2人都是高二学生的概率；

(3)若恰好抽选了1名高一学生与1名高二学生，记抽选出来的男生与女生的人数之差的绝对值为X，求X

的分布列与数学期望EX．

2．（2025·上海黄浦·三模）甲、乙、丙三人进行投篮比赛，共比赛10场，规定每场比赛分数最高者获胜，

三人得分（单位：分）情况统计如下：

场次12345678910

甲8101071288101013

乙9138121411791210

丙121191111998911

(1)从上述10场比赛中随机选择一场，求甲获胜的概率；

(2)在上述10场比赛中，从甲得分不低于10分的场次中随机选择两场，设X表示乙得分大于丙得分的场数，

求X的分布列和数学期望EX；

(3)假设每场比赛获胜者唯一，且各场相互独立，用上述10场比赛中每人获胜的频率估计其获胜的概率.甲、

乙、丙三人接下来又将进行6场投篮比赛，设Y1为甲获胜的场数，Y2为乙获胜的场数，Y3为丙获胜的场数，

写出方差DY1，DY2，DY3的大小关系，并说明理由.

3．（2025·上海金山·二模）为了研究高三学生每天整理数学错题的情况，某校数学建模兴趣小组的同学在

本校高三年级学生中采用随机抽样的方法抽取了40名学生，调查他们平时的数学成绩和整理数学错题的情

况，现统计得部分数据如下：

数学成绩总评优秀人数学成绩总评非优秀人

合计

数数

每天都整理数学错题人数14

不是每天都整理数学错题人

1520

数

合计40

(1)完成上述样本数据的22列联表，并计算：每天都整理数学错题且数学成绩总评优秀的经验概率；

(2)是否有99%的把握认为“数学成绩总评优秀与每天都整理数学错题有关”？

n(adbc)2

附：2；

abcdacbd

0.100.010.001

Px22.7066.63510.828

(3)从不是每天都整理数学错题的学生中随机抽取3名学生做进一步访谈，设恰好抽取到数学成绩总评优秀

的人数为X，求X的分布列和期望.

题型03线性回归+概率决策

析典例·建模型

1．（2025·上海宝山·二模）某游乐园的活动项目共有三类，分别是“过山车”等10个体验类项目、“海豚之舞”

等4个表演类项目、“智力闯关”等3个互动类项目.因设备维护需要，项目并非每日都全部开放.以下数据是

项目开放的数量x（个）和游客平均等待时间y（分钟/个）的关系：

项目类别体验类演出类互动类

开放数量x（个）456782423

平均等待时间y（分钟/个）767367m6053304630

(1)体验类项目中，若y关于x的回归方程为y4.3x93.8，请计算m的值，并依据该模型预测所有体验类

项目均开放时的平均等待时间（精确到整数）；

(2)小王游玩当日，体验类、演出类、互动类项目分别开放了8个、4个、3个，他计划随机游玩其中的3个

项目，已知他选择的项目中至少包含1个互动类项目，求他的等待总时间恰为120分钟的概率；

(3)为提高游客的参与度，园方在互动类项目“智力闯关”中设计了两关.通过第一关的游客奖励20个游园币，

游客可以选择结束或继续闯关.若继续闯关，则必须完成第二关的所有题目.第二关包含2道相互独立的选择

题，每答对1题可再奖励20个游园币，每答错1题则要扣除10个游园币.每个游园币可兑换园区内任意一

个项目的1分钟等待时间.小王已通过第一关，假设他在第二关中每道题答对的概率均为p，为了获得更多

项目等待时间的兑换奖励，小王是否应该继续闯关？请你帮他做出决策.

2．（2025·上海金山·三模）根据相关研究报告显示，预计2025年电商交易额突破18亿元，网购用户规模接

近9亿．下表为某网店统计的近5个月的利润y（单位：万元），其中x为月份代号．

月份2024年12月2025年1月2025年2月2025年3月2025年4月

月份代号x12345

利润y／万

86.35.13.22.4

元

(1)依据表中的统计数据，计算样本相关系数r（r精确到0.01），判断是否可以用线性回归模型拟合y与x的

关系；若可用，求出y关于x的经验回归方程，并估计2025年5月该网店利润；若不可用，请说明理由；

(2)该专营店为了吸引顾客，推出两种抽奖方案．方案一：一次性购物金额超过800元可抽奖三次，每次中奖

1

的概率均为，且每次抽奖互不影响，中奖一次打9折，中奖两次打8折，中奖三次打6折，其余情况不打

4

折．方案二：从装有8个形状大小、完全相同的小球（其中红球3个，白球1个，黑球4个）的抽奖盒中，

一次性摸出2个球，其中奖规则为：若摸出1个红球和1一个白球打六折，摸出2个黑球打八折，其余情况不

打折．某顾客计划在此网店购买1000元的商品，请从实际付款金额的数学期望的角度分析选哪种方案更优

惠．

nn

xxyy

xixyiyii

参考：ˆi1，ˆ，ri1

bnaˆybxnn

2

xx22

ixixyiy

i1i1i1

3．烧烤是某地的特色美食，今年春季一场始于烟火、归于真诚的邂逅，让无数人前往“赶烤”.当地某烧烤店

推出150元的烧烤套餐，调研发现，烧烤店成本y（单位：千元，包含人工成本、原料成本、场地成本、设

备损耗等各类成本）与每天卖出套餐数x（单位：份）的关系如下：

x13467

y56.577.58

y与x可用回归方程yaˆlgxbˆ（其中aˆ,bˆ为常数）进行模拟.

参考数据与公式：设tlgx，则

55

2

tytityiytit

i1i1

6.8

n

tityiy

ˆi1ˆ

线性回归直线yatb中，aˆn,byaˆt.

2

tit

i1

(1)填写表格中的三个数据，并预测该烧烤店一天卖出100份的利润是多少元.（利润=售价-成本，结果精确

到1元）

(2)据统计，由于烧烤的火爆，饮料需求也激增.4月份的连续16天中某品牌饮料每天为该地配送的箱数的频

率分布直方图如图，用这16天的情况来估计相应的概率.供货商拟购置n辆小货车专门运输该品牌饮料，一

辆货车每天只能运营一趟，每辆车每趟最多只能装载40箱该饮料，满载发车，否则不发车.若发车，则每辆

车每趟可获利500元；若未发车，则每辆车每天平均亏损200元.若n3或4，请从每天的利润期望角度给

出你的建议.

研考点·通技法

•解题步骤：计算均值→求回归系数→写回归方程→代入预测→结合期望做决策

•技巧：回归系数必过样�本,�中心点，决策题�,先�比较期望大小，再规范表述结论

破类题·提能力

1．随着科技的进步，近年来，我国新能源汽车产业迅速发展，各大品牌新能源汽车除了靠不断提高汽车的

性能和质量来提升品牌竞争力，在广告投放方面的花费也是逐年攀升.某校数学兴趣小组对某品牌新能源汽

车近5年的广告费投入（单位:亿元）进行了统计，具体数据见下表:

年份代号x12345

广告费投入y4.85.66.27.68.8

并随机调查了400名市民对该品牌新能源汽车的认可情况，得到的部分数据见下表:

认可不认可

50岁以下14060

50岁及以上12080

(1)求广告费投入y与年份代号x之间的线性经验回归方程；

(2)依据小概率值0.05的2独立性检验，能否认为市民的年龄与对该品牌新能源汽车的认可度有关联?

n

xxyy

ˆˆi1ii，ˆ

附:①经验回归方程yˆbxaˆ中，bn2aˆybx；

xx

i1i

2

nadbc

②2，其中nabcd.

abcdacbd

2．某高科技公司开发了一款AI学习机，为了解市场销售情况，该公司统计了过去5个月的月广告投入x（单

位：十万元）与该款学习机的月销量y（单位：千台）的数据，如表所示.

月份代码12345

x1020304050

y5859606465

(1)求x和y的样本相关系数r，并判断y与x是否具有较强的线性相关性；（结果精确到0.01，若r0.75，

则认为y与x具有较强的线性相关性）

(2)求y关于x的经验回归方程，并估计月广告投入600万元时该款学习机的月销量；

(3)该款学习机目前售价为3000元/台，为提升销量，经销该款学习机的某专卖店针对该款学习机推出了两

1

种促销方案.方案一：买一台立减400元；方案二：一次性购买两台可抽奖三次，每次中奖的概率均为，

3

且每次抽奖相互独立，中奖一次立减600元/台，中奖两次立减800元/台，中奖三次立减1000元/台，若三

次均未中奖，仍可享基础优惠300元/台.某家长准备在该店购买两台该款学习机，请从付款总金额数学期望

的角度分析选哪种方案更优惠.

n

xixyiy

ˆˆi1

参考公式：对于经验回归方程yˆbxaˆ，bn，aˆybx；样本相关系数

2

xix

i1

n

xixyiy

ri1

nn.

22

xixyiy

i1i1

55

2

参考数据：xixyiy190，yiy38.8，979.85.

i1i1

3．根据统计数据和研究报告，2025年中国新能源汽车产销呈现强劲增长态势，渗透率（渗透率=新能源汽

车销量÷当月汽车总销量100%）持续攀升，行业格局加速分化.2025年3月新能源汽车渗透率首次超过50%，

2025年1月至6月，全国新能源汽车的渗透率统计如下：

2025年1月至6月新能源汽车渗透率统计表

月份x123456

渗透率

41.449.451.151.553.053.3

y%

(1)2025年6月全国汽车销量为208.4万辆，计算该月新能源汽车的销量（精确到0.1）．

(2)根据以上数据，建立y关于月份x的经验回归方程ybxa，并预测2025年7月新能源汽车的渗透率．

(3)实际7月新能源汽车的渗透率为54.6%，请：

①结合预测值分析误差原因；

②提出改进模型的建议．

（建议用时：45分钟）

刷模拟

1．某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式.为比较两种

生产方式的效率，选取40名工人，将他们随机分成两组，每组20人，第一组工人用第一种生产方式，第

二组工人用第二种生产方式.完成生产任务的工作时间不超过70分钟的工人为“优秀”，否则为“合格”.根据工

人完成生产任务的工作时间（单位：分钟）绘制了如下茎叶图：

(1)求40名工人完成生产任务所需时间的第75百分数；

(2)独立地从两种生产方式中各选出一个人，求选出的两个人均为优秀的概率；

(3)根据工人完成生产任务的工作时间，两种生产方式优秀与合格的人数填入下面的2×2列联表：

第一种生产方第二种生产方总

式式计

优

秀

合

格

总

计

根据上面的2×2列联表，判断能否有95%的把握认为两种生产方式的工作效率有显著差异？

n(adbc)2

（2.其中nabcd，P23.8410.05）.

(ab)(cd)(ac)(bd)

2．（2025·上海嘉定·一模）A校抽取66名高一年级学生测量身高，因某种原因原始数据遗失.已知该样本是

按照分层随机抽样的方法抽取的，其中男生34名，身高平均数为173cm；女生32名，身高平均数为161cm.

该66名学生身高的方差为60，其频率分布直方图如下：

(1)求该66名学生中身高在169.5,172.5（单位：cm）内的人数；

(2)试用已知数据估计A校高一年级全体学生身高的平均数；（结果精确到0.1cm）

(3)若一组数据落在x2s,x2s（x是平均数，s是标准差）内的频率不小于92%，则称这组数据满足“常

态”.试判断这66个身高数据是否满足“常态”，并说明理由.

3．（2025·上海杨浦·一模）为了了解某校高三年级学生的体育成绩，随机选取100名学生参加考核，将考核

的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六组：40,50，50,60，60,70，70,80，80,90，

90,100，得到如图所示的频率分布直方图.

(1)求频率分布直方图中a的值；

(2)在考核成绩为70,80，80,90，90,100的三组学生中，用分层抽样的方法抽取13人，则考核成绩在

70,80中的学生应抽取多少人?

(3)若落在50,60学生的平均成绩是54.4，方差是5.2，落在60,70学生的平均成绩为66.4，方差是9.2，求

这两组学生成绩的平均数和方差.（结果精确到0.1）

4．（2025·上海青浦·三模）口袋里装有大小与质地相同的4个红球和8个白球，甲、乙两人从袋中摸球，

每次摸1个球.

(1)若甲、乙两人无放回地摸球，由甲先摸1个球，乙再摸1个球，求甲摸到白球的条件下，乙摸到红球的

概率；

(2)制定规则如下：若一方摸出1个红球，则此人继续下一次摸球，若一方摸出1个白球，则由对方接替下

一次摸球，由甲进行第一次摸球.

①若甲、乙两人无放回地摸球，求第三次仍由甲摸球的概率；

②若甲、乙两人每次摸球后都放回地摸球，求在前两次摸球中，甲摸得的红球次数X的分布及期望.

5．（2025·上海·三模）某电台举办有奖知识竞答比赛，选手答题规则相同．甲每道题自己有把握独立答对

的概率为1，若甲自己没有把握答对，则在规定时间内连线亲友团寻求帮助，其亲友团每道题能答对的概

2

率为p，假设每道题答对与否互不影响．

1

(1)当p时，

5

（i）若甲答对了某道题，求该题是甲自己答对的概率；

（ii）甲答了4道题，计甲答对题目的个数为随机变量X，求随机变量X的分布列和数学期望E(X)；

2

(2)乙答对每道题的概率为（含亲友团），现甲乙两人各答两个问题，若甲答对题目的个数比乙答对题目

3

5

的个数多的概率不低于，求甲的亲友团每道题答对的概率p的最小值．

12

6．为吸引客流，某商场举办了“摸球赢好礼”活动，一共设置两关游戏.第一关游戏开始时，主持人在空箱子

中放入大小、形状完全相同的1黑、3红共4个球，顾客从箱子中随机且不放回地依次摸出两个球，只要能

摸出黑球，便可晋级第二关游戏“赢积分、换好礼”.

(1)小江正在参与第一关游戏.记事件A为“小江摸出的第一个球是红球”，事件B为“小江晋级了第二关游戏”，

分别求PA

、

PB∣A；

(2)小江成功晋级第二关游戏.已知第二关游戏规则如下:游戏开始前，顾客要先决定好摸球的局数nn1，

而后主持人在空箱子中放入大小、形状完全相同的1黑、3红及n白共n4个球，并充分搅匀.游戏过程中，

顾客每局均从箱子里随机摸出一个球，确认颜色并按规则积分，然后把球放回箱子，充分搅匀后再进行下

一局摸球，以此类推，直到摸完n局球，第二关结束.记分规则如下:

颜色黑色红色白色

得分+1051

在第二关中，顾客的初始积分为0分，将每一局所得积分累加得到最终积分.最终积分越高，所换取的礼品

价值越大.

①若小江决定摸球的局数n8，求她在第二局中所得积分X的分布与期望；

②为使最终的期望收益最大化，小江应该如何设定摸球的次数n?

7．（2025·上海·三模）在2025年春节档电影中，由饺子导演的《哪吒之魔童闹海》电影在国内外受到一致

好评，票房也一路飙升到国内第一，也是国内首部百亿票房，其中有不少观众对角色喜欢都有自己的见解.

刘同学为了了解学生喜欢哪吒角色是否与性别有关，他对50位同学进行了问卷调查，得到如下2x2列联表：

喜欢哪吒角色不喜欢哪吒角色总计

女生10

男生5

总计50

已知从50位同学中随机抽取1人，抽到喜欢哪吒角色的学生的概率为0.6.

(1)请将上面的22列联表补充完整，并且判断是否有95%的把握认为喜欢哪吒角色与性别有关；

(2)从喜欢哪吒角色的同学中，按分层抽样的分式，随机抽取6人做进一步的问卷调查，再从这6人中随机

选出3人采访发言.设这3人中男生人数为X，求X的分布及期望值.

2

2n(adbc)

附：,nabcd.

abcdacbd

2

Pk00.0500.0100.001

k03.8416.63510.828

8.某企业新研发了一种产品，产品的成本由原料成本及非原料成本组成．每件产品的非原料成本y（元）与

生产该产品的数量x（千件）有关，经统计得到如下数据：

x12345678

y1126144.53530.5282524

根据以上数据绘制了散点图，如图所示．

b

由图可知，两个变量不具有线性相关关系，现考虑用反比例函数模型ya和指数函数模型ycedx．分

x

别对两个变量的关系进行拟合．已求得用指数函数模型拟合的回归方程为yˆ96.54e0.2x，lny与x的相关系

数r10.94．

(1)用反比例函数模型求y关于x的回归方程；

(2)用相关系数判断上述两个模型哪一个拟合效果更好（精确到0.01），并用其估计产量为10千件时每件产

品的非原料成本．

1

参考数据：（其中ui）

xi

8888

2222

uiyiuuuiyiyi0.616185.5e

i1i1i1i1

183.40.340.1151.5336022385.561.40.135

9.某个景点自从取消门票实行免费开放后，迅速成为网红打卡点，不仅带动了淡季的旅游，而且优化了旅游

产业的结构．下表是该景点免费开放后前五个月的打卡人y数（万人）与第x个月的数据：

x12345

y23.137.062.1111.6150.8

(1)根据表中数据可用一元线性回归模型刻画变量y与变量x之间的线性相关关系，且回归方程ybxa中

的b32.88，请计算相关系数r（精确到0.01），并判断是否可以认为y与x的线性相关性很强；

(2)为更好地改进服务，景点对每位游客进行了满意度调查，已知评分X近似服从正态分布N86,9，评分

低于m的游客约占15.865%，求m的值；

(3)为进一步了解游客性别与满意度的关系，随机抽查200名游客，得到如下列联表，请填写下面的2×2列

联表，根据小概率值0.001的独立性检验，能否推断游客是否满意与性别有关？

不喜

喜欢总计

欢

男100

女60

总计110

参考公式：

相关系数：若|r|0.75，则认为y与x有较强的线性相关性．

n

xixyiy

ri1

2

nn2

xixyiy

i1i1

nn

xixyiyxiyinxy

i1i1

回归方程中斜率的最小二乘法估计公式为：b2n

ybxan2

x2nx

xixi

i1i1

n(adbc)2

2，其中nabcd.

(ab)(cd)(ac)(bd)

临界值表：

0.0100.0050.001

x6.6357.87910.828

555

222

参考数据：yi384,y77,xi55,yi40954,336.3113090，

i1i1i1

若XN,，则PX0.6827，

P2X20.9545

10.红铃虫（Pectinophoragossypiella）是棉花的主要害虫之一，其产卵数与温度有关．现收集到一只红铃虫

的产卵数y（个）和温度x（℃）的8组观测数据，制成图1所示的散点图.现用两种模型①yebxa，

②ycx2d分别进行拟合，由此得到相应的回归方程并进行残差分析，进一步得到图2所示的残差图．

根据收集到的数据，计算得到如下值：

8888

22

xztxixtitzizxixyiytit

i1i1i1i1

252.964616842268850.470308

1818

2

表中zilnyi；zzi；tixi；tti

8i18i1

(1)根据残差图，比较模型①、②的拟合效果，哪种模型比较合适？

(2)根据（1）中所选择的模型，求出y关于x的回归方程．

，，

附：对于一组数据1,v12,v2n,vn，其回归直线vˆˆˆ的斜率和截距的最小二乘估计分别为，

n

(i)(viv)

ˆi1ˆ

n，ˆv

2

(i)

i1

11.某校高中学生课后每天整理数学错题x（单位：道）和他们的数学成绩y（单位：分）之间存在近似的

线性关系，数据如下表：

整理错题x/道510152025

数学成绩y/分758090100105

(1)试用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程，并预测每天整理数学错题30道时的数学成绩；

(2)基于上述数据整理，该校提倡学生课后进行数学错题整理，经过一段时间后，在本校学生中采用随机抽

样的方法抽取了200名学生，调查他们的数学成绩和整理数学错题的情况，统计数据如下：

数学成绩总评优秀数学成绩总评非优

合计

人数秀人数

每天都整理数学错

6040100

题人数

不是每天都整理数

4060100

学错题人数

合计100100200

试问：数学成绩总评优秀与每天都整理数学错题有关吗？

n

xiyinxy

ˆi1ˆ

附：bn，aˆybx；

22

xinx

i1

2

nadbc

2，nabcd.

abcdacbd

2

Px00.100.050.0100.0050.001

x02.7063.8416.6357.87910.828

12.红蜘蛛是柚子的主要害虫之一，能对柚子树造成严重伤害，每只红蜘蛛的平均产卵数y（个）和平均温

度x（℃）有关，现收集了以往某地的7组数据，得到下面的散点图及一些统计量的值.

(1)根据散点图判断，ybxa与ycedx（其中e2.718…为自然对数的底数）哪一个更适合作为平均产卵

数y（个）关于平均温度x（℃）的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）

(2)由（1）的判断结果及表中数据，求出y关于x的回归方程.（计算结果精确到0.1）

nn

xixyiyxiyinxy

附：回归方程中，bi1i1，ˆˆ

ybxan2naybx

22

xixxinx

i1i1

参考数据（zlny）

777

2

xixiyixizixyz

i1i1i1

5215177137142781.33.6

(3)根据以往每年平均气温以及对果园年产值的统计，得到以下数据：平均气温在22℃以下的年数占60%，

对柚子产量影响不大，不需要采取防虫措施；平均气温在22℃至28℃的年数占30%，柚子产量会下降20%；

平均气温在28℃以上的年数占10%，柚子产量会下降50%.为了更好的防治红蜘蛛虫害，农科所研发出各种

防害措施供果农选择.

在每年价格不变，无虫害的情况下，某果园年产值为200万元，根据以上数据，以得到最高收益（收益＝

产值－防害费用）为目标，请为果农从以下几个方案中推荐最佳防害方案，并说明理由.

方案1：选择防害措施A，可以防止各种气温的红蜘蛛虫害不减产，费用是18万；

方案2：选择防害措施B，可以防治22℃至28℃的蜘蛛虫害，但