2026年陕西安康市高三三模高考数学模拟试卷（含答案详解）

试卷第=page11页，共=sectionpages33页试卷第=page11页，共=sectionpages33页陕西安康市2025-2026学年高三下学期阶段性检测数学试题本试卷共4页，19题．全卷满分150分．考试用时120分钟．注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．3．非选择题的作答：用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内．写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若，则的真子集个数为（

）A．3 B．4 C．7 D．82．若复数，则（

）A． B． C． D．3．若，则是的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件4．已知函数为奇函数，且在上单调递增，在上单调递减，若的图象是一条连续的曲线，则（

）A．在上单调递增 B．在上单调递增C．在上单调递减 D．在上单调递减5．若为函数的一个零点，且的最小正周期，则的值为（

）A． B． C． D．6．已知正项数列的前项和为，且，若，则下列结论不正确的是（

）A．数列为等差数列 B．数列为等比数列C．数列的前项和为 D．7．若函数有且只有一个零点，则的取值范围为（

）A． B． C． D．8．在长方体中，为长方体表面上一动点，且，则点的轨迹的总长度为（

）A． B． C． D．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．已知向量，则（

）A． B．C．可以用线性表示 D．在上的投影向量为10．一个不透明的口袋中装有个完全相同的乒乓球，其中个标有数字，个标有数字，记事件表示“第一次取到标有的球”，事件表示“第二次取到标有的球”，则下列说法正确的是（

）A．若从口袋中摸出一个球，放回后再摸出一个球，则这个球上的数字相同的概率为B．若从口袋中一次性摸出两个球，则球上的数字之和为的概率为C．若从口袋中不放回地取球两次，每次取个，则，互斥D．若从口袋中不放回地取球两次，每次取个，则，相互独立11．已知双曲线的左、右焦点分别为为右支上一点（异于右顶点），为圆上一点，则（

）A．的渐近线方程为B．的内切圆与轴切于定点C．的最大值为D．的最小值为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．若，则___________．（用m，n表示）13．已知椭圆的左、右焦点分别为为上一点，且，则的离心率的取值范围为______．14．若，则的取值范围为___________．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．15．某高中为研究学生课外阅读时间与视力健康的关联性，从全校的3000名学生中随机抽取了100名学生进行调查，得到部分数据如表．课外阅读时间视力健康情况合计视力正常视力不良小时／天3560小时／天10合计100(1)试估计全校学生中视力不良的学生人数；(2)补全列联表，并判断依据小概率值的独立性检验，能否认为学生的视力健康与课外阅读时间有关？附：．0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.82816．记的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知．(1)求角的大小；(2)若，求的值．17．已知函数，且．(1)求的值；(2)若．（i）求在上的最大值和最小值；（ii）若，求实数的取值范围．18．如图，圆台的上、下底面半径分别为2，3，侧面积为．(1)求圆台的高；(2)半轴截面与侧面交于PQ，且为下底面圆周上一点，．（i）求证：；（ii）求平面与平面CDR夹角的余弦值．19．已知抛物线经过点，其焦点为，过点的直线交于M，N两点．(1)求的方程；(2)若的斜率为1，分别求在点M，N处的切线方程；(3)直线上是否存在定点，使得DB平分？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．答案第=page11页，共=sectionpages22页答案第=page11页，共=sectionpages22页1．A【详解】因为，所以，所以的真子集个数为．2．C【详解】由复数，得，所以.3．A【分析】利用对数函数单调性及一元二次不等式解法化简命题，再利用充分条件、必要条件的定义判断即得.【详解】由，得，解得，则，由，得或，则或，所以是的充分不必要条件.4．B【分析】先根据奇函数的对称性求得函数的单调区间，再结合函数图象平移求解即可.【详解】因为为奇函数，且在上单调递增，在上单调递减，的图象是一条连续的曲线，所以在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，因为的图象是由的图象向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度得到的，所以在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减．5．C【分析】根据零点，代入函数求的集合，再根据周期求的值.【详解】由题得，所以，则，因为，所以，所以，即所以，所以，则．6．D【分析】由等差数列的定义可判断A，由对数的运算性质得到，可判断B，由等差数列、等比数列的求和公式即可判断CD.【详解】因为，即，所以数列为等差数列，又，所以数列也为等差数列，故A正确；因为，即，所以，因为，所以，所以数列为等比数列，故B正确；因为0，所以，故数列的公差为1，所以数列的前项和为，故C正确；因为，所以数列的公比为3，则，所以，故D错误．7．D【分析】根据因式分解，结合有且只有一个零点，即无解或有等根，分类计算后即可参数的取值范围．【详解】，因为有且只有一个零点，即无解，或有两个等根为所以，或，解得．8．B【分析】通过讨论点所在位置确定轨迹长度进而求解.【详解】若点在平面内，则，如图，点的轨迹为，其长度为若点在平面内，则，如图，点的轨迹为，其长度为，由对称性可知，点在平面内的轨迹长度也为；点不可能在平面内，在平面，内时分别位于点处，所以点的轨迹的总长度为．9．BCD【详解】因为，所以不垂直，故A错误；因为，所以，故B正确；因为，所以不共线，所以可以用线性表示，故C正确；在上的投影向量为，故D正确．10．AB【详解】对于A，若从口袋中摸出一个球，放回后再摸出一个球，则这个球上的数字相同的概率为，故A正确；对于B，若从口袋中一次性摸出两个球，则球上的数字之和为的概率为，故B正确；对于C，由题得，所以，不互斥，故C错误；对于D，，则，所以，不相互独立，故D错误.11．ABD【分析】根据渐近线斜率判断A，联立方程，利用内切圆性质判断B，根据圆的切线的性质判断C，利用动点到圆心的距离的最值判断D.【详解】因为双曲线的渐近线为，由题，所以的渐近线方程为，故A正确；设分别与的内切圆切于点，则，又，所以，所以的内切圆与轴切于定点，故B正确；易知，，则，当与相切时，取得最大值，最大值为，故C错误；设，则，当时，取得最小值，则的最小值为，故D正确．12．【分析】由条件结合指数幂的运算性质可得，结合关系可得结论.【详解】因为，所以，所以．13．【分析】由，得，结合基本不等式和椭圆的性质有，可求离心率的取值范围.【详解】由，得，由椭圆的定义得，又，所以，设，则有，，点在椭圆上，有，所以，则时，有最大值，时，有最小值，所以有，由，有，所以，由，有，可得，解得（舍去）或，因为，综上可知的离心率的取值范围为．14．【分析】令，将问题转化为，进而构造函数，再结合导数研究函数，的性质得，进而求得答案.【详解】由题可得，，由不等式可知，令，则，当时，单调递增；当时，单调递减，所以，又时，，时，，所以．因为，所以，所以原不等式等价于，令，则，当时，单调递减；当时，单调递增，又，所以要使对成立，所以，解得，又，所以，即的取值范围为．15．(1)1050(2)课外阅读时间视力健康情况合计视力正常视力不良小时／天352560小时／天301040合计6535100认为学生的视力健康与课外阅读时间无关．【详解】（1）由题可得课外阅读时间小时／天的学生中视力不良的有人，

所以估计全校学生中视力不良的学生人数为3000.（2）补全列联表：课外阅读时间视力健康情况合计视力正常视力不良小时／天352560小时／天301040合计6535100零假设为：学生的视力健康与课外阅读时间无关，

.930＜，

所以依据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立，因此可以认为成立，即认为学生的视力健康与课外阅读时间无关．16．(1)(2)．【分析】（1）利用正弦定理边角互化以及余弦定理可求；（2）利用正弦定理边角互化以及两角和差的正弦公式化简.【详解】（1）由以及正弦定理得，，

由余弦定理得，又，所以．（2）由以及正弦定理得，

所以，

整理得，

所以．17．(1)(2)（i）最大值为，最小值为；（ii）．【分析】（1）求导，由，即可求解；（2）（i）由（1）得到，再求导，确定函数单调区间，即可求解；（ii）将问题转换成所以，进而可求解.【详解】（1）因为，所以，

则，所以．（2）（i）由（1）得，则，

因为，令，得；令，得，所以在上单调递增，在上单调递减，

，又，所以在[0,3]上的最大值为，最小值为．

（ii）因为，，所以，

由（i）可知在上的最大值为，由，

所以，所以实数的取值范围为．18．(1)3(2)（i）证明见解析；（ii）.【分析】（1）由上、下底面的半径，利用侧面积公式求圆台的高；

（2）（i）结合圆台的结构特征，通过证明平面，得证；（ii）建立空间直角坐标系，向量法求两个平面夹角的余弦值．【详解】（1）设圆台的高为，则圆台侧面积，解得．（2）（i）由题可知，因为，所以，因为，所以，所以，所以，

因为平面，平面BCR，所以，

因为，平面，所以平面，又平面，所以．

（ii）以为原点，所在直线分别为y，z轴，以过点且垂直于的直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系，

则，，所以.

由（i）可知为平面的一个法向量，

设平面CDR的一个法向量为，则，取，得，所以．

设平面与平面CDR的夹角为，则，

所以平面与平面CDR夹角的余弦值为.19．(1)(2)，(3)存在定点【分析】（1）将的坐标代入方程，求即可；（2）由条件结合点斜式确定的方程，联立方程组求出的坐标，结合导数的几何意义求切线方程；（3）设的方程为，，，联立方程组求，取特殊情况可得对应的点的坐标，再验证该点对任意均满足关系DB平分即可.【详解】（1）因为抛物线经过点，所以，所以的方程为．

（2）由题得的方程为，即，联立，取，由，得，所以点处的切线的斜率为2，则在点处的切线方程为，即，所以点处的切线的斜率