2025-2026学年下学期河南省开封高三数学二模（含答案）

2026届高三年级第二次质量检测数学注意事项:1．本试卷共4页，满分150分，考试时间120分钟。答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置。2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在本试卷上无效。3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.复数z=2−iA.1B.3C.5D.32.已知角θ的顶点为坐标原点,始边与x轴的非负半轴重合,终边经过点P22,1A.12B.22C.33.某人工智能公司为训练垃圾分类识别模型,需对采集的4000张图片进行人工标注,图片分为可回收物、厨余垃圾、有害垃圾、其他垃圾四类,已知四类图片的数量之比为5:7:2:6,现采用分层抽样的方法抽取容量为nA.80B.100C.120D.1604.定义集合A−B={x∣x∈A且x∉BA.a=2B.b≠15.设向量a=xA.“x=−3”是“a⊥b”的充分条件B.“x=−3C.“x=0”是“a⊥b”的必要条件D.“x=06.某同学每周进行两次游泳训练，每次游5趟或6趟.第一次游5趟或6趟的概率均为0.5.若第一次游5趟，则第二次游5趟的概率为0.4，游6趟的概率为0.6；若第一次游6趟，则第二次游5趟的概率为0.6,游6趟的概率为0.4.若一周至少游11趟为训练量达标,则该同学一周训练量达标的概率为A.0.5B.0.6C.0.7D.0.87.已知有4个1和3个-1,共7个数,排成一个数列a1,a2,⋯,a7,若对任意n=1,2,⋯,7A.14B.20C.32D.408.设函数fx=sinωx+cosωxω>0,若fx+π=fx恒成立,且A.8B.6C.5D.4二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分。在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分。9.下列函数是偶函数的是A.fx=C.fx=10.已知双曲线C:x2a2−y2b2=1a>0,b>0的渐近线与圆A:x2+y−2A.C的离心率为2B.C的渐近线方程为yC.tan∠BF1F2=3311.已知a+1A.a+b>2B.a三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分。12.已知平面α和直线m,n①m⊥n；②m⊥α以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题:如果_____，则_____，则_____.(只填写序号)13.抛物线C:y2=2pxp>0的焦点为F,A为C的准线与x轴的交点，B为14.已知集合A=x∣x=2n−1,n∈N∗,B=x∣x=2n,n∈N∗.将A∪B四、解答题:本题共5小题,共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15.(13分)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a(1)求c的值；(2)若△ABC的面积为102,D为BC的中点，求16.(15分)某中学开展劳动教育实践活动,学生进行某种蔬菜种植实验,实验分为育苗、定植、收获三个阶段.已知每株蔬菜育苗成功的概率为p0<p<1,各株蔬菜育苗是否成功相互独立;只有育苗成功的蔬菜才能进入定植阶段，定植后进入收获阶段的蔬菜，单株产量X(单位:kg)服从正态分布N4(1)若对10株蔬菜进行育苗实验，记育苗成功的株数为Y，求至少有9株蔬菜育苗成功的概率与EY(结果用p(2)从进入收获阶段的蔬菜中随机抽取1株，估计其单株利润为正的概率.附:若随机变量X∼NPPP17.(15分)如图，在三棱锥P−ABC中，点E，F分别在棱PB，PC上，PA⊥平面AEF，BC⊥(1)证明:AE⊥EF(2)记直线PA与平面ABC所成的角为α，平面AEF与平面ABC的夹角为β，证明:α+β(3)若AP=AE=EF=1，E为线段PB的中点，设平面AEF与平面ABC的交线为l，Q为l上的点,求点B18.(17分)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0(1)求C的标准方程；(2)设直线l与C交于A,B两点，且OA⊥OB(O为坐标原点)，探究:是否存在定圆与直线l(3)在(2)的条件下，求△AOB面积的最大值，并求此时直线l19.(17分)已知函数fx=exax和g(1)求a；(2)证明:存在直线y=b，其与两条曲线y=fx(3)在(1)(2)的基础上，某学习小组通过指数与对数之间的关系，探究得出:存在直线y=c,其与两条曲线px=ex−ax和qx=ax−2026届高三年级第二次质量检测数学参考答案注意事项:答案仅供参考，其他合理答案也可酌情给分。一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。题号12345678答案CCBBADAB二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分。在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分。题号91011答案ADABDBCD三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分。12.②③①13.3−四、解答题:本题共5小题,共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15.(13分)(1)因为cosA=−13,A∈0,π，所以sinA=(2)由S△ABC=12bcsinA=12b×6×223=1016.(15分)(1)由题意，10株蔬菜育苗相互独立，每株育苗成功的概率均为p，因此育苗成功的株数Y服从二项分布，即Y∼B10,pPX≥(2)单株利润为正，即收入-成本>0，即6X−18>0，解得X已知X∼N4,1，即μ=4，σ=1所以PX>所以估计单株利润为正的概率为0.84135.17.(15分)(1)因为AP⊥平面AEF，EF⊂平面AEF，所以EF⊥AP又因为BC⊥平面PAB,AP⊂平面PAB,AE⊂平面PAB,所以BC⊥AP,BC⊥AE若EF,BC相交，则AP⊥平面PBC，与AP⊥平面AEF矛盾，3分所以EF//BC，所以EF(2)如图，过E作EE′⊥平面分别以EF,EA,EE′为x设n=x1,y1,z1因为AP⊥平面ABF,所以AP是平面AEF的一个法向量,所以cosβ所以sinα=cosβ=sinπ2−β,又α,β(3)因为EF//BC，BC⊂平面ABC，所以EF//平面又平面AEF与平面ABC的交线为l,EF⊂平面AEF,所以Q为l上的点,则P0PC=2设m=x2,y2有m⋅PC=0,m⋅PQ=所以平面PCQ的一个法向量m=1所以点B到平面PCQ的距离d=BP⋅mm=22t2−t+118.(17分)(1)F为椭圆C的右焦点，PF与x轴垂直，所以a2−b2=1所以椭圆C的标准方程为x22(2)①直线l斜率存在时,设直线l的方程为y=kx+m,Ax1,y1,Bx2,y2则Δ=16k2m2−由OA⊥OB,得OA⋅OB=x原点O到直线l的距离d=mk2②直线l斜率不存在时,设直线l的方程为x=t,带入椭圆方程为由OA⊥OB,得t2−1此时原点O到直线l的距离d=63综上,原点O到直线l的距离恒为63,所以存在定圆x2+y2=23(3)△AOB的面积S=12AB⋅d，其中d=63为定值，所以求直线l斜率存在时,AB=令n=1+2k2≥1，则k2=n−12，则AB=233又因为直线l斜率不存在时,AB=2所以△AOB面积的最大值为22，此时直线l的方程为y=22x19.(17分)(1)由fx=exaxx≠0，得f′x=ex−∞,(0,1)11f--0+f单调递减单调递减ea单调递增由gx=axlnxx>0且x≠1,得g′xx(0,1)(l,e)e(e,+oo)g--0+g单调递减单调递减ae单调递增(2)证明:由(1)知fx=exx，gx由(1)可知,当x∈−∞,0时,fx<0且单调递减,当x此时直线y=b与两条曲线y=fx和y=又因为当x→0时,fx→+∞,xx→1时,gx→+∞,x所以当b>e时,y=b分别与y=fx和若fx=gx,则x>1,解设函数Gx=exlnx由于lnx+1x′=x−1x2>0,所以函数y=lnx+1x在1,+∞