镇海中学2025-2026学年学年第一学期期末考试高二数学试卷

镇海中学第一学期期末考试高二数学试卷镇海中学学年第一学期期末考试一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知，求（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据导数的定义即可求解.【详解】因为函数，所以，根据导数的定义可得：.故选：B.2.已知，则（）A.35B.70C.210D.420【答案】B【解析】【分析】写出二项式展开式的通项公式，求出，即可求解.【详解】的展开式的通项为，故，，故.故选：B.3.的图象如图所示，则的解析式可能是（第1页/共20页

A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根据函数性质利用排除法得到选项【详解】因为函数定义域为，时，B错误；，定义域为，当时，，C错误；，定义域，当时，，D错误；验证A选项：，定义域，当时，函数递增速度远小于函数，，当时，，符合图像特征，A正确；故选：A4.小卖部推出一套2035稀有卡的概率为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】运用“正难则反”的策略求出抽到的卡中没有稀有卡的概率，再根据对立事件的概率公式求得抽到的卡中至少有一张稀有卡的概率.【详解】抽到的卡中没有稀有卡的概率，根据对立事件的概率公式，可知抽到的卡中至少有一张稀有卡的概率为.第2页/共20页

故选：A.5.甲、乙、丙、丁、戊、己名同学相约体育馆一起坐一排看村BA篮球比赛，若甲和乙相邻，丙不坐在两端，不同的排列方式共有（）种A.144B.192C.216D.288【答案】A【解析】“特殊元素优先考虑”.【详解】把甲乙捆绑在一起处理共有种方法，此时相当于有个元素，丙不坐在两端则丙有种选法，然后对剩下的三名同学和甲乙一起进行全排列即可，共有种方法.不同的排列方式共有种.故选：A6.已知函数，则的极值为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】利用导数求极值.【详解】函数，则第3页/共20页

，所以当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，所以当时，函数取得极大值.故选：7.6100m短跑、400m短跑和1000m长跑这3项，每人仅报一个项目，每个项目至少有一人报名，则不同的报名方法有（）A.450B.540C.630D.900【答案】B【解析】【分析】先将6人分成3组，即分为；或，再把三组分配到3个不同项目.【详解】先将6人分成3组，即分为；或，共有种分组方法，再把三组分配到3个不同项目，则有种不同的报名方法.故选：B8.已知函数的两个不相等的根为，则的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】A第4页/共20页

【解析】【分析】利用函数的对称性可知，方程的两个不等根满足，从而得到，结合条件可解得的取值范围为，由于在区间上单调递减，将的端点值代入函数即可得到的取值范围.【详解】函数的定义域为，且满足故是方程的根，则也是根，故，设由，得已知设，在上单调递减，解方程得，解得，因此又，，时，，故在区间上，单调递减，，，又在上单调递减，第5页/共20页

故选：A二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，选对但不全对的得部分分，有选错的得0分．9.下列说法正确的是（）A.若，则事件与相互独立B.两个变量X、Y的相关系数为，若越小．则X、Y之间的线性相关程度越弱C.线性回归分析可用决定系数判断模型拟合效果，越趋近于1，则拟合效果越好D.经验回归直线可能不经过样本点，但一定会经过样本点中心【答案】ACD【解析】【分析】对于A，利用条件概率公式可得，再根据事件相互独立的定义即可判断；对于BCD性质可判断.【详解】对于A：由，可得，故事件与事件相互独立，则事件与事件相互独立，故A正确；对于B：两个变量X、Y的相关系数为，若越小．则X、Y之间的线性相关程度越弱，故B错误；对于C：越趋近于1，说明模型对数据的解释能力越强，拟合效果越好，故C正确；对于D：经验回归直线恒过样本中心点，但不一定经过样本点，故D正确.故选：ACD.10.位男教师，出场顺序，记事件表示“第一位出场的是男教师”，事件表示“第二位出场的是男教师”，则（）A.B.C.D.【答案】BCD【解析】第6页/共20页

【分析】利用独立事件的乘法公式和条件概率公式，以及概率的加法公式求解即可.【详解】事件表示第一位出场和第二位出场的都是男教师，，A错误；表示第一位出场是男教师的情况下，剩余男女，第二位出场是男教师的概率为，故，B正确；，有两种情况，第一种：第一位出场的男教师，且第二位出场的是男教师，概率为，第二种：第一位出场的女教师，第二位出场的是男教师，概率为，故，，C选项正确；，D选项正确.故选：BCD已知，其中为的导函数，则下列正确的是（）A.时，则对，均有B.C.当时，则为单调函数的充要条件是D.当且有唯一零点时，有最小值【答案】ABD【解析】【分析】对函数求导，根据函数的单调性、利用导数判断函数的零点等逐项计算判断.【详解】对于A，当时，，所以求导得，令.求导得，因为，所以根据均值不等式可得，所以，所以在上单调递增，所以，即，所以A正确；第7页/共20页

对于B，由A知，令，得.化简左边.对求和得而.所以，即，所以B正确；对于C，因为，所以，所以.求导得，要使得为单调函数，那么恒正或恒负，若，则，要使得恒成立，需，解得；若，则，，，此时导数恒负，所以为单调函数的充要条件是或，C错误；对于D，因为，所以，所以.因为，要使得函数有唯一零点，则是单调函数或者的最小值为0，若是单调函数由C可知，或，因为，所以，所以；又当与,可得时，的最小值为0，第8页/共20页

综上，有最小值，D正确.故选：ABD.三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计分．12.已知随机变量，且，则_________________．【答案】【解析】【分析】由正态分布的对称性即可得解.【详解】由题意有正态分布曲线的对称轴是，所以，解得.故答案为：.13.已知有三个零点，则的范围是________________．【答案】【解析】【分析】根据题意转化为方程有三个实根，设函数，利用导数研究函数性质，结合图象得解.【详解】函数有三个零点，等价于关于x的方程有三个实根．显然，方程有三个实根．设函数，则．当和时，，在和为减函数；当时，，在为增函数；∴在时取极小值3，当时，，第9页/共20页

当时，，当时，，如图，所以的范围是.故答案为：14.一个不透明的袋子有除颜色不同外，大小质地完全相同的球，其中有个红球、个白球和个黑球，逐个不放回地随机取球，直至剩下只有一种颜色的球时游戏结束，记游戏结束时取球次数为，则________________．【答案】【解析】可能为，7值.【详解】，，，故答案为：四、解答题：本大题共5小题，共题分，到题每题分，到第10页/共20页

题每题15.质量是否与机床有关，分别用两台机床各自生产了300件产品，产品的质量统计如下表：特优级品优级品合计一号机床二号机床180120300合计405195600（1）能否有的把握认为两台机床的产品质量有差异？（24表示这4件产品中的特优级品数量，求的期望与方差．附：，0.0500.0100.0013.8416.63510.828【答案】（1）有99.9%的把握认为两台机床的产品质量有差异（2）期望为3，方差为0.75【解析】1）通过卡方独立性检验判断两台产品质量是否有差异（2）根据期望与方差公式求值【小问1详解】零假设为：两台机床的产品质量没差异，根据列联表数据，计算卡方统计量：，其中，第11页/共20页

代入得，，99.9%的把握的临界值为（对应由于，故有99.9%的把握认为两台机床的产品质量有差异【小问2详解】一号机床生产特优级产品的频率为，故期望：方差：16.在二项式的展开式中，所有项的系数之和为．（1）求展开式中的常数项；（2）求展开式中所有项的系数绝对值的和；（3）求展开式中系数最大的项．【答案】（1）（2）（3）【解析】1）利用二项式的展开式的通项公式可得答案；（2）将二项式中负号改为正号后，再令可得答案；（3）利用数列最大项的求法列不等式，解不等式即可.【小问1详解】所有项的系数之和可以通过令来得到：，第12页/共20页

根据题意：，解得：.二项式的展开式通项公式为令指数，解得，常数项系数为所以展开式中的常数项为.【小问2详解】对于二项式，展开式的通项为：系数为，其绝对值为，所有项的系数绝对值的和为：构造二项式，其展开式为：代入，得：，因此，.第13页/共20页

所以展开式中所有项的系数绝对值的和为.【小问3详解】对于二项式，展开式的通项为：系数为，由于负系数小于正系数，系数最大的项必为正系数，因此只需考虑偶数，记（设展开式中系数最大的项的系数为（则，即，化简得：，整理得：，又因为为偶数，所以只有满足上式，所以最大值出现在处。计算：对应项为：17.是影响合金钢屈服强度的关键因素之一．为研究二者之间的关系，某实验室制备了9组不同碳含量的合金钢样本，并测量了对应的屈服强度（MPa第14页/共20页

编号123456789碳含量0.100.150.200.250.300.350.400.450.50屈服强度481512532573604635656687719（1）求合金钢屈服强度关于碳含量的回归方程，并预测碳含量为（即）时的合金钢屈服强度；（2）为了综合评估材料性能，需要同时考虑强度收益、脆性损失和冶炼成本2x，为此工程师定义了一个综合性能指标．为便于运算，屈服强度用1的最小附：参考数据：的斜率和截距的最小二乘估计分别为．【答案】（1），碳含量为时的合金钢屈服强度为(MPa)（2）最大综合性能指标值约为【解析】1）利用最小二乘法计算回归系数和，得到线性回归方程，再代入预测屈服强度.（2）将回归系数代入取整近似公式得到的近似表达式，代入后求导，结合区间的端点与驻点，计算函数最大值.【小问1详解】第15页/共20页

由题意可得，，，由参考公式可得，，，所以回归方程为，当时，.【小问2详解】由（1）可得，，，所以近似公式中的系数为：，，，所以屈服强度近似为：，又综合性能指标为：，所以，，所以，，令，则，化简可得，，即，解得或当时，，当时，，当时，，综上所述，在时，取得最大值，最大值为，所以最大综合性能指标值约为.第16页/共20页

18.羽毛球，则后一天选择羽毛球的概率为，选择乒乓球的概率为；若甲当天选择乒乓球，则后一天选择羽毛球的概率为知甲第一天等可能地选择一个场馆进行相应的体育锻炼．请完成下列计算：（1）求甲第2天选择羽毛球概率；（2）已知甲第2天选择羽毛球的条件下甲第1天选择篮球的概率；（3）求甲第天选择羽毛球的概率．【答案】（1）（2）（3）【解析】1）利用全概率公式计算求解即可；（2）利用贝叶斯公式计算求解即可；（3）设甲第天选择羽毛球的概率为，甲第天选择乒乓球的概率为，对所有均成立，从而选择篮球的概率为，进而由全概率公式可得，，计算可求得.【小问1详解】设第1天选择羽毛球，乒乓球和篮球的事件分别为，第二天选择羽毛球的事件为，由题意，，，根据全概率公式得；【小问2详解】第17页/共20页

根据贝叶斯公式，所求概率为：；【小问3详解】设甲第天选择羽毛球的概率为，甲第天选择乒乓球的概率为，由题意无论前一天选择什么，后一天选乒乓球的概率均为，故对所有均成立，从而选择篮球的概率为，根据全概率公式，的递推关系为，代入，，化简得，，所以，所以是以为首项，公比的等比数列，所以，所以.所以甲第天选择羽毛球的概率为．19.已知对，定义的余切值为，函数在处的切线为直线．（1）求切线的方程；（2）证明：对始终在切线下方；（3）证明：至少存在3个整数，使得恒成立．（参考：）【答案】（1）（2）见解析（3）见解析第18页/共20页

【解析】1..2.间内的单调性，两者结合即可.3.转化为最值问题即可.【