初中数学七年级下册：整式的除法教学设计

初中数学七年级下册：整式的除法教学设计

教学理念与依据

本设计以《义务教育数学课程标准（2022年版）》为核心指导，秉承“以生为本，素养导向”的核心理念。教学设计聚焦于发展学生的运算能力、推理能力和抽象能力，这些是数学核心素养在代数领域的集中体现。整式的除法作为代数式恒等变形与运算的关键环节，不仅是幂的运算、整式乘法等知识的自然延伸与逆运算，更是未来学习分式、函数、方程等内容的逻辑基石。本设计打破传统技能训练的单一模式，着力于引导学生经历“从具体到抽象、从特殊到一般、从算法到算理”的完整数学化过程。通过创设具有现实意义和数学价值的问题情境，设计层次分明的探究活动，鼓励学生在合作交流中自主建构法则，理解法则的合理性与普适性，并在此过程中，深刻体会转化与化归、从特殊到一般、数式通性等核心数学思想方法，实现数学知识、关键能力与思维品质的协同发展。

教材分析与学情研判

（一）教材深度解析

本课内容选自青岛版初中数学七年级下册。在教材体系中，它紧随“整式的乘法”之后，是学生对“式”的运算认知从“生成”（乘法）到“分解”（除法）的一次重要飞跃。教材通常遵循“单项式÷单项式”→“多项式÷单项式”的逻辑顺序编排，这一顺序符合学生的认知阶梯。青岛版教材注重与已有知识的联系，常通过“逆运算”的角度引入新知，强调算理的追溯与理解。教材中的例题与练习设计，不仅关注法则的直接应用，也逐步渗透整体思想、符号意识。深入挖掘教材，可以发现其内在的数学逻辑：整式的除法本质上是系数、同底数幂的除法运算在代数式层面的综合，其运算法则的合理性建立在整数指数幂的运算性质和乘法分配律的基础之上。因此，教学必须紧扣这一本质，将新知牢固地锚定在学生的已有认知结构中。

（二）学情精准研判

七年级下学期的学生，其认知发展正处于由具体运算向形式运算过渡的关键期。他们的优势在于：已经熟练掌握了有理数的四则运算、整数指数幂的运算性质，并完成了整式（单项式、多项式）概念及整式乘法的系统学习，初步具备了用字母表示数并进行符号运算的能力，积累了如“类比”、“转化”等数学活动经验。然而，面临的挑战亦十分明显：首先，学生虽熟悉“除法是乘法的逆运算”，但将这一关系主动、有效地迁移到抽象的符号运算中，存在思维转换的障碍；其次，多项式除以单项式时，需对多项式的每一项分别进行运算，学生容易受“分配律”的思维定势影响，在符号处理、系数与幂的分别运算上出现错误；最后，对于运算结果的规范表达（如商的项数、各项的系数与次数）以及算理的清晰表述，学生往往不够重视或力有未逮。因此，教学需铺设恰当的认知台阶，设计暴露思维过程的活动，强化法则生成过程中的说理与验证环节。

教学目标与重难点

（一）教学目标

1.理解整式除法的运算规则，能够准确、熟练地进行单项式除以单项式、多项式除以单项式的运算。

2.经历整式除法法则的探索与归纳过程，发展观察、类比、归纳、概括等合情推理能力，以及用数学语言清晰表达算理的能力。

3.深刻体会“转化”的数学思想（将复杂转化为简单，将未知转化为已知），理解整式除法与整数指数幂性质、乘法分配律及整式乘法的内在联系，构建完整的整式运算知识网络。

4.通过解决与整式除法相关的实际问题与数学问题，感受数学的严谨性与应用价值，增强学习数学的信心和兴趣。

（二）教学重难点

教学重点：整式除法（单项式除以单项式、多项式除以单项式）的运算法则及其应用。

教学难点：多项式除以单项式的算理理解与推导过程；运算过程中的符号确定与系数、同底数幂的分别运算。

教学准备

教师：交互式智能白板课件（内含探究动画、分层练习题组）、实物投影仪、设计并打印的探究学习任务单、思维导图模板卡片。

学生：复习整式乘法及整数指数幂的运算性质，准备课堂练习本、彩色笔（用于标注与纠错）。

教学过程与方法

第一课时：探索单项式的除法法则

一、情境导入，提出问题（预计时间：8分钟）

1.现实情境锚定：

呈现问题：“‘天问一号’火星探测器在发射过程中，其动能与速度的平方成正比。已知在某一时刻，其动能可表示为12

a

3

b

2

12a^3b^2

12a3b2（单位：焦耳），若此时速度可表示为2

a

b

2ab

2ab（单位：千米/秒），请问动能与速度的平方之间的比例系数是多少？如何用代数式表示并计算？”

此情境将国家重大科技成就与数学问题结合，激发民族自豪感与探究欲。引导学生分析：设比例系数为k

k

k，则有动能

=

k

×

(

速度

)

2

动能=k\times(速度)^2

动能=k×(速度)2，即12

a

3

b

2

=

k

×

(

2

a

b

)

2

12a^3b^2=k\times(2ab)^2

12a3b2=k×(2ab)2。化简得12

a

3

b

2

=

k

×

4

a

2

b

2

12a^3b^2=k\times4a^2b^2

12a3b2=k×4a2b2。问题转化为：求k

k

k，使4

a

2

b

2

×

k

=

12

a

3

b

2

4a^2b^2\timesk=12a^3b^2

4a2b2×k=12a3b2。这本质上是已知积与一个因式，求另一个因式，即除法运算：k

=

(

12

a

3

b

2

)

÷

(

4

a

2

b

2

)

k=(12a^3b^2)\div(4a^2b^2)

k=(12a3b2)÷(4a2b2)。

2.数学内部关联：

复习提问：①x

5

⋅

x

2

=

?

x^5\cdotx^2=?

x5⋅x2=?依据是什么？②若x

m

⋅

x

n

=

x

12

x^m\cdotx^n=x^{12}

xm⋅xn=x12，且m

=

5

m=5

m=5，则n

=

?

n=?

n=?你是如何思考的？

第二个问题引导学生逆向运用同底数幂乘法法则，自然引出“除法是乘法的逆运算”这一核心观念，为整式除法的算法探索提供逻辑起点。

二、合作探究，建构法则（预计时间：22分钟）

（一）探究活动一：数字与简单字母的除法

1.任务驱动：请计算(

8

x

3

)

÷

(

2

x

)

(8x^3)\div(2x)

(8x3)÷(2x)。先独立思考，再小组交流。

2.学生可能路径：

1.3.路径1（具体数字代入）：设x

=

2

x=2

x=2，则8

×

2

3

=

64

8\times2^3=64

8×23=64，2

×

2

=

4

2\times2=4

2×2=4，64

÷

4

=

16

64\div4=16

64÷4=16。而16

=

4

×

2

2

16=4\times2^2

16=4×22。观察发现8

÷

2

=

4

8\div2=4

8÷2=4，x

3

÷

x

=

x

2

x^3\divx=x^2

x3÷x=x2。

2.4.路径2（逆运算追溯）：寻找一个单项式，使其乘以2

x

2x

2x等于8

x

3

8x^3

8x3。即(

?

)

×

(

2

x

)

=

8

x

3

(?)\times(2x)=8x^3

(?)×(2x)=8x3。由数字部分：?

×

2

=

8

?\times2=8

?×2=8，得系数为4；由字母部分：?

×

x

=

x

3

?\timesx=x^3

?×x=x3，得x

2

x^2

x2。故结果为4

x

2

4x^2

4x2。

3.5.路径3（利用分数形式与幂运算）：(

8

x

3

)

÷

(

2

x

)

=

8

x

3

2

x

=

4

x

3

−

1

=

4

x

2

(8x^3)\div(2x)=\frac{8x^3}{2x}=4x^{3-1}=4x^2

(8x3)÷(2x)=2x8x3​=4x3−1=4x2。

6.教师引导聚焦：肯定所有合理方法。重点剖析路径2（逆运算）和路径3（分数约分与指数相减），引导学生发现：单项式除法可以转化为“系数相除”和“同底数幂相除”两个独立的步骤。

（二）探究活动二：一般化单项式除法法则

1.任务升级：请计算(

15

a

4

b

3

x

2

)

÷

(

5

a

2

b

x

)

(15a^4b^3x^2)\div(5a^2bx)

(15a4b3x2)÷(5a2bx)。小组合作，尝试用语言描述你们的计算步骤。

2.汇报与提炼：小组代表板书过程并讲解。

(

15

a

4

b

3

x

2

)

÷

(

5

a

2

b

x

)

=

(

15

÷

5

)

⋅

(

a

4

÷

a

2

)

⋅

(

b

3

÷

b

)

⋅

(

x

2

÷

x

)

=

3

a

2

b

2

x

(15a^4b^3x^2)\div(5a^2bx)=(15\div5)\cdot(a^4\diva^2)\cdot(b^3\divb)\cdot(x^2\divx)=3a^{2}b^{2}x

(15a4b3x2)÷(5a2bx)=(15÷5)⋅(a4÷a2)⋅(b3÷b)⋅(x2÷x)=3a2b2x

3.归纳法则：引导学生共同归纳单项式除以单项式的法则：

1.4.系数：把被除式和除式的系数相除，作为商的系数。

2.5.同底数幂：把被除式和除式中相同字母的幂相除，作为商中该字母的指数幂。

3.6.只在被除式中含有的字母：连同它的指数直接作为商的一个因式。

4.7.注意：运算结果应化为最简形式（系数为整数，不含分母；字母按指数降幂排列等）。

8.算理深化提问：为什么可以这样分步计算？其依据是什么？

引导学生联系：系数相除是有理数除法；同底数幂相除是运用“同底数幂相除，底数不变，指数相减”的性质；整个过程可以看作是分数约分的代数形式，其根本保证是乘除运算的优先级与结合律。

三、初步应用，辨析巩固（预计时间：10分钟）

1.基础演练（口答或板演）：

（1）(

6

x

3

y

)

÷

(

3

x

)

=

(6x^3y)\div(3x)=

(6x3y)÷(3x)=

（2）(

−

24

m

2

n

3

)

÷

(

6

m

2

n

)

=

(-24m^2n^3)\div(6m^2n)=

(−24m2n3)÷(6m2n)=

（3）(

12

a

3

b

2

c

)

÷

(

4

a

b

2

)

=

(12a^3b^2c)\div(4ab^2)=

(12a3b2c)÷(4ab2)=

（4）(

x

5

y

2

)

÷

(

x

3

y

2

)

=

(x^5y^2)\div(x^3y^2)=

(x5y2)÷(x3y2)=

重点关注符号处理、只在一个单项式中出现的字母（如第3题的c

c

c）、指数为1的情况。

2.错例辨析：

出示典型错误：计算(

10

a

4

b

3

)

÷

(

5

a

2

b

)

=

2

a

2

b

2

(10a^4b^3)\div(5a^2b)=2a^2b^2

(10a4b3)÷(5a2b)=2a2b2。

学生诊断错误：错误在于b

3

÷

b

=

b

2

b^3\divb=b^2

b3÷b=b2是正确的，但结果写成了2

a

2

b

2

2a^2b^2

2a2b2，这里多了一个b

2

b^2

b2吗？不，检查发现，其实是学生在计算b

b

b的指数时，可能将b

3

÷

b

b^3\divb

b3÷b误算或书写不规范导致理解偏差。更清晰的辨析应为：(

10

a

4

b

3

)

÷

(

5

a

2

b

)

=

(

10

÷

5

)

(

a

4

÷

a

2

)

(

b

3

÷

b

)

=

2

a

2

b

2

(10a^4b^3)\div(5a^2b)=(10\div5)(a^4\diva^2)(b^3\divb)=2a^2b^{2}

(10a4b3)÷(5a2b)=(10÷5)(a4÷a2)(b3÷b)=2a2b2。强调步骤清晰、逐一处理。

3.解决导入问题：回到“天问一号”问题，计算k

=

(

12

a

3

b

2

)

÷

(

4

a

2

b

2

)

=

3

a

k=(12a^3b^2)\div(4a^2b^2)=3a

k=(12a3b2)÷(4a2b2)=3a。解释比例系数的实际意义（与探测器质量相关的常数），体现数学应用价值。

四、课堂小结与思维导图启动（预计时间：5分钟）

1.学生自主小结：今天我学会了……，我印象最深的方法是……，需要注意的地方是……。

2.教师画龙点睛：强调单项式除法的“三步走”策略（系数、同底数幂、独有字母），以及其背后的算理支撑（逆运算、幂的运算性质）。

3.布置课后探究任务（为下节课铺垫）：

1.4.思考：如何计算(

a

m

+

b

m

)

÷

m

(am+bm)\divm

(am+bm)÷m？你能用几种方法说明结果？

2.5.预习教材中多项式除以单项式部分。

第二课时：探索多项式除以单项式法则

一、复习类比，引出新知（预计时间：7分钟）

1.快速抢答：

（1）(

9

x

2

y

3

)

÷

(

3

x

y

)

=

(9x^2y^3)\div(3xy)=

(9x2y3)÷(3xy)=

（2）(

−

15

a

5

)

÷

(

5

a

2

)

=

(-15a^5)\div(5a^2)=

(−15a5)÷(5a2)=

（3）计算：(

a

d

+

b

d

)

÷

d

(ad+bd)\divd

(ad+bd)÷d，如果把它看成整体不会算，能否换个思路？

第（3）题是关键桥梁。引导学生回忆乘法分配律的逆用：(

a

+

b

)

c

=

a

c

+

b

c

(a+b)c=ac+bc

(a+b)c=ac+bc，那么当(

a

+

b

)

(a+b)

(a+b)作为一个整体被c

c

c乘时，可以展开。反过来，如果已知a

c

+

b

c

ac+bc

ac+bc和c

c

c，求(

a

+

b

)

(a+b)

(a+b)，就是(

a

c

+

b

c

)

÷

c

(ac+bc)\divc

(ac+bc)÷c。这可以通过逆运算或直接利用除法意义得到：(

a

c

+

b

c

)

÷

c

=

a

+

b

(ac+bc)\divc=a+b

(ac+bc)÷c=a+b。

2.问题情境化：

呈现一个长方形田地，其面积为(

6

a

2

b

+

4

a

b

2

)

(6a^2b+4ab^2)

(6a2b+4ab2)平方米，宽为2

a

b

2ab

2ab米，求长。列出算式：长=(

6

a

2

b

+

4

a

b

2

)

÷

(

2

a

b

)

(6a^2b+4ab^2)\div(2ab)

(6a2b+4ab2)÷(2ab)。这是一个多项式除以单项式的问题。

二、探究演绎，深化理解（预计时间：20分钟）

（一）探究活动三：从特殊到一般

1.特例探索：计算(

6

a

2

b

+

4

a

b

2

)

÷

(

2

a

b

)

(6a^2b+4ab^2)\div(2ab)

(6a2b+4ab2)÷(2ab)。

1.2.方法1（转化为分数和约分）：

6

a

2

b

+

4

a

b

2

2

a

b

=

6

a

2

b

2

a

b

+

4

a

b

2

2

a

b

=

3

a

+

2

b

\frac{6a^2b+4ab^2}{2ab}=\frac{6a^2b}{2ab}+\frac{4ab^2}{2ab}=3a+2b

2ab6a2b+4ab2​=2ab6a2b​+2ab4ab2​=3a+2b

2.3.方法2（利用乘除互逆，设未知量）：

设商为M

M

M，则M

×

(

2

a

b

)

=

6

a

2

b

+

4

a

b

2

M\times(2ab)=6a^2b+4ab^2

M×(2ab)=6a2b+4ab2。因为2

a

b

2ab

2ab是单项式，根据乘法分配律，M

M

M必须是一个多项式，且M

M

M的每一项乘以2

a

b

2ab

2ab后分别等于6

a

2

b

6a^2b

6a2b和4

a

b

2

4ab^2

4ab2。因此，M

M

M的第一项应为(

6

a

2

b

)

÷

(

2

a

b

)

=

3

a

(6a^2b)\div(2ab)=3a

(6a2b)÷(2ab)=3a，第二项应为(

4

a

b

2

)

÷

(

2

a

b

)

=

2

b

(4ab^2)\div(2ab)=2b

(4ab2)÷(2ab)=2b。故M

=

3

a

+

2

b

M=3a+2b

M=3a+2b。

3.4.引导学生比较两种方法，发现本质相通：多项式除以单项式，可以转化为多项式的每一项分别除以这个单项式，再将所得的商相加。

5.一般化验证：计算(

a

m

+

b

m

+

c

m

)

÷

m

(am+bm+cm)\divm

(am+bm+cm)÷m。

学生独立完成，并尝试用文字语言描述法则。

(

a

m

+

b

m

+

c

m

)

÷

m

=

a

+

b

+

c

(am+bm+cm)\divm=a+b+c

(am+bm+cm)÷m=a+b+c这直观地验证了法则。

6.归纳法则：

多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加。

用符号语言表示：(

A

+

B

+

C

)

÷

m

=

A

÷

m

+

B

÷

m

+

C

÷

m

(A+B+C)\divm=A\divm+B\divm+C\divm

(A+B+C)÷m=A÷m+B÷m+C÷m（其中A

,

B

,

C

A,B,C

A,B,C是单项式或多项式，m

m

m是单项式）。

7.算理深度追问：这个法则为什么成立？它的“合法性”来源是什么？

组织小组讨论。核心指向：其根本依据是乘法分配律的逆用，以及除法可以转化为乘以其倒数的运算（虽然七年级未学分式乘除法，但可从a

÷

b

=

a

×

1

b

a\divb=a\times\frac{1}{b}

a÷b=a×b1​的角度渗透思想）。因为(

a

+

b

)

÷

m

=

(

a

+

b

)

×

1

m

=

a

×

1

m

+

b

×

1

m

=

a

÷

m

+

b

÷

m

(a+b)\divm=(a+b)\times\frac{1}{m}=a\times\frac{1}{m}+b\times\frac{1}{m}=a\divm+b\divm

(a+b)÷m=(a+b)×m1​=a×m1​+b×m1​=a÷m+b÷m。

三、综合应用，突破难点（预计时间：15分钟）

1.例题精讲（教师示范格式）：

计算：(

12

a

3

−

6

a

2

+

3

a

)

÷

3

a

(12a^3-6a^2+3a)\div3a

(12a3−6a2+3a)÷3a

解：原式=12

a

3

÷

3

a

+

(

−

6

a

2

)

÷

3

a

+

3

a

÷

3

a

12a^3\div3a+(-6a^2)\div3a+3a\div3a

12a3÷3a+(−6a2)÷3a+3a÷3a

=4

a

2

+

(

−

2

a

)

+

1

4a^2+(-2a)+1

4a2+(−2a)+1

=4

a

2

−

2

a

+

1

4a^2-2a+1

4a2−2a+1

强调：①多项式各项包括前面的符号，运算时要将符号视为该项的一部分参与除法。②当某一项恰好能被整除时，商为1，不能省略（如3

a

÷

3

a

=

1

3a\div3a=1

3a÷3a=1）。③结果的规范书写。

2.阶梯式练习（学生板演与讲评）：

【第一组】直接应用法则：

（1）(

9

x

2

y

−

6

x

y

2

)

÷

(

3

x

y

)

(9x^2y-6xy^2)\div(3xy)

(9x2y−6xy2)÷(3xy)

（2）(

4

a

3

b

2

−

8

a

2

b

3

)

÷

(

4

a

b

2

)

(4a^3b^2-8a^2b^3)\div(4ab^2)

(4a3b2−8a2b3)÷(4ab2)

关注：各项除以单项式时，系数、字母的处理，特别是符号。

【第二组】需要先整理或注意结构：

（3）(

6

x

2

y

3

−

4

x

3

y

2

)

÷

(

−

2

x

2

y

2

)

(6x^2y^3-4x^3y^2)\div(-2x^2y^2)

(6x2y3−4x3y2)÷(−2x2y2)

（4）(

5

a

3

b

−

10

a

2

b

2

+

a

b

)

÷

(

5

a

b

)

(5a^3b-10a^2b^2+ab)\div(5ab)

(5a3b−10a2b2+ab)÷(5ab)

第（4）题中a

b

÷

(

5

a

b

)

=

1

5

ab\div(5ab)=\frac{1}{5}

ab÷(5ab)=51​，商不是整式，但作为运算过程仍可进行。引出思考：整式除法的结果一定是整式吗？为后续分式埋下伏笔，但此处明确本课研究能整除的情况。

3.实际应用：

回到“长方形田地”问题，完整解答。并可变形：若已知长和面积，求宽，引出单项式除以多项式的问题（非本课范围，但可激发思考）。

四、课堂总结与体系建构（预计时间：8分钟）

1.学生绘制单元思维导图（局部）：以“整式的除法”为中心，分支展开为“单项式÷单项式”（法则、依据、步骤）、“多项式÷单项式”（法则、依据、步骤），并建立与“整式乘法”、“幂的运算”、“乘法分配律”等旧知的双向箭头联系，体现知识的网络化。

2.师生共同总结运算要点口诀：

“整式除法莫要慌，转化思想心中藏。

单项相除分三步，系数、同底、独有字母。

多项除以单项式，分配律来帮大忙。

各项分别来相除，商再相加记心上。

符号、指数要细心，结果最简才漂亮。”

3.布置分层作业：

1.4.基础巩固：教材课后练习题。

2.5.能力提升：综合性计算题，如[

(

2

x

+

y

)

2

−

y

(

y

+

4

x

)

]

÷

2

x

[(2x+y)^2-y(y+4x)]\div2x

[(2x+y)2−y(y+4x)]÷2x（需先化简括号内）。

3.6.探究拓展：查阅资料，了解“长除法”在多项式除法中的应用（为八年级因式分解作铺垫），并尝试用这种方法计算(

x

2

+

5

x

+

6

)

÷

(

x

+

2

)

(x^2+5x+6)\div(x+2)

(x2+5x+6)÷(x+2)。

教学评价设计

1.过程性评价：

1.2.课堂观察：记录学生在探究活动中的参与度、发言质量、合作表现，特别是对算理的表述是否清晰。

2.3.任务单评价：探究学习任务单的完成情况，重点评估思维过程而不仅是答案。

3.4.板演与讲评：关注学生解题步骤的规范性、逻辑性和语言表达的准确性。

5.形成性评价：

1.6.课堂练习反馈：通过即时练习的正确率，诊断学生对法则的理解和应用水平，及时调整教学节奏。

2.7.错题资源化：收集典型错误，在课堂上进行辨析，让学生成为“小医生”，分析错误根源，深化理解。

8.总结性评价（通过课后作业与后续测试）：

1.9.设计不同层次的题目，考查学生对整式除法法则的掌握程度、运算的熟练度以及综合运用知识（如与乘法混合运算）的能力。

2.10.可设置少量联系实际或与其他章节知识综合的题目，评价学生迁移应用和解决问题的能力。

板书设计

（左侧区域）（中间主区域）（右侧区域）

一、情境与问题二、整式的除法法则三、要点与注意

天问一号：…1.单项式÷单项式：1.转化思想：化归

长方形面积：…（1）系数相除→商的系数2.步骤清晰，逐项处理

（2）同底数幂相除→字母因式3.符号问题

关键联系：（3）独有字母→直接作为商因式4.结果最简化

除法是乘法的逆运算例1：(

15

a

4

b

3

x

2

)

÷

(

5

a

2

b

x

)

(15a^4b^3x^2)\div(5a^2bx)

(15a4b3x2)÷(5a2bx)典型错误辨析区

乘法分配律的逆用=3

a

2

b

2

x

3a^