辽宁省辽西重点高中2025-2026学年高一下学期开学考试数学

辽宁省辽西重点高中高一下学期开学考试数学试题一、单选题1．已知集合，，则（

）A． B．C． D．2．函数的定义域为（

）A． B． C． D．3．函数的零点所在区间为，则（

）A．0 B．1 C．2 D．34．若向量，且，则实数m的值为（

）A．－2 B．－ C．1 D．－2或15．已知函数的定义域为，且对，，则（

）A．3 B．2 C． D．6．金秋十月，某校举行运动会，甲、乙两名同学均从跳高、跳远、100米跑和200米跑这四个项目中选择两个项目参加.设事件“甲、乙两人所选项目恰有一个相同”，事件“甲、乙两人所选项目完全不同”，事件“甲、乙两人所选项目完全相同”，事件“甲、乙两人均未选择100米跑项目”，则（

）A．A与C是对立事件 B．C与D相互独立C．A与D相互独立 D．B与D不互斥7．已知函数为幂函数，若函数，则的零点所在区间为（

）A． B． C． D．8．已知函数，则关于的不等式的解集为（

）A． B． C． D．二、多选题9．下列关于向量说法，正确的是（

）A．若，，则B．在△ABC中，若，则△AOC与△ABC的面积之比为C．两个非零向量，，若，则与共线且反向D．若，则存在唯一实数使得10．已知函数则下列结论正确的是（

）A．若，则B．若在上单调递增，则的值可以为C．存在，使得在上单调递减D．若的值域为，则的取值范围为11．为了解某地农村经济情况，对该地农户家庭年收入进行抽样调查，将农户家庭年收入的调查数据整理得到如下频率分布直方图：根据此频率分布直方图，下面结论中正确的是（

）A．该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户比例估计为6%B．估计该地农户家庭年收入的85%分位数为10万元C．估计该地农户家庭年收入的平均值不超过6.5万元D．估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间三、填空题12．__________.13．若，则的最大值是______.14．若函数满足在定义域内的某个集合上，是一个常数，则称在上具有性质.设为上具有性质的偶函数.若关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围是______.四、解答题15．已知函数（其中a为常数）是定义域为的偶函数.(1)求的解析式，并直接写出的单调区间和最小值；(2)解不等式.16．如图，在中，.设.(1)用表示；(2)若为内部一点，且.求证：三点共线.17．已知华为公司生产mate系列的某款手机的年固定成本为200万元，每生产1只还需另投入80元.设华为公司一年内共生产该款手机x万只并全部销售完，每万只的销售收入为R（x）万元，且R（x）＝(1)写出年利润W（万元）关于年产量x（万只）的函数解析式；(2)当年产量为多少万只时，华为公司在该款手机的生产中所获得的利润最大？并求出最大利润.18．已知函数，函数.(1)求的定义域；(2)判断在上的单调性，并用定义证明；(3)若，使得成立，求的取值范围.19．定义．(1)用解析式表示，并写出的定义域：(2)证明：；(3)设．若对任意，都存在，使得，求实数的取值范围．参考答案1．D【详解】易知集合，，则.故选：D2．A【详解】由题意得，所以，故选：A.3．A【详解】由于的定义域为R，且都为增函数，故也为增函数，且，即因此零点在区间上，即．故选：A4．D【详解】因为向量，且，所以，解得m=－2或1.故A，B，C错误.故选：D.5．A【详解】分别令和得到：，解得：．故选：A．6．C【详解】设跳高、跳远、100米跑和200米跑分别为1，2，3，4，则甲、乙两名同学均从跳高、跳远、100米跑和200米跑中选择两个项目参加的情况有：（1212），（1312），（1412），（2312），（2412），（3412），（1213），（1313），（1413），（2313），（2413），（3413），（1214），（1314），（1414），（2314），（2414），（3414），（1223），（1323），（1423），（2323），（2423），（3423），（1224），（1324），（1424），（2324），（2424），（3424），（1234），（1334），（1434），（2334），（2434），（3434），共36种，其中A有24种情况，B有6种情况，C有6种情况，D有9种情况，则，，，.由可得A与C不是对立事件，选项A错误.，C与D不相互独立，选项B错误.，A与D相互独立，选项C正确.由B与D不可能同时发生可知B与D互斥，选项D错误.故选：C.7．B【详解】因为函数为幂函数，所以，解得，所以，.因为，，，，，由解析式可知在上单调递增，所以在上有唯一零点.故选：B.8．A【详解】根据题意，函数设，则有，解可得，即函数的定义域为，关于原点对称，又由，即函数为奇函数，设，则，，在上为增函数，而在上为增函数，故在区间上为增函数，又为增函数，所以在区间上为增函数，不等式即为，也即，所以，解得.故选：A.9．BC【详解】对于A，当时，因为零向量与任意向量都平行，所以，成立，而此时不一定平行，所以A错误，对于B，因为，所以，设为的中点，连接，则，所以，所以点到的距离等于点到的距离的3倍，所以△AOC与△ABC的面积之比为，所以B正确，对于C，由，得，化简得，所以，所以与的夹角为，所以与共线且反向，所以C正确，对于D，当时，不存在唯一实数使得，所以D错误.故选：BC10．ABD【详解】由题意得，得，得，A正确；若在上单调递增，则，得，B正确；若在上单调递减，则，不等式组无解，C错误；若的值域为，则，得在上单调递增．当时，在上单调递增，则，得，即．当时，在上单调递减，在上单调递增，则，得恒成立，即2．综上，的取值范围为，D正确．故选：ABD.11．ABD【详解】对于A，由频率分布直方图低于4.5万元的农户比例约为，A正确；对于B，由频率分布直方图知收入超过10.5万元的有，收入在之间的有．低于9.5万元有80%，而因此85%分位数，B正确；对于C，平均值约为，C错；对于D，家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间的有，D正确．故选：ABD．12．【详解】易知.故答案为：13．【详解】由题设，则，当且仅当，即时取等号，故的最大值是.故答案为：14．【详解】设，则，由题意知，为偶函数，所以即，所以，则，，令，因为，所以，函数在单调递减，在单调递增，当，，当，，当，，所以当时，函数的值域为，则当时，函数的值域为，令，，则关于的不等式在上恒成立，可化为在上恒成立，不等式可化为，即在上恒成立，函数和函数在上均单调递减，故函数在上单调递减，则，则，即实数的取值范围是.故答案为：.15．(1)，的单调减区间是，单调增区间是，最小值是(2).【详解】（1）因为是偶函数，所以对，都有即，整理得，所以，，令，则，由可得，所以，则，所以函数在上单调递增，结合奇偶性可得的单调减区间是，单调增区间是，的最小值是.（2）因为是偶函数，且在是增函数，所以等价于，解得：，所以不等式的解集是.16．(1)，(2)证明见解析【详解】（1），；（2），又，故，故三点共线.17．(1)(2)当年产量为32万只时，利润最大，最大利润为30520万元【详解】（1）利用利润等于收入减去成本，可得当时，；当x＞40时，W＝xR（x）﹣（80x+200）＝,∴.（2）当0＜x≤40时，W＝﹣30（x32）2+30520∴当x=32时，Wmax＝30520,当x>40时，,当且仅当，即x=50时，“=”成立，此时W取最大值28800,∵30520>28800,

∴当年产量为32万只时，利润最大，最大利润为30520万元.18．(1)(2)单调递增，证明见解析(3)【详解】（1）由题意知，整理得，所以，解得，即的定义域为；（2）在上单调递增，证明如下：任取，且，则，又，所以，所以，即，所以在上单调递增；（3）若，使得成立，则.由（2）知在上单调递增，所以，记，因为，所以，所以，当时，，则，所以，所以或，又，所以；当时，，则，所以，所以，又，所以；综上，的取值范围为.19．(1)，定义域为；(2)证明见解析；(3).【详解】（1）设，.令得：，，，解得或，由于是开口向上的二次函数（二次项系数为正），当或