湖南省长沙市浏阳市2025-2026学年上学期高一数学期末质量监测试题

年下学期期末质量监测试卷高一数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．1.设集合，，则（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】可用并集的定义直接求出两集合的并集．【详解】解：，，,故选：．【点睛】本题考查并集及其运算，解题的关系是正确理解并集的定义及求并集的运算规则，属于基础题．2.已知，则“”是“”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】求出的解集，利用充分条件和必要条件的定义判断即可.【详解】由，解得或，所以“”是“”的充分不必要条件.故选：A3.若，且是第二象限角，则（）A.B.C.D.【答案】B【解析】第1页/共18页

【分析】根据同角三角函数基本关系，由题中条件先求正弦，进而可求出正切.【详解】因为，且是第二象限角，所以，因此故选：B.4.已知函数的零点分别为abcabc的大小顺序为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】先得到函数的单调性，结合特殊点的函数值，利用零点存在性定理得到，，，得到答案.【详解】由题意得在R上单调递增，在上单调递增，又，，故，，，故，，故，故.故选：B5.将函数的图象向左平移可能的取值是（）A.B.C.D.第2页/共18页

【答案】C【解析】【分析】通过平移得到，由求解即可.【详解】将函数的图象向左平移个单位，得，由题意为奇函数，所以，则，结合选项可知：ABD不符合，C符合，故选：C6.若定义运算，则函数的值域为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】首先求出的解析式，再分段求出函数的取值范围，即可得到函数的值域.【详解】令，解得，所以，当时，则在上单调递减，则，即；当时，则，即；综上可得函数的值域为.故选：C7.函数的图象如图①所示，则如图②所示的图象对应的函数解析式可能为（）第3页/共18页

A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】利用函数图象的对称变换和平移变换可得结果.【详解】先将函数的图象关于原点对称，可得出函数的图象，如下图所示：再把所得函数图象向左平移个单位长度，即可得出图②所示图象，故图②所示图象对应的函数为.故选：D.8.若定义在上的函数满足，且当时，，已知函数，则函数在区间内的零点个数为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】的零点数转化成函数的交点个数进行求解即可.【详解】因为，则是周期为的周期函数，又，所以在上的图象如图所示.第4页/共18页

由的解析式可知，单调递增，；在上单调递减，上单调递增，，所以的图象如图所示.令，将所求零点问题转化为函数交点问题，则在上的交点个数即为所求零点个数.如图所示，在时，有个交点，在时，有个交点，综上共有个交点，即有个零点.故选：.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分．9.下列说法正确的是（）A.若α终边上一点的坐标为，则B.若角α为锐角，则2α为钝角C.若圆心角为的扇形的弧长为π，则该扇形的面积为D.若且，则【答案】CD【解析】【分析】根据三角函数的定义判断A项；举反例排除B项；利用扇形的弧长与面积公式计算可判断C项；根据已知求出的值，即可得正切值判断D项.【详解】对于A，因，则，则，故A错误；对于B，当角α为锐角时，若，而不是钝角，故B错误；第5页/共18页

对于C，依题意，扇形的半径为，则该扇形的面积为，故C正确；对于D，由①两边取平方，可得，化简得，因，故，则，由可得②，联立①②，解得，故.故D正确.故选：CD.10.若，，则（）A.B.C.D.【答案】AB【解析】【分析】根据不等式的性质判断AB；举反例判断CD.【详解】根据，则，A正确；由，又，则，B正确；当时，，C错误；当时，，D错误.故选：AB已知函数是R上的偶函数，且在上单调递增，，，，则下列说法正确的是（）A.函数的图象关于直线对称B.a，b，c的大小关系是：C.函数在区间上单调递减D.关于x的不等式解集为【答案】ACD第6页/共18页

【解析】【分析】根据函数奇偶性以及对称性，判断A；判断单调性，可判断C；利用函数的单调性判断B；结合函数的对称性、单调性求解不等式，判断D.【详解】由函数是上的偶函数，所以函数的图象关于y轴对称，则函数的图象关于直线对称，即，A正确；因为在上单调递增，所以函数在上单调递减，所以C正确；因为，而，且函数在上单调递增，所以，即，所以B错误；由于函数的图象关于直线对称，且在上单调递增，在上单调递减，故可化为，即，即，解得，即的解集为，D正确，故选：ACD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共分．12.已知幂函数的图象过点，则______．【答案】3【解析】【分析】先利用待定系数法代入点的坐标，求出幂函数的解析式，再求的值.【详解】设，由于图象过点,得，，，故答案为3.【点睛】本题考查幂函数的解析式，以及根据解析式求函数值，意在考查对基础知识的掌握与应用，属于基础题.第7页/共18页

13.已知，不等式恒成立，则实数的取值范围是__________.【答案】【解析】【分析】由题意可得对恒成立，由基本不等式求得的最大值即可.【详解】由，不等式恒成立，可得对恒成立，令，当且仅当，即时取等号.所以，所以.故答案为：.14.已知函数，如果恒成立，则的最小值为______．【答案】0.5【解析】【分析】根据恒成立，推出，故，由函数单调性求出最小值.【详解】当时，，即；当时，，即．所以当时，；当时，．又函数连续且单调，需满足单调递增，且当时，，即．故，令，开口向上，对称轴为，故.故答案为：四、解答题：本题共5小题，共分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第8页/共18页

15.已知集合，，（1）求和；（2）若，求的取值范围．【答案】（1），（2）【解析】1）根据集合的并集、补集运算求解；（2）分类讨论，根据子集关系列出不等式求解.【小问1详解】集合，，，，．【小问2详解】，，，当时，，解得，成立；当时，由，得：，解得．综上，的取值范围是．16.已知函数．（1）求函数的定义域、值域．第9页/共18页

（2）判断函数的单调性、奇偶性并用定义证明．（3）画出函数图象．【答案】（1）定义域为，值域为（2）奇函数，在和上单调递增，证明见解析（3）作图见解析【解析】1）直接根据解析式求解定义域，分析函数值的取值情况确定值域；（2）计算，比较其与的关系即可判断奇偶性，再取值、作差、因式分解即可判断其单调性；（3）根据函数的零点，奇偶性，单调性及函数值的变化规律作出对应的函数草图即可.【小问1详解】解：要使函数有意义，则，即函数的定义域为,当；；；，所以函数的值域为.【小问2详解】函数为奇函数，在和上单调递增，证明如下：证明：奇偶性证明设，定义域为，关于原点对称，．是奇函数．单调性证明：证明：，，且，则．，，，，，，即．第10页/共18页

在上为增函数．，，且，则．，，且，，，．，即．在上为增函数．【小问3详解】解：令，解得，即函数的零点为，故当时，；时，；时，；时，；又时，；当时，，所以，当时图象在下方，时，函数图象在上方，故结合以上函数性质，的大致图象如图所示：17.2025年被称为“智能体元年”AI大模型的智能体技术迎来规模化应用与产业变革.某科技AI研发中心正在研发名为“天穹”的新一代大模型，在模型训练阶段，研发团队发现，模型的综合性能评分（满分100分）和有效训练时长（单位：百GPU小时）的关系分为两个阶段.通过对几轮训练数据的拟合分析，第11页/共18页

得到如下函数关系：；已知初始综合性能评分，且在处函数图象是连续不断的.（1）求常数和的值；（2“天穹”模型的标准化训练效率最高？【答案】（1），（2）【解析】1）根据函数的初始值和连续性求出的值即可.（2的范围时的范围时的最大值，然后进行比较即可.【小问1详解】因为，又，所以.所以当时，又因为在处函数图象是连续不断的，所以，解得.所以.【小问2详解】由（1）可得，当时，，第12页/共18页

此时.因为，所以，当且仅当时，即时等号成立，此时，此时的最大值为；当时，，此时，综上，当时，，此时“天穹”模型标准化训练效率最高.18.已知函数.（1）求函数的最小正周期及单调增区间；（2）若，且，求的值.（3）在中，若，求的取值范围.【答案】（1）；（2）（3）【解析】1）利用诱导公式，二倍角公式和辅助角公式将函数化成正弦型函数，即可根据正弦型函数的性质求其周期和递增区间；第13页/共18页

（2）由条件推得，根据角的范围求出，利用拆角变换即可求出的值；（3及角的范围求得等变换将其化成正弦型函数，结合角的范围与正弦函数的图象性质即可求出其范围.【小问1详解】，函数的最小正周期为由，可得，故函数的单调增区间为.【小问2详解】由（1）已得，则，因，则，故，则.【小问3详解】第14页/共18页

在中，，因，可得，故，解得，则，故，因，则，故，则，即的取值范围为.19.已知函数且.请从以下两个条件中选择一个作为已知，解答下面的问题.条件①：；条件②：.注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答记分.（1）求实数的值；（2）当时，判断函数在区间上的零点个数，并说明理由；（3）已知，若，当且仅当，求实数、的值.【答案】（1）选①，或选②，（2）选①或选②，个（3）选①，，；选②，，【解析】1）若选①，由，结合对数的运算性质可求得实数的值；若选②，由，结合对数的运算性质可求得实数的值；（2在存在定理可得出结论；（3）若选①或②，分、两种情况解不等式，根据其解集为，由此可得出第15页/共18页

关于、方程组，即可解出这两个未知数的值.【小问1详解】若选①，因为的定义域为，则由得，对于任意都成立，所以；若选②，因为的定义域为，则由得，对于任意都成立，所以.【小问2详解】若选①，当时，函数.因为在上单调递减，且在定义域上单调递增，所以在上单调递减，又因为在定义域上单调递减，所以函数在上单调递减.又因为的图象连续不间断，且，，则，所以在区间上有唯一的零点.2）当时，函数.因为在上单调递增，第16页/共18页

定义域上单调递增，所以在上单调递增，又因为在定义域上单调递增，所以函数在上单调递增.又因为的图象连续不间断，且，，所以在区间上有唯一的零