2026年安徽中考数学二轮复习 专题01 函数综合应用(题型专练)

Page专题01函数综合应用内●容●导●航第一部分题型破译微观解剖，精细教学典例引领方法透视变式演练题型01三种基本函数的解析式求解题型02函数图像的基本性质应用题型03函数与方程、不等式的关联题型04函数与几何图形的综合题型05二次函数的最值与实际应用题型06函数综合探究题第二部分题型训练整合应用，模拟实战题●型●破●译题型01三种基本函数的解析式求解典例引领【典例01】如图，在平面直角坐标系中，点坐标为，点在反比例函数的图象上，点在反比例函数的图象上，在中，．(1)求的值；(2)求直线的函数表达式．【答案】(1)(2)【分析】（）过点作轴于点，过点作轴于点，可得，即得，，再根据锐角三角函数得，根据角的和差关系得，即得，得到，再利用待定系数法解答即可求解；（）设直线的函数表达式为，利用待定系数法解答即可求解；本题考查了锐角三角函数，等腰直角三角形的判定和性质，待定系数法求函数解析式，正确作出辅助线是解题的关键．【详解】（1）解：如图，过点作轴于点，过点作轴于点，则，∵点坐标为，∴，∴，，∵在中，，∴，即，∴，∵，，∴，∴是等腰直角三角形，∴，∴，∵点在反比例函数的图象上，∴；（2）解：设直线的函数表达式为，把和代入得，，解得，∴直线的函数表达式为．【典例02】如图，抛物线与轴交于点，与轴交于点，点是直线下方抛物线上的点．(1)求的值；【答案】(1)【分析】（）利用待定系数法求出值，进而即可求解；【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于点，∴，解得，∴；方法透视考向解读已知点的坐标、图像特征，求一次函数（y=kx+b，k≠0）、二次函数（三种形式：一般式y=ax2+bx+c方法技能1.通用核心方法——待定系数法（必掌握）：核心步骤为“设解析式→找已知条件（点坐标/图像特征）→列方程（组）→求解参数→验证”，适用于三种基本函数，是中考最常用的方法。2.一次函数求解技巧：当已知图像过两点时，直接代入两点坐标，列二元一次方程组求解k、b；若已知图像与x轴、y轴交点（x₀,0）、（0,y₀），可直接代入解析式，快速算出k=-，b=y₀，简化计算。3.二次函数求解技巧：优先根据已知条件选择解析式形式——①已知三点坐标（无特殊点），用一般式；②已知顶点坐标（h,k）或对称轴，用顶点式（可快速避开复杂运算）；③已知与x轴的两个交点（x₁,0）、（x₂,0），用交点式（无需配方，直接代入计算）。注意：无论选择哪种形式，最后需根据题意判断是否需要化为一般式。4.反比例函数求解技巧：核心利用k的几何意义或图像上的一个点坐标——①已知双曲线上一点（x₀,y₀），直接代入得k=x₀y₀；②已知过双曲线上一点作坐标轴垂线形成的矩形/三角形面积，先根据面积求出|k|，再结合图像所在象限判断k的正负（第一、三象限k>0，第二、四象限k<0）。5.易错规避技巧：①注意函数自变量的取值范围，求解后需验证参数是否符合函数定义（如k≠0、a≠0）；②二次函数用顶点式、交点式求解后，可代入另一个已知点验证，避免计算错误；③反比例函数k的几何意义中，三角形面积是|k|，矩形面积是|k|，切勿混淆。变式演练【变式01】如图，已知，是一次函数的图象与反比例函数的图象的两个交点．(1)求反比例函数和一次函数的解析式；【答案】(1)，（1）把代入中求解，即可得到反比例函数解析式，进而求出点，再利用待定系数法求出一次函数的解析式，即可解题；【详解】（1）解：把代入得，所以反比例函数解析式为，把代入得，解得，则点坐标为，把、代入得，解得，一次函数解析式为；【变式02】小明利用一条直线将一个二次函数图象在处截断，剩下的图象如图所示，小明将剩下的图象部分作为一个整体图象进行研究．发现当x的值为时，y的值为1；当x的值为2时，y的值为3；当x的值为3时，y的值为6．(1)求该图象的函数解析式；【答案】(1)【分析】（1）利用待定系数法分别求出和时函数的解析式即可；【详解】（1）解：当时，设函数表达式为，由题可知，函数图象过和，∴，解得，∴；当时，设函数表达式为，由题可知，函数图象过，，，∴，解得，∴；∴该图象的函数解析式为；【变式03】抛物线顶点为，抛物线与y轴交于点B，直线经过点(1)求b，c，d的值；【答案】(1)，，【分析】（1）由二次函数的顶点得，，求出、，再用待定系数法求出直线的解析式，即可求解．【详解】（1）解：抛物线顶点为，，，解得：，，设直线的解析式为，则有，解得：，直线的解析式，当时，，，抛物线与y轴交于点B，，故：，，；题型02函数图像的基本性质应用典例引领【典例01】已知抛物线的顶点纵坐标比抛物线的顶点纵坐标大2．(1)求b的值；(2)点在抛物线上，点在抛物线上．（ⅰ）求k关于的表达式；（ⅱ）当满足，求k的最小值．【答案】(1)(2)（ⅰ）（ⅱ）【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，顶点坐标公式，点的坐标和解析式的关系，一次函数的性质等内容，解题的关键是熟练掌握二次函数和一次函数的性质．（1）利用顶点坐标公式进行求解即可；（2）（ⅰ）根据点的坐标和函数解析式的关系列出式子进行整理即可；（ⅱ）根据一次函数解析式的性质，分析其增减性即可得出最值．【详解】（1）解：对于抛物线，由顶点横坐标公式，得其顶点横坐标为．将代入，得，即顶点坐标为．抛物线的顶点横坐标为，代入抛物线得顶点纵坐标为．抛物线的顶点纵坐标比抛物线的顶点纵坐标大2，，即，解得．，；（2）解：（ⅰ）点在抛物线上，则．点在抛物线上，则．，，将代入可得：，即；（ⅱ）为一次函数，，k随的增大而减小，由于，所以当时，．的最小值为．方法透视考向解读一次函数：k、b的几何意义（k决定增减性、倾斜程度，b决定与y轴交点），图像与坐标轴的交点求解；二次函数：开口方向（a的符号）、对称轴（x=−b反比例函数：k的几何意义（过双曲线上一点作坐标轴垂线，形成的矩形/三角形面积与k的关系），增减性（注意“在每个象限内”的前提）。方法技能1.一次函数性质应用技巧：①快速判断增减性：无需画图，根据k的符号直接判断（k>0，y随x增大而增大；k<0，y随x增大而减小），中考常结合函数图像判断自变量取值范围；②交点快速求解：与x轴交点令y=0，与y轴交点令x=0，熟练掌握“截距”（b的值）的几何意义，可快速排除选择题错误选项；③倾斜程度判断：|k|越大，直线越陡峭，|k|越小，直线越平缓，此知识点常结合图像辨析题考查。2.二次函数性质应用技巧：①开口方向与最值快速判断：由a的符号确定开口（a>0开口向上，有最小值；a<0开口向下，有最大值），最值点即为顶点，结合对称轴可快速定位顶点坐标；②增减性判断技巧：先找对称轴（x=−b2a），分“对称轴左侧”“对称轴右侧”两步判断，避免忽略取值范围限制（中考常考查指定区间内的增减性，而非整个取值范围）；③对称轴快速计算：除公式外，可利用“抛物线上对称点的横坐标中点即为对称轴”（如已知两点（x₁,y）、（x₂,y），则对称轴为3.反比例函数性质应用技巧：①k的几何意义速用：看到“双曲线上点+坐标轴垂线+面积”，直接关联|k|，记住核心结论（三角形面积=|k|，矩形面积=|k|），无需推导，节省解题时间；②增减性易错规避：务必强调“在每个象限内”的前提，避免误判“所有象限内y随x增大而减小”（如k>0时，第一象限y随x增大而减小，第三象限也如此，但第一象限的y值始终大于第三象限）；③图像分布判断：由k的符号直接确定双曲线所在象限（k>0在一、三象限，k<0在二、四象限），常结合图像信息题判断参数符号。4.中考高频题型技巧：①图像辨析题：优先看“特殊点（顶点、交点）”“参数符号”“增减趋势”，排除不符合性质的选项，安徽中考常考一次函数与二次函数、反比例函数的图像匹配；②性质应用题：先提炼函数参数（k、a、b），再结合性质分析，如二次函数求指定区间的最值，需先判断对称轴是否在区间内，再确定最值点；③易错规避：①二次函数忽略取值范围讨论最值，导致答案错误；②反比例函数增减性忽略“象限限制”；③一次函数b=0时是正比例函数，属于特殊情况，需单独注意。变式演练【变式01】如图，一次函数的图象分别与x轴，y轴交于A，B两点，与反比例函数的图象交于点C，已知A为线段的中点．(1)求k的值；(2)若点P是反比例函数的图象上一个动点，轴于点D．设四边形的面积为S，探究S随x的变化情况．【答案】(1)(2)S随x的增大而增大【分析】本题考查了一次函数和反比例函数的图象和性质，解题的关键是熟练掌握相关性质定理．（1）先求出点A和点B的坐标，进而得出点C的坐标，即可得出k的值；（2）设，则，设，则，结合一次函数和反比例函数的增减性，即可解答．【详解】（1）解：把代入得：，∴，把代入得：，解得：，∴，∵A为线段的中点，∴，∵反比例函数的图象过点C，∴；（2）解：∵点P是反比例函数的图象上一个动点，∴设，∴，设，则，∴S随a的增大而增大，在中，，∴时，a随x的增大而增大，∴S随x的增大而增大．【变式02】已知函数（m为常数），问：(1)无论m取何值，该函数的图像总经过x轴上某一定点，该定点坐标为______；(2)求证：无论m为何值，该函数的图像顶点都在函数图像上：(3)若抛物线与x轴有两个交点A、B，且，求线段AB的最大值．【答案】(1)(2)见解析(3)线段AB的最大值为3【分析】（1）令，，可得，，即可求解；（2）先求出函数的顶点坐标为，再代入，即可求证；（3）先求出，然后令线段AB的长度为z，则，再由，可得到，再根据一次函数的增减性，即可求解．【详解】（1）解：令，，解得：，，∴无论m取何值，该函数的图像总经过x轴上的点；（2）证明：∵，∴函数的顶点坐标为，∴当时，，∴无论m为何值该函数图像的顶点都在图像上；（3）解：令，，解得：，，∴，令线段AB的长度为z，则，因为，所以，因为z随m增大而增大，所以当时，，故线段AB的最大值为3．【点睛】本题主要考查了二次函数和一次函数的性质，二次函数与x轴的交点问题，熟练掌握二次函数和一次函数的性质是解题的关键．【变式03】已知抛物线．(1)请用配方法求出抛物线的对称轴和顶点坐标（用含b，c的代数式表示）．(2)已知点M，N是该抛物线上的两个不同的点．（i）如果点M的坐标为，点N的坐标为，且，求b的取值范围；（ii）如果点M的坐标为，点N的坐标为，当时，y的最大值为11，最小值为2，请求出的取值范围．【答案】(1)抛物线的对称轴为，顶点坐标为(2)（i）；（ii）【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数与不等式，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．（1）利用配方法将抛物线变形为，即可解答；（2）（i）由（1）知抛物线对称轴为，结合抛物线开口方向，只需令得，建立不等式组，求解即可；（ii）根据题意，求出，代入解析式令，由题意得方程的解为，求出，，得到抛物线解析式为，再利用抛物线性质结合题意即可解答．【详解】（1）解：，则抛物线的对称轴为，顶点坐标为；（2）解：（i）由（1）知抛物线对称轴为，∵抛物线中，，∴抛物线开口向下，∵点M的坐标为，点N的坐标为，且，∴，当时，解得：，此时，，解得：，∴；当时，不等式组无解；当时，解得：，此时，，解得：，∴不存在此种情况；当时，解得：，此时，，解得：，∴；综上，b的取值范围为；（ii）根据题意，∴，∴，令，则，由题意得方程的解为，∴，，∴，，两式相减：，解得，则，，∴抛物线解析式为，∵，∴当时，抛物线有最大值，∵当时，y的最大值为11，最小值为2，令，则，解得：或，∴当时，，则；当时，，则；综上，的取值范围为．题型03函数与方程、不等式的关联典例引领【典例01】如图，已知一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，，与轴负半轴交于点，的面积为3．(1)求，的值；(2)结合图象直接写出关于的不等式的解集．【答案】(1)(2)或【分析】本题考查一次函数与反比例函数的综合应用，解题的关键是利用三角形面积公式求出点的坐标，再结合函数图象求解不等式．（1）利用的面积公式求出的值，确定点的坐标，点A作轴，过点作轴，垂足分别为，，进而根据得到关于a，b的表达式，再根据，联立解得求出a，b的值；（2）根据函数图象，找出一次函数图象在反比例函数图象上方时的取值范围，得到不等式的解集．【详解】（1）解：的面积为，，解得，点的坐标为，如图，过点A作轴，过点作轴，垂足分别为，．，，，，在反比例函数上，，，，，，联立①②，解得：，；（2）解：，，．若，当时，，由图象可知，；若，当时，，由图象可知，．综上所述，当或时，．【典例02】如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点．(1)若P为x轴上一点，的面积为5，求点P的坐标；(2)结合图象，关于x的不等式的解集为_______．【答案】(1)或．(2)或【分析】本题主要考查了用待定系数法求一次函数的解析式、反比例函数和一次函数的综合、三角形的面积的应用等知识点，掌握数形结合思想成为解题的关键．（1）根据反比例函数的图象经过，再利用待定系数法即可求出反比例函数的解析式；进而求得A的坐标；再根据A、B点坐标，利用待定系数法求出一次函数解析式；设直线与x轴的交点为C，根据三角形面积求出的长，根据C的坐标即可得出P的坐标；（2）直接观察图象可得当或时，一次函数的图象位于反比例函数图象的下方，据此即可解答．【详解】（1）解：∵反比例函数的图象经过，∴，∴反比例函数的解析式为；∵在上，所以，∴A的坐标是，把，代入，得：，解得，∴一次函数的解析式为；如图，设直线与x轴的交点为C，把代入得：，解得：，∴C的坐标是，∵P为x轴上一点，且的面积为5，∴，∵，，∴，解得：，∴当P在负半轴上时，P的坐标是；当P在正半轴上时，P的坐标是．∴P的坐标是或．（2）解：观察图象得：当或时，一次函数的图象位于反比例函数图象的下方，∴关于x的不等式的解集为：或．故答案为：或．方法透视考向解读函数与方程：两个函数图像的交点坐标，对应联立解析式组成的方程组的解；二次函数与x轴的交点，对应一元二次方程的根（判别式Δ=方法技能核心原则：紧扣“数形结合”核心，将“函数图像”“方程解”“不等式解集”三者关联，明确“图像交点对应方程解，图像上下位置对应不等式解集”，适配中考图像信息题、计算大题，快速突破衔接类题型。1.函数与方程关联技巧（中考高频，基础衔接）：①交点坐标与方程组的转化：两个函数图像的交点，横坐标、纵坐标分别是对应方程组的x、y解，解题时可通过联立解析式求解交点，也可通过图像读取交点坐标验证方程解；②二次函数与一元二次方程的深度关联：二次函数与x轴的交点个数对应一元二次方程根的个数（Δ>0有两个交点，Δ=0有一个交点，Δ<02.函数与不等式关联技巧（图像题核心，快速得分）：①解集判断口诀：“上大下小”②单函数与不等式关联：一次函数y=kx+b，y>0的解集对应图像在x轴上方的x范围，y<0对应x轴下方的x范围；二次函数需结合开口方向、对称轴，判断图像在x轴上方/下方的区间，注意取值范围限制；变式演练【变式01】小明利用一条直线将一个二次函数图象在处截断，剩下的图象如图所示，小明将剩下的图象部分作为一个整体图象进行研究．发现当x的值为时，y的值为1；当x的值为2时，y的值为3；当x的值为3时，y的值为6．(1)求该图象的函数解析式；(2)若关于x的方程（t为实数），在时无解，求t的取值范围．(3)若在函数图象上有点P，Q（P与Q不重合）．P的横坐标为m，Q的横坐标为．小明对P，Q之间（含P，Q两点）的图象进行研究，当图象对应函数的最大值与最小值均不随m的变化而变化，直接写出m的取值范围．【答案】(1)(2)或(3)或【分析】本题考查一次函数和二次函数的图象与性质：（1）利用待定系数法分别求出和时函数的解析式即可；（2）求出二次函数在时的函数值y的取值范围，根据该二次函数图象与直线图象在时没有交点即可得到t的范围；（3）根据函数图象可知，两点，其中一点位于，另外一点位于，据此列出不等式组求解即可．【详解】（1）解：当时，设函数表达式为，由题可知，函数图象过和，∴，解得，∴；当时，设函数表达式为，由题可知，函数图象过，，，∴，解得，∴；∴该图象的函数解析式为；（2）解：由题可知，在时无解，问题可转化为抛物线与直线在时无交点，对于，其顶点为，当时，，作出抛物线的图象如图所示：∴，当时，，∴或；（3）解：∵，∴，∴点P、Q关于直线对称．当时，，，若，则，解得或，当时，若，则，得，∵之间的图象对应函数的最大值与最小值均不随m的变化而变化，∴根据函数图象可知，两点，其中一点位于，另外一点位于，∴①当，如图：由题意得，∴；②当，如图：由题意得，∴，综上：或．【变式02】定义：在平面直角坐标系中一点，点的纵坐标与其横坐标的差（）称为点的“影差”．例如：点的“影差”为：．(1)二次函数当时“影差”值为0．①求、的值．②求此时该二次函数点“影差”最大值．③求该二次函数点“影差”大于5时的的取值范围．(2)若二次函数的“影差”最小值为，点与点分别是此二次函数的图象与轴和轴的交点，且点与点的“影差”相等，求的值．【答案】(1)①；②；③(2)或【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数与坐标轴的交点，二次函数与不等式，熟知二次函数相关的性质是解题的关键．（1）①根据题意可得经过，把代入二次函数即可解答；②根据“影差”的定义得到新的二次函数解析式，利用二次函数的性质即可解答；②根据题意列出不等式，结合二次函数的图象解不等式即可；（2）由点与点的“影差”相等，可得，代入二次函数可得，根据二次函数的“影差”最小值为，即可求得．【详解】（1）解：①根据题意可得经过，把代入二次函数可得，，解得，所以；②二次函数的解析式为，则该二次函数点“影差”为，当时，该二次函数点“影差”有最大值为；③根据题意可得，即，令，当时，，解得，与轴的交点坐标为，，结合二次函数的图象，可得的解集为，即二次函数点“影差”大于5时，；（2）解：令，可得，，点与点的“影差”相等，，，把代入，可得，，，即，二次函数，二次函数的“影差”最小值为，的最小值为，则可得，解得，故的值为或．【变式03】抛物线的顶点纵坐标与抛物线的顶点纵坐标之和为4．(1)求的值；(2)已知为抛物线上一点，为抛物线上一点．（i）若仅存在一个正数，使得，求的最大值；（ii）若，且当时，总有，求的取值范围．【答案】(1)(2)（i）；（ii）【分析】（1）分别求出抛物线与抛物线的顶点坐标，建立关于n的方程求解即可；（2）（i）由（1）得，根据题意得到，即，由仅存在一个正数，使得，则关于的一元二次方程，有两个相等的正数根，求出，，得到，即可解答；（ii）根据题意求出，，由，得到，求出，即可解答．【详解】（1）解：∵，，∴抛物线顶点坐标为，抛物线的顶点坐标为，∵抛物线的顶点纵坐标与抛物线的顶点纵坐标之和为4，∴，即；（2）解：（i）由（1）知，∴抛物线，∵为抛物线上一点，∴，∵，即，∴，即，∵仅存在一个正数，使得，∴关于的一元二次方程，有两个相等的正数根，∴，即，解得：，当时，，解得：（舍去，不符合题意）；当时，，解得：（符合题意）；∴，∴，∵为抛物线上一点，∴，∴，∵，∴当时，有最大值；（ii）∵，，且为抛物线上，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴．【点睛】本题考查了二次函数的图象性质，二次函数与一元二次方程的关系，二次函数与不等式，正确掌握相关性质内容是解题的关键．模块说明：模块说明：1.选题标准：精选10-15道高质量的中考真题、最新模考题。

2.综合性：题目应覆盖多个考向，具有较强的综合性。（学科存在差异化）或选题应覆盖本专题所有考向，综合类试题中涉及该专题考向的试题做标注。题型04函数与几何图形的综合典例引领【典例01】如图，反比例函数与一次函数的图象交于点，轴于点D，分别交反比例函数与一次函数的图象于点B、C．(1)求反比例函数和一次函数的表达式；(2)连接，若，求的面积．【答案】(1)，(2)【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数的交点问题，涉及待定系数法求函数解析式等知识点，正确求出函数解析式是解题的关键．（1）将点A坐标分别代入两个解析式得到k、m值即可；（2）将分别代入两个解析式求出点B、C坐标，根据三角形面积公式计算即可．【详解】（1）解：∵点在反比例函数图象上，∴，∴反比例函数解析式为：，∵的图象过点，∴，解得，∴一次函数解析式为：．（2）解：∵轴于点D，，∴，∴将代入得，∴，将代入得，∴，∴，∴．【典例02】如图，抛物线与轴交于点，与轴交于点，点是直线下方抛物线上的点．(1)求的值；(2)连接，过点作轴于点，交于点，若，求点的坐标；(3)如图，点是直线上方的抛物线上一动点，当时，求点的坐标．【答案】(1)(2)(3)【分析】（）利用待定系数法求出值，进而即可求解；（）由二次函数解析式可得，进而得到，即得，再利用待定系数法可得直线的解析式为，设，则，可得，即得到，求出的值即可求解；（）设直线交轴于，可证，得到，得到，即得直线解析式为，联立一次函数和二次函数解析式，求出方程组的解即可求解；本题考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的几何应用，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于点，∴，解得，∴；（2）解：由（）得抛物线的解析式为，把代入，得，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，设直线的解析式为，把和代入得，，解得，∴直线的解析式为，设，则，∴，∴，解得，∴；（3）解：如图，设直线交轴于，∵，∴，∴，∴，同理可得直线的解析式为，由，解得或，∵点是直线上方的抛物线上一动点，∴．方法透视考向解读函数与三角形：利用函数解析式求三角形顶点坐标，计算三角形的面积（割补法、底乘高），判断三角形的形状（等腰、直角）函数与四边形：结合一次函数、二次函数图像，求平行四边形、矩形、菱形、正方形的顶点坐标，探究四边形的存在性问题方法技能核心前提——点坐标的求解技巧（重中之重）：①已知函数解析式，求几何图形顶点坐标：直接令x=0、y=0求坐标轴交点，或利用二次函数对称轴、顶点式求顶点，这是后续计算的基础；②已知几何图形性质，求未知点坐标：结合图形边长、角度、对称关系（如平行、垂直、等腰、直角），用“设坐标法”（设未知数，结合几何关系列方程）求解，安徽中考常设动点坐标为（x，y），再结合函数解析式转化为单变量求解；③辅助线技巧：过动点作x轴、y轴垂线，构造直角三角形或矩形，将几何边长转化为坐标差（水平距离=|x₁-x₂|，垂直距离=|y₁-y₂|），简化计算。变式演练【变式01】如图，在平面直角坐标系中，直线：与反比例函数的图象交于、两点，与轴相交于点，已知点的坐标是．(1)求反比例函数的解析式；(2)点为反比例函数图象的任意一点．若，求点的坐标．【答案】(1)(2)或【分析】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了待定系数法求反比例函数的解析式，一次函数图象与x轴的交点，坐标与图形，三角形面积，数形结合是解题关键．（1）先求出坐标，再由待定系数法求解；（2）根据图象求出，再根据求出，根据三角形的面积公式即可求解．【详解】（1）解：将代入得，，∴，将代入得：，∴反比例函数解析式为：；（2）解：把代入得：，即点的坐标为：，，，，，∴，当点的纵坐标为2时，则，解得，当点的纵坐标为时，则，解得，点的坐标为或．【变式02】如图，抛物线与轴相交于两点，与轴相交于点，且点与点的坐标分别为，，点是抛物线的顶点．(1)求此二次函数的关系式；(2)点为线段上一个动点，过点作轴于点．若，的面积为，①求与的函数关系式，写出自变量的取值范围；②求的最大值以及此时点的坐标．【答案】(1)(2)①，；②有最大值为，【分析】（1）将，代入得到，求出，即可得到二次函数的关系式为；（2）①先求出，继而求出线段的解析式，结合题意即可得到答案；②由抛物线性质求最值即可得到答案．【详解】（1）解：将，代入得，解得：，二次函数的关系式为；（2）解：①，点是抛物线的顶点，，设线段的解析式为，将，代入得，解得，线段的解析式为，轴，，，，，，；②，，当时，有最大值，最大值为，此时，．【点睛】本题考查二次函数与一次函数综合，涉及待定系数法确定抛物线解析式、解二元一次方程组、待定系数法确定一次函数解析式、抛物线图象与性质、二次函数一般式化为顶点式、二次函数求最值等知识，熟练掌握二次函数图象与性质是解决问题的关键．【变式03】如图，已知抛物线的图象与轴交于点和，与轴交于点，点是抛物线的顶点．(1)求抛物线的表达式；(2)如图，过点作交抛物线于点．（ⅰ）连接，，求的面积；（ⅱ）将抛物线的顶点沿直线移动得到一个新抛物线，若新抛物线的顶点与点，点能构成等腰三角形，试求出平移后的抛物线的表达式．【答案】(1)(2)（ⅰ）；（ⅱ）或或【分析】（1）将点和代入，解方程组即可；（2）（ⅰ）确定，，确定直线的解析式为，直线的解析式为，联立，得，，，再计算即可；（ⅱ）分两种情况：①当点在的垂直平分线上时，②如图，以点为圆心，为半径作圆，交直线于点，分别求解即可．【详解】（1）解：∵抛物线的图象与轴交于点和，∴，解得：，∴抛物线的表达式为；（2）（ⅰ）∵抛物线的图象与轴交于点，点是抛物线的顶点，当时，，∴，，设直线的解析式为，过点，，∴，解得：，∴直线的解析式为，∵，设直线的解析式为，过点，∴，∴，∴直线的解析式为，联立，解得：或，∴，∵，，∴，，∴，∴的面积为；（ⅱ）①当点在的垂直平分线上时，则，∴为等腰三角形，此时点的纵坐标为，且在直线：上，设，∴，解得：，∴抛物线的表达式为；②如图，以点为圆心，为半径作圆，交直线于点，则，∴为等腰三角形，∵，且点在直线：上，设，∴，解得：或，∴点的坐标为或，此时抛物线的表达式为或；综上所述，平移后的抛物线的表达式为或或．【点睛】本题是二次函数与几何的综合题，考查了待定系数法确定函数解析式，二次函数图象与坐标轴的交点，二次函数图象的平移，二次函数与一次函数的交点，垂直平分线的性质，等腰三角形的判定，两点间的距离等知识点，利用分类讨论的思想解决问题是解题的关键．题型05二次函数的最值与实际应用典例引领【典例01】已知二次函数，若该二次函数图像与x轴交于点、，与y轴交于点．(1)求该二次函数解析式；(2)点P为二次函数图像位于第一象限上一点，连接相交于点D，求的最大值．(3)若时，总满足，求t的取值范围．【答案】(1)(2)(3)或【分析】（1）根据待定系数法求解即可．（2）先根据待定系数法求出直线的解析式为，过点P作轴交于点，过点A作轴交于点，则，，设，则，，证明，得出，从而得出当时，有最大值，最大值为．（3）根据抛物线解析式得出当时，有最大值，最大值为，要使对任意x满足，总满足，则要么整个范围在左侧，要么在右侧，且端点函数值亦小于3，令，求出或，则或，即可得或．【详解】（1）解：将点、、代入，得，解得：，则二次函数解析式为．（2）解：设直线的解析式为，将、代入得，解得：，则直线的解析式为，过点P作轴交于点，过点A作轴交于点，则，，设，则，∴，∵，∴，∴，∴，∵，，∴当时，有最大值，最大值为．（3）解：∵，∴当时，有最大值，最大值为，令，则，解得：或，若时，总满足，则或，∴或．【点睛】该题考查了二次函数的图象和性质，二次函数解析式求解，相似三角形的性质和判定，解一元二次方程，一次函数的解析式求解等知识点，解题的关键是掌握以上知识点【典例02】在平面直角坐标系中，为坐标原点，抛物线（，，为常数，且）与轴交于，两点，与轴交于点，对称轴为直线．(1)求抛物线的表达式；(2)已知横坐标分别为，的两个动点，均在线段上（不包括端点，），且，求的最小值；(3)若是第四象限内抛物线上的一点，横坐标为，过点作轴的平行线交直线于点，交轴于点，当时，求的值．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）将点的坐标代入解析式，结合对称轴代入公式即可求得；（2）利用坐标表示，然后利用二次函数的性质求的最小值；（3）利用点的坐标表达线段长度，再利用线段表达面积，最后利用求出的值【详解】解：（1）由题意得解得抛物线的表达式为．（2）如图，过点作轴于点，过点作轴于点，过点作于点．设，解得：即：直线的函数表达式为．由题意，得点，，其中，，，，当时，取最小值为．（3）如图，当时；，解得：，即：点，点，，，其中，．，，，．，，，解得，（舍去），的值为．【点睛】本题考查了二次函数图象、性质及最值、待定系数法求函数解析式、二次函数与三角形及梯形的面积等，关键是二次函数的性质的应用.方法透视考向解读实际应用题：结合利润、面积、行程、增长率等实际场景，构建二次函数模型，求最大值、最小值（注意自变量的取值范围，需符合实际意义）几何最值：在二次函数图像中，求线段长度的最值、三角形周长/面积的最值，常结合对称性质（如将军饮马模型）求解方法技能核心原则：“建模优先，取值范围为王”，核心思路是“提炼实际数量关系→构建二次函数模型→结合取值范围求最值”，适配中考实际应用题（常为第22题），重点突破“建模技巧”“最值判断”“实际约束”三大核心。核心步骤——二次函数实际应用建模技巧（必掌握，安徽中考高频）：①审题分层：先区分“自变量（变化量）”和“因变量（所求量）”，明确题目中的数量关系（如利润=单价×销量、面积=长×宽），排除无关信息；②设元技巧：优先设“直接影响所求量的变量”为自变量x，因变量为y，避免设元过复杂导致解析式出错（如利润问题设售价为x，行程问题设速度为x）；③列解析式：根据数量关系列出二次函数解析式，整理为一般式或顶点式（优先顶点式，方便后续求最值），注意统一单位（如长度单位、货币单位），避免单位混淆。变式演练【变式01】在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，抛物线的顶点为，且与y轴交于点B．(1)求a，b的值．(2)将抛物线绕点O旋转，得到抛物线，点E是抛物线上的动点，当面积最小时，求点E的坐标．(3)抛物线关于直线对称的图象与直线相交于点P，Q，若，求m的取值范围．【答案】(1)，(2)(3)【分析】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，图象旋转的性质，图象对称的性质是解题的关键．（1）根据抛物线顶点纵、横坐标列式求解即可；（2）由（1）知抛物线的解析式，得，求出点绕点O旋转，得到点，得抛物线的表达式为，求出直线的函数表达式为，并可得向下平移得到直线l，当直线l与抛物线恰有一个公共点时，此公共点即为符合题意的点E，此时的面积最小,设直线l的函数表达式为，，求出直线l的函数表达式为，令，根据可求得的值，即可解决问题；（3）求出顶点点A关于直线对称的点D，此点为对称的抛物线的顶点，从而求出对称后的抛物线解析式为，联立方程，再由根与系数的关系求出，由题意可得，求出m的取值范围即可．【详解】（1）解：∵是抛物线的顶点，，，，，；（2）解：由（1）知抛物线的解析式，当时，，∴；将点绕点O旋转，得到点，则即为抛物线的顶点．又抛物线开口大小不变，开口向下，∴抛物线的表达式为．设直线的解析式为，∵，，∴，解得，∴直线的函数表达式为．将直线向下平移得到直线l，当直线l与抛物线恰有一个公共点时，此公共点即为符合题意的点E，此时的面积最小,设直线l的函数表达式为，，将代入，得，∴，直线l的函数表达式为．令，整理，得，当时，，即，解得，；（3）解：设点A关于直线对称的点为D，则，．∴抛物线关于直线对称的图象的函数表达式为．令，整理，得，则，，，∵P，Q是直线上的点，，，∴，，．【变式02】在平面直角坐标系中，抛物线（b，c为常数）经过点和，M，N是抛物线上不同的两点，点M的坐标为，点N的坐标为．将抛物线上M，N两点之间的部分（包括M，N两点）记为图象G．(1)求抛物线的表达式；(2)求图象G上最高点与最低点的纵坐标的差d；（用含t的式子表示）(3)已知点，，若，当图象G在直线上方时，求t的取值范围．【答案】(1)(2)(3)【分析】本题为二次函数综合运用，涉及到解不等式、待定系数法求函数表达式等，数形结合是解题的关键．（1）由待定系数法即可求解；（2）证明点M，N关于直线对称，则，则图象G的最高点纵坐标为4，即可求解；（3）要使图象G在直线上方，即对于，都有，即，进而求解．【详解】（1）解：将点和代入，得，解得，抛物线的表达式为．（2）解：将化为顶点式为，抛物线的顶点坐标为，抛物线的对称轴为直线．，点M，N关于直线对称，．图象G的最高点纵坐标为4，将代入，得，．（3）解：由题意知直线的方程为，当时，，要使图象G在直线上方，即对于，都有，即．由二次函数图象解不等式，得，要在内，解得．，．【变式03】如图，已知直线与抛物线交于点，，且点在轴上，是轴上一点，连接．(1)求的值；(2)当取得最小值时，求点P的坐标；(3)若直线交直线于点（点在线段上，不与端点重合），交抛物线于点，连接．设，求关于的函数表达式，并求出的最小值．【答案】(1)，，(2)(3)，【分析】（）把代入可求出，即得直线的解析式为，进而得到，再利用待定系数法可求出的值；（）取点关于轴的对称点，连接交轴于点，可得最小，利用待定系数法求出直线的解析式进而即可求解；（）设点，则点，可得，，即得到，再把二次函数转化为顶点式即可求解；本题考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的几何应用，二次函数的性质，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．【详解】（1）解：把代入，得，∴，∴直线的解析式为，把代入，得，∴，∴，把和代入抛物线得，，解得，即，；（2）解：取点关于轴的对称点，连接交轴于点，则此时最小，设直线的解析式为，把和代入得，，解得，∴直线的解析式为，∴点的坐标为；（3）解：设点，则点，∴，，∴，即，∵，∴当时，取最小值，最小值为．题型06函数综合探究题典例引领【典例01】如图，二次函数的图象交x轴于点，，交y轴于点，连接，点P是线段上一动点．过点P作直线，交线段于点E，交y轴于点D，交二次函数的图象于点F．且点F在第一象限．(1)求二次函数的解析式；(2)当点P为线段的三等分点时，求点P的坐标；(3)在点P运动的过程中，是否存在的情况？若存在．求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)(2)或(3)不存在，理由见解析【分析】（1）利用待定系数法求解即可；（2）利用正切函数求得，即，推出．得到，设，则，由，得到，分两种情况讨论，或，列式计算即可求解；（3）假设存在．则，过点F作于点H，交于点G，利用面积公式得到，设，得到，利用根的判别式即可判断．【详解】（1）解：∵二次函数的图象交x轴于点，，∴设二次函数的表达式为．将点代入，得，解得．∴二次函数的表达式为；（2）解：∵，，，∴，，．∴，．∵，，∴．∴．∴．∵，∴，．∴．设，则．∴，．∵，∴，∴．∵点P为线段的三等分点，∴或，即或．∴或．∴点P的坐标为或；（3）解：不存在．理由：假设在线段上存在点P，使得，则，连接，如图所示，则．过点F作于点H，交于点G，则．∴．∵，，设直线的表达式为，则，解得，∴直线的表达式为．设，则，．∴，整理，得．∵，∴该方程无实数解．∴假设不成立．∴在线段上不存在点P，使得．【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，一次函数的图象与性质，锐角三角函数，三角形的面积公式，一元二次方程根的判别式．解决问题的关键是转化条件，列出方程．【典例02】如图1，抛物线与轴相交于点、，对称轴是直线，点是抛物线的顶点，直线与轴交于点．(1)求此抛物线的解析式；(2)若点是轴上一动点，分别连接，求的最小值；(3)点是直线上方抛物线上一点，连接交于点，若，如图2，求点的坐标．【答案】(1)(2)的最小值为(3)点的坐标为或【分析】（1）把点，对称轴为直线，代入解析式，运用待定系数法即可求解；（2）根据题意分别求出，，在y轴上作点D的对称点，连接交于点，此时的值最小，根据轴对称最短路径的方法即可求解；（3）根据题意求出直线的解析式，设，则，，根据题意可得，结合相似三角形的性质即可求解．【详解】（1）解：∵抛物线经过点，对称轴为直线，∴，解得，∴该抛物线的解析式为；（2）解：∵，∴，设直线的解析式为，则，解得，∴直线AM的解析式为，当时，，∴．如图1，在y轴上作点D的对称点，连接交于点，此时的值最小．过点M作轴于点T，∴，∴，∴的最小值为；（3）解：抛物线的解析式为，∴令时，；令时，,解得，，，∴，,∴直线的解析式为．如图2，过点E，P分别作，，垂足分别为F，H．设，则，，∵，，∴，∴，，∴，，∴，∵点P在抛物线上，∴，得，，∴，∴P的坐标为或．【点睛】本题主要考查二次函数图象的性质，掌握待定系数法求解析式，轴对称最短路径的计算方法，相似三角形的判定和性质是解题的关键．方法透视考向解读第一问：求函数解析式第二问：几何图形的判定、面积计算，或函数与不等式的结合第三问：存在性问题（如是否存在点，使三角形为等腰直角三角形、四边形为平行四边形）、最值探究、动态问题（点在函数图像上运动，探究线段、面积的变化规律）方法技能核心原则：“分层突破，数形结合，分类讨论”，核心思路是“先拿基础分→再攻中档分→最后突破难点分”，适配安徽中考第22、23题压轴题型（2-3小问递进式命题），重点突破“分步得分”“动态分析”“存在性探究”三大核心，避免因难题放弃全题。1.分层得分技巧（中考压轴题核心策略，必掌握）：①第一问（基础分，必拿）：通常考查“求函数解析式”，核心用“待定系数法”，结合题干给出的点坐标、图像特征（如顶点、交点），快速求解，确保计算无误，这一步是后续解题的基础，切勿失分；②第二问（中档分，突破关键）：多考查“几何图形判定（等腰、直角三角形，平行四边形）”“面积计算”“函数与不等式结合”，核心是“将几何性质转化为坐标关系”，利用割补法求面积、两点间距离公式判定图形形状，步骤清晰，避免跳步（安徽中考评分标准中，步骤分占比高）；③第三问（难点分，量力而行）：多考查“存在性问题”“动态最值”“多变量探究”，优先找特殊情况（如顶点、交点、对称点），再分类讨论，无法完整求解时，可写出关键步骤（如设动点坐标、列出方程），争取步骤分，不盲目放弃。解题步骤模板：①第一步：处理第一问，求函数解析式（待定系数法），验证参数是否符合题意；②第二步：分析第二问，提取几何条件，转化为坐标关系，列方程或利用公式求解，书写规范步骤；③第三步：探究第三问，先明确探究目标（存在性/最值），设动点坐标，分类讨论所有可能情况，列出方程，求解并验证（贴合取值范围、图形存在性）；④第四步：总结结论，确保答案完整，无漏解、错解。变式演练【变式01】如图，在平面直角坐标系中，正方形的边，分别在x轴和y轴上，若反比例函数的图象分别交，于点M，N．(1)求证：．(2)D是边上靠近点A的三等分点，将沿直线折叠后得到，若反比例函数的图象经过点，且，求k的值．【答案】(1)见解析(2)【分析】本题考查了正方形的性质，反比例函数图象上点的坐标特征，三角形相似的判定和性质，求得的坐标是解题的关键．（1）设正方形的边长为a，点，则，则，即可求解；（2）证明，得到，，，则，即可求解．【详解】（1）证明：设正方形的边长为a，则点，则，则（2）解：过作于F，交于E，，，，，，，，设，，正方形的边分别在x轴和y轴上，，点D是边上靠近点A的三等分点，，则，解得：，，反比例函数的图象经过点，．【变式02】如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像与x轴、y轴分别交于A、B两点，与反比例函数的图像相交于C、D两点，点D的横坐标为3．轴，垂足为E．(1)写出点A、B、D的坐标，并求反比例函数的解析式：(2)M是反比例函数图像上的一个动点且在点D右侧，过点M作轴，垂足为F、是否存在这样的点M，使得以点M、E、F为顶点的三角形与相似？如果存在，请求出所有满足条件的点M坐标，如果不存在，请说明理由．【答案】(1)，，，反比例函数的解析式为；(2)或【分析】（1）由一次函数的，，，分别求解对应的，，从而可得点A、B、D的坐标，再代入D的坐标可得反比例函数解析式；（2）如图，于，证明，由在的右侧，分两种情况：当时，设，当时，再利用相似三角形的性质建立方程求解即可．【详解】（1）解：一次函数，当，则，当，则，∴，，当时，，∴，在反比例函数上，，，反比例函数的解析式为；（2）解：如图，于，∴，∵点M、E、F为顶点的三角形与相似，在的右侧，当时，∴，设，∴，解得：，（不符合题意，舍去），∴，当时，∴，∴，解得：，（不符合题意，舍去），∴，∴．综上：或．【点睛】本题考查的是一次函数与反比例函数的综合应用，一次函数与坐标轴的交点坐标，相似三角形的性质，一元二次方程的解法，清晰的分类讨论是解本题的关键．【变式03】如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于两点，与轴交于点．(1)求一次函数的解析式；(2)设为线段上的一个动点（不包括，两点），过点作轴交反比例函数图象于点，当的面积是4时，求点的坐标．【答案】(1)一次函数的解析式为(2)【分析】本题是反比例函数综合题，考查了待定系数法求解析式，灵活运用这些性质解决问题是解题关键．（1）由待定系数法即可求解；（2）由即可求解。【详解】（1）把，代入中，得，．又，在一次函数的图象上，，解得，一次函数的解析式为．（2）由（1）可知，设点的坐标为，则．，．解得，．题●型●训●练一、单选题1．如图，是菱形的对角线，把菱形沿着对角线方向平移，得到菱形，，分别交，于点，，连接，若，，则与之间的关系大致可以用函数图象表示为（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】先利用菱形和平移的性质得到线段与角度的关系，再通过三角函数表示出的长度，从而建立与的函数关系式，最后根据函数的性质判断对应的函数图象．【详解】解：如图，记交于点，∵四边形是菱形，∴，设，则，设，则由平移的性质可知，，∴，∴，∴，∴∙，∵为定值，为定值，∴为定值，且小于，∙为定值，且大于，∴是关于的一次函数，且随的增大而减小，∴选项符合题意．2．如图，一次函数的图象如图所示，则二次函数的图象大致为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本题考查二次函数的图象、一次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．根据一次函数的图象可以判断，，从而可以判断二次函数的图象的开口方向、对称轴以及与轴的交点，从而可以解答本题．【详解】解：由一次函数的图象可得，，二次函数的图象开口向上，对称轴为直线，交轴于，，二次函数的图象与轴有两个交点，故选：B．3．如图是二次函数图象的一部分，其对称轴是直线，且与轴交于点，下列结论中：①；②；③（为任意实数）；④若抛物线经过，则关于的一元二次方程的两个根分别是，．其中正确的结论有（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C【分析】本题考查二次函数图象与性质，涉及由二次函数图象与性质确定系数及式子符号、函数最大值定义、函数与方程的关系等知识，熟记二次函数图象与性质是解决问题的关键．先由二次函数图象与性质判定符号，进而判断①错误；令时，由图象中点的位置即可判断②正确；由最大值定义即可判断③正确；由函数图象与方程的关系即可判断④正确，从而得到答案．【详解】解：由抛物线开口向下，可得；由抛物线对称轴是直线，可得，结合即可确定；由抛物线与轴交点在正半轴上，可得；综上可得，故①错误；二次函数图象与轴交于点，对称轴是直线，二次函数图象与轴另一个交点为，则当时，，故②正确；由可得，则，又抛物线开口向下，对称轴是直线，当时，抛物线有最大值，为，则由最大值定义，当时（为任意实数），，故③正确；由抛物线的对称性可知，若抛物线经过，则抛物线必定经过，关于的一元二次方程的两个根就是抛物线与直线的交点的横坐标，当抛物线经过和时，关于的一元二次方程的两个根分别是，，故④正确；综上所述，结论中正确的是②③④，共3个，故选：C．4．抛物线交x轴于点，若，则n的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本题主要考查了抛物线与轴的交点，二次函数的性质和对称性．，解题的关键是掌握二次函数的性质．根据二次函数的性质得到抛物线的对称轴为直线，则点与点关于直线对称，然后根据点在与之间可判断点在与之间，从而得到的取值范围．【详解】解：∵抛物线的对称轴为直线，而抛物线交轴于点，∴点与点关于直线对称，∵，即点在与之间，点在与之间，，故选：C．二、填空题5．新定义：我们把二次函数(其中)与称为“相关函数”．例如：二次函数的“相关函数”为．已知二次函数的“相关函数”为．（1）二次函数的对称轴为直线____；（2）已知二次函数的图象与x轴交于点M，N，二次函数的图象与x轴交于点P，Q，若，则二次函数与对称轴之间的距离为____．【答案】6【分析】（1）根据“相关函数”定义写出的解析式，利用二次函数对称轴公式求解；（2）利用二次函数与x轴交点距离公式，结合列方程求出a的值，再计算两个对称轴的距离．【详解】解：（1）由“相关函数”的定义，得的解析式为，∴二次函数的对称轴为直线；（2）对于二次函数，设其与x轴两交点横坐标为，，由根与系数的关系得：，，∴，∴两交点距离，对于，判别式，则，由得且，对于，判别式，则，由且得，综上，a的取值范围为，由，得，因为，两边同乘得，两边平方得：，解得，符合取值范围，的对称轴为直线，的对称轴为直线，则两对称轴之间的距离为．6．如图，在平面直角坐标系中，菱形的边长为6，反比例函数的图象经过点A交于点D，若点D是的中点，则求k的值为_____．【答案】【分析】本题考查反比例函数与几何的综合应用，根据菱形的性质，得到轴，设，得到，进而求出点坐标，根据反比例函数图象上的点的横纵坐标之积为，列出方程求出的值，作轴，求出点坐标，进而求出值即可．【详解】解：∵菱形的边长为6，∴，∴，轴，设，则，∵点D是的中点，∴，即，∴，解得，∴过点作轴，则：，∴，∴，∴；故答案为：．7．如图，矩形的边，点是边上的一个动点（不与点重合），过点的反比例函数的图象与边交于点．当四边形的面积最大时，的长度为______．【答案】【分析】本题考查了反比例函数与图形的综合，掌握矩形的性质，图形面积与反比例函数系数的关系是关键．根据题意点的纵坐标为，点的横坐标为，则，，由代入计算得到，由此即可求解．【详解】解：∵四边形是矩形，，∴，∴，过点的反比例函数的图象与边交于点，∴点的纵坐标为，点的横坐标为，∴，，∴，∴，∵，当时，四边形的面积最大，最大值为，∴，故答案为：．8．定义：若一个函数图象上存在纵坐标是横坐标倍的点，则把该函数称为“倍值函数”，该点称为“倍值点”．例如：“倍值函数”，其“倍值点”为．（1）函数的图象上的“倍值点”是_____．（2）若关于的函数的图象上有两个“倍值点”，则的取值范围是_____．【答案】和且【分析】本题考查了函数的新定义问题，反比例函数，二次函数，一元二次方程，理解新定义是解题的关键．（1）根据“倍值函数”的定义代入即可求解．（2）根据“倍值函数”的定义代入即可列一元二次方程，再根据题意令即可．【详解】解：（1）函数中，令，则，解得：或，经检验或都是原方程的解，∴函数的图象上的“倍值点”是和，故答案为：是和．（2）在中，令，则，整理得，∵关于x的函数的图象上有两个“倍值点”，∴且，解得：且，故答案为：且．9．如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点A的坐标为，反比例函数（）的图象经过点B与点D，点B的纵坐标为3．（1）k的值为__________；（2）E为该反比例函数图象上的一点，若的面积等于正方形的面积，则点E的坐标为__________．【答案】或【分析】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，全等三角形的判定和性质，勾股定理，正方形的性质．（1）依据题意，分别过B、D作轴于E，轴于F，进而可得（），故，，又点B的纵坐标为3，且B在反比例函数上，则，，从而，结合D在反比例函数上，从而计算可以得解；（2）依据题意，结合（1）可得，，反比例函数为，则，又，则，则，又设E为，则，进而计算可以得解．【详解】解：（1）如图，分别过B、D作轴于E，轴于F，∴，∴．∵四边形是正方形，∴，，∴．∴．∵，，∴（）．∴，．∵点B的纵坐标为3，且B在反比例函数上，∴，．又∵A为，∴，，∴．又∵D在反比例函数上，∴，∴．故答案为：；（2）由题意，结合（1）可得，，反比例函数为，∴．又∵，∴．∴．设E为，∴，∴，∴或．故答案为：或．10．如图，函数与图象相交于点，两点，则不等式的解集为______．【答案】或【分析】本题考查了一次函数与反比例函数比较大小，解题关键是树立数形结合思想，准确利用图象求解．利用两个函数交点求解即可．【详解】解：∵函数与的图象相交于点，两点，∴由图象得，当或时，函数的图象在上面，∴不等式的解集为或．故答案为：或．三、解答题11．如图，一次函数与反比例函数的图象交于点和点．(1)求一次函数与反比例函数的表达式；(2)已知点C是位于反比例函数的图象在第四象限部分上的一点，直线交y轴于点D，若．①求线段的长；②求的面积．【答案】(1)反比例函数的表达式为，一次函数的表达式为；(2)①的长为；②的面积为．【分析】（1）首先，根据交点代入反比例函数的表达式，求出，进而得出反比例函数的表达式，然后，将点代入反比例函数的表达式求出，再将点、坐标分别代入一次函数的表达式中即可求得一次函数表达式；（2）①利用已知条件巧妙构造辅助线，进而得出，，根据，可求得，进而求得，，最后，在中，由勾股定理即可求得的长；②由，可求出的长，进而求出的长，最后，运用“整体减部分”思想可得出，根据三角形的面积公式代入计算即可．【详解】（1）解：∵点在反比例函数的图象上，∴，解得．∴反比例函数的表达式为．把点代入，得，解得．∴点．把点，分别代入，得，解得．∴一次函数的表达式为；（2）①如图，过点作轴于点，过点作轴于点．∴．∴．∴．∵，点，∴，，．∴，解得．∵点在反比例函数的图象上，∴当时，．∴点．∴．在中，由勾股定理，得．∴的长为；②∵点，，∴，．由①知，∴，即，解得．∴．∴．∴的面积为．【点睛】本题主要考查了反比例函数与一次函数的综合应用、相似三角形的判定与性质、勾股定理、三角形的面积公式．解题的关键是熟练掌握反比例函数与一次函数的图象与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理；充分理解“逢点必代”思想在函数中的重要性，能利用“整体减部分”思想求解特殊三角形的面积．12．已知二次函数，．(1)当时，求此函数图象的对称轴；(2)若点，均在该函数图象上；（i）是否存在常数，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由；（ⅱ）令，若该函数在时，y随x的增大而减小，在时，y随x的增大而增大，求a的取值范围．【答案】(1)直线(2)（i）存在，；（ii）【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象与性质．（1）将代入，整理得，即可求解对称轴；（2）（i）将点，代入，求出，，再代入求解即可；（ⅱ）先求出，再由二次函数的图象与性质求解即可．【详解】（1）解：将代入，则，∴，∴对称轴为直线；（2）解：（i）存在，理由如下：由题意得，将点，代入，则，，∵，∴，，∵，∴，∴；（ii）将，，代入，整理得，可得对称轴为直线，抛物线开口向上，如图：∵该函数在时，y随x的增大而减小，在时，y随x的增大而增大，∴，解得∴a的取值范围为．13．在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，已知抛物线与x轴相交于两点，与y轴相交于点C，连接．(1)求b，c的值；(2)连接，过点O作交于D，记的面积分别为，求的值；(3)过点A作的垂线交抛物线于点P，求线段的长．【答案】(1)，(2)(3)【分析】本题主要考查了二次函数综合，求二次函数解析式，平行线分线段成比例定理，等腰直角三角形的性质与判定，两点距离计算公式，熟知二次函数的相关知识是解题的关键．（1）