湖南省天壹名校联盟2026届高三年级4月质量检测（6360C）数学+答案

高三年级4月质量检测(试卷满分:150分,考试时间:120分钟)注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上,并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置。2.回答选择题时,选出每小题答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号;回答非选择题时,用0.5mm的黑色字迹签字笔将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效。3.考试结束后,请将答题卡上交。一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.若集合A={-1,2,3,5,8},B={x|2x<8},则A∩B=A.{-1,2}B.{-1}C.{2,3}D.{2,3,5}3.在正项等比数列{an}中,a4,3a2,a3成等差数列,则数列{an}的公比为4.某大学有A,B,C,D四个社团在招生.5名学生去报名,每个社团至少有1名学生,则不同的报名方怯共有5.已知函数fx-lOgax(a>0,且a≠1)在[1,+∞)上的值域为[2动点,且MN=2,则DM●DN的最小值为6.如图,在梯形ABCD中,AD聂BC,BC=2AB=2AD=8,B=,若M,动点,且MN=2,则DM●DN的最小值为7.从椭圆上一点P向x轴作垂线,垂足恰好为左焦点F1.椭圆与x轴正半轴交点为A,椭圆与y轴正半轴交点为B,若AB聂0P(0为原点),则该椭圆的离心率为AC.D.【高三数学第1页(共4页)】6360C【高三数学第2页(共4页)】6360C8.设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,C,△ABC的面积为sin/sin2B+sin2C,则abC=二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.A.z=1-iB.z=2C.z在复平面内对应的点位于第一象限D.复数⑴满足⑴=1,则⑴-z的最大值为 10.如图,四边形ABCD是正方形,AE丄平面ABCD,CF丄平面ABCD,AE=CF=AB=2, A.几何体的体积为B.BE,DF是您面直线C.EG丄FGD.点A到平面BDE的距离为11.已知抛物线C:y2=8x的焦点为F,过点F的直线l与C交于A,B两点,D是C的准线与x轴的交点,则下列说法正确的是 A.若lBFl=4lAFl则直线 B.lAFl+4lBFl≥18C.0o<LA0B<90o(0为坐标原点)D.当取最小值时,lAFl=412.直线3x+4y+2=0被圆(x-1)2+y2=9截得的弦长为.13.已知直线l与函数fx2的图象在x=x1(x1≠0)处相切,与函数gx3的图象在x=x2(x2≠0)处相切,则x2-x1=.14.已知函数f(x)=sinx+sin2x+…+sin2024x,则f(x)在上共有个零点.【高三数学第3页(共4页)】6360C已知正项数列{an}满足a1=1,且●(1)证明:{a}为等差数列;(2)求数列的前n项和Tn●某企业招聘方怯分笔试、面试两个环节进行,先进行笔试,笔试合格后才能参加面试,面试合格后便正怯录取,且这两个环节能否通过相互独立●现有甲、乙、丙三名大学生参加了该企业的招聘,假设甲通过笔试、面试的概率分别为乙、丙通过笔试的概率均为2(1)求甲、乙、丙三人中至少有一人被该企业正怯录取的概率;(2)为鼓励优秀大学生积极参与企业的招聘工作,该企业决定给报名参加应聘的大学生一定的补贴,补贴标准如下表:参与环节笔试面试补贴(元)记甲、乙、丙三人获得的所有补贴之和为X元,求X的分布列和数学期望●【高三数学第4页(共4页)】6360C如图,D,E分别为等边三角形ABC的边AC,AB的中点,DE=2,将▽ADE沿DE折起,使顶点A至点P的位置,此时平面PDET平面BCDE,M,N分别为PE,CD的中点.(1)证明:MN聂平面PBC;(2)若点P,B,C,D,E在同一球面上,设该球面的球心为0.(i)求球0的表面积;(ii)求平面0MN与平面PDE的夹角的余弦值.18.(本小题满分17分)已知函数f(x)=xlnx.(1)求f(x)的极小值;(2)当x<1时,f(x)<k(x-1)恒成立,求实数k的取值范围;(3)求不等怯f的解集.已知双曲线Ca<0,b<0)的渐近线互相垂直,F1,F2分别为其左丶右焦点,双曲线与圆C2:x2+y2=C2的某个交点的横坐标为1/3.(1)求双曲线C1的标准方程;(2)过右焦点F2的直线l与C1的右支交于P,Q两点,其中点P位于第一象限内,直线F1P,F1Q分别与y轴交于M,N两点.(i)是否存在直线l使得点F2在以线段MN为直径的圆上,若存在,请求出此时直线l的斜率;若不存在,请说明理由;(ii)当lPQl=lF1F2l时,求出7PF2F1的大小.高三年级4月质量检测●数学【解析】因A={___1,2,3,5,8},B={x|2x<8}={x|x<3},则A∩B={___1,2}.故选A.以第60百分位数为19,所以众数与第60百分位数之和为16+19=35,故选D.【解析】设等比数列{an}的公比为q,q≠0,因为a4,3a2,a3成等差数列,所以2X3a2=a3+a4,即6a1q=q2+a1q3.则a1q(q2+q__6)=0,因为等比数列中a1q≠0,所以q2+q__6=0,解得q=2或q=__3(舍),故选C.【解析】先从5名学生中选出2人组成一个小组,有C种方法;再将这个两人小组与其余3名学生安排到4个不同的社团,有A种方法,根据分步乘法计数原理,共有CA=10X24=240种不同的安排.故选B.【解析】函数yx,y=__logax=logx在[1,+∞)上具有相同的单调性,所以f(x)在[1,+∞)上单调,要满足题意,则f(x)在[1,+∞)上单调递增,所以floga1=2,解得a,故选C.【解析】以点B为坐标原点,BC所在直线为x轴建立如图所示的平面直角坐标D(6,213),设M(x,0),则N(x+2,0)(其中0≤x≤6),DM=系xBy,:BC=8,：CD(6,213),设M(x,0),则N(x+2,0)(其中0≤x≤6),DM=(x__6,__21i3),=(x__4,__21i3),.=(x__6)(x__4)+(__21i3)2=x2__10x+36=(x__5)2+11,所以,当x=5时,.取得最小值11.故选C.【解析】由题意可设P(__c,y0)(c为半焦距),则koP=__,又kAB因为AB聂oP,所以得y0=,所以P(__c,,把P(__c,代入椭圆方程得所以e故选B.【解析】由sin得,sinA__cosA2=sin2B+sin2C,整理得sin2A+【高三数学参考答案第1页(共6页)】6360C【高三数学参考答案第2页(共6页)】6360Csin2B+sin2C=1,所以sin2A+sin2B__sin(2A+2B)=1,整理得sin2A+sin2B__sin2Acos2B__cos2Asin2B=1,则sin2A(1__cos2B)+sin2B(1__cos2A)=1,所以2sin2Asin2B+2sin2Bsin2A=1,即4sinAcosAsin2B+4sinBcosBsin2A=1,所以4sinAsinB(cosAsinB+sinAcosB)= 4sinAsinBsin(A+B)=4sinAsinBsinC=1,则sinAsinBsinC=4,设△ABC外接圆的半径为R,由正弦定理得,a=2RsinA,b=2RsinC,c=2RsinC,所以5ΔABCabsinCX2RsinA. 2RsinBsinC=2R2sinAsinBsinC=2=2,解得R=2;则abc=8R3sinAsinBsinC=16,故选B.【解析】≈=1__i,故A正确;2+12=12,故B错误;:≈在复平面内对应的点的坐标为(1,1),所以位于第一象限,故C正确;:复数⑴满足⑴=1,：复数⑴在复平面内对应的点在以原点为圆心的单位圆上,：≈__⑴≤【解析】由题意知,几何体的体积V=VE__ABD+VF__BCD=2X2XX2X故A正确;显然BE,DF是您面直线,故B正确;易知EG=FG=16,EF=AC=212,所以EG2+FG2≠EF2,故C错误;由上述可求得5△BDE=213,又VE__ABD则点A到平面BDE的距离为,故D正确,故选ABD.【解析】对于A,依题意得F(2,0),设直线l:x=my+2,A(x1,y1),B(x2,y2),联立,消去+y2=,B(8,__8)或A,__2),B(8,8),则直线l的斜率k故A正确;对于B,|AF|+4|BF|=x1+4x0≥18,当且仅当y=8时等号成立,故B项正确;对于C,因为x1x2+y1yy1y2=__12<0,所以LAOB>90o,故C项错误;对于D,依题意有,抛物线y2=8x的准线方程为x=__2,所以D(__2,0),F(2,0),则y=8x1,x1>0,由抛物线的定义可得|AF|=x1+2,AD=1(x1+2)2+(y1__0)2=1/x+4x1+4+8x1=【高三数学参考答案第3页(共6页)】6360C当且仅当x1=2时取等号9此时IAFI=49故D项正确.故选ABD.【解析】易知圆(x__1)2+y2=9的圆心为(190)9半径为3;由圆心(190)到直线3x+4y+2=0的距离为d所以直线被圆截得的弦长为21/9__1=412.【解析】f,(x)=x9则f,(x1)=x19所以切线方程为yx19即y=x1xg,x2解得x故x2__x【解析】由于2sin●(sinx+sin2x+…+sin2024x)=cos(x____cos+cos(2x____cos+…+cos(2024x____cos(2024x+=cos(x____cos(2024x+=f(x)=sinx+sin2x+…+sin2024x由于x∈9因此f(x)仅有零点则f(x)在(09上共有2个零点.15.【答案】(1)详见解析(2)Tn=__1+(__1)n1/n+1所以a+1__a=19故{a}是公差为1的等差数列;………………………6分(2)因为a=19所以由(1)可知9a=1+(n__1)X1=n9则an=1/n.………………8分所以nTn=__(12+1)+(13+12)__…+(__1)n(1n+1+1n)=__1+(__1)n1n+1.………………13分16.【答案】(1)(2)X的分布列见解析9E(X)=575【解析】(1)设事件A表示“甲被该企业正怯录取”9事件B表示“乙被该企业正怯录取”9事件C表示【高三数学参考答案第4页(共6页)】6360C“丙被该企业正怯录取”,………………1分则由题可知P=P…………………3分事件D表示“甲、乙、丙三人都没有被该企业正怯录取”,……………4分则P=P6分所以甲、乙、丙三人中至少有一人被该企业正怯录取的概率P=1__P………7分(2)X的所有可能取值为300,450,600,750,对应事件分别为“三人均未通过笔试”,“三人中恰有一人通过笔试”,“三人中恰有两人通过笔试”,“三人均通过笔试”,……9分P……………P…………所以X的分布列为XP 9 9数学期望E(X)=300X+450X+600X+750X=575.………………15分17.【答案】(1)详见解析(2)(i)【解析】(1)取BE的中点Q,连接MQ,QN,因为M为PE的中点,所以MQ为△PEB的中位线,则MQ聂PB,………………1分又MQ丈平面PBC,PBC平面PBC,所以MQ聂平面PBC,………2分因为N为CD的中点,所以QN为梯形BCDE的中位线,则NQ聂BC,又NQ丈平面PBC,BCC平面PBC,所以NQ聂平面PBC,………3分又MQ∩NQ=Q,所以平面MQN聂平面PBC,……………………4分因MNC平面MQN,故MN聂平面PBC;…………5分(2)取DE,BC的中点H,G,连接PH,HG,则PH丄DE,HG丄DE,因为平面PDE丄平面BCDE,所以PH丄平面BCDE,则PH丄HG,以H为原点,以HG,HD,HP所在直线分别为x,y,≈轴建立如图所示空间直角坐标系.(i)易知梯形BCDE的外接圆的圆心为G,因为OG丄平面BCDE,所以设O(13,0,≈0),由OE=OP得【高三数学参考答案第5页(共6页)】6360C所以球O的半径的平方R2=3+1+=,故球O的表面积为5=4πR……………10分设平面OMN的一个法向量为m=(x1,y1,≈1),(MN.m=0,(MN.m=0,取x1=1,1=0,由(1)可知,HG丄平面PDE,则"=(1,0,0)为平面PDE的一个法向量,故平面OMN与平面PDE的夹角的余弦值为……………15分18.【答案】(1)__(2)(__∞,1](3)(0,U(1,+∞)【解析】(1)函数f(x)=xlnx的定义域为(0,+∞),求导得f,(x)=lnx+1;令f,(x)=0,得到x……………2分0,时,f,(x)<0,函数f(x)单调递减;…………………3分当x∈,+∞时,f,(x)>0,函数f(x)单调递增;………………4分因此,f(x)在x处取得极小值fln………5分(2)当x>1时,f(x)>k(x__1)恒成立,即xlnx__k(x__1)>0恒成立;…………6分令g(x)=xlnx__k(x__1),x>1,则g,(x)=lnx+1__k,令g,(x)=lnx+1__k=0,得到x=ek__1,……………7分k__1≤1,即k≤1时,在(1,+∞)上g,(x)>0,函数g(x)单调递增,g(x)>g(1)=0,满足条件;……………………8分k__1>1,即k>1时,当1<x<ek__1时,g,(x)<0,函数g(x)单调递减,当x>ek__1时,g,(x)>0,函数g(x)单调递增,………9分所以函数g(x)在x=ek__1处有最小值g(ek__1)=k__ek__1;令h(k)=k__ek__1,k>1,则h,(k)=1__ek__1<0,所以h(k)在(1,+∞)上单调递减;h(k)<h(1)=0,即g(ek__1)<0,不满足条件;……………………11分综上所述,