山东省潍坊市2026届高三二模考试数学试题（含答案）

试卷类型：A

潍坊市高考模拟考试

数学

2026.4

注意事项：

1.答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的准考证号、姓名。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂

黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将

答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

3.考试结束，考生必须将试题卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的。

1.已知集合M={xI√x<4},N={xlx-1≥0,则M∩N=

A.{x10≤x<2}B.{xl1≤x<2}C.{x10≤x<16}D.{xl1≤x<16

2.已知一组数据3,7,a,11,11,13的中位数为10,则该组数据的平均数为

A.7B.8C.9D.10

3.抛物线C:y=2x²上的点(1,2)到C的准线的距离为

ABCD

4.在平面直角坐标系中，点A(1,√3,B(√3+1,0),C(0,0),则△ABC的最大内角为

ABCD

5.投壶源于射礼，是中国古代宴饮时的一种投掷游戏及礼仪，参与者需在一定距离外将箭

矢投入壶口或壶耳.在某投壶游戏中，选手甲投中壶口、壶耳的概率分别为5,依落

点计分如表格所示.若甲连续投掷3次，每次投掷互不影响，则甲的总得分不少于5分

的概率为

投掷结果壶口壶耳其它

计分210

ABCD

高三数学试题第1页(共4页)

6.已知,且,则cos(α-β)=

ABCD.

7.若函数和g(x)=2²-m同时满足以下两个条件：

①Vx∈(0,+∞)f(x)<0或g(x)<0;②3x∈(1,2),使f(x)g(x)<0.

则m的取值范围是

A.2<m<4B.2<m≤4C.m>4D.m≥4

8.已知椭圆的右焦点为F,直线l交C于A,B两点，0为坐标原点，且OA⊥OB,

过0作OH⊥AB,垂足为H,则直线FH的斜率的取值范围是

ABC.[-1,1]D.[-√2,√2]

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题

目要求。全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分。

9.已知复数z₁,z₂,其中z₁在复平面内对应的点为(4,-2),则下列结论中正确的是

A.z₁=-2+4iB.|Z1=2√5

C.若z²=z2,则Iz₁1=Iz₂ID.若lz₁+z₂I=0,则z=-Z₂

10.已知正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面边长为2,侧棱长为1,P为底面A₁B₁C₁D₁上的

动点(含边界),则

A.直线A₁A与B₁P所成角的大小为90°

B.PA+PC的最小值为2√3

C.满足PD=√5的点P的轨迹长度

D.满足三棱锥P-ACD外接球的体积取得最大值的点P共有5个

11.半径为1的圆M沿圆0:x²+y²=4外侧无滑动滚动一周，设圆M上的点A的运动轨

迹为曲线C.已知点A的初始位置为(2,0),则

A.点(0,4)在曲线C上

B.曲线C围成的区域面积等于16

C.曲线C与直线x+y-2=0有三个交点

D.曲线C上点的横坐标的最大值为2√2

高三数学试题第2页(共4页)

三、填空题：本大题共3个小题，每小题5分，共15分。

12.已知正方形ABCD的边长为2,点P满,则IPDI=

13.已知点P(-1,2)和圆C:(x-4)²+(y-2)²=16,若以线段PC中点为圆心为半径

的圆与C交于A,B两点，则1PA1=.·

14.已知函数的图象与直线y=m交于A,B,C三点，其横坐标分别为x₁,x₂,x₃,

且x₁<x₂<x₃,则m的取值范围是;若B为AC中点，!

四、解答题：本大题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

15.(13分)

已知数列{aₙ}的前n项和为,等差数列{b。}满足b₁=3,b₃=a₂·

(1)求数列{an|和|b}的通项公式；

(2)记c。为{bl在区间(an,an+1)内项的个数，T为数列{cn|的前n项和，求Tₙ

16.(15分)

已知函数f(x)=ax²-lnx.

(1)若f(f(1))=a³(a>0),求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程；

(2)若f(x)存在极小值，且极小值大于0,求a的取值范围.

17.(15分)

如图1,在平面四边形ABCD中，AB=BC=CD=√2,∠B=90°,将△ACD沿AC翻折，得

到如图2所示的三棱锥D-ABC,且D在平面ABC上的射影恰为△ABC的外接圆的圆心.

(1)证明：平面ABC⊥平面ACD;

(2)设点M满足DM=λDC(0<λ<1),若平面DAB与平面MAB夹角的余弦值

求λ的值.

B

图1图2

高三数学试题第3页(共4页)

18.(17分)

(1)求C的方程；

(2)过点H(2,0)作两条互相垂直的直线L₁,l2,若l₁与C的右支交于A,B两点，l₂与

C的右支交于E,F两点，线段AB与EF的中点分别为M,N,且A,E在第一象限.

(i)证明：直线MN过定点；

(ii)直线AE与BF交于点D,求△DMN面积的最小值.

19.(17分)

在某智能辅助驾驶车道保持系统中，用数轴描述车辆的横向位置：x=0表示车辆位

于车道中心线上，x>0表示车辆右偏(如x=2表示车辆位于中心线右侧2个单位),x<0

表示车辆左偏.一辆装有该系统的车辆从初始位置x=k(k为整数)出发，每次受扰动后

(扰动来自路面、侧风与传感器噪声等),车辆随机向右移动1个单位的概率为p(0<p<1),

向左移动1个单位的概率为1-p.

(1)若k=0

(i)求车辆经过10次扰动到达x=6的概率；

(ii)已知车辆经过10次扰动恰好首次到达x=6,求其没有重返过x=0的概率.

(2)若车辆从初始横向位置x=k(0≤k≤N,N为给定正整数)出发，当车辆的横向位

置到达x=0或x=N时，一次监测流程结束.记一次监测流程结束车辆所受扰动次数的期

望为E₆,求E的表达式(用p,N,k表示).

高三数学试题第4页(共4页)

高三数学参考答案及评分标准

2026.4

一、单项选择题(每小题5分，共40分)

1-4DCCB5-8DCAD

二、多项选择题(每小题6分，共18分)

9.BCD10.ABD11.ACD

三、填空题(每小题5分，共15分)

13.3

12.√514.√2+1

四、解答题(本大题共5小题，共77分)

15.(13分)

解：(1)当n=1时，…………1分

当n≥2时………………3分

经检验，n=1时符合上式.

所以a=3”,………………4分

因为b₁=3,b₃=a₂=9,所以公差,所以b=3+3(n-1)=3n.………7分

(2)因为{bn}在区间(an,an+1)内项的个数,………10分

所以c=3”-3”⁻¹=2×3”-¹,……………………11分

所以………………13分

16.(15分)

解：(1)因为f(1)=a,所以f(f(1))=f(a)=a³-Ina=a³,

所以-Ina=0,所以a=1,………………2分

,即f'(1)=2-1=1,………4分

因为f(1)=1,所以切线方程y-1=x-1,即x-y=0.…………6分

(2)f(x)的定义域为(0,+∞),…………………7分

,………8分

若a≤0,f'(x)<0,f(x)在(0,+0∞)上单调递减，所以f(x)无极值；……………9分

若a>0,令f'(x)=0得上单

当时，f'(x)<0,(x)在

调递减；

高三数学答案第1页(共6页)

当时f'(x)>0.f(x)在·上单调递增，

所以f(x)在取极小值，……………12分

……………14分

即,所以

所,所以

综上…………15分

17.(15分)

解：(1)取AC的中点0,连接D0,…………………1分

由题意知点0为△ABC的外心，…………………2分

因为点D在平面ABC上的射影为△ABC的外心，

所以DO1平面ABC,………………4分

因为DOC平面ACD,

所以平面ABC1平面ACD.………6分

(2)由(1)知DO1平面ABC,所以DO⊥OA,DO⊥0B,又OA⊥OB,…………7分

以0为原点，OA,OB,OD的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建立空间直角坐标系

0-xyz,………………………8分

由题意知AC=2,0D=1,

所以0(0,0,0),A(1,0,0),B(0,1,0),C(-1,0,0),D(0,0,1),

所以DC=(-1,0,-1),AB=(-1,1,0),AD=(-1,0,1),

因为DM=λDC,所以DM=(-λ,0,-λ),

所以M(-λ,0,1-λ),……………10分

所以AM=(-λ-1,0,1-λ),11分

设平面ABM的法向量为n₁=(x₁,y₁,z₁),

则

令x₁=y₁=1,则

所以…………………12分

设平面ABD的法向量为n₂=(x₂,y₂,z₂),

高三数学答案第2页(共6页)

令x₂=1,得y₂=z₂=1,

所以n₂=(1,1,1),…………13分

整理得21λ²+2λ-3=0,

得或(舍去),

所以λ的值为………………15分

18.(17分)

解：(1)由题意

解得a=√2,b=1,………………2分

所以C的方程……………………3分

(2)(i)由题意知l₁,l₂的斜率存在且不为0,

设l:x=my+2,L,A(x₁,yx),B(x₂,y₂),E(x₃,y₃),F(x4,y),

其中y₁>0,y₂<0,y₃>0,y₄<0,

整理得(m²-2)y²+4my+2=0,

解得-√2<m<√2,…………4分

因为M为AB中点

所以

同理，联立l₂与C的方程，可得,………5分

……………6分

高三数学答案第3页(共6页)

当m²≠1时，………………7分

直线MN为

即,所以直线MN过定点(4,0);……8分

当m²=1时，M(4,2m),N(4,-2m),直线MN过点(4,0);……9分

所以，直线MN过定点(4,0).……………………10分

(ii)因为M,N分别为AB,EF的中点，

·IEF¹,……12分

…………14分

设,则

所以f'(t)>0在上恒成立，

即f(t)在上单调递增，……………………16分

所以t=2时，f(t)的最小值为36,

所以△DMN面积的最小值为6.…………………17分

高三数学答案第4页(共6页)

19.(17分)

解：(1)(i)记“车辆经过10次扰动到达x=6”为事件M,

由题意可知车辆在10次移动中，8次向右移动，2次向左移动，………………1分

所以，P(M)=C8op⁸(1-p)²=Ci。(一)¹°=1024.……………3分

(ii)设事件A为“车辆经过10次扰动恰好首次到达x=6”,事件B为“车辆移动过程中没

有重返过x=0”.

设第i次向右移动赋值为x;=1,第i次向左移动赋值为x;=-1.

则10次移动可以表示为有序数组(x₁,x₂,…,x10),其中x₁∈l-1,1},i=1,2,…,10.

记10次移动恰好首次到达x=6处的路径为(y₁,y₂,…,y1₀),

则可得y;中有且仅有两个-1,y₉=y10=1,且y₇,y₈不同时为-1,

所以共有C²-1=27种不同路径，所以

记10次移动恰好首次到达x=6处且过程中没有重返x=0的路径为(z₁,z₂,…,z10),

此时z:中有且仅有两个-1,z1=z₂=z₉=z10=1,z₃,z4不同时为-1,z₇,zg不同时为-1,

所以共有C²-2=13种不同路径，所以,………7分

所以…………