《4.3.2对数的运算》教案与同步练习

《第四章指数函数与对数函数》

《4.3.2对数的运算》教案

【教材分析】

学生已经学习了指数运算性质，有了这些知识作储备，教科书通过利用指数

运算性质，推导对数的运算性质，再学习利用对数的运算性质化简求值。

【教学目标与核心素养】

课程目标

1、通过具体实例引入，推导对数的运算性质；

2、熟练掌握对数的运算性质，学会化简，计算.

数学学科素养

1.数学抽象：对数的运算性质；

2.逻辑推理：换底公式的推导；

3.数学运算：对数运算性质的应用；

4.数学建模：在熟悉的实际情景中，模仿学过的数学建模过程解决问题.

【教学重难点】

重点：对数的运算性质，换底公式，对数恒等式及其应用；

难点：正确使用对数的运算性质和换底公式.

【教学方法】：以学生为主体，采用诱思探究式教学，精讲多练。

【教学过程】

一、情景引入

已知对数log£4,log264,log28,log(64,logt8.

对数logs64的值与对数log264和log28的值有什么关系？

对数logs64的值与对数log,64和log.8的值有什么关系？

由上面的问题你能得出什么结论？

二、新知导学

I.对数的运算性质

条件a>0,且aWl,">0,A>0

性质1og„（朗V）=.

M

1og-=logleg/V

1og„.lf=/?log,JZ(〃£R)

［知识点拨］一般情况下，当a>0,且a工1,,肌>0,N>0时，

log.%log,(.4/4-A)^log.J/4-log.%log4沪臀与

A10g/1

2.换底公式

log“6=(a>0,且aWl；c>0,且cWl；b>0).

一log毋一

［知识点拨］(D可用换底公式证明以下结论：

①］og"b=y^—；②leg/・log4,log,a=l；③log”=】og/；®log...„Z?'v=-

log姆n

log..,/?；⑤loglZ>=—log,z?.

~a

(2)对换底公式的理解：

换底公式真神奇，换成新底可任意，

原底加底变分母，真数加底变分子.

三、课前自测

1.若a>0,aWl,x>0,y>0,x>y,下列式子中正确的个数是(A)

①log.,x・log„y=log,(^+y)：

②log/-log.,y=log,(x—y)：

/x

③10gl=1og“x+1og.yy；

④1og..,(xy)=logj•3ogj.

A.0B.1

C.2D.3

［解析］由对数运算法则知，均不正确.故选A.

11

-

2.lg25+lg4+(-)2的值为(B)

7

A.-B.5

J

C.-D.13

o

［解析］原式=1且(25义4)+(3-2)-5

=lgl00+3

=2+3=5.

3.Iog62+log«3等于(A)

A.1B.2

C.5D.6

［解析］1og«2+1og63=log6(2X3)=1og66=1.

4.计算：log25•logj2•logs9=2.

［解析］原式•詈•玛

lg2lg3lg5

=U5lg221g3=o

-lg2*lg3*lg5

5.计算下列各式的值：

⑴21g5+lg4+S成+lo&2:；

(2)(log234-log89)(log344-log<»84-log32).

［解析］⑴原式=21g5+21g2+2+3=2(lg5+lg2)+5=7.

⑵原式=(1。43+富)(log2+瞥1+1。&2)

log2oiog：^y

23

=(1og3+-1og3)(21og2og2+1og2)

2J23/33

5915

=«log3X-log2=—

O2Lt3乙

四、互动探究

命题方向1O对数的运算性质

典例1用log/,1og...y,log“z表示:

(1)log..,(江)；(2)1og..(A-\/y)；(3)log..;

［解析］(1)1og"(步)=1Og“x+1Og„y=1og,,x+21og,y.

=(lg5)2+lg2X(l+lg5)

=(lg5)24-lg2+lg2*lg5

=lg5(lg5+lg2)+lg2

=lg54-lg2=lgl0=l.

『规律方法』灵活运用对数运算法则进行对数运算，要注意法则的正用和

逆用.在化简变形的过程中，要善于观察、比较和分析，从而选择快捷、有效的

运算方案进行对数运算.

(跟踪练习2)

求下列各式的值:

(1)log:,18—log：＜6；

(2)log13+21og12；

1212

⑶10gN8+4小+1c,g而而；

Ig3+21g2-l

Wlgl.2.

1o

[解析](1)原式=logT=log33=l.

⑵原式=logl34-log14=logT712=-1.

——1Z

1212

(3)原式=1o&[^/8+4^3X^8-4^3]

2：

=log2^/8-4^3

=1og2-\/64-48=1og4=2.

/人日—Ig3+lg4-lIgl.2

⑷原式=]gl.2=W=L

命题方向3©换底公式的应用

典例3⑴计算log2~•logs-•logsg；

⑵若log34•log48•log%/=logi2,求卬的值.

［思路分析］(1)对数的底数不同，如何将其化为同底的对数？

(2)等式左边前一个本数的真数是后面对数的底数，利用换底公式很容易进

行约分求解加的值.

层lgi舄

［解析］(1)原式=丁丁•

lg2lg3lg5

-21g5・131g2•—21g3_

lg2•lg3•lg5—-"

(2)由题意，得黑•苦•TT=*r^=|»，1g加=：lg3,即lgff/=lg3),

lg3lg4lg8lg32c2

m=y［3.

I1规律方法J关于换底公式的用途和本质：

(1)换底公式的主要用途在于将一般对数式化为常用对数或自然对数，然后

查表求值，以此来解决对数求值的问题.

(2)换底公式的本质是化异底为同底，这是解决对数问题的基本方法.

(3)在运用换底公式时，若能结合底数间的关系恰当选用一些重要的结论，

如log/=y^—；log/=.%log,/'=〃log/；lg2+lg£=l等，将会达到事半功

log0am

倍的效果.

(跟踪练习3)

计算下列各式的值：

(1)logK9•log?732；

(2)log927；

⑶1°段诿,lo%,lo

lg9Ig32_lg32lg2521g3.51g210

［解析］(1)logs9•1*32=lg8*Ig27-lg23lg?=31g2>31g3="9"，

log：$27_]og33'_310g：$3_3

(2)log27=

92

log39log3321og:)320

(3)log?看・log：击・log51

-:>

=10825T•log:(2•log53

lg5lg2lg3

=-31og5•(—51og)2),(—log3)=-15

25・懑’踵•赤

=-15.

因忽视对数的真数大丁零而致误

典例4解方程lg(x+D+lgx=lg6.

［错解］:lg(x+l)+lgx=］g［x(x+l)］=lg(V+x),

.*.lg(/4-A)=lg6,

，f+x=6,解得x=2或x=-3.

［错因分析］错解中，去掉对数符号后方程f+x=6与原方程不等价，产

［A-+1>0

生了增根，其原因是在/+/=6中而在原方程中，应有、八，求

,x>0

解之后再验根即可.

［正解］,.•lg(x+l)+lgx=lg［x(x+l)］=lg6,

A(A+1)=6,解得x=2或x=-3,经检验x=-3不符合题意，.•・x=2.

转化与化归思想的应用与综合分析解决问题的能力

21

典例5(1)设3'=乎=36,求一+一的值；

xy

(2)己知log?3=a,3"=7,求log1256.

21

［思路分析］⑴欲求-+一的值，已知3'=36,¥=36,由此两式怎样得到x,

xy

y,容易想到对数的定义一一故可用等式两端取同底的对数(指对互化)来解决；

(2)已知条件中有指数式，也有对数式，而待计算式为对数式，因此可将指

数式3"=7化为对数式解决.观察所给数字特征、条件式中为2、3、7,又12=

3X2256=7X23,故还可以利用换底公式的推论将条件中的对

数式log?3=a化为指数式解答.

［解析］(1)由已知分别求出x和必

V3T=36,4'=36,

Ax=log;)36,y=logi36,

1,的士八一阳l°g3$361log肾36____1

山换底公式得：X—-7-7«,y—~7~一7»

log.3log/1og364log：/

1i21

A-=log363,-=log；u4,/.-+~=21ogi63+1og364=1ogM(3-X4)=1og3B36=

1.

(2)解法一：因为1。a3=8所以2“=3.又3"=7,故7=(2"/=2%故56

=片+叱乂12=3X4=2"X4=2一,

3+/

从而log56=log23+ad=

122a+2a+2.

解法二：因为log23=a,所以log32=L又3"=7,所以log37=6.从而

a

3•一

log：156log；7+log38Iog37+31og：s2_______aa」+3

1Ogl256=====

log312logl3+log34l+21og32^o1a+2*

a

『规律方法」1.应用换底公式应注意的事项

（1）注意换底公式的正用、逆用以及变形应用.

（2）题目中有指数式和对数式时，要注意将指数式与对数式统一成一种形式,

注意转化与化归思想的运用.

2.对数式的条件求值问题要注意观察所给数字特征，分析找到实现转化的

共同点进行转化.

3.利用换底公式计算、化简、求值的一般思路：

思路一：用对数的运算法则及性质进行部分运算一换成同一底数.

思路二：一次性统一换为常用对数（或自然对数）一化简、通分、求值.

五、课堂达标作业

1.1八1+15756的值是（B）

A.JB.1

3

C.-D.2

乙

［解析］原式=18（乖乂｛丽）

=lgAjlOO=lglO=l.

2.21（^10+1。850.25的值为（C）

A.0B.1

C.2D.4

［解析］原式=logTOO+logO25

2

=log5（100X0.25）=log525=log55=2.

3.1log612-log/

［解析］原式=,log612一.log』

乙乙

1121,八1

=~log6-=-log66=2.

4.计算下列各式的值：

小］gV^+］g8—3］gVTB

⑴lgl.2；

7

⑵1ogr,35—21Og--+1og-,7—1og1.8；

:J5

⑶2(1或)2+".Ig5+dI或27g2+1.

11

lg332+lg23-31gl(^

［解析］(1)原式二----------荻宁--------

1810

3

2Ig3+21g2-l3

=—Ig3+21g2-l—=2'

9

⑵原式=1og5(5X7)—2(1og7—log3)+log7—1og-

5555□

=1og55+1og57—21og57+21og53+log57—21og53+1og55

=21og55=2.

⑶原式=1或⑵队历+1g5)+yjlgy/2-12

=lgV2(lg2+lg5)+l-lgV2

="+l

=1.

《4.3.2对数的运算》同步练习

A级基础巩固

一、选择题

log?9

=（B）

log23

A.B.2

2

C-1D-I

「初土匚1H41密32210g23c

［解析］原式一7—n丁一2.

log23log23

2.Ig8+31g5的值为（D）

A.—3B.—1

C.1D.3

［解析］原式=lg8+lg53=lg8+lgl25=lglOOO=lglO'=3.

3.若lg2=a,lg3=6,则黑等于（D）

2a+h2—+2A

A，1+a+bi+a+b

2a+b2a+b

C-------n-------

2-a+b\-a+b

「Q*ui及%Ig3+21g22a+」

L肝团」Igl5-lg3+l-lg2-l-a+6

o

4.已知2'=3,log,-=y,则x+2y的值为（A）

o

A.3B.8

C.4D.1ogi8

88

［解析］x-\-2y=log3+21og.1-=1og94-1og,（-）2

2Jto

=logi（9Xk）=1。&64=3,故选A.

5.若log34•log8勿=log』6,则勿等于（D）

A.3B.9

C.18D.27

2i

［解析］原式可化为：logsWj---7,.,.-log2/»=21og13,

log343

，〃g=3,/77=27,故选D.

21

6.已知2"=5'=M且一+7=2,则”的值是(B)

ab

A.20B.2小

C.±2/D.400

［解析］V2—5Z—.1/,a=1og2/l/=T-,

力=lOg5.林=「不

Igo

.l=lg2

,*a1g#

l=lg5.2l_21g2lg5_lg4+lg5_lg20_

b1g/l/*,abIgJ/1g.l/IgJ/1gj/

.*.21gJ/=lg20,.\lgrf=lg20,

A；1/=20,

•・•粉0,14=2#.

二、填空题

7.计算:+1og23X1og;)8=§

21

3

［解析］原式=2§X23+log23Xlog32

lg3lg23

=2+

lg2而

=2+翳鬻

=2+3=5.

8.化简10&(2+，5)+10&(2—4)=_£

［解析］logz(2+^y5)+1ogi(2—yfs)

=log2［(2+^/3)•(2-V3)］=logJ=0.

三、解答题

9.计算下列各式的值：

2

,O-

(1)log3V27+lg25+lg4-7^-273;

(2)21+log23_logj_64+IgO.01+ln-\/e.

2

32

［解析］⑴原式=1密35+lg(25X4)—7旧不一⑶)一勺

3

=-+lgl00-2-3-2

乙

3.1

=尹2一2一§

_3_|_25

=2-9=l8,

1121

⑵原式=2X2"崂一logz-J+lglOT+ine］=2X3+6-2+T=—

乙乙

B级素养提升

一、选择题

1.若xlogM=l,则4'+「的值为(B)

810

A.-B.—

o<3

C.2D.1

［解析］由xlog：j4=l得x=log3所以4*+4一,=3+!=*故选B.

JO

2.已知a=log：j2,那么log：,8—21og：6用a表示是(A)

A.a~2B.5a—2

C.3a—(1+a)'D.3a—a2—1

［解析］1og38—21ogj6=log：?—2(log:)2+1og33)

=31og32-2(log32+l)

=3c?—2(e?+l)=a—2.故选A.

3.第=(D)

log34

A.2

C.1D.1

［解析］由公式log泼=，log力，得

2

原式=雷=雷

2

3,

4.已知Iga,lg6是方程2/—4x+l—0的两个实数根，则IgQZ?)"(1

=(B)

A.2B.4

C.6D.8

pga+lg〃=2

［解析］由题意得,

［lga・lgZ；=~

lg(c?Z?)•(1吟・(］ga+ig6)(iga—igb)2

=2［(lga+lg#)2—41ga・Ig/J

=2(4-4x1)=4.

二、填空题

5।

5.Ig^+21g2—(-)—1.

5i5

［解析］lg^+21g2-(-)-1=lg^+lg4-2=-l.

6.若log“x=2,log/A=3,log,^=6,则log*x=_1.

［解析］力抽产土=2,・・.l°g，T.同理侬片卷log/J

log.abclogv^+logrZ^+logrC

三、解答题

7.已知log“2=m,log,3=〃.

⑴求产”的值；

⑵求logJ8.