《计数原理》单元测试题

《计数原理》单元测试题

一、选择题

1.5位同学报名参加两个课外活动小组,每位同学限报其中的一个小组,则不同报

名方法共有（）

A.10种B.20种C.25种D.32种

2.甲、乙、丙3位同学选修课程，从4门课程中，甲选修2门，乙、丙各选修3门,

则不同的选修方案共有（）

A.36种B.48种C.96种D.192种

3.记者要为5名志愿者和他们帮助的2位老人拍照,要求排成一排,2位老人相邻

但不排在两端，不同的排法共有（）

A.1440种B.96（^4".720种D.480种

4.某城市的汽车牌照由2个英文字母后接4个数字组成,其中4个数字互不相同

的牌照共有（）

A.（以『4个B.AM/个C.©户及个D.AV。，个

5.lx—五y）的展开式中x号项的系数是<>

A.840B.-840C.210D.-210

6.由数字0,1,2,3,4,5可以组成无重复数字且奇偶数字相间的六位数的个数有

<>

A.72B.60C.48D.52

7.用0,1,2,3,4组成没有重复数字的全部五位数中，若按从小到大的顺序排列，则

数字12340应是第（）个数.

A.6B.9C.10D.8

8.AB和CD为平面内两条相交直线,AB上有m个点,CD上有n个点,且两直线上各有

一个与交点重合,则以这m+nT个点为顶点的三角形的个数是<>

A.+C\C\B.C£+C/c.C〕C；+C：C：D.

设(a即+qx+ax~+•••+。4泮，则(a。+%+…+4o)~一(勾+生+…+的

9.2

值为<>

A.0B.-lC.1

D.（0-1严A||[~

10.某城市的街道如图,某人要从A地前往/7地,则路程

------------'B

最短的走法有<>

A.8种B.10种C.12种D.32种「,埼题】

I第觌J

11.从6个正方形拼成的12个顶点<如图》中任取3个顶点作为一组，其中可以构

成三角形的

组数为<>A.208B.204C.200D.196

12.从不同的五双靴中任取4只，其中恰好有一双的取法种数为――

A.120B.240C.360D.72

（第11顾）

二、填空题

13.今有2个红球、3个黄球、4个白球，同色球不加以区分，将这9个球排成一列

有种不同的方法（用数字作答）.

14.用数字0,1,2,3,4组成没有重复数字的五位数,则其中数字1,2相邻的偶数有

个（用数字作答）.

15.若T的展开式中含有常数项,则最小的正整数F

16.从班委会5名成员中选出3名，分别担任班级学习委员、文娱委员与体育委员,

其中甲、乙二人不能担任文娱委员，则不同的选法共有种.（用数字作

答）

三、解答题

17.从4名男生,3名女生中选出三名代表

<1>不同的选法共有多少种？

<2〉至少有一名女生的不同的选法共有多少种？

<3>代表中男、女牛都要有的不同的选法共有多少种？

18.平面内有12个点,其中有4点共线,此外再无任何3点共线，以这些点为顶点

可得到多少个不同的三角形？

19.六人按下列要求站一横排,分别有多少种不同的站法？

(1)中小站两端；

(2)甲、乙必须相邻；

⑶甲、乙不相邻；

(4)甲、乙之间间隔两人；

(5)甲、乙站在两端;

(6)甲不站左端，乙不站右端.

20.把1、2、3、4、5这五个数字组成无重复数字的五位数，并把它们按由小到大

的顺序排列成一个数列.

(1)43251是这个数列的第几项？

(2)这个数列的第96项是多少？

(3)求所有五位数的各位上的数字之和

(4)求这个数列的各项和.

21.在(】-加的展开式中，如果第4r项和第r+2项的二项式系数相等.

(1)求r的值；

(2)写出展开式中的第4r项和第r+2项.

22.求证：21*3能被25整除.

第一章计数原理单元测试题参考答

一、选择题：(每题5分，共6D分)

1、D2、C解析.甲、乙、丙3位同学选修课程，从4门课程中，甲选修2门，乙、丙各选

修3门，则不同的选修方案共有V96种,选C

3、B解析：5名志愿者先排成一排，有封种方法,2位老人作一组插入其中，且两位老人有左

右顺序,共有2•4•反=960种不同的排法,选B

4、A解析：某城市的汽车牌照由2个英文字母后接4个数字组成，其中4个数字互不相同的

牌照共有(。；6丫4：个，龙A

5、A6、B解析.只考虑奇偶相间，则有种不同的排法，其中。在首位的有川由种不符

合题意,所以共有2年-语8=60种.

7、C解析：比12340小的分三类:第一类是千位比2小为0,有=6个；第二类是千位为2,

百位比3小为0,有=2个；第三类是十位比4小为0,有1个.共有6+2+1=9个，所以

12340是第10个数.

8、D解析:在一条线上取2个点时,另一个点一定在另一条直线二,且不能是交点.

9、C10、B1KC

12.A解析:先取出一双有种取法,再从剩下的4双鞋中取出2双,而后从每双中各取一只,

有种不同的取法,共有C；=120种不同的取法.

二、填空题＜每小题4分，共16分）

13、1260解析：由题意可知、因同色球不加以区分,实际上是一个组合问题,共有

C；・C；・C；=I26O

14、24解析：可以分情况讨论：①若末位数字为0,则1,2,为一组，且可以交换位置,3,4,

各为1个数字，共可以组成2-A；=12个五位数：②若末位数字为2,则1与它相邻,

其余3个数字排列，R0不是首位数字，则有2•用=4个五位数；③若末位数字为

4,则1,2,为一组,且可以交换位置,3,0,各为1个数字，且0不是首位数字，则有

2•（2・A；）=8个五位数,所以全部合理的五位数共有24个

7解析：若＜2f+J=＞"的展开式中含有用数项，4+1二C「（2V）"-J（J=）‘为常数项,

15、

Jx\lx

即3〃------=0,当/T=7,r=6时成立,最小的正整数〃等于7.

2

16、36种解析.从班委会5名成员中选出3名，分别担任班级学习委员、文娱委员与体育委

员，其中甲、乙二人不能担任文娱委员，先从其余3人中选出1人担任文娱委员，再从

4人中选2人担任学习委员和体育委员，不同的选法共有=3乂4乂3=36种

三、解答题

17.解：（1）即从7名学生中选出三名代表，共有选法《二35种:

（2）至少有一名女生的不同选法共有C；C：+C：C：+C；=31种；

（3）男、女生都要有的不同的选法共有《一容一以二30种

18.解：把从共线的4个点中取点的多少作为分类的标准.

第一类：共线的4点中有两点为三角形的顶点，共有：C；Cj-48（个）.

第二类：共线的4点中有一点为三角形的顶点，共有=1121个）；

第三类：共线的4点中没有点作为三角形的顶点,共有：C：=X（个）.

由分类计数原理知,共有三角形:C；C；+C；C：+C；・48+U2.56・216（个）.

答：可得到216个不同的三角形.

19.解析：（1）方法一：要使甲不站在两端，可先让甲在中间4个位置上任选1个，有A；种

站法，然后其余5人在另外5个位置上作全排列有种站法，根据分步乘法计数

原理共有站法A：A；=480（种）

方法二：由于甲不站两端，这两个位置只能从其余5个人中选2个人站，有种

站法，然后中间4人有种站法，根据分步乘法计数原理，共有站法A,A,二480

（种）

方法三：若对中没有限制条件共有人：种站法，甲在两湍共有种站法，从总数中

减去这两种情况的排列数,即得所求的站法数,共有A；=480（种）

（2）方法一：先把甲、乙作为一个"整体”，看作一个人，有A；种站法，再把甲、乙进

行全排列，有A；种站法，根据分步乘法计数原理，共有A；A；=240（种）站法.

方法二：先把甲、乙以外的4个人作全排列，有人：种站法，再在5个空档中选出

一个供甲、乙放入，有A；种方法,最后让甲、乙全排列，有A：种方法，共有A：A：A；=

240（种）

（3）因为甲、乙不相邻，中间有隔档，可用“插空法"，第一步先让甲、乙以外的4个人站

队，有A：种：第二步再将甲、乙排在4人形成的5个空档（含两端）中，有A；种，

故共有站法为A：M=480（种）.

也可用“间接法”,6个人全排列有人：种站法，由（2）知闩、乙相邻有A；A；=24O种

站法,所以不相邻的站法有A：-A；•用=720-240=48。（种）.

<4>方法一：先将甲、乙以外的4个人作全排列，有A：种，然后将甲、乙按条件插入站队,

有3A“故共有A：（3Aj）=⑷种站法.

方法二：先从甲、乙以外的4个人中任选2人排在甲、乙之间的两个位置上，有A,种,

然后把甲、乙与中间2人看作一个“大〃元素与余下2人专全排列有A；种方法，最后对

甲、乙进行排列，有人；种方法，故共有A；A；A：=i44种站法.

（5）方法一：首先考虑特殊元素，甲、乙先站两端，有人；种，再让其他4人在中间位置

作全排列,有A：种,根据分步乘法计数原理,共有A；A：=48种站法.

方法二：首先考虑两个特殊位置，甲、乙去站有A?种站法，然后考虑中间4个位置，由

剩下的4人去站，有A：种站法，由分步乘法计数原理共有A；・A：=48种站法.

（6）方法一：甲在左端的站法有A：种.乙在右端的站法有A：种，且甲在左端而乙在右端

的站法有A：种，共有A：-2A；+A：=504种站法.

方法二：以元素甲分类可分为两类：①甲站右端有A?种，②甲在中间4个位置之一，

而乙不在右端有A：A；A：种,故共有A：+A：・A「A：=504种站法.

20.解:⑴先考虑大于43251的数,分为以下三类

第一类：以5打头的有：/=24

第二类：以45打头的有：Al=6

第三类：以435打头的有：裾=2

故不大于43251的五位数有：&-(A：+A：+A；)=88(个)

即43251是第88项.

⑵数列共有A=120项,96项以后还有120-96=24项.

即比96项所表示的五位数大的五位数有24个，

所以小于以5打头的五位数中最大的一个就是该数列的第96项.即为45321.

(3)因为1,2,3,4,5各在万位上时都有A：个五位数,所以力位上各个数字的和为：

(1+2+3+4+5)