《数论》整除-整除的基本概念-0星题（含解析）全国版

数论-整除-整除的基本概念-0星题

课程目标

知识点考试要求具体要求考察频率

整除的基本概念A1、了解整除的定义。少考

2、会判定一个数能不能被另一个数

整除。

知识提要

整除的基本概念

•定义

如果整数。除以整数七（七H0）,除得的商是整数且没有余数，我们就说。能被力整除，

也可以说力能整除。，记作加。.

注意：如果除得的结果有余数，我们就说。不能被b整除，也可以说七不能整除。.

•整除的性质

性质i：如果d2都能被c整除，那么它们的和与差也能被c整除。

性质2；如果E与c的积能整除。,那么b与c都能整除。。

性质3：如果七、C都能整除a,且力和c互质，那么力与c的积

能整除。。

性质4：如果C能整除二，b能整除。，那么c能整除a。

精选例题

整除的基本概念

I.再过12天就到2016年了，昊昊感慨地说：我到目前只经过2个闰年，并且我出生的年份

是£的倍数，那么2016年昊昊是岁.

【答案】9

［分析］根据题意“我到习前只经过2个闰年“可得我的出生年份在2005200S这之间只有

2007是9的倍数，则昊昊是2007年出生，则2016年昊昊是2016—2007=9岁

2.在3和5之间插入6、30、20这三个数，得到3、6、30、20、5这样一串数.其中每相邻

两个数的和可以整除它们的积（例如，3+6=9,9可以整除3x6：再如，6+30=3636

可以整除6x30）.

请你在4与3这两数之间的三个空中各填入一个非零的整数，使得其中每相邻两个数的和可以

整除它们的枳.

4、、、、3

【答案】4,4,126,：；4,12,126：4,12,66

【分析】设4,a也以成立，则=="，戛7=叫⑺、仍是非零整数.

由倒数的意义可知：

4+o_14,a_l1,1_11_11

①次=；，则=十。二：,£十工=：,£=二一：.

二>7,贝|几=3,九=2.

当1=3,l=C，a=12；

1111>

当九=2,7=?-7=ra=4.

111_11_1

二>2,则m=2,当m=2时，1=另一a=7,c=6.

③设工=匕则。=；,可得二+t=i,&可取（23、4、5）.

当卜=2时，：W・；，b=3；

k=3时，b=6；

,.1111

k=4时,黑­=而，b=12；

k=5时，：=b=30.

经检验有下面的三组解：44,126,：；4,12,12,6：；4,12,6,61

3.若六位数201a沿能被11和13整除,则两位数正=.

【答案】4£

【分析】由11的整除特征可知：

（7+a+0）-（2+l+b]

若

只有

六位数201817、201927都不能被13整除.

若

则

只有0+4=4,1+4=5,2+4=6,3+4=7,4+4=8,5+4=9等情况，构成的六

位数201047,201157,20126/,201377,201487,201597中只有201487能被13整除，

则ab=41.

4.给定一个除数（不为°）与被除数，总可以找到一个商与一个余数，满足

其中，0《余数<除数.这就是带余数的除法.当余数为C时，也称除数整除被除数，或者称

除数是被除数的因数（被除数是除数的倍数）。

不超过98800（并且能够被4c整除的大于1的自然数共有个.

【答案】20163

【分析】

所以，满足要求的数分别是4C的1~20163倍，共20163个.

5.一个电子钟表上总把日期显示为八位数，如2011年1月1日显示为20110101.如果

2011年最后一个能被101幽除的日子是201MBe那么201L4BCZ；是多少?

【答案】20111221

【分析】试除法得出答案：20111231^101=199121―10,31-10=21,所以

ABCD=1221.

6.若4b+2c+d=32,试问Qbcc能否被8整除？请说明理由.

【答案】见解析.

【细】由能被8整除的特征知，只要后三位数能被日整除即可.bed=100b+10c+d,

有bed-（4b+2c+d）=96。+8c=8（12b+c：能被8整除，而4b+2c+d=32也能被8

整除，所以漏能被8整除.

7.表中第1行是把1〜100的整数依次全部排列出来，然后从第2行起是根据规律一直排到最

后的第100行.请问：这个表中一共有多少个数能被77整除？

第1行12345.................96979899100

第2行3579.................193195197199

第3行81216..................388392396

第4行............................

第5行.......................

第100行

【答案】62

【分析】在这个表里，有的数字的正下方写着比它大4的数.

㈤II胃ItZK

12屋1|12^11

4J

假如，某数字是不能被77整除的数字，那么不管它被4乘多少回，也不能被77整

除.于是我们得知不能被77整除的数字下面写的数字都不能被77整除.那么，如果某数字

是可以被77整除，不管乘多少回4,得出的数字都可以被77整除.可被77整除的数字卜・面

都可以被77整除.题目的表中从左右两边第N个的下面写着N个整数.表的第一行从右数第

24个是77,在它下面写的24个整数都可以被77整除.另外，从左数第二行第38个是

38+39=77,所以在它下面写的38个整数都可以被77整除.在表的第一行和第二行里除此

之外再没有可以被77整除的数了.从整个表来看，除了上述的24+38=62个以外，再也没

有可以被77整除的数了，所以答案为62.

8.已知从、N是互为反序的两个三位数，且请问：

(1)如果加和W的最大公约数是7,求M；

(2)如果从和W的最大公约数是21,求M.

【答案】(1)952；(2)861

【分析一】(1)设这两个三位数分别为乂=abc,N=cbct(M>N),那么

ta=8,ta=9,

7IM-jV=99(a-cL所以Ic=1.或Ic=2.经枚举验证只有M=952时符合最大公约数是

7.

(2)设这两个三位数分别为“=而、N=cba(M>N),那么7IM-JV=99(a-c：,所以

ra=8.ra=9,

L=1.或L=2.经枚举验证只有M=861时符合最大公约数是21.

9.某住宅区有12家住户，他们的门牌号分别是1,23…,12.他们的电话号码依次是12个连

续的六位自然数，并且每家的电话号码都能被这家的门牌号码整除.已知这些电话的首位数字

都小于£并且门牌号码是9的这一家的电话号码能被13整除.请问：这一家的电话号码是

多少？

【答案】388089

【分析】设第一家住户的电话号码为n+LROUn+1.2n+2,3|n+3,12|n+12,由此可

知71能被1~12同时整除.而1、12的最小公倍数为23x32x5x7x11=2772),则

n=27720l其中m为正整数.由条件“门牌号码是9的这一家的电话号码能被13整除“可

得，13|27720m+9.而27720川+9三4阳+9(modl3),所以m=14时满足条件，这一家

的电话号码为27720X14+9=38808S.

10.六位数加。。OE能被99整除，••是多少？

【答案】71

【分析】方法一：2OOOOE被为除商2020余28,所以。000+28能被99整除，商72

时，99x72=7128,末两位是28,所以••为71；

方法二：99=9x11,20…0£能被99整除,所以各位数字之和为9的倍数，所以方框中数

字的和只能为8或17；又根据数被11整除的性质，方框中两数字的差为6或S,可得••是

71.

11.请找出符合下列性质的叫位数：

(1)它是一个平方数；(2)开始两位的数字要相同；(3)最末两位的数字要相同.

【答案】774"

【分析】设四位数为两.因而丽=1000a+100a+10b+b=11乂同，要石痴是完

全平方数，则第缄页数11整除，故a+b=ll,次只能是902,903,704,605,

506,407,308,209.

由于颌被11除的商必须是完全平方数，只有704符合.此时a=7,b=4,故所

求的数为7744.

12.定义运算如下：

对于两个自然数©和。它们的最大公约数与最小公倍数的差记为Q。匕

比如：10和14,最小公倍数为7C,最大公约数为2,则10@14=70-2=62

(1)求1202L5015：

(2)说明，如果c整除G和瓦则c也整除。0匕；如果c整除。和。0匕则c也整除力：

(3)已知60x=27,求x的值.

【答案】(1)81；10；

(2)见解析；

(3)x=15

【分析】(1)为求12021,先求出12与21的最小公倍数和最大公约数分别为84,3,

因此12021=84-3=81,同样道理5015=15-5=10.

(2)如果C整除。和那么C是。和二的公约数，则C整除口」的最大公约数，显然C也整

除最小公倍数，所以c整除最小公倍数与最大公约的差，即c整除aO匕

如果c整除。和a。2,由c整除。推知c整除al的最小公倍数，再由c整除a。七推知，

整除的最大公约数，而这个最大公约数整除&所以。整除匕.

(3)由于运算没有直接的表达式，解这个方程有一些困难，我们设法逐步缩小探索范

围.因为6与％的最小公倍数不小于27+1=28,不大于27+6=33,而28到33之间，

只有30是6的倍数，可见6和3的最小公倍数是30,因此它们的最大公约数是

30-27=3.由“两个数的最小公倍数与最大公约数的积=这两个数的积”，得到

30x3=6xJ,所以工=15.

13.小明与小华玩游戏，规则如下：开始每人都是1分，每局获胜的小朋友都可以把自己的分

数乘以三输的小朋友保持分数不变，最后小明获胜，他比小华多的分数是99的倍数，那么

他们至少玩了多少局？

【答案】9

【分析】设小明和小华最后的分数分别为3c和3、其中a＞瓦所以

99l3c-3i=3d[3(fl-d)-l].因为F3(CT)-1]和3互质，所以匕最小为2且有

经尝试，。一8最小为5的时候符合，所以小华最少玩了2局，小明7局，一

共S局.

14.试求不大于100,且使3〃+7n+4能被11整除的所有自然数n的和.

【答案】1480

【分析】通过逐次计算，可以求出3n被11除的余数，依次为：31为3,3二为£3m为

5,3^为4,3,为1,因而3,被11除的余数5个构成一个周期：3,9,5,4,13.

9,5,4.1,­•；类似地，可以求出7n被11除的余数10个构成一个周期：7.S,2,3,

10,4,6,9,E,1,…；于是3"+7n+4被11除的余数也是10个构成一个周期：3,7,

0,0,4,0,8,7,5,6,…；这就表明，每一个周期中，只有第，4、6个这三个数满足

题意,即n=3,4,6414,16,…,93,%,%时3n+7"4能被11整除，所以，所有满足条件的

自然数九的和为：

3+4+6+13+14+1

=13+43+…+283

=14AA

15.(1)不算出结果，判断数(524+42—429)是偶数还是奇数？

(2)数(42・+30—147：能被2整除，那么，,里可填什么数？

(3)下面的连乘积是偶数丕是奇数？

1x3x5

【答案】(1)奇数；(2)1,35,7£(3)偶数.

【分析】根据奇偶数的运算性质：

(1)因为524,42是偶数，所以(524+42)是偶数.又因为429是奇数，所以

(524+42-429)是奇数.

(2)数(42・+30-147：能被2整除，则它一定是偶数,因为147是奇数，所以数

(42・+30)必是奇数.又因为其中的30是偶数，所以，数42•必为奇数.于是，,里只能

填奇数1,3,5,7,9.

(3)1,3,5,7,9,11,1315都是奇数，由1x3为奇数，推知1x3x5为奇数・・・”

推知1x3x5x7x9x11x13x15为奇数.

因为14为偶数，所以(1x3x5x7x9x11xl3x15)x14为偶数，即

1x3x5x7x9x11xl3x14x15为偶数.

16.请将1、2、3、4、5、6、7、&9、10、11按合适的顺序写成一行，使得这一行数中的

任何一个都是它前面所有数之和的约数.

【答案】其中一个答案是6、1、7、2、8、3、9、4、10、5、11.

［分析】设填好后的数从左往右依次为5,如,…。巾所有数的和为66那么有

anl66-fln,故a”l6G可以设a”=11,则其余数的和为5E,那么倒数第二个数肯定是55

的约数，可以填5：还剩5。，那么倒数第三个数肯定是50的约数，可以填10,最后经过尝试

得到6、1、7、2、83、9、4、10、5、11和8、1、9、3、7、2、6、4、10、5、11等答

案.

观察6、1、7、2、&3、9、4、10、5、11这组答案，可以发现一个一般的规律：

若所给数是1~加+1,则几+1,L几+2,2,2n,n,加+1符合题意；

若所给数是1~左，则九+1,Ln+2,2,…，2n,九符合题意.

17.在一个两位数的十位与个位数字之间插入一个数字Q得到一个三位数(例如21变成了

201),结果这个三位数恰好能被原来的两位数整除.请问：所有满足条件的两位数之和是多

少？

【答案】528

【分析】设满足条件的两位数为次，则按题意插入一个数字。后的三位数是次.

依题意有mI而I按位置原理展开得

整理得

推出

或者整理得

推出

因为9b比90y目对较小，所以考虑10a+bl贝，但发现也不好分析，所以变为近19瓦

若力取0时，方取1。，20,•­­,90均可；

若力取1时，方没有符合的情况；

依次讨论得到而可以为10,20,30,90,15,45,18,和为528.

18.在1、2、3、4・・・2007这2007个数中有多少个自然数c能使2008+Q能被2007一。整

除.

【答案】7

2D0Ha

【分析】要使得2008+a能被2007-a整除，我们可以将条件等价的转化为只要让靠行

2D084-C

是一个整数即可.下面是一个比较难的技巧，我们知道若□可以使得而方二是一个整数，那么

Q也同样可以使得而二:+1=—右后二—=际;是一个整数，这样只要2007—a是

4015的约数即可，将4015分解可知其共有8个因数，其中4015是最大的•个，但是显然没

有可以让2007—a等于4015的。的值，其余的7个均可以有对应的。的值，所以满足条件

的a的取值共有7个.

19.一个4位数，把它的千位数字移到右端构成一个新的4位数.再将新的4位数的千位数字

移到右端构成•个更新的四位数，已知最新的4位数与最原先的4位数的和是以卜个数的

一个：

①9865；②9867；③9462；©9696；⑤986g.

这两个4位数的和到底是多少？

【答案】9696

【分析】设这个4位数是痂，则最新的4位数是丽.两个数的和为

abcd+cdab=1010a-

是101的倍数.在所给的5个数中只有9696是101的倍数，故正确的答案为9696.

20.有3个自然数，其中每一个数都不能被另外两个数整除，而且其中任意两个数的乘积都能

被第三个数整除.请问：满足上述条件的3个自然数之和最小是多少？

【答案】31

【分析】先证明这3个数每个都至少含有2种质因数.

证法一：假设这三个数为4B、G其中为只有一种质因数L,那么不可能只有质因数七，

否则B和/必定是倍数关系，同理，C也不可能只有质因数n

根据CIAB,假设C有除七以外其他质因数。，可以得到。IE,同理，C所有除以外的质因

数都是3的质因数；再根据BIC4同理得，3所有除了力以外的质因数也是C的质因数，那

么B、C必定是倍数关系，与题意矛盾.所以这3个数中不可能出现只含1种质因数的数，即

每个都至少含有2种质因数.

证法二：假设这三个数为乂、B、G其中为只有一种质因数口设4二口。因为川BC,所以

乘积BC中一定含有质因数"但月不能整除B,也不能整除C,说明石、C中都含有D,且次

数都低于Q又3不能整除4C也不能整除其所以B、C中都含打除了p以外的质因数，

设8=•力x/,C=其中•，表示B分解质因数后不包含力的部分，•，同理.

因为BIAC,所以・*1•，:同理，因为C3区所以•/•»,说明•，=”,那么8和C是倍数

关系，与题意矛盾.所以这3个数中不可能出现只含1种质因数的数，即每个都至少含行2

种质因数.

若这三个数里一共恰有2种质因数，最小为2和3,最小符合题意的情况是22x3、2x3%

23x3,和为36+54+24=114；

若这三个数里一共恰有3种质因数，最小为2、，5,最小符合题意的情况是2xW、2x£、

3x5,和为6+10+15=31；

若这三个数里一共恰有4种质因数，最小为2、工5、7,在不考虑题意的情况下，3个不同

的各含两种质因数的数最小是2x2、2x5、2x7,和为30,但这组不符合题意，很明显如

果要符合题意，和肯定大于31：

若这三个数里一共恰有5种质因数，最小为2、，5、7、11,在不考虑题意的情况下，3个

不同的各含两种质因数的数最小是2x入2x11、3x5,和为51,大于31；

很明显，当含有的质因数种类再增多时，三个数的和肯定都大于31；

综上，满足上述条件的3个自然数之和最小是31.

21.1至9这9个数字，按图所示的次序排成•个圆圈.请你在某两个数字之间剪开，分别按

顺时针和逆时针次序形成两个九位数（例如，在1和7之间剪开，得到两个数是193425857

和758624391）.如果要求剪开后所得到的两个九位数的差能被396整除，那么剪开处左右

两个数字的乘积是多少？

【答案】27,8,12,4£,35,5

【分析】互为反序的两个九位数的差，一定能被99整除.而396=99x4,所以我们只用

考察它能否能被4整除.于是只用观察原序数、反序数的末两位数字的差能否被4整除，显然

只有当剪开处两个数的奇偶性相同时才有可能.注意图中的具体数字，有（3,4）处、（8,

5）处的两个数字奇偶性均不相同，所以一定不满足.而剩下的几个位置奇偶性相同，有可能

满足.进一步验证，有（93）处剪开的末两位数字之差为43—19=24,（4,2）,（2,

6）,（6,8）,（5,7）,（7,1）,（1,9）处剪开的末两位数字之差为

62-3=28.86-42=44,58-26=32,85-17=6E,91-57=34,

71-39=32.所以从（9,3）,（4,2）,（2,6）,（6,8）,（5,7）,（1,9）处

剪开，所得的两个互为反序的九位数的差才是396的倍数.（£3）,（4,2）,（2,

6）,（6,8）,（S,7）,（19）处左右两个数的乘枳为27,8,12,4f,3S,9.

22.有15位同学，每位同学都有编号，他们是1号到15号，1号同学写了一个自然数，其余

各位同学都说这个数能被自己的编号数整除.1号作了检验：只有编号连续的两位同学说的不

对，其余同学都对，问：

（1）说的不对的两位同学.他们的编号是哪两个连续自然数？

（2）如果告诉你1号写的数是五位数，请找出这个数.

【答案】（1）8和9：：2）6006（

【分析】（1）为了表达方便，不妨设1号同学写的自然数为Q根据2〜15号同学所述结

论，2~15中只有两个连续的自然数不能整除。，其他的数都能整除a由于2~7中的每一

个数的2倍都在15以内，如果2~［中有某个数不能整除a那么这个数的2倍也不能整除

。，然而2~7中的这个数与它的2倍不可能是两个连续的自然数，所以2~7中每一个数都

是。的约数.由于2与S互演，那么2x5=10也是□的约数.同理可知，12、14、15也都

是，的约数.还剩下的四个数为8、9、11、13,只有&9是两个连续的自然数，所以说的

不对的两位同学，他们的编号分别是8和9.

（2）1号同学所写的自然数能被2,3,4,5,6,7,10,11,12,13,14,15这12个数

整除，也就是它们的公倍数.它们的最小公倍数是：22x3x5x7x11x13=60060.因为

6006（是一位五位数，而这12个数的其他公倍数都是它们的最小公倍数6006（的倍数，且最

小为