《圆锥曲线》单元测试题

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《圆锥曲线》单元测试题

班级姓名学号分数

第I卷（选择题共60分）

一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题

给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）

1、若双曲线一=1的焦点到其渐近线的距离等于实轴长，则该双曲

线的离心率为（）

A.B.5C.D.2

2、圆锥曲线+=1的离心率e=,则。的值为（）

A.4B.-C.4或一D.以上均不正确

3、以椭圆的右焦点尸2为圆心的圆恰好过椭圆的中心，交椭圆于点"、

N,椭圆的左焦点为

Fi,且直线MFi与此圆相切，则椭圆的离心率£为（）

A.-1B.2—C.D.

4、已知双曲线一=1与椭圆+=1的离心率互为倒数，其中0>0,

a2>b>0f那么以

0、。2、b为边长的三角形是（）

A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等腰三角形

5、设椭圆+=1（〃?>0,心0）的右焦点与抛物线产=8%的焦点相同，

离心率为，则此椭

圆的方程为（）

A.+=1B.+=1C.+=1D.+=1

6、已知椭圆氏+=1,对于任意实数上,下列直线被椭圆E截得的

弦长与/：y=kx+1

被椭圆E截得的弦长不可能相等的是（）

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A.&+），+A=OB.kx-y-l=OC.丘+），一*=0D.丘+>—2=0

7、过双曲线M：K—=1的左顶点4作斜率为1的直线/,若/与双

曲线M的两条渐近线

分别相交于点B、C,且|A8|=|8C|,则双曲线M的离心率是（）

A.B.C.D.

8、设直线/：2x+），+2=0关于原点对称的直线为「，若/'与椭圆

f+=l的交点为A、

B,点、P为椭圆上的动点，则使△弘3的面积为的点P的个数为（）

A.1B.2C.3D.4

9、设分、尸2分别是椭圆+=1（。论>0）的左、右焦点，与直线y=b相

切的。乃交椭圆于

点£,且后是直线与（DB的切点，则椭圆的离心率为（）

A.B.C.D.—1

10、如图所示，从双曲线一=1（。>0,比>0）的左

焦点尸引

圆=的切线，切点为丁，延长尸丁交双rx

曲线右支于‘十'

P点,若M为线段”的中点，。为坐标原点，则

|MO|—|M71与b~a的大小关系为（）

A.\MO\-\MT\>b-aB.\MO\-\MT\=h-a

C.\MO\-\MT\<b-aD.不确定

11、已知曲线C），=浮，点A（0,—2）及点仅3,。），从点4观察点

B,要使视线不被曲线

C挡住，则实数〃的取值范围是（）

A.（4,+8）B.（-oo,4]C.（10,+8）D.（-oo,io]

12、点P在曲线C+产=1上，若存在过P的直线交曲线。于A点,

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交直线/；x=4于

B点,满足照|=|P四或照|=|44则称点P为“〃点”，那么下列结

论正确的是()

A.曲线。上的所有点都是“H点”B.曲线C上仅有有限个点是“H

点”

C.曲线C上的所有点都不是““点”D.曲线C上有无穷多个点是

点”

题

号123456789101112

答

案

第n卷(非遂择题为9。分)

二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共20分，把正确答案

填在题中横线上.)

13.已知点4(1,0),B(2,0).若动点M满足・+||=0,则点M的轨迹方

程为.

14.过点M(—2,0)的直线m与椭圆+)，=1交于Pi、P2两点，线段

Pi%的中点为P，设直

线m的斜率为右(kW0),直线OP的斜率为⑸则女曲的值为.

15.设双曲线/一=1的左右焦点分别为B、长，P是直线x=4上的

动点，若

则0的最大值为.

16.直线/：工一)，=()与椭圆+)2=1相交4、8两点，点C是椭圆上

的动点，则△A8C面

积的最大值为.

三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证

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明过程或演算步骤.)

17、已知4一2,0)、8(2,0),点。、点D满足||__cT

=2,

=(+),

⑴求点。的轨迹E的方程；

⑵过点A作直线/交以A、B为焦点的椭圆G于M、N两点，

线段MN的中点到y轴的距离为，且直线/与轨迹E相切，求椭圆G

的方程.

18、设椭圆C+=15＞。＞0)的离心率为，过原点。斜率为1的直线

与椭圆C相交于

M,N两点，椭圆右焦点尸到直线/的距离为.

(1)求椭圆C的方程；

(2)设。是椭圆上异于M,N外的一点，当直线PM,PN的斜率

存在且不为零时，记直

线尸M的斜率为k，直线PN的斜率为〃2,试探究左色是否为定

值？若是，求出定值；

若不是，说明理由.

19、过点作直线与抛物线r=2y交于A、3两点，该抛物线在

A、3两点处的两条切

线交于点P.

(1)求点P的轨迹方程；

(2)求aAB尸的面积的最小值.

20、己知菱形4BCO的顶点A,C在椭圆小『

+3)2=4上，对I/

角线8。所在直线的斜率为1.;

⑴当直线80过点(0,1)时,求直线AC的方程；

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(2)当N48C=60。时，求菱形A3c。面积的最大值.

21、如图，在由圆0：?+/=!和椭圆C：

+)?=

构成的“眼形”结构中，已知椭圆的离心

率为，

直线/与圆。相切于点与椭圆。相交

于两点4

B.

(1)求椭圆。的方程；

(2)是否存在直线/,使得=2,若存在，求此时直线/的方程；若不存

在，

请说明理由.

22、已知椭圆的两个焦点~(一，0),F2(,0),过R且与坐标轴不平行

的直线人与椭圆

相交于M,N两点，如果△MNB的周长等于8.

(1)求椭圆的方程；

(2)若过点(1,0)的直线/与椭圆交于不同两点P、Q,试问在x轴上是

否存在定点风团,0),

使•恒为定值？若存在，求出E的坐标及定值；若不存在，请说明理

由.

《圆锥曲线》单元测试题答案

一、选择题：

题

号123456789101112

答ACABBDDBABDD

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案

二、填空题：

13、+)2=114、一15、30。16、

三、解答题：

17、［解析］⑴设C、D点坐标分别为C(xo,vo),DU,)，)，则=(xo

+2,yo),=(4,0),则+=(xo+6,yo),故=(+)=.

又=(x+2,y),故

解得

代入||==2得f+V=l,即为所求点。的轨迹E的方程.

(2)易知直线/与x轴不垂直，设直线/的方程为

y=—x+2)①

又设椭圆方程为+=1(〃>4)②

因为直线/与圆/+丁2=1相切，故=1,解得R=.将①代入②整

理得(标公+a2—4濡+4a2/cx+4a2lc-4+4«2=0,

而F=,即(〃一3)%2+々2%—。4+4标=0,

设M(X1,yi),NgJ2),则Xi+x2=—.

由题意有=2X,求得〃=8.经检验，此时△>().故所求的椭圆方

程为+=1.

18、［解析］⑴设椭圆的焦距为2c(c>0),焦点尸(c,0),直线/：

=0,

产到/的距离为=,解得。=2,

：e==,/•ci—2,,:.b=2.

・•・椭圆C的方程为+=1.

(2)由解得x=y=,或x=y=一,

不妨设M,N,P(x,y),

*#•kpM・kpN=*=,

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由+=1,即『=8-2产，代入化简得hk2=k.kpN=一为定值.

19、［解析］(1)设直线A3方程为y=总-1)+1,

代入f=2y中得，x2—2日+2&—2=0

其中A=(-2%)2-4(2攵-2)=4［(攵-1)2+1］〉0

记A,B,则

x\+x2=2k,x\X2=lk—2.

对丁=求导得，y'=x

则切线PA的方程为y=xi(x-xi)+,

即y=xi大一①

同理，切线尸8的方程为)，=1“一②

由①、②两式得点尸的坐标为，

于是得P(hk-l),设P(x,y),则,

消去参数k,得点P的轨迹方程为X—y—1=0.

(2)由⑴知

|AB|=|xi—xi|

=2.

点P到直线A3的距离

d==

△ABC的面积

S=\AB\-d=^-2k+2)=［(k-\)2+\］.

当k=\时，S有最小值1.

20、［解析］(1)由题意得直线8。的方程为y=x+l.

因为四边形A3。为菱形，所以AC_L8D

于是可设直线AC的方程为)，=一1十几

由得4f—6九(+3〃2—4=0.

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因为A,。在椭圆上，所以△=一口层+64>0,

解得一<〃<.

设A,。两点坐标分别为(xi,yi),(X2,”)，贝！］

X\+x2=,X\X2=,

yi=­xi+n,>2=一戈2+儿

所以》+工=,所以AC的中点坐标为.

由四边形A8CZ)为菱形可知，点在直线y=x+l上，所以=+1,

解得n=-2.

所以直线AC的方程为》=一1一2,

即x+y+2=0.

(2)因为四边形A5CQ为菱形，且NA3C=6()。，

所以|A8|=|3C|=|C4|.

所以菱形ABCD的面积S=\AC\2.

由(1)可得|AC］2=(©—忿)2+(J1—J2)2=,

所以S=(-3n2+16).

所以当及=0时，菱形A8C。的面积取得最大值4.

21、［解析］(1)\>==,c2=a2—1,/.=,

解得：〃=3,所以所求椭圆。的方程为+y2=l.

(2)假设存在直线/,使得二2

易得当直线/垂直于x轴时，不符合题意，故设直线/方程为y

=kx+b,

由直线/与圆O相切可得，加=3+1①

把直线代入椭圆a+)2=1中，整理得：

(1+3F