《5.1.1任意角》教案、导学案与同步练习

《第五章三角函数》

《5.1・1任意角》教案

【教材分析】

学生在初中学习了0“〜3600,但是现实生活中随处可见超出(T〜360O范

围的角.例如体操中有“前空翻转体54(T”，且主动轮和被动轮的旋转方向不一

致.因此为了准确描述这些现象，本节课主要就旋转度数和旋转方向对角的概念

进行推广.

【教学目标与核心素养】

课程目标

1.了解任意角的概念.

2.理解象限角的概念及终边相同的角的含义.

3.掌握判断象限角及表示终边相同的角的方法.

数学学科素养

1.数学抽象：理解任意角的概念，能区分各类角；

2.逻辑推理：求区域角；

3.数学运算：会判断象限角及终边相同的角.

【教学重难点】

重点：理解象限角的概念及终边相同的角的含义；

难点：掌握判断象限角及表示终边相同的角的方法.

【教学方法】：以学生为主体，采用诱思探究式教学，精讲多练。

【教学过程】

一、情景导入

初中对角的定义是:射线OA绕端点。按逆时针方向旋转一周回到起始位置，

在这个过程中可以得到0°〜360,范围内的角.但是现实生活中随处可见超出

0。〜360”范围的角.例如体操中有“前空翻转体54S”，且主动轮和被动轮的

旋转方向不一致.请学生思考，如何定义角才能解决这些问题呢？

要求：让学生自由发言，教师不做判断。而是引导学生进一步观察.研探.

二、预习课本，引入新课

阅读课本168-170页，思考并完成以下问题

1.角的概念推广后，分类的标准是什么？

2.如何判断角所在的象限？

3.终边相同的角一定相等吗？如何表示终边相同的角？

要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。

三、新知探究

1.任意角

(1)角的概念

角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置触到另一个位置所成的

图形.

(2)角的表示

如图，0A是角Q的始边，0B是角a的终边，0是角的顶点.角a可记为

“角a”或“Na”或简记为“a”.B\

(3)角的分类

0

按旋转方向，角可以分为三类：

名称定义图示

正角按逆时针方向旋转形成的角八

0^-B

负角按顺时针方向旋转形成的角B

零角一条射线没有作任何旋转形成的角0•--------4(B)

2.象限角

在平面直角坐标系中，若角的顶点与原点重合，角的始边与2L轴的非负半轴

重合，那么，角的终边在第几象限,就说这个角是第几象限鱼；如果角的终边荏

坐标轴上,就认为这个角不属于任何一个象限.

3.终边相同的角

所有与角a终边相同的角，连同角a在内，可构成一个集合$={6IP=

a+k・360。，k£Z},即任一与角a终边相同的角，都可以表示成角a与整

数个周角的和.

四、典例分析、举一反三

题型一任意角和象限角的概念

例1(1)给出下列说法：

①锐角都是第一象限角；②第一象限角一定不是负角；③小于180。的角是

钝角、直角或锐角；④始边和终边重合的角是零角.其中正确说法的序号为

(把正确说法的序号都写上).

(2)已知角的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，作出下列

各角，并指出它们是第几象限角.

①420°,②855°,③一510°.

【答案】Q)①(2)图略，①420°是第一象限角.②8550是第二象限角.③

-510°是第三象限角.

【解析】(D①锐角是大于0°且小于90°的角，终边落在第一象限，是第

一象限角，所以①正确；

②一350。角是第一象限角，但它是负角，所以②错误；

③0°角是小于180°的角，但它既不是钝角，也不是直角或锐角，所以③

错误；

④360°角的始边与终边重合，但它不是零角，所以④错误.

(2)作出各角的终边，如图所示：

由图可知：

①420°是第一象限角.

②855°是第二象限角.

③一510°是第三象限角.

解题技巧：(任意角和象限角的表示)

1.判断角的概念问题的关键与技巧.

(1)关键：正确的理解角的有关概念，如锐角、平角等；

(2)技巧：注意“旋转方向决定角的正负，旋转幅度决定角的绝对值大小.

2.象限角的判定方法.

(1)图示法：在坐标系中画出相应的角，观察终边的位置，确定象限.

(2)利用终边相同的角：第一步，将a写成。=k-360。+P(keZ,

0°WB<360°)的形式；

第二步，判断B的终边所在的象限；

第三步，根据B的终边所在的象限，即可确定a的终边所在的象限.

跟踪训练一

1.已知集合力=｛第一象限角｝,Q｛锐角｝,仁｛小于90°的角｝,则下面

关系正确的是()

A.A=B=CB.AQC

C.AQC=BD.BUC^C

【答案】D

【解析】由己知得霹。，所以仇故D正确.

2.给出下列四个命题：①一75°是第四象限角；②225°是第三象限角；③

475°是第二象限角；④一315°是第一象限角.其中正确的命题有()

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】D

【解析】-90°<-75°<0°,180°<225°<270°,

360°+90°<475°<360°+180°,一315°=—360°+45°且0°<45°

<900.所以这四个命题都是正确的.

题型二终边相同的角的表示及应用

例2(1)将885°化为A-3600-I-cz(0°Wa<360°,AUZ)的形式是

(2)写出与。=-910。终边相同的角的集合，并把集合中适合不等式一720。

V£V360°的元素£写出来.

【答案】(1)(-3)X360°+195°,(2)终边相同的角的集合为｛£|£=

A*360°-910°,Aez｝,适合不等式一720°V£V360°的元素一550°、一

190°、170°.

【解析】(1)-885°=-1080°+195°=(-3)X360°+195°.

(2)与。=一910°终边相同的角的集合为｛0I£=4・360°-910°,kG

Z),

・・,-7200<^<360°,即一7200360°-910°<360°,kH,

取1,2,3.

当a=1时，£=360°-910°=-550°；

当衣=2时，尸=2X360°-910°=-190°；

当衣=3时，£=3X3600-910°=170°.

解题技巧：(终边相同的角的表示)

1.在0°到360。范围内找与给定角终边相同的角的方法

(1)一般地，可以将所给的角。化成衣-36(T+B的形式(其中0°

360°,A£Z),其中万就是所求的角.

(2)如果所给的角的绝对值不是很大，可以通过如下方法完成：当所给角是

负角时，采用连续加360。的方式；当所给角是正角时，采用连续减360。的方

式，直到所得结果达到所求为止.

2.运用终边相同的角的注意点

所有与角Q终边相同的角，连同角a在内可以用式子k-360。+a,kE

Z表示，在运用时需注意以下四点：

(l)k是整数，这人条件不能漏掉.

(2)Q是任意角.

(3)k-360°与a之间用“+”连接，如k-360°-30°应看成k-360°

+(—30°),kwZ.

(4)终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同，终边相同的角有

无数个，它们相差周角的整数倍.

跟踪训练二

1.下面与一850°12'终边相同的角是(：

A.230°12'B.229°48'

C.129°48'D.130°12'

【答案】B

【解析】与一850°12'终边相同的角可表示为］=-850。12'+

4・360°(〃£Z),当％=3时，。=一850°12,+1080°=229°48'.

2.写出角。的终边落在第二、四象限角平分线上的角的集合为________,

【答案】｛a|ci=k-180°+135°,AeZ｝.

【解析】落在第二象限时，表示为4・3600+135°.落在第四象限时，表

示为A・360°+180°+135°，故可合并为｛。|。=4-1800+135°,keR.

题型三任意角终边位置的确定和表示

例3(1)若a是第一象限角，则子是()

乙」

A.第一象限角B.第一、三象限角

C.第二象限角D.第二、四象限角

(2)已知，如图所示.

①分别写出终边落在勿，如位置上的角的集合；

②写出终边落在阴影部分(包括边界)的角的集合.

【答案】(1)B(2)①终边落在以位置上的角的集合为｛。|。=135。+

攵・360°,MZ｝；终边落在如位置上的角的集合为｛£|£=-30°+八360°,

Aez｝.

②故该区域可表示为｛7|一30°+4・360°W/<135°+A・360°,k^Z].

【解析】⑴因为。是第一象限角，所以4・360°VaVA・3600+90°,

aa

Aez,所以4・180°<—<k-180°+45°,kWL,当a为偶数时，?为第一

象限角；当女为奇数时，m为第三象限角.所以?是第一、三象限角.

(2)①终边落在"位置上的角的集合为｛G|。=90°+45°+A-360°,

k^Z]=｛a|。=135°+A-360°,AeZ｝；

终边落在仍位置上的角的集合为｛£|£=-30°+A・360°,AeZ｝.

②由题干图可知，阴影部分(包括边界)的角的集合是由所有介于[—30°,

1350]之间的与之终边相同的角组成的集合，故该区域可表示

为｛川一30°+4・360°W/W1350+A*360°,k^l｝.

解题技巧：(任意伟终边位置的确定和表示)

1.表示区间角的三个步骤：

第一步：先按逆时针的方向找到区域的起始和终止边界；

第二步：按由小到大分别标出起始和终止边界对应的一360。〜360。范围内

的角。和£,写出最简区间｛x|其中尸一。＜360°；

第三步：起始、终止边界对应角。，£再加上360。的整数倍，即得区间

角集合.

提醒：表示区间角时要注意实线边界与虚线边界的差异.

2.nQ或所在象限的判断方法：

(1)用不等式表示出角na或2的范围；

n

(2)用旋转的观点确定角na或巴所在象限.

n

跟踪训练三

1.如图所示的图形，那么终边落在阴影部分的角的集合如何表示？

【答案】角£的取值集合为{£|〃-1800+60°W£<〃-1800+105°,〃

ez}.

【解析】在0°〜360。范围内，终边落在阴影部分(包括边界)的角为

60°W£<105°与240°W£<285°,所以所有满足题意的角£为{£|A-360°

+60°W£〈A・36004-105°,A《Z}U{£|4*3600+240°W£〈A・360°

+285°,A£Z}={£|24・1800+60°W£(2A-1800+105°,AGZ)

U{£|(2*+1)・：80°+60°W£<(2%+l)・1800+105°,AeZ}=

{£|〃・1800+60°W£<〃-1800+105°,〃£Z}.

故角£的取值集合为{£|〃・180°+60°W£<〃・180°+105°,/?eZ).

五、课堂小结

让学生总结本节课所学主要知识及解题技巧

六、板书设计

5.1.1任意角

1任意角例1例2例3

2.象限角

3.终边相同的角

七、作业

课本171页练习及175页习题5.11、2、7题.

【教学反思】

本节课主要采用讲练结合与分组探究的教学方法，让学生从旋转方向和旋转

度数熟悉角的概念，象限角，终边相同的角等，并且掌握其应用.

《5.1.1任意角》导学案

【学习目标】

知识目标

1.了解任意角的概念.

2.理解象限角的概念及终边相同的角的含义.

3.掌握判断象限角及表示终边相同的角的方法.

核心素养

1.数学抽象：理解任意角的概念，能区分各类角；

2.逻辑推理：求区域角；

3.数学运算：会判断象限角及终边相同的角.

【重点与难点】

重点：理解象眼角的概念及终边相同的角的含义；

难点：掌握判断象限角及表示终边相同的角的方法.

【学习过程】

一、预习导入

阅读课本168T70页，填写。

1.任意角

(1)角的概念

角可以看成平面内一条绕着端点从一个位置到另一个位置所成的.

(2)角的表示

如图，OA是角a的始边，OB是角a的终边，0是角的顶点.角a可记为

“角a”或“Na»或简记为“a”.

(3)角的分类

按旋转方向，角可以分为二类：

名称定义图示

正角按方向旋转形成的角上

负角按方向旋转形成的角

零角一条射线没有作任何旋转形成的角0---------4(B)

2.象限角

在平面直角坐标系中，若角的顶点与重合，角的始边与轴的非负半轴重合,

那么，角的在第几象限，就说这个角是第几；如果角的终边上，就认为这个角不

属于任何一个象限.

3.终边相同的角

所有与角a终边相同的角，连同角a在内，可构成一个集合S=,即任一

与角a终边相同的角，都可以表示成角a与的和.

【小试牛刀】

1.判断(正确的打“J”，错误的打“X”)

⑴小于90°的角都是锐角.()

（2）终边相同的角一定相等.（）

（3）锐角都是第一象限角.（）

（4）第二象限角是钝角.（）

2、2020°是（）

A.第一象限角B.第二象限角

C.第三象限角D.第四象限角

3、与30。角终边相同的角的集合是（）

A.｛。［4=30。+A・360°,Aez｝

B.｛。|。=-30°+4・360°,AGZ｝

C.｛a\。=30°+4・180°,AeZ｝

D.｛a\。=-30。+A-180°,

4、将35。角的终边按顺时针方向旋转60。所得的角度数为,将

35°角的终边按逆时针方向旋转一周后的角度数为.

【自主探究】

题型一任意角和象限角的概念

例1（1）给出下列说法：

①锐角都是第一象限角；②第一象限角一定不是负角；③小于180°的角是

钝角、直角或锐角；①始边和终边重合的角是零角.其中正确说法的序号为

（把正确说法的序号都写上）.

（2）已知角的顶点与坐标原点重合，始边与大轴的非负半轴重合，作出下列

各角，并指出它们是第儿象限角.

①420°,②855°,③一510°.

跟踪训练一

1.已知集合力=｛第象限角｝,片｛锐角｝,C=｛^T90°的角｝,则下面

关系正确的是（）

A.A=B=CB.AQCC.AHC=BD.8U（之。

2.给出下列四个命题:①一75°是第四象限角；②225。是第三象限角；③475°

是第二象限角；④一315。是第一象限角.其中正确的命题有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

题型二终边相同的角的表示及应用

例2（1）将一885°化为4・360°+。（0°＜。＜360。，AWZ）的形式是

（2）写出与。=—910°终边相同的角的集合，并把集合中适合不等式一720°

VBV360。的元素£写出来.

跟踪训练二

1.下面与一850°12'终边相同的角是（：

A.230°12,B.229°48,C.129°487D.130°12’

2.写出角a的终边落在第二、四象限角平分线上的角的集合为_________.

题型三任意角终边位置的确定和表示

例3（1）若Q是第一象限角，则£■是（）

A.第一象限角B.第一、=象限角

C.第二象限角D.第二、四象限角

⑵己知，如图所示.

①分别写出终边落在力，如位置上的珀的集合；

②写出终边落在阴影部分（包括边界）的角的集合.

跟踪训练三

1.如图所示的图形，那么终边落在阴影部分的角的集合如何表示?

【课堂检测】

1.若角。、〃的终边相同，则尸的终边在()

A.x轴的正半轴上B.工轴的负半轴上

C.y轴的正半轴上D.y轴的负半轴上

2.在-720。~0。范围内所有与30。角终边相同的角为()

A.-330°B.-69()°C.-690。或-330°D.-3(X)。或-330°

3.下列叙述正确的是()

A.第一或第二象限的角都可作为三角形的内角

B.始边相同而终边不同的角一定不相等

C.若。是第一象限角，则2。是第二象限角

D.钝角比第三象限角小

a

4.(多选)若角。是第二象限角，则万是()

A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角

5.角。的终边在第二象限，则-a的终边在第象限。

6.写出在-360。到360°之间与-120°的角终边相同的角。

7.在角的集合{a|a=A・900+45"eZ},

(1)有几种终边不同的角？

(2)写出区间(T8O°,18O°)内的角?

(3)写出第二象限的角的一般表示法.

答案

小试牛刀

1.(1)X(2)X(3)J(4)X2.C3.A4.-25°395。

自主探究

例1【答案】(1)①(2)图略，①420,是第一象限角.②8550是第

二象限角.③一510°是第三象限角.

【解析】(D①锐角是大于0°且小于90°的角，终边落在第一象限，是第

一象限角，所以①正确;

②一350。角是第一象限角，但它是负角，所以②错误；

③0°角是小于180。的角，但它既不是钝角，也不是直角或锐角，所以③

错误；

@360°角的始边与终边重合，但它不是零角，所以④错误.

(2)作出各角的终边，如图所示：

由图可知：

①420°是第一象限角.

②855。是第二象限角.

③一510。是第三象限角.

跟踪训练一

1.【答案】0

【解析】由已知得8至£所以BUCUC,故D正确.

2.【答案】D

【解析】-90°<-75°<0°,180°<225°<270°,

360°+90°<475°<360°+180°,-315°=—360°+45°且0°<45°

<90°.所以这四个命题都是正确的.

例2【答案】(1)1-3)X360°+195°,(2)终边相同的角的集合为｛£|万

=4・360°-910°,k£Z｝,适合不等式一720°<^<360°的元素一550°、

-190°、170°.

【解析】(1)-8850=-1080°十195°=(—3)X360°十195°.

⑵与。=—910°终边相同的角的集合为｛例£=A-360°-910°,

Aez),

V-720°V£V360°,即一720°VA・360°-910°<360°,ke'L,

・・・4取1,2,3.

当衣=1时，£=360°-910°=-550°；

当衣=2时，£=2X3600-910°=-190°；

当衣=3时，£=3X3600-910°=170°.

跟踪训练二

1.【答案】B

【解析】与一850。12'终边相同的角可表示为。=一850°12'+

A・360°（A£Z）,当％=3时，。=一850°12'+1080°=229°48'.

2,【答案】｛a|a=k*180°+135°,k^l］.

【解析】落在第二象限时，表示为在・360。+135。.落在第四象限时，表

示为4・360°+180°+135°,故可合并为｛。|。=4・180°+135°,AeZ｝.

例3【答案】（DB（2）①终边落在小位置上的角的集合为｛a|〃=135°

+4・360°,Aez）；终边落在如位置上的角的集合为｛£|£=-30°+

k・360°,ke7\.

②故该区域可表示为｛川一30°+A-360°W/W1350+A-360°,

A£Z｝.

【解析】⑴因为。是第一象限角，所以4・3600<。<4・360。+90°,

aa

kRZ,所以4・1800<—<k-180°+45°,k£Z,当左为偶数时，7为第一

乙乙

象限角；当女为奇数时，3■为第三象限角.所以5是第一、三象限角.

乙乙

（2）①终边落在勿位置上的角的集合为｛。|。=90°+45°+A-360°,

A£Z｝=｛。|4=135°+4・360°,A-GZ）；

终边落在如位置上的角的集合为｛£|£=-30°+在・360°,AeZ｝.

②由题干图可知，阴影部分（包括边界）的角的集合是由所有介于［-300,

135°］之间的与之终边相同的角组成的集合，故该区域可表示

为｛川一30°+A-360°</W1350+4・3600,忙Z｝.

跟踪训练三

1.【答案】角£的取值集合为｛£|〃-1800+60°W£<〃-1800+1053,

〃任Z｝.

【解析】在0°〜360°范围内，终边落在阴影部分（包括边界）的角为60°

《£<105°与240°《8<285°,所以所有满足题意的角B为｛月|4・360'十

60°W£<〃・360°4-105°,A^Z}U{£|〃・3600+240°<£<女・360°

+285°,A£Z}={£|24・1800+60°W£〈2A・18004-105°,AEZ)

U{£|(2A+1)・：80°+60°W£<(24+1)・180°+105°,k^Z}=

{£|〃-1800+60°W£。・1800+105°,/?EZ).

故角£的取值集合为{£|〃・1800+60°W£<〃・1800+105°,/?EZ).

当堂检测

1-3.ACB

4.AC

5.三

6.240°

7.【答案】⑴4种.(2)-135°,-45°,45°,135°.(3)Z・360,+135°/wZ.

【解析】(1)由题知a=%・90°+45°,%£Z,令Z=O,1,2,3,贝I」

«=45°,135\225\315\

，在给定的角的集各中，终边不同的角共有4种.

53

(2)由-180°<么90°+45°vl8O°/wZ,^--<k<-,keZf：.

k=-2,-1,0,1,

・・・在区间(一180°,180°)内的角有一135",-45：45',135”.

(3)由(1)知，第二象限的角可表示为h360°+135°,«wZ.

《§5.1.1任意角》同步练习

•.选择题

1.下列命题中正确的是（）

A.终边和始边都相同的角一定相等

B.始边相同而终边不同的角一定不相等

C.小于90。的角一定是锐角

D.大于或等于0。且小于90。的角一定是锐角

2.下列各角中与60终边相同的角是（）

A.-300B.-240

C.120°D.3901

3.475。角的终边所在的象限是（)

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

4.下列各角中，与2021。终边相同的角为（）

A.41°B.139°

C.221°D.-41°

5.下图终边在阴影部分的角的集合可表示为(

A.{&，180°va<hl80+30°/wz}

B.{诽.180+30。入Z}

C.[a\k-360<a<k-3600+3()Gz|

D.{。k3604a«h360'+3(r,攵EZ}

6.若角a与。的终边互相垂直，则?与月满足的关系式为（）

A.4=a+h360,+90°/eZB.尸=。+公360「±90',&£Z

C./?=a+hl8（）'+90入ZD./=a+h18（）'±90°八Z

7.已知。是第三象限角，那么羡是（）

A.第二象限角B.第三象限角

C.第二或第三象限角D.第二或第四象限角

8.终边在直线y=的角的集合为（）

A.{a[a=-60°+Z・360次wZ}B.{a[a=-60°+Z・180,ZeZ}

C.{a|<2=120+^*360,keZ}D.{a|a=120+k・180eZ}

二.填空题

9.时钟走了3小时20分，则时针所转过的角的度数为,分针转过的角

的度数为__________.B

10.如图，射线OA绕顶点。逆时针旋转45。到OB位置，并在此/

基础上顺时针旋转120。到达OC位置，则/AOC=.。国——

\卜120。

三.解答题\c

11.已知集合4={叩上180。+45。＜。＜&180。+60°,keZ}f集合

8={01・360。-55。＜）＜私360。+55。,keZ],

（1）在平面直角坐标系中，表示出角。终边所在区域；

（2）在平面直角坐标系中，表示出角夕终边所在区域；

（3）求AC|B.

12.若角。是第二象限角，试确定2a,£的终边所在位置.

【参考答案】

一.选择题

1.下列命题中正确的是（）

A.终边和始边都相同的角一定相等

B.始边相同而终边不同的角一定不相等

C.小于90。的角一定是锐角

D.大于或等于0。且小于90。的角一定是锐角

【答案】B

2.下列各角中与60终边相同的角是（）

A.-300B.-240°

C.120°D.390

【答案】A

3.475。角的终边所在的象限是（）

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

【答案】B

4.下列各角中，与2021。终边相同的角为（）

A.410B.139°

C.221°D.-41°

【答案】C

5.下图终边在阴影部分的角的集合可表示为（

A.<a<hl8（T+30。次EZ}

B.{a|h