【模型导学】细解倍角含半角模型举例说明其应用

【模型导学】细解倍角含半角模型，举例说明其应用

"倍角含半角模型"(也称半角模型)，是中考中最常见的题型

之一。因为其内容丰富，变换灵活，所以具有一定的难度。虽然网络

上对于"倍角含半角模型”的文章比较多，但仅仅是对某一具体的模

型挖掘的比较透彻——尤其是对"90。含45。模型”挖掘的比较透彻,

但对于〃倍角含半角模型〃的一般情况研究的不多，且对于〃倍角含

半角模型”和〃对角互补模型”之间的关系研究不多。

方法是利器，思想是灵魂。本文尝试运用”从特殊到一般的思想”

和〃从一般到特殊思想〃来研究下〃倍角含半角模型〃。重点研究

〃倍角含半角模型"的由来及应对策略，以期建立通法通解，并揭示

"倍角含半角模型〃与"对角互补模型"的关系。关于〃90。含45。半

角模型"及"对角互补模型”的相关内容，请大家自己百度，不是本

文重点讲述内容。

基本模型一：等腰三角形顶角之半角

例L如图1，已知正3BC中,BD=CE=2,NDAE=30°,求DE;

解析：如图2,•「△ABC为正三角形，且BD=CE=2,易想到三线

合一，作BC边上的高AF,则FB=FDe设FD=FE=x,则

FB=FC=X+2,AB=AC=2X+4,AF=V3(x+2).如果能够建立关于x的

方程,即可求解。显然，此时还不能构造方程—思路受阻！

观察到题目中zDAE=30°还没有用到，显然，

zBAD=zDAF=zFAE=zEAC=15°o如图3，作DM_LAB于M,则易

证△MADM^FAD,则DM=DFe因为BD=2,zB=60°z则易知BM=1,

则DM=DF=FE=V3,则DE=2V3O

例2、如图4,已知正^ABC中,BD=1,CE=3,zDAE=30°,求

DE;

图4

解析：这道题目，由于BD/EC,大家可以尝试一下，仿照例1的

方法好像已经行不同了。那么我们必须寻找别的思路。

如图5,把^ABD以AD所在直线为对称轴折叠到aADM的位置，

连接ME。易证明SBD兴AMD,则zBAD=zMAD,

AB=AM,BD=MD=1O*.zBAC=60°z/DAE=NMAD+NNAE=30°z

/.zBAD+zCAE=30°z/.zMAE=zCAE,又「AM=AC,AE=AE,

o

.•.△ACE*AME,.-.EM=EC=3,zDMA=zB=60,zEMA=zC=60°z

zDME=120°o

如图6，作EF±DM,交DM延长线于点F,则/EMF=60。，

.-.MF=3/2rEF=3V3/2.

iridn匚一§•nc-./nr2,zrzr-/、2,/3岛2,」25,27_不

例3、如图7,已知等腰直角^ABC中，NBAC=90°,NDAE=45°,

BD=1,CE=3，求DE;

解析：这道题目仍然可以仿照例2的方法，作出aABD关于AD所

在直线的轴对称三角形来解决，过程略；

有没有其他解法呢？

如图8,将MEC以点A为旋转中心，顺时针旋转90。，得到

△AMB，连接MD。易得^AMB%AEC,则NMAB=NEAC,

MB=EC=3,zABM=zC=45°o易知NABC=45°,贝（UMBD=90。，贝（］

MD=V10.因为NBAC=90。，zDAE=45°,则NBAD+NEAC=45。，

•/zMAB=zEACz/.zMAD=zEAD=45°ovAM=AE,AD=AD,贝！］

△MAD乎EADz/.DE=DM=V10o

例4、如图9,已知等腰AABC中，AB=AC,zDAE=l/2zBAC=a,

BD=a,CE=b，求DE（用含a的式子表示）；

M\/

、/

解析：解决此题的本质，其实是建立一个通法通解的数学模型。

其实，例2和例3提供的方法都可看做解决这类问题的通用方法：

(1)关于AD所在直线的轴对称三角形ADM；(2)把将

△AEC以点A为旋转中心，顺时针旋转90。，得到AAMB。

我们以例2提供的方法(1)为例。如图10,辅助线及证明仿照

♦列2,略。止匕日寸，DM=a,EM=b,zDME=180°-2a,zEMF=2a,

贝！］MF=MEcos2a=b'cos2a,EF=EMsina=bsin2a,

■「DE2=DF2+EF4即DE2=(a+bcos2a)

2+(bsin2a)2=a2+2abcos2a+(bcos2a)

2+(bsin2a)2=a2+b2+2abcos2a——这难倒不是大名鼎鼎的〃余弦定

理”吗？虽然结果这个通解有点略超点小范围，但是这个公式却可以

看做上述例1、例2、例3的通解,掌握了这个通解，例L例2、例

3是直接套用公式的事，此意义也非同小可。

我们每个人都是一个个独立的鲜活的个体，也都有自己最精彩的

一面，所以对于社会中的人来说，我们每个人又都可以看做是具有我

△ABE和SME中只有AM为公共边，不能证明全等,MDF和△AMF

中只有AF为公共边，不能证明全等.....

若在EF上截取EM=EB,只需证明FM=FDO但仍然发现，MBE

和MME的全等无法证明，MDF和AAMF的全等也无法证明……

不过还有一招，不太常用的，叫做〃统一法”。

原题目等价于：如图3,把^ABE沿着AE所在直线折叠，得到

△AEM，延长EM,交CD于点F,连接AF'。易证明^ABEwANE,贝I」

,

AB=AM=AD,zBAE=zMAE,zABE=zAME=zAMF'=zADF=90°z

根据斜边直角边定理易证SMFm“\DF'，则NMAF'=/DAF',

vzBAD=90°,则NEAF'=45。,则点F与点F重合,则EF与EF'重合,

•.•EF'=EM+MF'=BE+DF'=BE+DF。

"统一法"不太好理解啊！！！

〃截长〃不顺利，试试〃补短〃！

如图4,延长CB到M,使得MB=DF,连接AM,易证明

△ABM^ADFr贝!JAM=AF,MB=FD,zMAB=zFAD0-/zBAD=90°,

zEAF=45°,则

o

zBAE+zFAD=45°r-.zMAB+zBAE=zMAE=zFAE=45，易证明

△AME乎AFE,则EM=EF,即MB+BE=DF+BE=EF。

当然，这种“补短"，其实质是把^ADF绕着点A顺时针”旋

转〃90。得到5BM来进行证明。

例2、如图5,已知四边形ABCD中，zBAD=120°,zBCD=60°,

NEAF=60°,且AB=AD,CB=CD,求证：BE+DF=EF;

解析：类比例1,如图6,把aADF绕着点A顺时针”旋转〃120。

得到SBM。易证明"ABM2ADF,贝UAM=AF,MB=FD,

zMAB=zFAD。vzBAD=120°,zEAF=60°,贝！］

zBAE+zFAD=60o,/.zMAB+zBAE=zMAE=zFAE=60o，易证明

△AME当AFE,则EM=EFf即MB+BE=DF+BE=EFO

例3、如图7,已知四边形ABCD中，zEAF=l/2zBAD=a,

zBCD=180°-2a,且AB=AD,CB=CD,求证：BE+DF=EF;

解析：证明可类比例1、例2......略……

但，这道题才是一般性的结论，即：

两个顶角互补共底边的等腰三角形，在其中一个等腰三角形的顶

角内作顶角的半角，与另一个等腰三角形的两腰的交点构成的线段，

等于等腰三角形两底角顶点到半角与另一腰两个交点构成的线段和。

方法策略：

把半角一边和与之相邻的等腰三角形的腰构成的三角形绕着等腰

三角形的顶点旋转等腰三角形的顶角的度数。

突然发现，这两种"倍角含半角模型〃的共同策略都是〃旋

转"！！！即"旋转"是"倍角含半角模型"的"通法"！！！可以

简称〃共顶点，等线段，半角模型用旋转〃。

旋转中心：等线段的公共顶点；

旋转方向：顺时针、逆时针都行；

旋转角度：共顶点等线段的夹角；

旋转对象：共顶点的一条等线段和与至相邻的半角的一条边构成

的三角形。

现在，模型也建立了，通法也总结出来了，咱们练练下面的几道

题目吧！！！

1、如图1,在正方形ABCD中，点E、F分别是BC、DC边上的

两点，且/EAF=45。，AE、AF分别交BD于M、N.下列结论：

①AB2=BNDM;②AF平分zDFE;③AMAE=ANAF;

@BE+DF=V2MN.其中正确的结论是（）

A.①②B.①③C.①②③D.①②③④

2、（2015四川资阳）如图2,在“比中，NACB=90。,

AC=BC=1,E、尸为线段上两动点，且/氏7=45°,过点E、尸分

别作垢的垂线相交于点心垂足分别为“G.现有以下结论：

①AB=72;②当点E与点B重合时，MH=1/2;③AF+BE=EF;

@MGMH=l/2,其中正确结论为（）——选自《春季攻势》

A.①②③B.①③④C.①②④D.①②③④

另U是边BC、CD上的动点，zEAF=45°,△ECF的周长为4,则正方形

ABCD的边长为.

4、如图4,已知SBC中，NBAC=45。，AD为BC边上的高，

求——选自《春季攻势》第讲"构造方程

BD=2,CD=3,ADO3

法"。

5、已知：如图5,MBC中，/C=90°,D为AB的中点，E、F

分别在AC、BC上，且DE±DF.求证：AE2+BF2=EF2.——选自

《春季攻势》第16讲〃辅助线秘籍（2）"

6.（2019年10月河南省实验中学秋季第一次月考）（1）操作发现

如图1,在五边形ABCDE中，AB=AE,zB=zBAE=zAED=

90。，zCAD=45°,试猜想BC,CD,DE之间的数量关系，小明经

过仔细思考，得到如下解题思路：

将MBC绕点A逆时针旋转90。至aAEF,由NB=zAED=90,得

zDEF=180°,即点D,E,F三点共线，易证SCD生，故BC,

CD,DE之间的数量关系是；

(2)类比探究

如图2,在四边形ABCD中，AB=AD,zABC+zD=180°,点

E,F分别在边CB,DC的延长线上，NEAF=1/2NBAD,连接EF,

试猜想EF,BE,DF之间的数量关系,并给出证明；

(3)拓展延伸如图3,在SBC中,zBAC=90°,AB=AC