【高考数学 特色题型汇编】第66讲 双空题-三角函数、三角恒等变换、解三角形（原卷及答案）（新高考地区专用）高考数学复习

双空题——三角函数、三角恒等变换、解三角形

Qsintz+cosa

1.若锐角。满足tan2a=--,则tana=

sina+3cos（乃一a）

2.已知sin

3.己知扇形408的周长为8,在这个扇形的面积取得最大值时，其对应的圆心角的大

小为，弦长A5为.

4.已知aw（一二,立），且2cos2«+15sina+2=0,则sina=_____,tancr=_______.

22

2

5.曲线y=lnx--在x=l处的切线的倾斜角为a,则tana=,

x

3cos2a+sin2a

6.已知某机械装置有两个相互啮合齿轮，大轮有40齿，小轮有18齿.当小轮转动两周

时，大轮转动的角度为一皿1（写正数值）：如果小轮的转速为180转/分，大轮的半径

为20cm,则大轮圆周上一点每秒转过的弧长为cm.

7.风车发电是指把风的动能转为电能.如图，风车由一座塔和三个叶片组成，每两个叶

片之间的夹角均为120。.现有一座风车，塔高60米，叶片长度为30米.叶片按照逆时针

方向匀速转动，并且6秒旋转一圈，风车开始旋转时，某叶片的一个端点P在风车的最

低点（P离地面30米），设点尸离地面的距离为S（米）,转动时间为/（秒），则S与，

之间的函数关系式为,一圈内点P离地面的高度不低于45米的时长为

.秒.

8.设二ABC三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,面积为S,已知

sin"A=sin:B+sin2C+sin^sinC，则A=：若a=2,S=—»则..ABC的周

3

长为__________

9.在一ABC中，已知A"=3,AC=5,/84。=彳，点。在边8c上，且满足45=8£>,

则5C=,sinZa4C=.

10.在二ABC中，8=600,八3=1,M是8。的中点，AM=43,贝ijAC=,

cosZA^AC=.

|log3x,0<.r<3

”•已知函数/(”)=n科3VE5,若存在实数x—•满足—且

/(%)=/(*)=/(丹)=/您)，则中2=，(七-3)(七一3)的取值范围是

12.已知定义在X6一自£上的函数/(%)=sin[+?)+sin2x在x=〃处取得最小值,

则最小值为，此时cos。=.

13.任何一个复数2=“+加(i为虚数单位，R)都可以表示为z=/(cos〃+isin0)

(rNO&wR)的形式，通常称之为复数z的三角形式.瑞士著名数学家欧拉首先发现

cos〃+ismO=eM(e为自然对数的底数)，此结论被称为••欧拉公式”，它将指数国数的

定义域扩大到复数集，建立了三角函数和指数函数的关系.因此可得

(cos^+isin^)"=eintf=cos+isin〃0.由复数相等可知对V:beN"，存在一个关于/的

n次多项式2S=+%_尸+…+卬+4(4),%…GR>更得cosar=匕(cosx),这

样的多项式被称为“切比雪夫多项式“，由cos2x=2cos%—1知6。)=2/—1,则GH)=

;运用探求切比雪夫多项式的方法可得8s36。=.

14.在锐角..ABC中，a2-b2=bc，则角4的范围是______,一一二+6sin4的

tanB(anA

取值范用为.

15.在平面直角坐标系,心），中，己知锐角。的终边与单位圆交于人（冷），3角卜+的

终边与单位圆交于8（%,必），则中z+X%的值为______:若±%+占乂=也，则上的

10X

值为.

16.函数/（4）=5访（公1+0）（0>0,0<0<9的图象关于点（?0）对称,且加）切5）=0,

则<|>=，co的最小值为.

17.法国的拿破仑提出过一个几何定理：”以任意三角形的三条边为边向外构造三个等

边三角形，则这三个等边三角形的外接圆圆心恰好是一个等边三角形的三个顶点''.在

145。中，A=60。，以BC,AC为边向外作三个等边三角形，其外接圆圆心依

次为Oi，。》则/QAO产；若，。。。1的面积为百，则三角形中

|人村十|人［的最大值为.

|4

18.在..ABC中，角A,B,C的灼边分别为〃，力，J若sinA=Q,cos«=-,a=5,

则，4?。的面积为,其内切圆的半径为.

19.在zUBC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,A=30。，C=45°,c=3.则a=

.点尸是平面ABC内的一个动点，若NBPC=60。,则△P8C面积的

最大值为.

20.如图所示，在等腰直角..48。中，A8=AC=2,O为8c的中点，E,产分别为线

段上的动点，且/人加=120.

（1）当OE_LA8时，则E产的值为.

（2）小+/的最大值为----------.

B

21.已知在锐角△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,若2/?cosC=ccos8,

tanC

则----=的最小值为.

tanBtanAtanBtanC

22.在.ABC中，角A、8、C所对的边分别为3(tanA+lan3)=吗+厘

cosBcosA

则交2=：c=4,。为AB的中点且。£>=回，则_4BC的面积为

c

23.如图，是两个新建小区，48到公路CO的垂直距离分别为

AC=\km,BD=2km,且CZ)=3km,中国移动决定在线段CO两点之间找一个点尸建

立一个信号塔(尸不与C。重合)，当P对A4两地的张角4必越大时，信号的辐射

范围越大.

①当NAM为直角时，km：

②当|CP|=km,信号的辐射范围最大.

24.为了给市民提供健身场所，某市因地制宜计划在•一个圆形的区域内修建一个如图

所示的内接四边形健身步道其中A,B,C,。为休息点，AC,BD

为便捷通道，现已知|相|+|AQ|=4,/D4B=120°,贝”瓦)|的最小值为：

若Z4OC=NABC,则的最小值为.

B

A

D

25.如图，某公园摩天轮的半径为40m,点。距地面的高度为50m,摩天轮逆时针匀

速转动，每3min转一圈，摩天轮上的点P的起始位置在最低点处.2018min时点P距

离地面的高度为m，当离地面5O+2Ox/5n]以上E寸，可以看到公园的全貌，

某游客乘坐摩天轮，在旋转10圈的过程中，可以看到公园全貌的总时长为

26.函数/(%)=2sinx+sin2x的最小值为，此时刀的取值集合为

27.已知函数/")=sinx+6|cosx|,写出函数的一个单调递增区间

当”€[0,0时，函数f(x)的，直域为[1,2],则〃的取值范围是

28.已知函数f(x)=cos+sin4.¥-cos4.r,贝lj/(x)的最小值为.

/(工)图象的一条对称轴方程可以是

29.拿破仑•波拿巴，十九世纪法国伟人的军事家、政治家，对数学很有兴趣，他发现

并证明了著名的拿破仑定理：”以任意三角形的三条边为边向外构造三个等边三角形,

则这三个三角形的中心恰为另一个等边三角形的顶点”.如图，在A8C中，/BAC=60，

以A3,8C,AC为边向外作三个等边三角形，其中心依次为0,E,F,若DF=26,

则黑

,AH+AC的最大值为.

B

30.在SBC中，角4B,C所对的边分别是“，c,已知*泮=舞3'

则sir?A+sin?C的最大值为;设。是AC上一点，且八。:8=1:2,8。=1,则

〃+女的最大值为.

31.设函数/(x)=cos(5+e)(◎＞()且冏＜g)满足以下条件：①DxeR,满足

:②肛),使得了/(小)=。：③七一3吟，则f(x)

min

关于x的不等式/(*)—/，手)3171

“X)—/＞。的最小正整数解为

32.已知函数f(x)=tan2x+2tan(%一x)-1.若iana=2,则/(a)=;若『。)

的定义域为［。，?7T3产

，则/⑴零点的个数为

33.已知函数的定义域为R,且满足下列条件：®/(Aj=-/(-r+2)；②

cos—,0<x<2,

o

贝厅("2021))=;若方程/("-4=0在

xH—,—2<xW0.

2

(-2020,2020］上有2020个不同的实数根，则实数k的取值范围是

34.若函数y=/(x)的定义域存在内,9(西/王)，使"*)+/(占)=］成立,则称该函

2

数为"互补函数”.函数/(x)=乎cos(<yx--)--sin(<yx+—)(co>0)»则当0=3时,

2323

吗):：若/(“)在上,2句上为“互补函数”，则切的取道范围为.

参考答案:

1.45

【分析】先利用正切的二倍角公式求出lana,再利用诱导公式和同角三角函数的关系对于

sina+cosa

化简计算即可

sina+3cos（乃一a）

【详解】因为lan2a=」tan?=一J,所以3。=一或4,又。为锐角，所以iana=4,

l-tana154

sina+cos<zsina+cosalana+1_

所以----------7-----r=------------=--------=5

sina+3cos("-a)sina-3cosatana-3

故答案为；4,5

2.-##0.125-##0.125

88

【分析】利用诱导公式即求.

【详解】vsin(7+a)=S*则cos(?-a)=cos]―1?+a

U）8

sin(，—a)=sin[不一(?+a)]=sin(?+a)=(.

故答案为：I；

oo

3.24sinl

【分析】根据周长和面积，利用二次函数性质可得「=2时取最大值，从而可得圆心角的大

小和弦长A3.

【详解】解：设半径为，弧A8的长为/,圆心角为。，则/=8-2-,

扇形面积S=gr"=r(4-/•)=一一+4/，

利用二次函数性质可得，当且仅当r=2时取最大值，此时/=4,所以a=；=2：

由垂径定理得A8=2-r•s呜=4sinI.

故答案为：2,4sin1.

4.1------a--

415

【分析】根据二倍角公式以及一元二次方程的解法可求出sina,再根据平方关系可得cosa,

即可求出tana.

【详解】由28s2a+15sina+2=0可得，4sin^-15sincz-4=0,解得sina=-：或

（舍去），又ae（所以cosa-Vl—sin2a-45,

sina=4

224

sinaVf5

故lana=

cosa---15

故答案为：-）；-巫.

415

5.3y##0.5

【分析】由导数的几何意义求得tana,再结合同角三角函数基本关系即可求解.

2

【详解】•:y=Inx一一,

x

f（X）=—+-T，

XX

2

因为曲线y=lnx—-在x=l处的切线的倾斜角为a,

x

所以lan夕=/⑴=1+2=3,

Edsin2a2sinacosa2tana2x31

|J］为----------—=----------—=-----—=----=—.

3cos2a+sin:a3cos2a+sin2a3+tan2a3+322

故答案为：3：

6.今54乃

【分析】根据相互啮合的齿轮转动的齿数相同可得大轮转的角度，再求出大轮每秒转过的弧

度即可计算作答.

【详解】依题意，小轮转动两周的齿数为36,于是得大轮转动的角度为3三6x2乃=9」〃（rad）：

405

因小轮的转速为180转/分，即小轮的转速为3转/秒，小轮转动3转的齿数为54,

因此，大轮1秒钟转动的角度为最'2乃=坐（向），

4010

所以大轮圆周上一点每秒转过的弧长为等x20=54%（cm）.

故答案为：£9乃：544

7.S=60-30cos—/SO）.4

3

【分析】根据题意，求出转动的角速度为y，得到S=60-30cosg/,列不等式，求出/

63

的范围，即可得到答案.

【详解】因为风车6秒旋转一圈，则其转动的角速度为营，经过I时，叶片转过的圆心角

6

为勺，此时离地面的高度为30+30l-cos^z,故S=60-30cosCf（。0）.

3L33

由S=60—30cos工d45,得cos工

332

因为0W6,cos^r<i所以£=£区苧，解得1«Y5,

32333

故一圈内P离地面的高度不低于45米的时长为4秒.

故答案为：①S=60-30cost/：②4.

214名

8.—2+----

33

【分析】根据题意和正弦定理求得从+/—/=—权.，由余弦定理求得cosA=-g,得到

A=?,再利用面积公式和G=2,求得〃+C=速，即可求得二ABC的周长.

33

【详解】因为sin?A=sin2B+sin2C+sinB-sinC>

由正弦定理可得『=//+d+bc,即〃一。2=_b（：,

柠+c2-a'-be

又由余弦定理，可得8sA=

2bc2bc2

因为Ac(O"),所以人=与

由。=2,可得E+。2+仅、=4,

4

又由S=—/?<?sinA=—bcx-=,解得历=：，

2223

则"+c2+bc=(〃+c)2-儿=(b+C)2—9=4,解得S+C)2=3,即〃+。=迪

333

所以MBC的周长为"HE+竽.

故答案为：手2+半.

9.7竽##/

【分析】在A8C由余弦定理可直接求得及cos8,又AD=BD,可得

sinZDAC=sin(ABAC-BAD},利用两角差的正弦公式可得解.

AB2+AC2-BC2132+52-BC2

【详解】在,4BC中，由余弦定理得cosNR4C=-------------------,即qi1----=--------------

2-AB-AC22x3x5

解得BC=7,

AB2+BC2-AC232+72-5211

所以cos5=

2ABBC2x3x714

又AD=RD,可得N8AO=N8,故cos/BAD=cosB=U,sinZZ?4D=—

1414

所以sinZ.DAC=sin(ZBAC-Z.BAD)=sinZBACcos/BAD-cosNBACsin/BAD

5G473

2147

故答案为“竽

10.岳嘴

【分析】在一A8W中，由余弦定理得8M=2,在人8C中，由余弦定理得人。=x/H,在./1MC

中，再利用余弦定理求解即可

【详解】由题意作出图形，如图，

在中，由余弦定理得/U/2=482+8M2-28M的COS8，解得BM=2,

所以8C=28M=2CM=4,

在二AfiC中，由余弦定理.得AC2-A82+“c2-24"Nc.cosH-l#16-2xlx4xg-13,所以

AC=V13.

在cAMC中，由余弦定理得cos/M4C=。？=各画.

AC2AM''"A"C"13

故答案为：V13：噜

【分析】作出函数/（x）的图象，结合图象可知对毛，刍，七之间的关系，利用此关系直接求出

王&，再将（七-3）（匕-3）转化为关于七的二次函数求范围即可.

|log3x|,0<x<3

【详解】作出函数/。）=.（4）'.V的图象，如图，

sin1—6xJL3<x<15

因为/（百）=/（9）=/（当）=/（王），水与〈七〈％

所以由图可知，TogaX]=1。&“2，即引玉=1,当；"=9，且3<为<9,

）（）（）（）2

二.（七-3盾—3=%1-3-^+^4+9=^18-^-45=-^+18X5-45,

vy=-x；+18占一45在（3,9）上单调递增，

,-.0<y<27,

即伍—3）（匕—3）的取值范围是（0,27）.

故答案为；1;（0,27）

109而_0氏而

12.--------##---------

888

【分析】令/=而卜+?卜[-1,1],可得出〃力=2/2+一],利用二次函数的基本性质求出

函数y=2/+r-l的最小值及其对应的sin（0+?）的值，利用同角三角函数的基本关系以及

两角差的余弦公式可求得cose的值.

【详解】因为xw一,£，则x+彳6，

J44—4J22J

令]=sin（x+（）e[-l,l],则/=—^（sinx+cosx）,

r=-i(l+2sinxcos.v)=>j(l+sin2x),

则sin2x=2r-\»

所以，/(x)=r+2r-l=2/;+r-l,

11g

所以，当/=一；时.，函数y=2产+”1取得最小值，即为。=京-彳-』—1

此时sin(e+]]=—],由已知e+，

(4J44|_22」

所以，cos(e+?)=J—sinp+讣限

3。=<41+4/]=<4分48,X+/1+4出力=^^.

\4J4J(4)4(4)48

故答案为：廊-二.

88

13.勺(/)=4尸_3/cos36=112^

【分析】根据851知=4005；3~38叱以及“切比雪夫多项式”即可求解出鸟⑺:利用

^(cos/)=cos3r=4cos-r-3cos/,代入/=cos36即可求解.

【详解】cos3r=cos(2/+/)=cos2/cos/-sin2/sin/=(2cos2z-l)cos/-2sin'/cosr

(2cos2/-1)-cosr-2(1-cos2r)•cos/=4cos-i-3cost,

所以舄(f)=4/-3f,

取7=cos36,则《(cos36)=4(cos36)3-3(cos36)=cos(3x36J=-cos720,

所以4(cos36)-3(cos36)+2(cos36)-1=

4(cos36)-4cos36+2(cos36)+cos36-1=0,

所以(cos36+l)(4cos*36-2cos36-1)=0,则4cos?36-2cos36-1=0且8536>0.解

ZH与41+^5

侍：cos36=-------

4

故答案为：代⑺=4—-3f,cos36=匕正

4

14.—兀<Bn<—兀[25/30,11)

64

【分析】由已知结合余弦定埋，止弦定埋及和差角公式进行化简可得A,A的关系，结合锐

角三角形条件可求A,3的范围，然后结合对勾函数的单调性可求.

【详解】解：因为/一//=Z?C及a。=〃+/一》CCOSA，

所以C-%8sA=。，

由正弦定理得5访。一2§皿885/4=5析8,

所以sin(A+8)-2sinBcosA=sinB,

整理得sinAcos8-sin8cosA=sin3,

即sin(A-8)=sin8,

所以A—3=3，即A=28，

0<B<-

2

乂为锐角三角形，所以0<28<g,解得

264

0<-T-3«<-

2

.,Jt,乃J3

故一<A<一,—<sinA<1»

322

55,..(cosBcos4^1,..

则Mll----------+6s)n4=5c-----------------+6sinA

」(anlitanA(sinBsinAJ

usin(A-B).5sinB..,..5

-5--------------+6sinA=-------------+6zsmA-6sinA+-------,

sinfisinAsinBsinAsinA

令―，则飞仔1}沁在愕，，上单调递增，在隹钓上单调递减,

又削="，华卜哈，图=2病

故〃r)w[2而,11),即.

故答案为:寸：［2廊.11)

5争吗&邛吟血

【分析】由向量数量积的定义求司占+)。2的值，由三角函数的定义结合题意得西=cosa,

y=sina,x=cosl«+,代入%%+与>[=宗中化简计算可求出

2,y2=sin

cosrdcosa-sina

tana=2,然后计算上=乌」即可

sinasina2\tanaJ

【详解】M+X%=•OB=|CM，O斗cos：=乎

7t

由三角函数的定义可知，X=cosa,y,=sina,.va+—=Sina+—

2力>24

in(a+：)+cos(a+：)si

则MH+sy=cosasinsina=sin2a+3

.__xy/22tancr+I-tan2a41

sin2cr+cos2a)=-^-

tan*a+110

所以3tan2a_5tana-2=(),解得tana=2或tana=-：(舍去)

71争c-a

a+-

则玉=_4

ysinasina

故答案为：---，----

24

16.10

【分析】根据条件，得到3=4"2«GZ,初与+。=-0+2〃4，AeZ,eg+e=Br,A'£Z,

0<^<|,两式结合，即可求得外。的值.

【详解】•••/(0)+/(1)=0,.*.sin*+sin(3.]+0J=0,

0・g=(2k—1)打，贝1]侬=4%-2,*GZ,①或®•■^•+0=-°+2br,keZ

当3=42-2,&eZ时，函数〃"=sin(公r+8)(3>O,O<0<?)的图象关于点对称,

12

冗冗

:.a)・一^+(p=k'冗,k'eZ,0<^<—,②,

由①(D可知，当攵=1时、co=2,2x=■+8=^+8=&'乃，则8=-g+A'乃，不成立,

1266

当左=2时，69=6.6x二■+0=；+0=太加，则。=一二十太'点，不成立，

1222

当々=3时，ty=10,10x三+0="+0="/，则＞=一些+/万，当〃'=1时，°=2,成立,

12666

当&=4，.…都不成立.

当©■^+伊=一0+24乃MeZ时，c()~+<p=k'^,k'eZ,0<(p<^,

(o=6(k-k,)

联立解得乃八》因为0＜。＜微，所以无解.

W=](34-k)

故答案为3；1。

O

17.1204

【分析】第一空，根据正三角形的外接圆圆心也即正三角形的中心，即可求得答案，

第二空，根据等边OQG的面积求出边长IeqI,利用正弦、余弦定理求出。A、o.A和0.0-,

求出从+/+从=12,结合基本不等式，求得答案.

【详解】第一空，由于«，。；是正▲A8U,_A8'C外接圆圆心，故也是它们的中心，

所以在△&AB中，/QA8=3C,同理/。1人。=30,

由/fi4C=60°,所以Nq4q=l20;

第二空：由题意知。02。3为等边三角形，设边长为加，

贝=-nr2＞解得|。吁；

IJS△AM。卬2sin60°=—4w=/3,0/=2

设3C=a,AC=b,AB=c,

在等腰△8QA中，NQAA—NQ加-30,4。山-120,贝］1高^^一

解得0|4=京，同理得

2

在4«4。3中，由余弦定理得a。：=OtA-+O.A-2OtA0.4cos1200,

即4=宗9-2号.（-；），BP/J2+C2+/?C=12.

即（〃+c）2-反=12,故（力+4一12=从"（警）2,

解得6+C44,当且仅当0=c=2时取等号，

故三角形中|A8|+|Aq的最大值为4,

故答案为：120;4

18.6+9&a

【分析】根据同角三角函数基本关系求出sinB,cosA的值，日正弦定理可求出边b,再由

两角和的正弦公式可得sinC=sin（A+B）的值，由正弦定理可求出边c,利用三角形的面积

公式即可求面积，设其内切圆的半径为「，由面积列方程，解方程可得内切圆的半径.

【详解】因为cosB=3,所以8为锐角，sin/?=>/l-cos2ii=Ji-Y=|,

因为sinA=—，a=5,

5x-

由正弦定理可得：=所以8=竺胖_5-

1»9

sinAsinBsinA

因为八所以八＜8,所以COSA=\J\-Sin1A

因为sinC=sin(A+8)=sinAcosB+cosAsinB=

V7353515

所以二的面积为L/bsinC=—x5x9xi_3r-=6+9&»

2215

.4+6&

.5x------

由正弦定理可得：=所以c=竺竺C=——冉_=4+6上，

sinAsinesinA।

3

所以二ABC的周长/=”+。+。=5+9+4+6&=18+6拒，

设其内切圆的半径为，则“13。的面枳为:（18+6&b=6+9及，得「=血,

故答案为：6+9&;>/2-

1Q3&9豆

IV.------------

28

【分析】第一空由正弦定理三=一£/，即得解：第二空在△PBC中，由余弦定理得,

sinAsinC

9

a2=PB2+PC2-2PR>PC*cosZBPC,借助均值不等式可得PB・PCJ,再用面积公式SMBC

=；。8卬。・5g60。可得解.

【详解】届历。中，内角A,B,。的对边分别为a,b.c,A=30°,C=45°,c=3.

则由正弦定理可得三=三

smAsinCsin30°sin4509

在△P8C中，由余弦定理得，

a2=PB2+PC2-2PB・PC・cosNBPC,

QQ

=PB2+PC2-2PB・PC・cos60°,A-=PB2+PC2-PB・PC,

22

9

、:PB2+PCt2PB*PC,:.-=PB^PC2-PB・PSPB・PC,

Q

当且仅当P8=P。时取等号，.•・P8・PCS—,

2

・•.SdPBC=!Pfi-FC-sin60n<7k2K3=型,

22228

故答案为：还：为8.

28

20.2迫+]

32

【分析】第一个空：过点。作OO_LAC于点O,在RlZ\Ob。中，可求出。尸，从而在上OEF

中，根据余弦定理即可求出答案：第二空需要选择恰当的角度表示出募+募的值，再

利用三角恒等变换以及三角函数的性质求解出最值.

【详解】当OE_LA5时，OE=1,过点。作O£)_LAC于点。,

在Rt△"力中'OD=1,NDOF=3。，0F=^=］，

在dOEb中，由余弦定理，EF2=OE2+OF2-2OE-OFcos120°=1+2y^

3

⑵设工。吁附皿高，则"吁**

过点。分别作人C八8的垂线于G两点，则OD=OG=1,

在△O")与二。EG中，工=sin%

()卜

所以-y+-^=sin%+sin2a+-=—sin2a--+1,

OE2OF1I6j2V3)

所以当a=三时,

【分析】由2/m—结合正弦定理可得翳=2,从而可得

lanA=iam/?+C)]=「吗，则有」\='划】8+^^,再结基本

2tan_fi-1tanA(anB(anC36tanB

不等式可求得答案

【详解】解：V2/?cosC=ccosB,

2sin8cosc=sinCeos8»

tanC=2tanB,""0=2.

tanB

乂A+B+C=/r，

tanA=tan[乃一(8+C)]=-tan(B+C)=--⑦11'+⑦11°3tanB_3tan8

1-tanBtanC-2tan2«-2tan2B-l

1II2tan;«-lII97

-------+-------+--------=---------------+-------+---------=—tanB+---------

tanAtanBtanC3tanBtanB2tanB36tanB

又,/在锐角4ABe中tan8>0,

2727

-tanBH---------->2J-tanBx----------

36tanBV36tanB

当且仅当tan8=E时取等号，检验可取，

2

.•.(，+，+，］=辿，

IlanAtanBtanC)^n3

故答案为：2,迫

3

22.34"

【分析】利用弦化切以及三角恒等变换可得出sinA+sinB=3sinC,利用正弦定理可得出

位的值，求出C4c8=McosC=29,利用余弦定理可求得血的值，进而可求得cos。、

sinC的值，利用三角形的面积公式可求得结果.

tanAtanB

【详解】由题意可知，因为3(tanA+tan8)

cosBcosA

sinAsinBsinAsinB

所以3-------+----------------------+---------------

cosAcosBcosAcosBcosAcosB

则3(sinAcosB+cosAsinB]=sinA+sin8,即3sin(A+B)=sinA+sinB=3sinC,

则由正弦定理可得'"武女'所以皇=3；

CACB=(CO+D4)(CO+西=(CQ一；A8jjCO+；呵=CD-；AH'

在“18C中,

=33--X42=29,

4

且C4C8=1CAHC8kosc=〃acosC=29,

所以由余弦定理可知a?+//-c?=《/+%2-16=2H2cosc=58,即(。+〃>-2"=74,

»所以sinC=V1-cos2C=8区

又a+〃=3c=3x4=l2,所以a〃=35,则cosC

3535

则工ABC的面积为SAliC=—ahsinC=—x35x8色=A瓜.

MK2235

故答案为：3：4网.

23.1或2##2或12石一3##-3+2石

【分析】(1)设1cpi=Man,xw(0,3),|?£>|=(3-x)km,NAPC=aN6F£>=户,

tana=iaan/7=—,当NAP8=90。时，a+/?=90°=>tana'(an[3,代入式子求解即可;

x3-x

(2)当a+4工工时，lan/APB=-tan(a+£)=/+]，通过换元，=x+3,fe(3,6),

2A--3x+2

将式子变形，对正切函数求最值即可得到答案.

【详解】设101=-x-km,xe(0,3),|PD|=(3-x)km,AAPC=a,NBPD=ft,

I2

tana=—,tan/?=----

x3-x

①当NAPB=90。时,

I2

a+/?=90°=>tana•(an/?=!=>----=1,

x3-x

解得x=l或2,所以此时IbUlkm或2km；

12

—।-------+3

②当a+尸w三时，•••tanNAPB=-tan(a+6)=--"=」一,

2]幺x~-3.V+2

x(3-x)

由题意，张角68要达到最大，⑶“底7T

令'=x+〃G(3,6),tanNAPR=取负数时,

I十—一V

on_1

对应的是钝角,.•4X/5-9<Z4——9<0时,tanZ.APB<

4石-9

当且仅当/=26/=2#-3时取等，由正切函数单调性可知,

此时张角为44尸4达到最大.

即CP=2石-3.

故答案为；1或2；275-3

24.264

【分析】设4B=x,AD=y,则x+.y=4,在△48。中利用余弦定理结合基本不等式可求

得忸1必=2百，当NAOC=ZA3C时，可得AC为该四边形外接圆的直径，然后利用正弦

定理可求得答案

【详解】设人8=x,AD=y,则x+y=4,在△A8D中,

|«D|2=A-2+r-2^cosl20o

张+»=

=x2+y2+xy=(x+y)2-xy>[x+y)2-12

（当且仅当x=）'时取等），|即1nlim=2』,

四边形48co内接于圆0,且N4QC=/4BC,则NAPC=RC=90°,

则AC为该四边形外接圆的直径，

由但a=2K=kC］，所以|从。皿=4.

sin

故答案为：2上,4

25.705.

【分析】设/(，)=人sin(d+Q)+〃，由题可知A=40,〃=50,f=3,/(0)=10即可得到

/(/)=40sin^yr-^+50(/>0),从而求出了(2OI8)的值：解不等式f(r)>50+2()6，由

解集区间的长度即可求得看到公园全貌的总时长.

【详解】⑴依题意，A=40,6=50,r=3,二。=与=,，又/(0)=10,"=g；

/.f(t)=40sin(第1-g)+50(；>0)；

/(2018)=40sin^yx2018-1^+50=40sin^+50=70,

即