《自动控制原理及其应用》第4章 习题及参考答案

4-1已知单位负反馈系统的开环传递函数如下，试绘制出相应的闭环根轨迹图。

1)G(s)=—幺—2)G(s)=+5)

s(s+l)(.v+3)s(s4-2)(.v+3)

①由GG）知,n=3,m=0,pi=O,p2=-\,p3=-3o

②实轴上[0,-1],[-3,河是根轨迹段。

③有n-m=3条渐近线，交点b”=--!--,

3-03

夹角仁=±60。、180°。

④实轴上［0、-1］根轨迹段上有分离点d0

由4—=0求d：3d2+8s+3=0解得

"s［GG)」

u」ls=a

"=-0.45(分离点)d2=-4-产(舍去)

⑤求根轨迹与虚轴交点，令$=＞代入D(s)=0,

得卜=+解得"二

《=嗝=12

ImD(jco)=-yry34-j33=0

根轨迹图见图4-1(1)

10

图4-1(2)

K七+5)

(2)G(s)=

s(s+2)(5+3)

①由G(s)知，〃=3,w=l,/?i=O,/?2=-2,p3=-3,PA=-5

②实轴上［-2、0］,［-5、-3］是根轨迹段

③有n-m=2条渐近线：=0,夹角奴尸土90°

④实轴上［-2、0］根轨迹段上有分离点d,

由］=0求d:3/+25/+56s+30=0,试凑得si=-0.88是其解，且是分离

dsG⑸.

点。

根轨迹图见图4-1(2)。

4-2已知单位负反债系统的开环传递函数如下，书绘制出相应的闭环根轨迹图。

K'(s+2)

I)G(s)=2)")5+4)(八45+20)

(5+I+J2X5+1-J2)

K=s+2)

解:(1)G(s)=

U+l+j2)G?+l-y2)

根轨迹图见图4-2(1)

图4-2(1)

(2)G(s)=

s(s+4)(52+4s+20)

①77=4,m=0,/?i=0,/?2=-4,pi4=-2±/4

②?、P2连线中点正好是必、出实部，开环极点分布对称于垂线s=-2,根轨迹也将对

称于该垂线。

图4-2(2)

・\实轴上［0、-4］复平面内|〃3、〃4］间是根轨迹

③有n-m=4条渐近线：

0-4-2+j4-2-J4_o

4-0

奴产±45°、±135°

渐近线如图4-2(2)中虚线示。

④［()、-4］间、尸3、Pd间根轨迹上有分离点，由分离点方程

—[—!—]=53+6,+185+20=0

dsG(s)

可解得

&=一2,%=-2±/石=-2土J2.45均为分离点

⑤由Q(s)=/+8s34-36s2+80s+K*=0中，求根轨与虚轴交点：

:二言意？解得与虚轴交点及临界院值:

令s=代入£>(s)=0，得

M.=±y/10CD=0

，，2J(此即根轨迹起点pi,不是/增大时与虚轴交点，舍去)

K喳=260

系统根轨迹如图4-2(2)所示.

4-3单位负反馈系统开环传递函数为G(s)=rJ

1)绘制根轨迹，分析系统稳定性；

2)若增加一个零点z=-l试问根轨迹有何变化，对稳定性有何影响。

图4-3

解：(1)绘制系统根轨迹：

①〃=3,〃?=0,pi=p=0,/73=-2：

②实轴上［0,0卜［-2,TO］是根轨迹段；

③有n-m=3条渐近线=-1,=±60。、180渐近线如图4-3点划线示，根轨迹

如图中虚线示，由pi=p2=0出发的分支在右半s平面，任何&下系统均不稳定。

(2)①增加z=-l,实轴上［0,0］,［-1,-2］为根轨迹段。

②现有n-m=2渐近线，％=带d=_().5,%=±9()。，渐近线如图4-3中细虚线

示；根轨迹如图中实线示,可见加进Z=1后，系统在任何跖下均稳定。这说明给系统加进

一个位置适当的开环左实零点，可使〃加变为〃加+1,渐近线条数减少一条，倾角9a增大,

根轨迹向左移动，可使系统稳定性、平稳性得到改善。

4-4设单位负反馈系统的开环传递函数为G⑸〃(s)=理山，试绘制系统在下列条件

$/($+〃)

下的根轨迹。

1)4=102)a=93)a=84)〃=3

解：该系统n=3,m=l,开环极点〃i、2=0,p3=-a,开环零点z=-l；随a不同取值,在

［-1,Pal实轴段上可能存在分离点与会合点。但G(s)H($)为三阶且有零点，求分离点、会合

〃1m1

点d时用分离点方程X-T—=Z-T—更方便。

i=id-j=id-Zj

将P.,Zj值代入分离点方程，有刍+?~=

dd+aa+\

化简整理得2d2+(a+3)d+la=0

・-(a+3)±J/-10,+9

■・4、2=---------------------------------

该系统分离点会合点可能相等或不等，但只能是同时出现在实轴段|-1,凸1上，否则其

解应舍去。

(l)a=10

图4-4(2)

①系统开环零极点分布如图4-4⑴所示；

②实轴上［0,0］、［-1,-10］是根轨迹段；

③有〃-〃尸2条渐近线,…厂=45,化=±90。，渐近线如图中4-4(1)虚

线所示；

④可求得［-1、-10］段上有分离点和会合点：4、2=二等=［一：；僵氏?

4［-4(分周点)

系统根轨迹如图4-4⑴中实线所示。

(2)a=9

①系统开环零、极点分布如图4-4(2)所示；

②实轴上［0,0］、H,-9］是根轨迹段；

③有,i〃=2条渐近线，/=,外=±90。，根轨迹渐近线如图4-4(2)

中虚线所示；

④可求得1-1「9］段上的分离点、会合点：4=出=H=_3(分离点、会合点重合)，

4

系统根轨迹如图4-4(2)中实线所示。(图中划线与实轴夹角为根轨迹的分离角会合角)

⑶a=8

图4-4(3)

①开环零极点分布如图4-4(3)；

②实轴上［0,0］、㈠，-8盘根轨迹段；

—8—(—1)

③有n-in=2条渐近线“a=-3.5,(pa=±90。，渐近线如图中4-4(3)虚

2

线示；

④由计算可知42，小、2不在［-1、-8］段上应舍去,［-8,-1］段上无分离

点、会合点；系统根轨迹如图4-4(3)中实线所示。

此题说明，开环极点在s平面实轴上位置移动，会导致根轨迹图发生大的变化。

①开环零、极点分布如图4-4(4)中所示；

②实轴上［0,()］、［-】，-3］是根轨迹段；

③有〃一〃-2条渐近线，j=-3-(-1)=-1，/二叫)。，渐近线如图中虚线示；

④由计算可知dL土产应舍去,实轴［一3、-1］段上既无分离点，也无会合点，系

4

统根轨迹如图实线所示。

4-5设系统的方框图如图4-5所示，

-----as-----

图4-5

绘制以。为变量的根轨迹，并：

I)求无局部反馈时系统单位斜坡响应的稳态误差、阻尼比及调节时间；

2)讨论时局部反馈对系统性能的影响；

3)求临界阻尼的a值。

解：本题求作系统参量根轨迹，首先写出系统开环传递函数

C、s(s+1)11

G(s)=------j------

s(5+1)+s($+1+a)

1+-------as

s(s+1)

由闭环特征方程。($)中求出以a为参数变量时的等效开环传递函数G，(s)

,cts

D(s)=s~+5+as-+1=1+-------=0

S+5+1

as

G'(s)=

S2+5+1

等效开环传递函数的零、极点分布为：p、,2=-；±j即2=0,由此可知实轴上

[0、—是根轨迹段，复平面内的根轨迹是以Z为圆心、

R=\zp\=yl(z-a)2^(o2=J(1)2+图=1为半径、由丹、2出发的圆弧段，交实轴于！点,

即根轨迹会合点d=-l,系统参量根轨迹如图4-5(1)示。

图4-5(1)

(1)无局部反馈即a=0时，闭环极点sL2与等效开环传递函数极点P"相等,由题图

可知，该系统v=1,K=<=1,心=\o该系统网)=粤=—!—比较典型二阶系统，

Rs)s2+s+\

取s)=,——r可知：(吗=1，C=0.5,需=7秒。

5-+2^co„s+(o„~血0.5

(2)当a=2时，已有a>a合，闭环极点均在实轴上，过阻尼状态，系统阶跃响应。⑺

不振荡。

求解a=2时G(s)=^~!——二,1八

$+$+2ss(s+3)=jIs"+D

K、,——,6.讣，产3,2^wzj=3,(on=1,=1.5>1

由D(s)=s2+35+1=0可得闭环极点4=-0.38$2=-262，.二系统性能可按一阶近似计算

4=3(=——=7.9秒。

1().38

flil

⑶由幅值条件a=-------，临界阻尼比时S[=$2=〃=-1

nk-^l

i=l

\d-p^d-p2\M

…合=-M—=T=L

4-6根据下列正反保回路的开环传递因数，绘出其根轨迹的大致形状。

K'

1)G(s)〃(s)=——-——2)G(s)〃⑸=

(s+IXs+2)5(5+1)(5+2)

3)G(s)H(s)-----长、+2)-------

s(x+l)(s+3)(s+4)

解：⑴G(S)H(S)=-~~~—

(s+l)(s+2)

该系统正反馈根轨迹如图4-6(1)所示，仅实轴上［8,-1］、［-2、-8］是根轨迹段。

图4-6

(2)G(s)"(s)=

s(s+l)(s+2)

①〃=3、〃­=0、丹=0、P2=-kP3=-2;

②实轴上(8,0、11、-2］是根轨迹段；

12

③有n-m=3条渐近线,(y(l=0-~=-1,%=±120。、0°；

渐近线如图4-6(2)中虚线示；

图4-6

m1mi

®[-L-2]间有分离点d,由£丁==£丁」可得心1.575

r=id-Pjd-Zj

K*(s+2)

(3)G(s)H(5)=

s(s+l)(s+3)(s+4)

①〃=4,加=1,开环零、极点分布如图4-6(3)示；

②实轴上(8,0、［-1,-2］、［-3,~4］为根轨迹段；

③有〃-条渐近线/=(0-1-3：4)-(-2)=4,练=±120。、0。渐近线如图4-6(3)

中虚线示。

④在［-3,~4］段上有分离点,在两开环极点间的根轨迹段上,分离点处对应K1”，当

论4时可由K*-d曲线法试解求“：由D(s)=0可得：长f"+l)(s+3)(s+4)，列表

5+2

计算,其中&max对应的$值即为分离点坐标do

s=d-3.48-3.49-3.50-3.505-3.51-3.52-3.58

Ki1.45751.45751.45831.458331.45801.45661.424

解得