《圆的一般方程》教案、导学案、同步练习

《2.4.2圆的一般方程》教案

【教材分析】

本节课选自《2019人教A版高中数学选择性必修第一册》第二章《直线和圆的方程》，本节

课主要学习圆的一般方程。

本节内容是在学生学习了圆的标准方程基础上，进一步研究圆的一般方程，发现圆的方程特

点，即为特殊的二元二次方程.明确网的一般方程的特点，掌握圆的方程的算法及与圆有关

的轨迹问题。在这一过程中，进一步体会数形结合的思想和方程思想，形成用代数的方法解

决几何问题的能力。

同时，由于圆也是特殊的圆锥曲线，因此，学习了网的方程，就为后面学习其它圆锥曲线的

方程奠定了基础。也就是说，本节内容在教材体系中起到承上启下的作用，具有重要的地位。

坐标法不仅是研究几何问题的重耍方法，而且是一种广泛应用于其他领域的重要数学方法。

通过坐标系，把点和坐标、曲线和方程联系起来，实现了形和数的统一。

【教学目标与核心素养】

课程目标学科素养

A.理解圆的一般方程及其特点.1.数学抽象：二元二次方程与圆的一般方程

B.掌握圆的一般方程和标准方程的互化.2.逻辑推理：圆的一般方程与标准方程的互化

C.会求圆的一般方程以及与圆有关的简单3.数学运算：求圆的一般方程

的轨迹方程问题.4.数学建模：圆的一般方程的特点

【教学重点】：掌握圆的一般方程并会求圆的一般方程

【教学难点】：与圆有关的简单的轨迹方程问题

【教学过程】

教学过程教学设计意图

一、情境导学

222

前面我们已讨论了圆的标准方程为(『a)Hy-b)"，现将其展开

22222通过对圆的标准方

可得：x+ytax也bx+aM-厂4).可见,任何一个圆的方程都可以变形

程的讨论，引出圆的

22

x+y+Dx+Ey+FR的形式.一般方程，同时类比

22直线方程的多种形

请大家思考一下,形如X+y+Dx+Ey+F内的方程表示的曲线是不

式，帮助学生.认识圆

是圆？下面我们来探讨这一方面的问题.

的一般方程与二元

二、探究新知

二次方程的关系。学

例如,对于方程/+y2-2%一4y+6=0,对其进行配方，得

会联系旧知，制定解

(x-I)2+(y-2)2=-1,因为任意一点的坐标®y)都不满足这

22决问题的策略。

个方程，所以这个方程不表示任何图形，所以形如*勺动户丹丹口)

的方程不一定能通过恒等变换为圆的标准方程，这表明形如

22

X+y+Dx+Ey+FR的方程不一定是圆的方程.

三、圆的一般方程

(1)当与时，方程G+V+Dx+Ey+FA

表示以(3个为圆心,^D2-E2-4F为半径的圆，

22

将方程X+y+Dx+Ey+FR,配方可得(x+，+(y+守=。…

(2)当“'5-1/印时，方程寸少加,“打步=0,表示一个点(W，9

(3)当〃名Y")时，方程不表示任何图形.

1.二元二次方程要想表示圆，需x和y的系数相同且不为0,没有*y

这样的二次项.

2.几个常见圆的一般方程

22

(1)过原点的网的方程：)沙以/£片0(。〃不全为0),

222

⑵圆心在y轴上的圆的方程:"y+£W,M)(£Y/冽；

222

(3)圆心在x轴上的圆的方程,x+y+Dx+F$(DYQO);

22

⑷圆心在x轴上且过原点的圆的方程:x+y孙0(^;

（5）圆心在p轴上且过原点的圆的方程:x号况片0（今0）.

22

1.圆x号-6肝0的圆心坐标是__________.

答案：（3,0）

2.若方程x+y+Dx+Ey+FR表示以⑵7）为圆心，以4为半径的圆，

贝.通过对圆的一般方

答案：4程的讨论，帮助学生

22总结圆的一般方程

3.二元二次方程Ax+Bxy+Cy旬x+Ey+FR表示圆需要满足哪些条件？

22的特点。发展学生数

答案：（1）4=C且均不为0;⑵/0;（3）〃+£Y/IQ0.

学运算,数学抽象和

四、典例解析

数学建模的核心素

例1判断方程x+y~4m¥+2加片20/»-200能否表示圆.若能表示圆,求养。

出圆心和半径.

思路分析:可直接利用〃MYQ0是否成立来判断，也可把左端配方，

看右端是否为大于零的常数.

22

解：（方法1）由方程xYmx'2勿j"20m-20R

可知D=-Am,Q2m,后20/〃-20,

22222

:・D+E7F=16mMm-80/77^80=20（^-2）.

因此，当m=2时，它表示一个点；

当*2时,原方程表示圆，

此时，圆的圆心为（2勿,-加,

半径为+E2-4F=VS/m-2/.

I22

（方法2）原方程可化为（x-2加）=5（〃尸2）,

因此，当片2时，它表示一个点；

当*2时,原方程表示圆，

此时，圆的圆心为（2儡%,半径为Z-V5//S-2/.

二元二次方程表示圆的判断方法

22

任何一个圆的方程都可化为x+y+Dx+Ey+F内的形式，但形如

x+y+Dx+Ey+F内的方程不一定表示圆.判断它是否表示圆可以有以

下两种方法：

(1)计算〃域YE若其值为正,则表示圆;若其值为(),则表示一个点；

若其值为负,则不表示任何图形.

⑵将该方程配方为勺％",根据圆的标准方程来判

断.

222

跟踪训练1若方程x+y-^mx-Zy+m^5m=Q表示出1,求：

在典例分析和练习

(1)实数m的取值范围；

中掌握求圆的一般

(2)圆心坐标和半径.

方程的基本方法，

解：(1)据题意知力小Y厂二(2向2*-2)2-4(/巧血刀,

即：代数法与几何

即4m*4~4〃/-20加0,解得朋。

法。发展学生逻辑推

故m的取值范围为(-8』).理，直观想象、数学

抽象和数学运算:的

(2)将方程f+/吃mx~2y+，加国=0

核心素养。

写成标准方程为(户加),(尸1)』七处

故圆心坐标为(-网1),半径

例2圆。过点41,2),8(3,4),且在*轴上截得的弦长为6,求圆。的

方程.

思路分析：由条件知，所求圆的圆心、半径均不明确，故设出圆的一般

方程,用待定系数法求解.

解:设所求圆的方程为x+y+Dx+Ey+FR.

:・圆C过力(1,2),4(3,4),①

3D制E+F=%.②

令片0,得x+Dx+F=Q设圆C与A•轴的两个交点的横坐标为X,A,则

12

x+x二一,Dxx=F.

1212

2

：7x-x］『，；.(x+x)-Axx=36,

)21212

即〃-4^-36.③

由①@③得加⑵£=-22,尸27,或e~8,E=2F4.

2222

故圆C的方程为x+y以2公22"274或x号~Bx-2.“7R.

圆的方程的求法

求圆的方程时，如果由己知条件容易求得圆心坐标、半径或需利

用圆心的坐标或半径列方程的问题，一般采用圆的标准方程,再用待

定系数法求出a,b,r;如果已知条件与网心和半径都无直接关系，一

般采用网的一般方程,再用待定系数法求出常数D,E,F.

跟踪训练2圆心在直线尸x上，且过点力(-1,-1)的圆的一般

方程是.

解析：设圆的方程为学十/+Dx代y+FR,则圆心是(S，$，

/DE

--=一］,

由题意知,2-D+E+F=0,解得D=E=AF=-2,

.10+3D-E+F=0,

22

即所求圆的一般方程是x+y-Ax-4y-2^Q.

22

答案：

例3已知等腰三角形的顶点是J(4,2),底边一个端点是4(3,5),求另

一个端点。的轨迹方程,并说明它的轨迹是什么图形.

思路分析:设出点。的坐标，根据以刃=/〃7列出方程并化简.

解:设另一端点。的坐标为(西力.

依题意,得〃。=/四/.由两点间距离公式,得

J(X-4)2+(y-2)2=J(4-3)2+(2-5)2=V10,

整理，得GF)?*尸2)2=10.

这是以点力(4,2)为圆心，以VW为半径的圆，如图所示.

又因为A,B,。为三角形的三个顶点，

所以4氏。三点不共线,即点3,。不能重合,

所以点。的横坐标》#3,且点片。不能为一直径的两端点,所以

等W4,即点。的横坐标

故端点。的轨迹方程是(『4)2+(y-2)2=10(xW3,且xW5),

即另一个端点C的轨迹是以1(4,2)为圆心，同为半径的圆,但除去

(3,5)和(5,T)两点.

变式：求本例中线段胫中点V的轨迹方程.

通过与圆相关的凯

解:设水x,。，又4(4,2),"为线段〃'的中点，.：C(2*Y,2厂2).

22迹问题的解决，提升

:•点C在圆CvY)，(尸2)=10(丘3,且B5)上，2

学生数形结合，及方

22

(2^-4-4)*(2y-2-2)=10,程思想，发展学生逻

(尸2尸号.辑推理，直观想象、

数学抽象和数学运

由21-4#3,得心马;由2x~4K5,得心除

算:的核心素养。

.：中点必的轨迹方程为(xF)2*y-2)2§且丘乡.

求动点的轨迹方程的常用方法

1.直接法:能直接根据题目提供的条件列出方程；

2.代入法:找到所求动点与已知动点的关系，代入已知动点所在的方

程.

跟踪训练3两个定点的距离为6,点W到这两个定点的距离的平方和

为26,求点内的轨迹方程.

解：以两定点A,8所在直线为尸轴,线段/切的中垂线为y轴，建立直角

坐标系，设力(-3,0),8(3,0),mX,坐

则/财///J例=26,

2222

・：(彳+3)+y+(x・3)+y=26,

化简得3点的轨迹方程为*=1

22

跟踪训练4已知圆(x+1)号=2上动点4x轴上定点4(2,0),将曲延

长到M使和仁朋,

求动点前的轨迹方程.

解：设力(*,y),M(Xy),:RM却,且M在BA的延长线上，

11

,"为线段明的中点,

_X+2

X1=7",

{力=5,

:・月在网上运动,将点A的坐标代入圆的方程，

得(等“户(浮2

化简得(x丹)「y耳，.：点V的轨迹方程为(入网)’48

跟踪训练5已知两点P(-2,2),0(0,2)以及一条直线l-.y=xt设长为

V2的线段/仍在直线/移动,求直线PA与QZ?的交点.M的轨迹方程.

解：：•线段如在直线y=x上移动,且

.：可设点H(a,a),5(a+l,aH).

.：直线为的方程为广2岑("2)(aW-2)①，

Q+2

直线期的方程为尸2小*3±-1)②，

a+1

当a=Q时,直线PA与Q"平行,两直线无交点，

当aWO时,直线PA与Q/，相交，设交点为机x,y).由②式可得

a彳赛,将其代入①式,整理,券*2_/+2]-2刀80③，

当日=2或d=1时，直线PA和。〃的交点也满足③，

22

•:所求轨迹方程为x-y+2x-2y用4).

三、达标检测

通过练习巩固本节

22所学知识，通过学生

1.方程X号用力表示的轨迹为()

解决问题，发展学生

A.圆心为(1,2)的圆B.圆心为⑵1)的圆

的数学运凭、逻辑推

C.圆心为(T,-2)的圆D.不表示任何图形

理、直观想象、数学

解析：因为^y-2X-4y^=O等价于jT)0(y-2)-=T,即方程无解,所

建模的核心素养。

以该方程不表示任何图形,故选D.答案:D

22

2.若圆x+y-2Xrx^l=0关于直线2x~y^3=Q对称，则〃等于()

A.-B.3C.3D.-3

22

解析：由题意知，直线2x-y+3旬过圆心.丁圆心坐标为(&0),

」2代3电衣=3.答案:B

3.已知一动点必到点力(Y,0)的距离是它到点8(2,0)的距离的2倍，

则动点W的轨迹方程是_______________________________.

解析：设动点切的坐标为(才,。，则/物々/如/,

即1(X+4)?+y2之J(x-2)2+y2,

2222

整理,得x+y-8.V-O.故所求动点J/的轨迹方程为x+y-8x=Q.

22

答案:*沙~8户0

4.已知点M2,2),6(5,3),C(3「D,求过4&C的圆的方程.

2222

解：设这个圆的方程为Xi-y+Dx+Ey+FR(P坛F/9)，

把三点坐标A(2,2),8(5,3),。3,H)代入得方程组

传+22+2。+2E+F=0,

卜2+32+5D+3E+尸=0,

(32+(-l)2+3D-E+F=0,

(D=-8,

解得E=-2,

F=12.

22

所以这个圆的方程为x+y-8x-2y*12-O.

四、小结

通过总结，让学生进

一步巩固本节所学

—•般方程内容，提高概括能

圆的一般方程-—•般方程的特点力。

—轨迹方程的求法

【教学反思】

本节课在学生学习了圆的标准方程的基础匕探究圆的一般方程及其特点。教学中，注重问

题导向，给学生充分的探究时间和空间，培养学生的探究能力，落实提升学生能力，注重提

升学生逻辑推理、数学抽样、数学运算等数学核心素养。

《2.4.2圆的一般方程》导学案

【学习目标】

1.理解圆的一般方程及其特点.

2.掌握圆的一般方程和标准方程的互化.

3.会求圆的一般方程以及与圆有关的简单的轨迹方程问题.

【重点和难点】

正点：掌握圆的一般方程并会求圆的一般方程

难点：与圆有关的简单的轨迹方程问题

【知识梳理】

一、圆的一般方程

(1)当户+EYF用时,方程G+V+Dx+Ey+F内

表示以(号,三)为圆心,/D2-E2-4F为半径的圆,

22

将方程X+y+Dx+Ey+F=0配方可得Q+^)2+(y+^)2=竺咛竺

(2)当力”槿/M)时，方程，"切x岭步力，表示一个点(T，9

(3)当“‘4YX0时，方程不表示任何图形.

1.二元二次方程要想表示圆，需x和y的系数相同且不为0,没有盯这样的二次项.

2.几个常见圆的一般方程

(1)过原点的圆的方程:¥V切*岭4)(〃/不全为0),

222

⑵圆心在y轴上的圆的方程:x+Ey+FR(EYF期;

222

⑶圆心在x轴上的圆的方程,x+y+Dx+F与lD-4EX));

⑷圆心在*轴上且过原点的圆的方程:*号/ZM)(后0);

22

(5)圆心在y轴上且过原点的圆的方程:"y(后0).

二、由圆的一般方程判断点与圆的位置关系及与圆有美的轨迹问题

2222

1.已知点."J,y)和圆的方程x+y+Dx+Ey+F$⑺+EFAX)).

00

点If在圆外+y]+Dxw+Ey、+F内;点,1/在圆上Qx^+y刖也关"X);点V在圆内+

羽+Dxo+Eya+F<Q

2.点J/的坐标(x,y)满足的等量关系式称为点M的轨迹方程.求符合某种条件的动点M的轨迹

方程,实质上就是利用题设中的几何条件，通过“坐标化”将其转化为关于变量之间的

方程.

三、小试牛刀

22

1.圆x号-6x^0的圆心坐标是.

22

2.若方程x+y+Dx+Ey+F±表示以(2,7)为圆心，以4为半径的圆，则F=.

3.二元二次方程Ax+Bxy+Cy^Dx+Ey+FR表示圆需要满足哪些条件？

4.判断下列说法是否正确，正说的在后面的括号内画“J”，错呆的画“X”.

(1)任何一个圆的方程都能写为一个二元二次方程.()

⑵方程Z+ax边aynM+&TR表示圆心为(g七)，半径为：J-3a2_4a+4的圆.()

⑶若点M(照,外)在圆f+y+D):+Ey+卜外，则就+y照出％，/%.()

【学习过程】

一、情境导学

222

前面我们已讨论了圆的标准方程为(x-a)+5m"，现将其展开

2222222

可得：x-f-y々ax^bx+a+b-r=O.可见，任何一个圆的方程都可以变形x+y+Dx+Ey+F土的形

式.

请大家思考一下，形如x+y+Dx+Ey+F$的方程表示的曲线是不是圆？下面我们来探讨这一方

面的问题.

例如,对于方程/+y2-2x-4y+6=0,时其进行配方，得(X-+(y-2>=-1,因为

任意一点的坐标(匕y)都不满足这个方程，所以这个方程不表示任何图形，所以形如

22

x+y+Dx+Ey+FR的方程不一定能通过恒等变换为圆的标准方程，这表明形如

22

x+y+Dx+Ey+F±的方程不一定是圆的方程.

二、典例解析

例1判断方程x+yYmx+2加片20勿-204)能否表示圆.若能表示圆，求出圆心和半径.

二元二次方程表示圆的判断方法

2222

任何一个圆的方程都可化为x+y+Dx+Ey+FR的形式，但形如*夕+Dx+Ey+F内的方程不一定

表示圆.判断它是否表示圆可以有以卜两种方法：

(1)计算D+EYR若其值为正:则表示圆；若其值为0,则表示一个点:若其值为负，则不表示

任何图形.

(2)将该方程配方为(共)2,(片犷纪竽竺,根据圆的标准方程来判断.

224

222

跟踪训练1若方程x-t-y+2mx-2y+m当〃闫)表示圆，求：

(1)实数m的取值范围；

(2)圆心坐标和半径.

例2圆。过点例1,2),8(3,4),且在x轴上截得的弦长为6,求圆C的方程.

圆的方程的求法

求圆的方程时,如果由已知条件容易求得圆心坐标、半径或需利用圆心的坐标或半径列方程

的问题,一般采用圆的标准方程,再用待定系数法求出a,b,r;如果已知条件与圆心和半径都

无直接关系,一般采用圆的一般方程，再用待定系数法求出常数D,E,F.

跟踪训练2圆心在直线y中上,且过点火(-1,1),8(3,-I)的圆的一般方程是.

例3已知等腰三角形的顶点是J(4,2),底边一个端点是8(3,5),求另一个端点。的轨迹方程,

并说明它的轨迹是什么图形.

变式：求本例中线段力。中点J/的轨迹方程.

求动点的轨迹方程的常用方法

1.直接法:能直接根据题目提供的条件列出方程；

2.代入法:找到所求动点与已知动点的关系,代入已知动点所在的方程.

跟踪训练3两个定点的距离为6,点加到这两个定点的距离的平方和为26,求点必的轨迹方

程.

跟踪训练4已知圆J-2上动点A,*轴上定点/A2,0),将BA延长到M使A暇BA,

求动点必的轨迹方程.

跟踪训练5已知两点以-2,2),0(0,2)以及一条直线寸，设长为四的线段月6在直线1

移动,求直线处与QN的交点J/的轨迹方程.

【达标检测】

22

1.方程X+y-2厂4y柏4)表示的轨迹为()

A.圆心为(1,2)的圆B.圆心为(2,1)的圆

C.圆心为(T,-2)的圆D.不表示任何图形

2.若圆x号关于直线2x-y+3R对称，则在等于(：•

A.1B.弓C.3I).-3

3.已知一动点必到点/(T,0)的距离是它到点欢2,0)的距离的2倍,则动点切的轨迹方程

是.

4.已知点4(2,2),6(5,3),C、(3：T),求过A,ZU'的圆的方程.

【课堂小结】

一般方程

圆的一般方程一•般方程的特点

T轨迹方程的求法

【参考答案】

知识梳理

三、小试牛刀

1.答案：（3,0）

2.答案:4

22

3.答案：（1）/1=C且均不为0；（2）庆0;⑶〃场

4.答案：（1）J⑵*（3）7

学习过程

例1思路分析:可直接利用〃坊是否成立来判断，也可把左端配方,看右端是否为大于

零的常数.

22

解：（方法1）由方程x+y~4mx+2my吆0m-20R

可知D=-4m,E=2m,F=20m~20,

22222

•：D+E-4A-16/»M勿~80m用ONO（加-2）.

因此，当n/=2时，它表示一个点；

当g;2时,原方程表示同I,

此时,圆的圆心为（2加,一勿）,

半径为r^y/D24-E2-4F=遥5-2/.

222

（方法2）原方程可化为（*-2%）+（y+ni）W（勿-2）,

因此，当mt时,它表示一个点；

当勿W2时，原方程表示圆，

此时，圆的圆心为（2见-㈤，半径为r^/S/m-2/.

跟踪训练1解：（1）据题意知。+才~4F工24。（TV再而入

即4/解得小

故加的取值范围为

(2)将方程+y+2mx-2y+ni布炉0

写成标准方程为(户勿)2*yT)：=lTm,

故圆心坐标为(-见1),半径r->/l-5m.

例2思路分析：由条件知，所求圆的圆心、半径均不明确，故设出圆的一般方程,用待定系数法

求解.

解:设所求圆的方程为x+y+Dx+Ey+FR.

:‘圆C过力(1,2),8(3,4),・：加2股户=-5,①

3〃M£W=-25.②

2

令片0,得•x+Dx+F鼻.设圆。与x釉的两个交点的横坐标为x,A,则x+x=-D,xx=F.

1212I2

2

丁/*~x1$,...(x+x)-Axx=36,

12i212

2

即DY户36.③

由①©③得加12,£=-22,627：或D=-8,乒-2,产7.

2222

故圆C的方程为x+y+12x-22y+27=O或*号

跟踪训练2解析:设圆的方程为G+才+Dx+Ey+FR,则圆心是(与亨，

(DE

由题意知,2~D+E+F=0,解得D=E=-4,F=~2,

.10+3D-E+F=0,

22

即所求圆的一般方程是x+y-Ax-4y-2=G.

22

答案：

例3思路分析:设出点。的坐标,根据/仍/=/〃7列出方程并化简.

解:设另一端点。的坐标为(西力.

依题意，得/“7=例?/.由两点间距离公式,得

J(x-4)24-(y-2)2=J(4-3)24-(2-5)2=V10,

整理，得GF)?武尸/\IO.

这是以点加4,2)为圆心，以VW为半径的圆，如图所示.

又因为A,B,。为三角形的三个顶点，

所以4B,。三点不共线，即点B,。不能重合，

所以点。的横坐标且点氏。不能为一直径的两端点,所以

等W4,即点C的横坐标xW5.

故端点C的轨迹方程是GT)2Ny-2)2=]0(R：3,且挣5),

即另一个端点。的轨迹是以力(4,2)为圆心,g为半径的圆,但除去(3,5)和(5,-1)两点.

变式：解：设必(尤力，又力(4,2),」/为线段芯的中点，,：口21,2尸2).

2222

:“点。在圆(xY)+(y-2)=10(X产3,且*#5)上，.：(2xYY)+(2/-2-2)=10,

.：JY)2f(广2)胃

由2x~4W3,得格苗；由2*YH5,得广彳.

.：中点前的轨迹方程为(1户(尸2尸与(x吗且**).

跟踪训练3解：以两定点A,8圻在直线为x轴,线段.仍的中垂线为y轴，建立直角坐标系,

设力(一3,0),8(3,0),J/Uy),

22

则/必/”;物/=26,

2222

,：(彳埒)沙+(*-3)号N6,

化简得必点的轨迹方程为x+；=4

跟踪训练4解:设：RJ月以且J/在阴的延长线上，

]I

・"为线段，如的中点,

_X+2

由中点坐标公式得'

VA在圆上运动,将点A的坐标代入圆的方程,

得(等也卢⑴w,

化简得(X司)二y出，.：点必的轨迹方程为("4:勺击.

跟踪训练5解:丁线段4?在直线尸x上移动,且/彻=在,

•:可设点4(a,a),5(Kl,a+l).

.：直线PA的方程为卜-2牟("2)(aW-2)①，

。+2

直线。”的方程为广2卓工但工-1)②，

a+1

当aR时,直线PA与。心平行，两直线无交点，

当收()时,直线PA与Q4相交，设交点为MJ,y).由②式可得

吟案,将其代入①式,整理,W用R③，

当a=-2或a=-l时，直线PA和Q4的交点也满足③，

22

•:所求轨迹方程为x-y+2x-2y用R.

达标检测

1.解析：因为x+y-2x-4y与R等价于(*T)+(9-2)=~1,

即方程无解,所以该方程不表示任何图形，故选I).

答案:D

2.解析：由题意知，直线3K过圆心.丁圆心坐标为(A,0),,：2〃+3=0,A=g

答案:B

3.解析:设动点"的坐标为(x,y),则例，即J(x+4)23+(x-2)2+y2,

整理,得x+y-8肝0.故所求动点”的轨迹方程为x+y~8D.

22

答案：*出产0

2222

4.解：设这个圆的方程为x+y+Dx+Ey+FR(〃+EMQO),

把三点坐标力(2,2),4(5,3),以3,-1)代入得方程组

22+22+2D+2F+F=0,

52+32+5D+3E4-F=0,

32+(-l)2+3D-£+F=0,

(D=-8,

解得E=-2,

F=12.

所以这个圆的方程为xi-ySx-2yn2=G.

《2.4.2圆的一般方程-基础练》同步练习

一、选择题

1.圆的方程为f+）3+x+2y-10=（）,则圆心坐标为（）

A.B.（―,—1）C.（—1,2）D.（—,—1）

22

2.已知圆。的圆心坐标为（2,-3）,且点（T,T）在圆上,则圆。的方程为（）

A.B.彳与y-8O

C.D.

3.曲线Y+/ahx-2yhy鼻关于（）

A.直线轴对称B.直线y=-x轴对称

C.点（2V2）中心对称D.点（72,0）中心对称

4.过点的直线/平分了圆：d+y2-4y=0的周长，则直线/的倾斜角为（）

A.30°B.60°C.120°I）.150°

5.（多选题）若点在圆丁旷一户户〃内外，则下列可能为/〃值的有（）

A.-B,C.-D.1

432

6.（多选题）已知直线/与圆。：/+）,2+2工—4），+。=0相交于A8两点，弦的中

点为M（0』），则实数。的取道可为（）

A.1B.2C.3I）.4

二、填空题

7.若aJ-2,0/弓卜则方程/+），2+办+20+2/+。_1=。表示的圆的个数为

8.若方程/+炉+6+Ey+F=0表示以（2,-4）为圆心，4为半径的圆，则广为.

9.已知圆C的方程为r+/一21-2〃7)，=0,若圆C过点(0,2),则〃?=______.若圆

心C在直线2x-y=O上.则机=

10.公元前3世纪，古希腊数学家阿波罗尼斯在前人的基础上写了一部划时代的著作《圆锥

曲线论》，该书给出了当时数学家们所研究的六大轨迹问题，其中之一便是“到两个定点的

距离之比等于不为1的常数的轨迹是圆”，简称“阿氏圆”.用解析几何方法解决“到两个

定点0(0,0),A(3,0)的距离之比为;的动点M轨迹方程是：X2+.V2+2X-3=OM,则

该“阿氏圆”的半径是.

三、解答题

11.已知AABC的顶点。(2,-8),直线A8的方程为)，=-23+11,AC边上的高8”所

在直线的方程为x+3y+2=0

(1)求顶点A和8的坐标：

(2)求AA8C外接圆的一股方程.

12.圆C过点月(6,0),8(1,5),且圆心在直线/:2才一7户80上.

⑴求圆。的方程；

(2)夕为圆C上的任意一点，定点。(8,0),求线段尸0中点片的轨迹方程.

《2.4.2圆的一般方程-基础练》同步练习答案解析

一、选择题

1.圆的方程为V+)尸+工+2)，-10=0,则圆心坐标为()

A.(1,-1)B.(―,—1)C.(-1,2)D.—I)

【答案】I)

【解析】将Y+9+x+2),一।o=o配方,化为圆的标准方程可得

(x+g)+(y+l『=；+i+[()=f,即可看出圆的圆心为(—；,一|).故选：D.

2.已知圆。的圆心坐标为⑵-3),且点(T,T)在圆上，则圆C的方程为()

A.f"Yx-^y-fS=0B.V旷Yx-^y-8O

C.^</-4彳~6片0D.f旷~4打6yo

【答案】D

【解析】易知圆。的半径为MW所以圆C的标准方程为（x-2）Q（y*>=13,展开得一般方程

为y</"4x，6jM）.

3.曲线关于（）

A.直线轴对称B.直线y=-x轴对称

C.点（-2,V2）中心对称D.点（y,0）中心对称

【答案】B

【解析】原方程化为笈）2<r\眨尸刊,表示以（y,a）为圆心，半径长为2的圆.又圆过

原点,故原点与圆心的连线方程为y=-x,圆关于此直线轴对称,故应选B.

4.过点（G,l）的直线/平分了圆：Y+y2-4y=0的周长，则直线/的倾斜角为（）

A.30°B.60°C.120°I）.150°

【答案】I）

【解析】由/+），2-4），=0得圆标准方程是/+（），-2-=4,知其圆心为（0,2）：直线/

平分了圆：/+/2-4）,=0的周长，则此直线过圆的圆心（0,2）.于是其斜率为

9-1Ji

k=^-^=---,所以其惭斜角为150。.故选：【）.

0-V33

5.（多选题）若点（1,-1）在圆*-户户犷0外，则下列可能为加值的有（）

A.;B*C,D,1

【答案】AB

【解析】VH-x+y+mR可化为（壮）2'（吟）胃一见则卜加0,解得*.

因为点（1,T）在圆外,所以14-1-1+40,即3）,所以034对照选择项，知AB可能.

6.（多选题）已知直线/与圆C:d+）,2+2工-4），+。=0相交于4,3两点，弦A8的中

点为M（0,l）,则实数。的取宜可为（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】AB

【解析】圆。的标准方程为：（%+1）2+（），-21=5-4,故。<5.又因为弦的中点为

何（0』），故加点在圆内，所以（0+1『+（1—2）2<5—4即〃〈3.综上，4<3.故选：AB.

二、填空题

7.若〃1一2,0』3},则方程/+）,2+办+2缈+2/+。_1=0表示的圆的个数为

【答案】1

【解析】方程炉+）,2+办+2纥，+2]+。-1=0即方程卜一幻+（），+。）2=1-“一:/,

可以表示以《，一。）为圆心、半径为的圆.

当。=一2时，圆心（1,2）、半径为0,不表示圆.

当。=0时，圆心（0,0）、半径为1,表示一个圆.

।3

当a—1时，圆心（万，1）、I—a——a2<0,不表示圆.

当。=一时，圆心二，\-a--a2<（）,不表示圆.

4844

综上可得，所给的方程表示的圆的个数为1,故答案为：1.

8.若方程/+9+瓜+6+F=（）表示以（2,-4）为圆心，4为半径的圆，则U为—

【答案】4

【解析】因为方程/+>，2+m+6+尸=0表示以（2,—4）为圆心，4为半径的圆,

D2+E2-4F>0

-2=2。二一4

所以，解得£=8，所以”为4.

F=4

VD-+E2-4F”

-------------------=4

9.已知圆C的方程为f+y2—2x—26），=0,若圆c过点（0,2）,则，〃=____.若圆

心C在直线2x-y=0上.则〃?=

【答案】12

【解析】解：圆。的方程为/7-2>-2〃沙=0,若圆。过点（D,2）,则4-4加=0,解得加

=1；圆的圆心(1,加，圆心C在直线2x-y=0上，可得2-加=0,解得片2：故答案为：

1：2.

10.公元前3世纪，古希腊数学家阿波罗尼斯在前人的基础上写了一部划时代的著作《圆锥

曲线论》，该书给出了当时数学家们所研究的六大轨迹问题，其中之一便是“到两个定点的

距离之比等于不为1的常数的轨迹是圆”，简称“阿氏圆”.用解析几何方法解决“到两个

定点。(0,0),43,0)的距离之比为;的动点“轨迹方程是：/+/+2］一3=0”，则

该“阿氏圆”的半径是.

【答案】2

【解析】因为―+),2+2》一3=0,所以(x+lf+y2=4,所以半径为2.

三、解答题

11.已知AA3c的顶点。(2「8),直线AA的方程为)，=-2x+ll,AC边上的高“”所

在直线的方程为x+3y+2=0

(1)求顶点A和B的坐标；

(2)求A48C外接圆的一般方程.

y--2x+11

【解析】(1)由广.〜八可得顶点8(7,-3),

x+3y+2=()

又因为AC_L8〃得，即”=一；

所以设AC的方程为y=3x+〃，

将以2,-8)代入得人=一14

y=-2x+l1

可得顶点为A(5,l)

y=3x-14

所以A和3的坐标分别为(5,1)和(7,-3)

(2)设MBC的外接圆方程为Y+y2+Dx+Ey+F=0,

将A(5/)、8(7,-3)和。(2,-8)三点的坐标分别代入，

5D+E+F+26=0\D=-4

得•7O-3E+/+58=0,修得＜石=6,

2O-8E+/+68=0[F=-12

所以MBC的外接圆的一般方程为x2+/-4x+6y-i2=0.

12.圆C过点4(6,0),8(1,5),且圆心在直线上2尸7片8,上.

⑴求圆。的方程；

(2)广为圆。上的任意一点,定点。(8,0),求线段例中点必的轨迹方程.

【解析】⑴(方法1)直线/伤的斜率收士-1,

所以线段月8的垂直平分线"的斜率为1.

线段/伊的中点的横坐标和纵坐标分别为x号=

因此，直线〃，的方程为玄二,即x-y-l=O.

Z4

乂圆心在直线/上，所以圆心是直线0与直线/的交点.联立方程组。二解得

\LX-iy十u-u

(x=3

ty=2：

所以圆心坐标为。(3,2).又半径2-/64/V13,

则所求圆的方程是(x-3)J(y-2)2=13.

(方法2)设所求圆的方程为(『4)2+8-力)2=乂

(6_a「+(0_*=厂2倍=3

由题意得(1,)2+(55)2=内解得匕=2：

.2a.7b+8=0'=13,

9

所以所求圆的方程是JT)2,(厂2)2=13.

⑵设线段PQ的中点J/J,。，巴的㈤,

hill.~Xf解得俨°=2%-8,

人」处=研叫尢=2y

I2乙’

将夕(2x82。代入圆。的方程中，得(2/3-3)。(2尸2尸二13,

即线段掰中点。的轨迹方程为(不号)

《2.4.2圆的一般方程-提高练》同步练习

一、选择题

1.方程/+V+玲+/=0表示以(-2.3)为圆心,4为半径的圆，则I),E,尸的值分别为

A.4,—6,3B.-4.6,3C.-4,-6,3D.4,-6,—3

2.已知圆的圆心为（-2,1）,其一条直径的两个端点恰好在两坐标轴上，则这个圆的方程是

()

A.x-f-y-f4x-2y-5=0