数学北京市东城区2025-2026学年度第二学期高三年级综合练习(一)(东城高三一模)(4.7-4.10)

北京市东城区2025—2026学年度第二学期高三综合练习(一)数学参考答案及评分标准2026.4一、选择题(共10小题，每小题4分，共40分)二、填空题(共5小题，每小题5分，共25分)三、解答题(共6小题，共85分)(16)(共13分)解得m=—√35分(Ⅱ)选择条件①②.因为f(x)的最小正周期为π,所因,所以所以—1≤f(x)≤0.所以函数f(x)在区间|上的取值范围是[-1,0].……13分高三数学参考答案及评分标准第1页(共6页)选择条件②③.因为f(x)的最小正周期为π,所解得w=1.f(x)的最大值为,最小值为所以最大值与最小值之和为2m+√3=0.即所以因,所以所以一1≤f(x)≤0.所以函数f(x)在区间上的取值范围是[一1,0].……13分(17)(共14分)所以BC//平面PAD.又因为BCC平面PBC,平面PAD∩平面PBC=l,(Ⅱ)取AB的中点F,连接EF,因为AD⊥BD,又因为PE⊥平面ABCD,ED,EFC平面ABCD,所以PE⊥ED,PE⊥EF.分C如图建立空间直角坐标系E—xyz,则A(0,—√3,0),B(2,√3,0),C(2,2√3,0),D(0,√3,0),P(0,0,√3高三数学参考答案及评分标准第2页(共6页)设平面PAB的法向量为m=(x₁,y₁,z1),则即令x₁=√3,则y₁=-1,z=1.于是m=(√3设平面PBC的法向量为n=(x₂,y₂,z2),则令x₂=√3,则y₂=0,≈₂=2.于设平面PAB与平面PBC的夹角为θ,则所以平面PAB与平面PBC夹角的余弦值为………14分(18)(共13分)样本中A指标合格的机床有6台，所以所以这台机床A指标合格的概率估计为…………………3分(Ⅱ)设事件M₁=“一台机床评分为5”;设事件M₂=“一台机床评分为4”;这两台机床评分总和大于8的概率估计为(19)(共15分)所以椭圆C的方程……………5分高三数学参考答案及评分标准第3页(共6页)(Ⅱ)设直线l的方程为y=k(x—1).线段DE的中点为.得(1+3k²)x²—6k²x+3k²—3=0,直线AE的方程为,直线BE的方程为令x=2,得点M,N的纵坐标分别为所以线段DE与MN的中点重合.(20)(共15分)所以当x=1时，函数f(x)取最小值，故f(x)的最小值为f(1).(Ⅱ)由g(x)=xln(2x—1),得所以函数h(x)的最小值为h(1)=2.(Ⅲ)因为直线y一f(1)=g(t)(x-1)过点(2,1),由(Ⅱ)可知g'(t)>0.φ'(1)与φ(1)的变化情况如下：t2十0一极大值因为φ(1)=f(1)+g(1)一1=0,所以φ(t)在(2,+∞)内有且仅有一个零点t₀.所以φ(t)在内共有两个零点1与lo,所以过点(2,1)且与曲线y=f(x)相切的直线的条数为2.………………15分(21)(共15分)解：(I)数列A₁不具有性质P(1),数列A₂具有性质P(1)4分(Ⅱ)因为数列A具有性质P(k),因为2(a;++…+a;)为偶数，所以S—a,与k同为奇数或同为偶数.若1和2均为数列A中的项，则S-1与S—2同为奇数或同为偶数，矛盾.所以1,2不能同时为A中的项.……………9分(Ⅲ)首先证明去掉a₁后，存在正整数i₁,i₂,…,im,去掉a₁后剩余4m项，子列a₂,as,a₆,ag,a10,a13,…,am-2,am+1满足|(S—a₁)—2(a₂+as+a₆+ag+a10+a₁₃+…+am-2+2)若n=4m+3.子列a₆,a₇,as,a11,a12,a15,…,a4m,am+3满足|(S—a₁)-2(a₆+a₇+a₈+a+a₁₂+a₁5+…+am+下证去掉a,(2≤r≤n)后，存在正整数i₁,i₂,…,im,令n=2k+1,此时剩余2k项，记为b₁,b₂,b₃,b,…,bzk-1,bzA,且b₁<b₂<b₃<b₄<…<bzk-,<bz·分为k组为(b₁,b₂),(b₃,b₄),…,(bz-1,bzk),其中b₁=1.则每组的差的绝对值为2或4,且至多有一个值为4.所以(b₁一b₂)+(b₃一b₁)+…+(bzk-1一bzk)=-2k或—2k-2(k≥3),存在t₁=1,t;∈{-1,1}(i=2,3,…使得t₁(b₁一b₂)+t₂(b₃一b₄)+…十t(b₂k-1一b₂k)=0或2,当t₁(b₁—b₂)+t₂(b₃—b₁)+…+t.(b₂k-1一b₂k)=0时，此时存在正整数i,i₂,…,im,有(一b₁—b₂)+t₂(b₃—b₄)+