小学四年级数学下册第五单元第2课时《数形结合探变化：画示意图解面积问题》教案

小学四年级数学下册第五单元第2课时《数形结合探变化：画示意图解面积问题》教案

一、教学内容分析

【基础】本节课是苏教版小学数学四年级下册第五单元“解决问题的策略”第二课时的教学内容。本单元的核心教学目标是引导学生初步体会并掌握两种基本的解题策略：画线段图和画示意图。在此之前，学生已经学习了用画线段图的方法解决和差、和倍等问题，初步感受到了图形在整理信息、分析数量关系中的直观价值。本节课则是在此基础上，将策略的应用场景迁移至“图形王国”，聚焦于用画示意图的方法解决有关长方形、正方形面积计算中长、宽变化引发的面积变化问题。

【重要】本课内容承载着多重教学价值。首先，从知识层面看，它深化了学生对长方形面积公式（面积=长×宽）及其变式的理解与应用，特别是在动态变化的情境中，如何从变化量中反推不变量或未知量。其次，从方法层面看，“画示意图”是将抽象的、隐性的文字语言转化为具体的、显性的图形语言的过程，这不仅是整理信息的手段，更是分析数量关系、探寻解题思路的“脚手架”。学生需要学会根据题意，按步骤画出图形的变化过程，并在图中准确标注已知数据和所求问题。最后，从思维层面看，本课旨在培养学生的几何直观和模型意识，让学生在“变”与“不变”的辨析中，发展逻辑推理能力和空间想象力。

【热点】【难点】本课的核心难点在于：一是如何根据文字描述（特别是像“长增加3米”“宽减少5米”这样的动态变化），准确地在静态的图形上表示出变化的部分和不变的部分；二是如何通过观察示意图，敏锐地发现“增加（或减少）部分的面积”与“原图的长或宽”之间的对应关系，即理解“增加部分的面积÷增加的长（或宽）=原图的宽（或长）”这一关键模型。这也是考试中经常出现的【高频考点】。

二、学情分析

【基础】四年级的学生正处于从具体形象思维向抽象逻辑思维过渡的关键期。他们对于长方形的特征及面积计算公式已经掌握得比较熟练，也具备了一定的阅读理解能力和初步的推理能力。在生活经验中，他们对“扩建”、“缩小”等词语有一定的感性认识。然而，面对包含两个以上条件、且涉及动态变化的文字应用题时，学生往往感到信息量大、关系隐蔽，难以直接在大脑中建构清晰的表象，导致解题思路混乱或无从下手。这就是为什么需要引入“画图”这一策略的根本原因。

【重要】学生在前一课时已经学习了画线段图，对“策略”有了初步的感知。但线段图表示的是数量关系，而示意图表示的是空间图形的关系，二者有本质区别。因此，本节课不仅要教会学生“怎样画”，更要引导他们在遭遇困境时“想到画”，在画完之后“看懂图”、“用好图”，最终形成自觉运用画图策略解决问题的意识。教学中需充分预估学生画图时可能出现的困难，如：比例失调、遗漏标注、无法区分变化与不变的部分等，并以此作为教学资源，在辨析与修正中提升画图的规范性。

三、教学目标设计

1.【基础】知识与技能目标：使学生在解决有关面积计算的实际问题过程中，学会用画示意图的方法整理题目中的已知条件和所求问题；能够借助所画的示意图，直观分析长方形长、宽变化与面积变化之间的数量关系，确定正确的解题思路，并能正确列式解答。

2.【重要】过程与方法目标：使学生经历“自主尝试画图—展示交流修正—借助图形分析—列式解答检验”的完整过程，体会画示意图对于理解题意、化繁为简的独特价值，积累解决问题的经验，初步形成几何直观和模型意识。

3.【重要】【难点】情感态度与价值观目标：使学生在不断反思与优化画图方法的过程中，感受策略的魅力和数学学习的乐趣，增强面对复杂问题时的自信心，逐步养成遇到困难时主动运用画图策略寻求突破的良好习惯。

四、教学重难点

1.教学重点：掌握画示意图整理信息的基本方法，能借助示意图分析数量关系，找到解决问题的关键。

2.教学难点：能根据题意准确画出图形的变化过程，并发现“变化部分的面积”与“原图形边长”之间的对应关系。

五、教学准备

教师准备：多媒体课件（PPT，包含动态演示画图过程、典型例题及变式练习）、实物投影仪、磁性黑板贴（长方形模型）。

学生准备：直尺、铅笔、橡皮、练习本。

六、教学实施过程（核心环节）

（一）激活经验，引入策略

1.创设情境，引发冲突：教师口述：“同学们，学校有一块长方形的劳动实践基地，原来长8米。为了给每个班更多体验的机会，学校决定将长增加3米。这样一来，面积就增加了18平方米。你们知道原来这块地的面积是多少平方米吗？”（板书简化条件：长8米，长增加3米，面积增加18平方米，求原面积？）

2.制造认知冲突：教师提问：“看了这些信息，你有什么感觉？能直接列出算式吗？”（预设学生回答：感觉有点乱，不知道宽是多少，没法求原面积。）教师顺势引导：“是啊，当题目中的数量关系比较复杂时，我们需要一个好帮手来帮忙整理信息。上节课我们用线段图解决了问题，今天这个图形变化的问题，用什么方法来整理更好呢？”引导学生想到“画图”，并揭示课题。

（二）自主探究，建构策略——【非常重要】环节一：长增加型

1.明确任务，尝试画图：教师提出要求：“请大家拿出练习本，尝试用画图的方式把题目的意思表示出来。注意，不仅要画出原来的样子，还要画出变化后的样子，并把所有的数据和问题都在图上标清楚。”

2.巡视指导，收集资源：教师巡视，捕捉学生画图中的典型样本。重点关注：图的基本框架是否合理（是否画出了长方形）；变化部分是否体现（是否延长了长）；数据标注是否齐全（8米、3米、18平方米、问题）；是否有学生能体现出变化部分与原部分的关系。

3.展示交流，规范画法：

（1）呈现第一层次作品（可能只是画了一个长方形，没有任何变化或标注）。引导学生评价：“这幅图能让大家一眼看出题意吗？缺了什么？”

（2）呈现第二层次作品（画了变化，但标注不清，例如把3米标在了别处）。引导讨论：“他的想法是对的，但哪里还可以改进？怎样才能让别人看得更明白？”

（3）教师结合学生的讨论，利用课件或板书，规范演示画图步骤：【重要】第一步，先画一个长方形，标上已知的长8米，并标出问题“原面积？”；第二步，沿着长的一边向外延长，画出增加的部分，并标出增加的长3米；第三步，在增加的部分内部标出增加的面积18平方米；第四步，用大括号或文字标出所求问题。

4.借助图形，分析关系：

（1）教师提问：“现在，请大家看着这幅规范的示意图，你发现了什么原来不知道的信息？”引导学生观察并发现：【难点】【高频考点】“增加的小长方形的长，其实就是原来长方形的宽！增加的小长方形的面积是18平方米，宽是3米，所以它的长（也就是原长方形的宽）可以用18÷3=6米求出来。”

（2）同桌互相说一说发现的这个关键关系。

5.列式解答，检验反思：

（1）学生独立列式：18÷3=6（米），6×8=48（平方米）。

（2）教师追问：“18÷3求出的到底是什么？为什么要求它？”（强调：要求原面积，已知原长，必须先求出原宽。而宽就隐藏在增加的小长方形中。）

（3）回顾反思：我们刚才是怎么一步步解决这个问题的？（读题—画图—看图找关系—列式解答）其中，画图起到了什么作用？（让隐藏的关系显性化）

（三）变式深化，内化策略——【非常重要】环节二：宽减少型

1.独立迁移，尝试解决：课件出示变式题：“小营村原来有一个宽20米的长方形鱼池。后来因扩建公路，鱼池的宽减少了5米，这样鱼池的面积就减少了150平方米。现在鱼池的面积是多少平方米？”

2.分层指导，关注差异：

（1）对于基础薄弱的学生，提示：“这是宽在变，你能模仿刚才的方法，试着画一画吗？注意减少的部分应该怎么画？（通常建议用虚线表示减少或去掉的部分）”

（2）对于学有余力的学生，鼓励尝试不同解法。

3.交流汇报，凸显策略：

（1）展示学生画的示意图，重点评价“减少5米”的画法是否规范（一般建议在原图内部划出一部分，并用虚线或阴影表示减少，标注“减少150平方米”和“5米”）。

（2）引导学生看图分析：【重要】“从图上你看到了什么？减少的部分是什么形状？它的长和宽各是多少？”引导学生发现：减少的小长方形的长就是原来的长，它的宽是5米，面积是150平方米，所以原长=150÷5=30米。

（3）列式解答。引导学生呈现不同解法：

解法一：先求原长150÷5=30米；再求现在的宽20-5=15米；最后求现在面积30×15=450平方米。

解法二：先求原面积30×20=600平方米；再减去减少的150平方米，得到450平方米。

4.对比归纳，提炼模型：

（1）组织学生将两道例题放在一起对比：“这两道题有什么相同点和不同点？”（相同：都运用了画示意图的策略；都是通过变化部分的面积和一条边，求出不变的边。不同：一个是长增加（部分在外部），一个是宽减少（部分在内部）；一个是求原面积，一个是求现面积。）

（2）【重要】引导学生总结核心模型：“不管是长增加还是宽减少，我们都要抓住‘变化的那一部分’，因为它是我们解决问题的突破口。只要用‘变化部分的面积÷变化边的长度’，就能求出那个‘不变的另一条边’。”

（四）综合应用，提升策略

1.基础巩固：【热点】出示“练一练”题目（练习八第6题）：“一块长方形试验田，如果长增加6米，或者宽增加4米，面积都比原来增加48平方米。你知道原来试验田的面积是多少平方米吗？”

（1）引导学生审题，抓住关键词“或者”。理解“或者”的意思是两种情况是分开发生的，互不影响。

（2）学生尝试画图。提示：需要画两个图吗？还是可以画在一个图上？（可以画一个图，用两种不同方向或颜色的线条分别表示长增加和宽增加的情况。）

（3）交流画法，并分析：从“长增加6米，面积增加48平方米”可以求出什么？（原宽=48÷6=8米）从“宽增加4米，面积增加48平方米”可以求出什么？（原长=48÷4=12米）最后求原面积12×8=96平方米。

（4）【难点】小结：当信息比较复杂时，画图能帮我们分门别类地整理信息，不至于混淆。

2.拓展提升：【热点】出示挑战题（练习八第8题）：“张庄小学原来有一个长方形操场，长50米，宽40米。扩建校园时，操场的长增加了10米，宽增加了8米。操场的面积增加了多少平方米？”

（1）学生独立画图解答，鼓励一题多解。

（2）展示交流不同的解题思路：

方法一：分块求。将增加的部分分成两个小长方形（一个长50米、宽8米；一个长（50+10）米、宽10米？或者用其他分法），分别计算后相加。

方法二：整体求。先求现在操场的总面积（50+10）×（40+8），再减去原来的面积50×40。

方法三：利用模型。将长增加和宽增加分开考虑，但要注意重叠部分。

（3）引导学生对比不同解法，体会画图对于理解不同解题路径的辅助作用。

（五）全课总结，升华策略

1.回顾梳理：教师引导学生回顾本节课的学习历程：“今天我们研究了什么问题？我们是怎样研究的？在这个过程中，你最大的收获是什么？”

2.策略升华：强调“画示意图”不仅仅是画个图，更是我们大脑思考的“地图”。它能帮我们把复杂的文字“翻译”成简单的图形，让隐藏的数量关系“现出原形”。

3.名言共勉：出示华罗庚的名言“数缺形时少直观，形少数时难入微”，让学生初步感受数与形结合的重要数学思想。

七、板书设计

（主板书）

第五单元解决问题的策略（二）

——画示意图

【例题】长增加型【变式】宽减少型

（此处手绘标准示意图）（此处手绘标准示意图）

关系：关系：

增加面积÷增加长=原宽减少面积÷减少宽=原长

↓↓

原面积=原长×原宽现面积=原长×现宽

核心策略：

遇到图形变化问题——画示意图

抓住变化部分——找不变的那条边

八、教学反思（预设）

本节课的设计，摒弃了传统的“教师讲例题