人教版八年级下学期数学第20章勾股定理第2节勾股定理逆定理及其应用知识点+练习题以及答案

第二十章勾股定理第2节：勾股定理的逆定理及其应用知识点（1）勾股定理的逆定理:如果三角形的三边长a、b、c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形.（2）特别说明：勾股定理的逆定理是直角三角形的判定定理，即已知三角形的三边长，且满足两条较小边的平方和等于最长边的平方，即可判断此三角形为直角三角形，最长边所对应的角为直角.（3）满足a2+b2=c2的三个正整数，称为勾股数.（4）常见勾股数：3，4，5；5，12，13；6，8，10；7，24，25；8，15，17；9，40，41；10，24，26等等.（5）勾股数拓展性质：一组勾股数，都扩大相同倍数k(k为正整数)，得到一组新数，这组数同样是勾股数.(6)题设和结论正好相反的两个命题，叫做互逆命题，其中一个叫做原命题，另一个叫做原命题的逆命题.一般地，原命题成立时，它的逆命题既可能成立，也可能不成立.如果一个定理的逆命题经过证明是正确的，那么它也是一个定理，我们称这两个定理互为逆定理.勾股定理与勾股定理的逆定理为互逆定理.(7)判断三角形形状①.若已知一个三角形三边的长度，可通过勾股定理的逆定理来判断它是否为直角三角形.②.对于一些复杂的边长表达式，同样可先分别计算较短两边的平方和与最长边的平方，看是否相等来判断形状.若相等是直角三角形；若较短两边平方和大于最长边平方，是锐角三角形；反之是钝角三角形.练习题第1课时勾股定理的逆定理１．以下列各组线段长为边长，组成的三角形不是直角三角形的是（）Ａ．1，1，2Ｂ．1，2，3Ｃ．３，４，５Ｄ．４，５，６２．已知ａ，ｂ，ｃ为△ＡＢＣ的三边长，下列条件中不能判定△ＡＢＣ是直角三角形的是（）Ａ．∠Ａ＋∠Ｂ＝∠ＣＢ．ａ＝６，ｂ＝８，ｃ＝１０Ｃ．ａ２＋ｂ２＝ｃ２Ｄ．∠Ａ∶∠Ｂ∶∠Ｃ＝２∶３∶４３．如图，ＢＣ＝５，ＡＣ＝１２，ＡＢ＝１３．Ｐ是线段ＡＢ上一点，连接ＰＣ，ＰＣ的长不可能是（）Ａ．４Ｂ．６Ｃ．８Ｄ．１０４．如图，在△ＡＢＣ中，ＡＢ＝ＡＣ，Ｄ是ＣＡ的延长线上一点，连接ＢＤ．若ＡＣ＝８，ＡＤ＝１７，ＢＤ＝１５，则△ＡＢＤ的面积为．５．如图，网格中每个小正方形的边长为１，△ＡＢＣ的三个顶点均在格点上，求证：△ＡＢＣ为直角三角形．６．如图，在△ＡＢＣ中，ＢＣ＝９，ＡＣ＝１２，在△ＡＢＥ中，ＤＥ是ＡＢ边上的高，ＤＥ＝８，△ＡＢＥ的面积为６０．（１）ＡＢ的长为．（２）求四边形ＡＣＢＥ的面积．７．下列是勾股数的一组是（）Ａ．４，５，６Ｂ．1，2，3Ｃ．５，１２，１３Ｄ．１，43，８．清代扬州数学家罗士琳痴迷于勾股定理的研究，提出了推算勾股数的“罗士琳法则”．法则的提出，不仅简化了勾股数的生成过程，也体现了中国传统数学在数论领域的贡献．由此法则写出了下列几组勾股数：①３，４，５；②５，１２，１３；③７，２４，２５；④９，４０，４１；……根据上述规律，写出第⑤组勾股数为．９．已知△ＡＢＣ的三边长ａ，ｂ，ｃ满足（ａ－ｂ）２＋２ａ－ｂ－３＋｜ｃ－32｜＝０，则△ＡＢＣ是（）Ａ．等腰直角三角形Ｂ.等腰三角形Ｃ.直角三角形Ｄ.等边三角形１０．如果ｍ表示大于１的整数，设ａ＝２ｍ，ｂ＝ｍ２－１，ｃ＝２ｍ２＋２ｍ，ｄ＝ｍ２＋１，其中任选三个数能构成勾股数的是（）Ａ．ａ，ｂ，ｃＢ．ａ，ｂ，ｄＣ．ａ，ｃ，ｄＤ．ｂ，ｃ，ｄ１１．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，点Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ，Ｅ均在小正方形的顶点上，线段ＡＢ，ＣＤ交于点Ｆ，若∠ＣＦＢ＝α，则∠ＡＢＥ的度数为（用含α的式子表示）．１２．在平面直角坐标系中，点Ｃ（－３，０），点Ａ，Ｂ分别在ｘ轴，ｙ轴的正半轴上，且满足ＯＢ2１３．已知：如图，在△ＡＢＣ中，ＡＢ＝１３，ＡＣ＝５，△ＡＢＣ的周长为３０．（１）证明：△ＡＢＣ是直角三角形．（２）过点Ｃ作ＣＤ⊥ＡＢ于点Ｄ，点Ｅ为ＡＢ边上的一点，且ＣＥ＝ＢＥ，过点Ｅ作ＥＦ⊥ＡＢ交∠ＡＣＢ的平分线于点Ｆ．①证明：∠ＤＣＦ＝∠ＥＣＦ．②求线段ＥＦ的长．１４．我们给出如下定义：若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称这个四边形为勾股四边形，这两条相邻的边称为这个四边形的勾股边．（１）如图１，已知格点（小正方形的顶点）Ｏ，Ａ，Ｂ，若Ｍ为格点，请直接画出所有以ＯＡ，ＯＢ为勾股边且对角线相等的勾股四边形ＯＡＭＢ．（２）如图２，将△ＡＢＣ绕顶点Ｂ按顺时针方向旋转６０°，得到△ＤＢＥ，连接ＡＤ，ＤＣ，∠ＤＣＢ＝３０°，求证：ＤＣ２＋ＢＣ２＝ＡＣ２，即四边形ＡＢＣＤ是勾股四边形．（３）如图３，在四边形ＡＢＣＤ中，△ＢＣＤ为等边三角形，ＡＢ＝６，ＡＤ＝８，∠ＤＡＢ＝３０°，求ＡＣ的长．第2课时勾股定理的逆定理的应用１．我国南宋著名数学家秦九韶的著作《数书九章》里记载着一道题：“问有沙田一块，有三斜，其中小斜五里，中斜十二里，大斜十三里，欲知为田几何？”这道题讲的是：有一块三角形沙田，三条边长分别为５里，１２里，１３里，则该沙田的面积为（“里”是我国市制长度单位，１里＝５００米）（）Ａ.７.５平方千米Ｂ.７５平方千米Ｃ.１平方千米Ｄ.７５０平方千米２．在某一时刻，渔船Ａ和渔船Ｂ与灯塔Ｏ的位置如图所示，测得ＯＡ＝１２海里，ＯＢ＝９海里，ＡＢ＝１５海里，在灯塔Ｏ处测得渔船Ａ位于北偏东２４°方向，则灯塔Ｏ位于渔船Ｂ的（）Ａ．北偏西２４°方向Ｂ．南偏西２４°方向Ｃ．北偏西６６°方向Ｄ．南偏西６６°方向３．为了增强学生的环保意识和生态意识，某中学在植树节当天组织了植树活动，这次植树活动中，小洛所在班级一共植树１２棵，按如图所示的方式进行分布，已知每相邻的两棵树之间的距离是２ｍ，则小洛所在班级植树围成的区域（△ＡＢＣ）的面积为ｍ２．４．如图，分别以△ＡＢＣ的三边为边向外作正方形，然后分别以三个正方形的中心为圆心，以正方形边长的一半为半径作圆，记三个圆的面积分别为Ｓ１，Ｓ２，Ｓ３，若Ｓ１＋Ｓ２＝Ｓ３，则△ＡＢＣ的形状为三角形．５．小明计划制作一架小型飞机模型，如图所示的四边形材料是飞机垂直尾翼，小明测量发现ＡＢ＝１３ｃｍ，ＡＤ＝５ｃｍ，∠ＤＢＣ＝９０°，ＢＣ＝１６ｃｍ，ＣＤ＝２０ｃｍ．根据设计要求需保证ＡＤ∥ＢＣ．请判断该尾翼是否符合设计要求，并说明理由．６．如图，在一条东西走向的河的一侧有一村庄Ｃ，河边原有两个取水点Ａ，Ｂ，其中ＡＢ＝ＡＣ．现在由Ｃ到Ａ的路暂时不通，该村为方便村民取水，决定在河边新建一个取水点Ｈ（Ａ，Ｈ，Ｂ在同一条直线上），并新修一条公路ＣＨ，测得ＣＢ＝２千米，ＣＨ＝１.６千米，ＨＢ＝１.２千米．（１）公路ＣＨ是不是从村庄Ｃ到河边的最短路径？请通过计算加以说明．（２）求原来的路线ＡＣ的长．７．如图所示的是某超市购物车的侧面简化示意图．测得支架ＡＣ＝８０ｃｍ，ＣＢ＝６０ｃｍ，两轮中心的距离ＡＢ＝１００ｃｍ，则点Ｃ到ＡＢ的距离为ｃｍ．8．如图，在等腰Ｒｔ△ＡＢＣ中，∠ＢＡＣ＝９０°，ＡＢ＝ＡＣ＝４，Ｄ是ＢＣ边上的一个动点，连接ＡＤ，则ＡＤ的最小值为．9．如图，在平面直角坐标系ｘＯｙ中，已知Ａ（３，０），Ｂ（０，２），过点Ｂ作ｙ轴的垂线ｌ，Ｐ为直线ｌ上一动点，连接ＰＯ，ＰＡ，则ＰＯ＋ＰＡ的最小值为．10．（１）探究：如图①，点Ｐ，Ｑ为△ＡＢＣ的边ＡＢ，ＡＣ上的两定点，在ＢＣ上求作一点Ｍ，使△ＰＱＭ的周长最小．（２）应用：如图②，在长方形ＡＢＣＤ中，ＡＢ＝６，ＡＤ＝８，点Ｅ，Ｆ分别为边ＡＢ，ＡＤ的中点，点Ｍ，Ｎ分别为ＢＣ，ＣＤ上的动点，求四边形ＥＦＮＭ周长的最小值．（３）拓展：如图③，在△ＡＢＣ中，ＡＣ＝ＢＣ，∠ＡＣＢ＝９０°，点Ｄ在ＢＣ上，ＢＤ＝３，ＤＣ＝１，点Ｐ是ＡＢ上的动点，试求ＰＣ＋ＰＤ的最小值．11．如图所示的是一个三级台阶，每一级台阶的长、宽、高分别是５０ｃｍ、３０ｃｍ、１０ｃｍ，Ａ和Ｂ是这个台阶的两个相对的顶点，Ａ点有一只壁虎，它想到Ｂ点去吃可口的食物，请你想一想，这只壁虎从Ａ点出发，沿着台阶面爬到Ｂ点，至少需爬（）Ａ．１３ｃｍＢ．４０ｃｍＣ．１３０ｃｍＤ．１６９ｃｍ12．如图，长方体的长为１０ｃｍ，宽为８ｃｍ，高为１６ｃｍ，ＢＣ＝４ｃｍ，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点Ａ爬到点Ｂ，需要爬行的最短路程是ｃｍ．13．如图１，圆柱形杯子高为１８ｃｍ，底面周长为２４ｃｍ，在杯内壁离杯底４ｃｍ的点Ｂ处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿２ｃｍ与蜂蜜相对的点Ａ处，为了吃到蜂蜜，蚂蚁从外壁Ａ处沿着最短路径到达内壁Ｂ处．（１）图２是杯子的侧面展开图，请在杯沿ＣＤ上确定一点Ｐ，使蚂蚁沿Ａ→Ｐ→Ｂ爬行的距离最短．（２）结合图２，求出蚂蚁爬行的最短路径长．１4．在△ＡＢＣ纸片中，∠Ｃ＝９０°，ＡＣ＝１２，ＢＣ＝５．现将△ＡＢＣ按如图所示的方式折叠，使点Ｃ落在ＡＢ上的点Ｄ处，折痕为ＢＥ，则ＤＥ的长为（）Ａ．103Ｂ．６Ｃ．8315．如图，Ｒｔ△ＡＢＣ纸片中，∠Ｃ＝９０°，ＡＣ＝６，ＢＣ＝８，点Ｄ在边ＢＣ上，将△ＡＢＤ折叠得到△ＡＢ′Ｄ，ＡＤ为折痕，ＡＢ′与边ＢＣ交于点Ｅ．若∠ＤＥＢ′＝９０°，则ＢＤ的长是（）Ａ．２Ｂ．３Ｃ．４Ｄ．５16．如图，三角形纸片ＡＢＣ中，点Ｄ是ＢＣ边上一点，连接ＡＤ，把△ＡＢＤ沿着直线ＡＤ翻折，得到△ＡＥＤ，ＤＥ交ＡＣ于点Ｇ，连接ＢＥ交ＡＤ于点Ｆ，若ＤＧ＝ＥＧ，ＡＦ＝４，ＡＢ＝５，△ＡＥＧ的面积为154，则ＢＤ的长是（Ａ．１３Ｂ．１０Ｃ．７Ｄ．５17．如图，在△ＡＢＣ纸片中，∠Ａ＝９０°，∠Ｂ＝３０°，ＢＣ＝3＋1，点Ｅ，Ｆ分别是ＢＣ，ＡＣ边上的动点，沿Ｅ，Ｆ所在直线折叠△ＣＥＦ，使点Ｃ的对应点Ｃ′始终落在边ＡＢ上，当△ＢＥＣ′是直角三角形时，ＢＣ′的长为．18．如图，将长方形纸片ＡＢＣＤ沿直线ＥＦ折叠，使点Ｄ落在边ＢＣ的中点Ｍ处．若ＡＢ＝４，ＢＣ＝６，则ＣＦ＝．19．如图，长方形ＡＢＣＤ中，ＡＢ＝８，ＢＣ＝６，Ｐ为ＡＤ上一点，将△ＡＢＰ沿ＢＰ翻折至△ＥＢＰ，ＰＥ与ＣＤ相交于点Ｏ，且ＯＥ＝ＯＤ，ＢＥ与ＣＤ相交于点Ｆ．（１）求证：ＯＰ＝ＯＦ．（２）求ＡＰ的长．20．如图，在长方形ＡＢＣＤ中，ＡＤ＝９，点Ｇ在边ＡＤ上，ＡＢ＝ＧＤ＝４，边ＢＣ上有一点Ｈ，将长方形沿ＧＨ折叠，点Ｃ和点Ｄ的对应点分别是点Ｃ′和点Ｄ′，当Ａ，Ｄ′，Ｃ′三点恰好在同一条直线上时，求ＡＣ′的长．21．某占地面积为４００ｍ２的办公区准备建一栋办公楼，剩余区域全部进行绿化，该办公区的规划如图所示．已知ＡＢ＝１２ｍ，ＢＣ＝９ｍ，ＣＤ＝８ｍ，ＡＤ＝１７ｍ，∠ＡＢＣ＝９０°．（１）为了方便工作人员进出，建设单位计划在绿化区中铺设一条连接点Ａ到点Ｃ的直道，求这条直道ＡＣ的长度．（２）规划时，要求该办公区的绿化面积不低于３０％，请判断上述设计方案是否符合规划要求，并说明理由．22．【问题背景】如图①，Ｐ是等边△ＡＢＣ内一点，连接ＰＡ，ＰＢ，ＰＣ．若ＰＡ＝５，ＰＢ＝３，ＰＣ＝４，求∠ＢＰＣ的度数．下面是小英同学的部分解题过程：解：把△ＢＰＣ绕点Ｂ逆时针旋转６０°得到△ＢＰ′Ａ，连接ＰＰ′，由旋转可得△Ｐ′ＢＡ≌△ＰＢＣ，∠ＰＢＰ′＝６０°，∴∠ＢＰ′Ａ＝∠ＢＰＣ，∠Ｐ′ＢＡ＝∠ＰＢＣ，Ｐ′Ｂ＝ＰＢ＝３，ＡＰ′＝ＰＣ＝４．……（１）请你帮助小英续写解题过程．【解决问题】（２）如图②，点Ｄ是等腰Ｒｔ△ＡＢＣ内一点，ＡＣ＝ＢＣ，连接ＤＡ，ＤＢ，ＤＣ，ＡＤ＝５，ＢＤ＝３，ＣＤ＝22，求∠ＢＤＣ的度数．23．阅读下列材料，然后回答问题．已知平面直角坐标系内两点Ｍ（ｘ１，ｙ１），Ｎ（ｘ２，ｙ２），则这两点间的距离可用下列公式计算：ＭＮ＝（x1－x2）2+（y1－y2）2．例如：已知Ｐ（５，１），Ｑ（３，－２），则这两点间的距离为ＰＱ＝（5－3（１）已知Ａ（１，４），Ｂ（－２，３），求Ａ，Ｂ两点间的距离．（２）已知Ａ，Ｂ两点在平行于ｙ轴的同一条直线上，点Ａ的纵坐标为６，点Ｂ的纵坐标为－１，求Ａ，Ｂ两点间的距离．（３）已知△ＡＢＣ的顶点坐标分别为Ａ（０，４），Ｂ（－１，２），Ｃ（４，２），你能判断△ＡＢＣ的形状吗？请说明理由．答案第1课时勾股定理的逆定理１．Ｄ２．Ｄ３．Ａ４．６０５．证明由题图得，ＡＢ２＝６２＋４２＝５２，ＡＣ２＝２２＋３２＝１３，ＢＣ２＝１２＋８２＝６５，∵５２＋１３＝６５，∴ＡＢ２＋ＡＣ２＝ＢＣ２，∴△ＡＢＣ为直角三角形．６．解析（１）由题意得Ｓ△ＡＢＥ＝12ＡＢ·ＤＥ＝1∴ＡＢ＝１５．故答案为１５．（２）∵在△ＡＢＣ中，ＢＣ＝９，ＡＣ＝１２，ＡＢ＝１５，∴ＢＣ２＋ＡＣ２＝９２＋１２２＝２２５＝１５２＝ＡＢ２，∴△ＡＢＣ是直角三角形，且∠Ｃ＝９０°．∴Ｓ△ＡＢＣ＝12∴Ｓ四边形ＡＣＢＥ＝Ｓ△ＡＢＣ＋Ｓ△ＡＢＥ＝５４＋６０＝１１４．７．Ｃ８．１１，６０，６１９．Ａ１０．Ｂ１１．９０°＋α１２．解析∵ＯＢ2∴ＯＢ２＝６，ＯＡ＝２，∴ＯＢ＝６（负值已舍），∵点Ａ，Ｂ分别在ｘ轴，ｙ轴的正半轴上，∴Ａ（２，０），Ｂ（０，６），∴ＢＣ２＝ＯＢ２＋ＯＣ２＝６＋９＝１５，ＡＢ２＝ＯＢ２＋ＯＡ２＝６＋４＝１０，∵ＡＣ＝２－（－３）＝５，∴ＡＣ２＝２５，∴ＢＣ２＋ＡＢ２＝ＡＣ２，∴△ＡＢＣ是直角三角形．１３．解析（１）证明：∵ＡＢ＝１３，ＡＣ＝５，△ＡＢＣ的周长为３０，∴ＢＣ＝３０－１３－５＝１２，∵ＡＣ２＋ＢＣ２＝５２＋１２２＝１６９，ＡＢ２＝１６９，∴ＡＣ２＋ＢＣ２＝ＡＢ２，∴△ＡＢＣ是直角三角形．(2)①略②EF=13１４．解析（１）如图１，勾股四边形ＯＡＭＢ即为所求．（2）证明：连接ＣＥ，如图２，∵△ＡＢＣ绕顶点Ｂ按顺时针方向旋转６０°，得到△ＤＢＥ，∴ＡＣ＝ＤＥ，ＢＣ＝ＢＥ，∠ＣＢＥ＝６０°，∴△ＢＣＥ是等边三角形，∴ＥＣ＝ＢＣ，∠ＢＣＥ＝６０°，∵∠ＤＣＢ＝３０°，∴∠ＤＣＥ＝９０°，∴ＤＣ２＋ＥＣ２＝ＤＥ２，∴ＤＣ２＋ＢＣ２＝ＡＣ２，即四边形ＡＢＣＤ是勾股四边形．（３）如图，将△ＡＢＣ绕顶点Ｂ按逆时针方向旋转６０°，使点Ｃ与点Ｄ重合，得到△ＥＢＤ，连接ＡＥ，∴ＡＢ＝ＢＥ，ＡＣ＝ＤＥ，∠ＡＢＥ＝６０°，∴△ＡＢＥ是等边三角形，∴ＢＥ＝ＡＥ＝ＡＢ，∠ＢＡＥ＝６０°，∵∠ＤＡＢ＝３０°，∴∠ＤＡＥ＝∠ＤＡＢ＋∠ＢＡＥ＝３０°＋６０°＝９０°，∴△ＤＡＥ为直角三角形，∴ＤＥ２＝ＡＤ２＋ＡＥ２，即ＡＣ２＝ＡＤ２＋ＡＢ２，∴ＡＣ２＝８２＋６２，∴ＡＣ＝１０．第2课时勾股定理的逆定理的应用１．Ａ２．Ｃ３．２４４．直角５．解析符合设计要求．理由：∵∠ＤＢＣ＝９０°，ＢＣ＝１６ｃｍ，ＣＤ＝２０ｃｍ，∴ＢＤ＝ＣＤ2在△ＡＢＤ中，ＡＢ＝１３ｃｍ，ＡＤ＝５ｃｍ，∴ＡＤ２＋ＢＤ２＝５２＋１２２＝１３２＝ＡＢ２，∴△ＡＢＤ是直角三角形，且∠ＡＤＢ＝９０°，∴∠ＡＤＢ＝∠ＤＢＣ，∴ＡＤ∥ＢＣ．故该尾翼符合设计要求．６．解析（１）是．理由：在△ＣＨＢ中，ＣＢ＝２千米，ＣＨ＝１.６千米，ＨＢ＝１.２千米，∴ＣＨ２＋ＨＢ２＝ＣＢ２，∴△ＣＨＢ是直角三角形，且∠ＣＨＢ＝９０°，∴ＣＨ⊥ＡＢ，故公路ＣＨ是从村庄Ｃ到河边的最短路径．（２）设ＡＣ＝ＡＢ＝ｘ千米，则ＡＨ＝（ｘ－１.２）千米，在Ｒｔ△ＡＣＨ中，ＣＨ＝１.６千米，由勾股定理得ＡＣ２＝ＡＨ２＋ＣＨ２，即ｘ２＝（ｘ－１.２）２＋１．６２，解得ｘ＝35答：原来的路线ＡＣ的长为35千米７．４８8．229．５10．解析（１）如图①所示，作点Ｐ关于ＢＣ的对称点Ｐ′，连接Ｐ′Ｑ，交ＢＣ于点Ｍ，连接ＰＱ，ＰＭ，则