【吃透中考数学29个几何模型】模型14 对顶角三角形

专题14对顶角三角形

一、解答题

1.阅读材料:

如图I,AB、C。交于点0,我们把△4。。和△80C叫做对顶三角形.

结论：若△AO。和△80C是对顶三角形，则NA+NO=NB+NC.

结论应用举例：

如图2：求五角星的五个内角之和，田NA+N8+NACE+N4/38+NE的度数.

解：连接CD,由对顶三角形的性质得：ZB+ZE=Z1+Z2,

在△AC。中，VZA+ZACD+ZADC=180°,

即NA+N3+N1+N2+N4=I8O°,

/.NA+NAC£+NB+NE+/1OB=180°

即五角星的五个内角之和为180。.

解决问题：

(1)如图①，ZA+ZB+ZC+ZD+ZE+ZF=_；

(2)如图②，NA+N8+NC+NO+/E+NF+NG=_：

(3)如图③，/A+N8+NC+NO+/E+N/+/G+/”=_；

(4)如图④，N4+N8+NC+NQ+NE+NF+NG+N”+NM+NN=:

【答案】(1)360°；(2)540°；(3;720°；(4)1080°：过程见解析

【分析】

(1)连接C。，由对顶角三角形可得/A+/B=NBOC+N4C。，再由四边形的内角和定理得出结论；

(2)连接EO,由对顶角三角形可得再口五边形的内角和定理得出结论；

(3)连接8〃、由对顶角三角形可知再根据五边形的内角和定理

得出结论：

(4)连接NO、N£,由对顶角二角形可知N1IN2=NNG〃IN£〃G,再由六边形的内角和定理得出结论.

【详解】

解：U)连接C。，由对顶角三角形可得/A+N8=N8OC+NAC。，则/A+NB+NC+/。+NE+

(2)连接ED,由对顶角三角形可得/人+NB=N8EO+NAOE,则NA+N8+NC+NO+NE+NF+

ZG=540"；

(3)连接8H、DE,

由对顶角三角形可知N£B〃+/BHD=ZHDE+/BED,

：.NA+N4+NC+NO+N£+NF+NG+N”=五边形COEFG的内角和+△A3〃的内角和=540。+180。

=720°；

(4)连接NO、NE,

•••由对顶角三角形可知N1+N2=/"G〃+NE"G,

，NA+N8+NC+NO+NE+Nb+/G+N〃+/M+NN=六边形8c产的内角和+z\4NO的内角

和+△'£>£：的内角和=(6-2)xl805+360°=1080°.

B

S/"B

E，

图④

故答案为:360。；540°；720°；1080°.

【点睛】

本题考查的是三角形内角和定理，根据题意作出辅助线，利用△AO。和△SOC叫做对顶三角形的性质及多

边形的内角和定理解答是解答此题的关键.

2.(1)如图①，求NA+N8+NC+ND+NE+NF的度数;

(2)如图②，求NA+NB+NC+ND+NE+NF+NG+N”的度数;

(3)如图③，求/A+/8+/C+//H/E+N/;'+/G的度数.

【答案】（1）360°：（2）720°：⑶540°

【分析】

（1）连接AD,根据三角形的内角和定理得N8+NC=NBAD+NC£>4,进而将问题转化为求四边形ADEE

的内角和，

（2）与（1）方法相同转化为求六边形AACDEF的内角和，

（3）使用上述方法，转化为求五边形八3a的内角和.

【详解】

解：（I）如图①，连接A。，

由三角形的内角和定理得，ZB+ZC=ZB/1D+ZCDA,

：.NBA厂+ZB+ZC+ZCDE+NE+NF=NBAF+NBAD+ZCDA+ZD+ZE+NF

即四边形ADEF的内角和，四边形的内角和为360。，

/.N6A尸十N6十NC十zlCDE-\-NE十/产=360°,

（2）如图②，由⑴方法可得:

NBAH+NB+ZC+/。+/E+NEFG+NG+NH的度数等于六边形ABCDEF的内角和，

AZBAH+ZB+ZC+ZD+ZE+ZEFG+ZG+Z//=（6-2）xl80°=720°,

（3）如图③，根据（1）的方法得，/尸+NG=NGAE+NFE4,

//MG+NB+ZC+/。+NDEF+N尸+NG的度数等于五边形ARCDE的内角和，

AZBAG+Z«+ZC+ZD+ZDEF+ZF+ZG=(5-2)xl80°=540°,

D

【点睹】

本题考查三角形的内角和、多边形的内角和的计算方法，适当的转化是解决问题的关键.

3.如图，求N4+N8+NC+NO+NE+NF+NG+/H+NK的度数.

【分析】

如图所示，由三角形外角的性质可知：NA+NB=N/〃，NC+ND=NMLJ,NH+NK=/G1J,NE+

ZF=ZGM£,然后由多边形的内角和公式可求得答案.

【详解】

由三角形的外角的性质可知：NA+NB=N/JL,NC+ND=NMU,N”+NK=NG〃，ZE+ZF=ZGA7L,

AZA+ZB+ZC+ZD+Z£+ZF-FZG+ZH+ZK=ZIJL+ZMLJ+ZGML+ZG+ZG/J=(5-2)

xl80°=3xl80°=540°.

【点睛】

本题主要考查的是三角形外角的性质和多边形的内角和公式的应用，利用三角形外角和的性质将所求各角

的和转化为五边形的内角和是解题的关键

4.如图，求乙4+/3+/。+/。+//+//+/3+/，六个角的和.

【答案】360。

【分析】

根据三角形内角和外角的性质可得：/G+/O=N3,//+/C=N4,/£+/，=N2,再根据三角形内

角和定理可得答案.

【详解】

解：・.・NG+NO=N3,ZF+ZC=Z4,NE+NH=N2,

・•・NG+ZD+ZF+ZC+Z£+/H=Z3+Z4+Z2,

,.,ZB+Z2+Z1=I8O°,N3+N5+NA=180。，

Z./A+NB+N2+Z4+Z3=360°,

/.NA+N8+ZC+ZD+NE+NF+NG+ZW=360°.

【点睛】

此题主要考查了三角形内角与外角的性质，关键是掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和.

5.如图，在直角A4BC中，B。是NA8C的平分线，NBA。=3NOAO.AO的延长线与N8OC的平分

线交于点尸，求/尸的度数.

If

【答案】"=22.5。

【解析】

【分析】

设NOAO=x。，则NBA0=3x。，NA40=45。-2/。，ZODF=22.5°+x°,根据三角形八80与三角

形OFO的内角和相等即可建立方程，整理方程即可得出答案.

【详解】

解：设NOAD—x。，则NZMO_3x°,

在直角AA3C中，NA8c=900-4x0,

丁AD是NA8C的平分线，

ZABO=45°-2x°,

在直角AQAC中，ZODF=22.50+x0.

•・•ZOAB+NOBA+AAOB=NODF+ZF+ZFOD=180°,

乂.：乙AOB=^FOD,

ZOAB+NOBA=NODF+ZF,

即3产+45°-2x°=22.5°+x°+ZF,

・•・ZF=22.5°.

【点睛】

本题考查了对顶角相等、三角形内角和定理及其推论等知识.根据对顶三角形构建方程是解题的关键.

6.如图所示，求乙4+N8+NC+NO+NE+N厂的度数.

【解析】

【分析】

首先利用三角新的外角的性质，然后根据多边形的外角和定理即可求解.

【详解】

解：VZ1=ZA+ZB,N2=NC+ND,N3=NE+NF,

乂•・・Nl+/2+/3=360°,

/.ZA+ZB+ZC+ZD+ZE+ZF=360°.

本题考查了三角形的外角的性质以及多边形的外角和是360。，理解定理是关键.

7.如图，求NA+N8+NC+NO+NE+N/的度数.

【答案】zM+ZB+ZC+ZD+Z£+ZF=360°.

【解析】

【分析】

连接CD,将N4++NC+N。+NE+N尸转化为四边形CDEF的内角和即可求出答案.

【详解】

解：如图所示，连接CD

由对顶三角形得，ZA+ZB=ZACD+Z.BDC,

ZA+Z7?+ZC+ZD+ZE+ZF=ZCDE+ZDCF+ZE+ZF=360°.

【点睛】

本题考查/三角形、四边形的内角和定理、对顶角的性质等知识.将所求角的度数和转化为四边形内角和是

解题的关键.

8.如图，求/A+N8+NC+NO+/E的度数.

【解析】

【分析】

根据三角形的内角和定理即可求解

【详解】

解:连结BE,

BC与DE相交成对顶三角形，

NC+NO=NCBE+NDEB,

Z.4+ZAI3C+ZC+ZD+NAED=ZA+ZABC+NCBE+/DEB+/AED

=NA+NABE+ZAEB=180°

【点睛】

本题主要考查三角形内角和定理，熟练掌握相关的性质是解题的关键

9.如图，/产=30°,求Z4+/B+NC+/O+/E的度数.

【答案】330。.

【解析】

【分析】

根据三角形的内角和定理即可求解

【详解】

解：在ABM中，ZA+ZB+Z3=?°

在CDP中，ZC+ZD+Z1=?°

在EFN中，ZE+ZF+Z2=?c

在PNM中，Zl+Z2+Z3=?80°

+++NC+N。+++°

V4=30。

，ZA+ZB+ZC+Z£>+ZE=33O°

【点睛】

本题主要考查三角形内角和定理，熟练掌握相关的性质是解题的关键

二、填空题

10.如图，求

【分析】

根据多边形的内角和，可得笞案.

【详解】

丁6边形A4COEM的内角和=(62)x180°=720°,

/.NA+N8+ZC+NO+ZE+ZF=720°-(Z1+Z2),

即/A+/8+/C+NO+/E+N/一(N1+N2)=720°,

VZ1+Z2=Z3+Z4,N5+N6+/”=180°,

AZA+ZC+ZD+ZE+ZFZH+(Z3+Z4)=900°,

/.NA+NB+ZC+ZD+ZEJ-ZF(Z3+Z4)+Z5+Z6+ZW=72O°+180°,

Z./A+N8+ZC+ND+ZE+ZF+NG+/〃+Z/=9(X)°,

故答案为：900。.

【点睛】

本题考查了〃边形的内角和定理：〃边形的内角和为("-2)XI8O0(“23的整数).

11.如图，NA+NO+NC+ND+NE+/F+NG+/〃+N/+NK的度数为

【答案】1080。

【分析】

连K匕G1,根据〃边形的内角和定理得到7边形A8CQEFK的内角和=(7-2)xl800=900°,则NA+/8

+NC+NO+NE+/F+/K+(Z1+Z2)=900°,由三角形内角和定理可得到N1+N2=N3+NJ

/5+/6+/〃=180°,则/A+/B+/C+/O+/E+N/+NK+