三年高考(2016-2018)(理)真题分类专题合集二

专题06导数的几何意义

考纲解读明方向

考点内容解读要求常考题型预测热度

1.导数的概

1.了解导数概念的实际背景选择题、

念与几何意11

2.理解导数的几何意义填空题

义

★★★

1.能根据导数定义求函数y=C(C为常

2.导数的运1

23选择题、

数)，y=x,y=x,y=x,y=x,y=6的导数III

解答题

算2.能利用基本初等函数的导数公式和导数的

四则运算法则求简单函数的导数

本部分主要是对导数概念及其运算的考查，以导数的运算公式和运算法则为基础，以导数的几何意义

为重点.

1.导数的几何意义最常见的是求过曲线上某点的切线的斜率、方程、斜率与倾斜角的关系、切点

的坐标，或以平行、垂直直线的斜率间的关系为载体求字母的取值等.

2.导数的运算是每年必考的内容，一般不单独考查,而在考查导数的应用时与单调性、极值与最值

结合出题考查.

3.本节内容在高考中分值为5分左右，属于容易题.

2018年高考全寻屐帚

112018年理新课标I卷】设函数/'(x)='+(a-l)x2+ax,若八＞)为奇函数，则曲线y=八%)在点(0,0)

处的切线方程为

A.y=-2%B.y=-xc.y=2xD.y=x

【答案】D

【解析】分析：利用奇函数偶此项系数为零求得a=1,进而得到“X)的解析式，再对f(x)求导得出切线的

斜率心进而求得切线方程.

详解：因为函数“X)是奇函数，所以a-i=0,解得a=l,所以/(%)=炉+X,f(x)=3x2+l,所以

/\0)=1,/(0)=0,所以曲线y=f(x)在点(0,09的切线方程为y-f(0)=尸(0)x,化简可得)，=%,故选

D.

点睛：该题考查的是有关曲线y=fa)在某个点(*。/(*。))处的切线方程的问题，在求解的过程中，首

先需要确定函数解析式，此时利用到结论多项式函数中，奇函数不存在偶次项，偶函数不存在奇次

项，从而求得相应的参数值，之后利用求导公式求得r(x),借助于导数的几何意义，结合直线方程

的点斜式求得结果.

2.【2018年全国卷m理】曲线y=(g+l)e”在点(°，D处的切线的斜率为-2,则。=.

【答案】-3

【解析】分析：求导，利用导数的几何意义计算即可。

详解：y'=ae'+(ax+l)e”,则f(0)=a+l=-2,所以a=-3,故答案为-3.

点睛：本题主要考查导数的计算和导数的几何意义，属于基础题。

3.【2018年理数全国卷II】曲线、=2,(％+1)在点(0,0)处的切线方程为.

【答案】y=2x

【解析】分析：先求导数，再根据导数几何意义得切线斜率，最后根据点斜式求切线方程.

点睛：求曲线的切线要注意“过点P的切线”与“在点P处的切线”的差异，过点P的切线中，点P

不一定是切点，点P也不一定在已知曲线上，而在点P处的切线，必以点P为切点.

lx

4.[2018年理数天津卷】已知函数/(*)=Ig(*)=03a,其中a>\.

(I)求函数力0)=/(乃-以妆的单调区间；

(ID若曲线y=f(x)在点(%/(与))处的切线与曲线y=g(x)在点(々，以七))处的切线平行，证明

(in)证明当时，存在直线/，使/是曲线y=f(x)的切线，也是曲线y=g(x)的切线.

【答案】(I)单调递减区间(-8,0),单调递增区间为(0,+8)；(1])证明见解析；(山)证明见解析.

【解析】分析：⑺由题意可得力6)=，"”1仪令/i'(x)=o,解得x=O.据此可得函数力3的单调递

减区间(-8,0),单调递增区间为(0,+8).

(〃)曲线y=f(x)在点(勺/(叼))处的切线斜率为aAna.曲线y=9(x)在点(々，。(叼))处的切线斜率为

12lnlna

外.原问题等价于x位“a)?=]两边取对数可得无1十"马)一

Ina

X1_xlj（、y-^09ax2=~；---（x-x2）

（III）由题意可得两条切线方程分别为小y-Q=Qlna・（x-Xi）h：x2lna

11

则原问题等价于当a“e时，存在勺€（-8,+8）,%2€（°，+8）,使得/1和/2重合.转化为当。20‘时,

,’12lnlna

a-x.aIna+x1H-----1--------=0

关于后的方程比alna存在实数解，构造函数，令

12lnlna

u（x）=a-xaIna+xH-----1-------'，、C

）a历a,结合函数的性质可知存在唯一的须，且Xo>O,使得"（々）=°,

据此可证得存在实数/,使得口（。<0,则题中的结论成立.

详解:（/）由己知，h（.x）=ax-xlna,=axlna-Ina,

令;i'(x)=O,解得户0.

由a>l,可知当x变化时,h'（x）,M"）的变化情况如下表:

X(-8,0)0(0,+8)

九'(x)-0+

Kx)极小值/

所以函数Mx）的单调递减区间（-8,0）,单调递增区间为（0,+8）.

（//）由f'（x）=a'”。，可得曲线y=/Q0在点（//（/））处的切线斜率为ma.

,11

由90）-xlna,可得曲线y=9（x）在点（々，。（叼））处的切线斜率为叼）。

Q=-----X12

因为这两条切线平行，故有外小巴即打。。破）=1

f、2lnlna

两边取以a为底的对数，得1。9/2+勺+2]。92）。=。，所以勺+或，2）嬴一

（///）曲线y=/'（X）在点01储%]1）处的切线/,：y-a%]1=aX]1比a•（x-/）

1

,,、y-logax2=——-（^x-x2）

曲线y=g"）在点（々，,。呢々）处的切线/2：x2lna

1

要证明当aNe,时，存在直线/,使/是曲线y=f(x)的切线，也是曲线y=g(x)的切线,

只需证明当a'd时，存在芍€(-8,+8),叼€(。，+8),使得6和6重合.

a1lna=---①

x2lna

1qq1o

-a-x.aIna=logx---(2)

即只需证明当a2小时，方程组I"a2Ina有解，

x=--------x.X1llnlna八

L7勺八na-x.aAlna+x^+----1-----=0

由①得a1("炉，代入②，得InaIna.③

1

因此，只需证明当aNee时，关于A1的方程③存在实数解.

12lnlna1

u(x)=a-xaIna4-xH-----1--------,、

设函数比a仇Q,即要证明当。之成时，函数y="(©存在零点.

u(x)=l-(/na)2zax,可知光€(-8,0)时，u(x)>0；

1

=l-a^<0

xe(0,+8)时，U(x)单调递减，又“(0)=1>0,L(/na)2J,

故存在唯一的Xo，且M>o，使得〃(与)=°,HP1-(/na)2xoa0=0

由此可得“(X)在(-8々>)上单调递增，在(%，+8)上单调递减.

u(x)在X=/处取得极大值”(”0).因为a之e,，故》(Ina)>-1,

xQ%12lnlna12lnlna24-llnlna

u&)=a-xaIna+%。+--d-：----=――-+x+-....>lna—"°

Qlnalnax(/na)20Ina

所以0

1

x>---

下面证明存在实数r，使得Mt)<0.由(/)可得a、l+他口，当ma时，

12lnlna12lnlna

u(x)<(1+xlna)(l-xlnd}+xH-----1-------=-(Ind)A9xl94-x+1H------1-------

有Inalnalnalna,所以存在实数/,

1

使得iz(t)<0,因此，当aNe，时，存在X[£(_8,+8),使得“(与)=0

1

所以，当aNee时，存在直线/,使/是曲线y=/(x)的切线，也是曲线y=g(x)的切线.

点睛：导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，所

以在历届高考中，对导数的应用的考查都非常突出，本专题在高考中的命题方向及命题角度从高

考来看，对导数的应用的考查主要从以下儿个角度进行：(1)考查导数的儿何意义，往往与解析儿何、

微积分相联系.(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数.(3)利用导数

求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题.(4)考查数形结合思想的应用.

5.【2018年理北京卷】设函数/'(x)=[ax2-(4a+l)x+4a+3]e*.

(I)若曲线y=/(x)在点(1,f(D)处的切线与%轴平行，求

(II)若/'(x)在42处取得极小值，求a的取值范围.

1

【答案】(1)a的值为1(2)a的取值范围是(万，+oo)

【解析】分析：a)先求导数，再根据r(i)=。得小(2)先求导数的零点：；，2；再分类讨论，根据是否

满足/(%)在m2处取得极小值，进行取舍，最后可得a的取值范围.

详解：解：(】)g)^/(x)-[axJ-(4a+l)x+4a+3]e\

所以/'(x)■[lax-(4a-l)]e*-[av;-(4a-l)x*4a*3]L(x€i?)■[at2-(2a-l)x-2]e*.

八l)-(lY)e.由题设知.广(1)-0,即(1Y)Z,解得“I.

此时41)=300.所以a的值为1.

(II)由(I)得/'(x)=Ear2-(2t7+l)x+2]e'=(ar-l)(x-2)ev.

11

若a>5,则当xG(a,2)时，/(x)<0；当XG(2,+8)时，/(x)>0.所以/(x)<0在42处取得极小值.

11

若心2,则当xG(0,2)时，x-2<0,ar-l<2r-l<0,所以r(x)>0.所以2不是/(x)的极小值点.

1

综上可知，a的取值范围是(2,+oo).

点睛：利用导数的几何意义解题，主要是利用导数、切点坐标、切线斜率之间的关系来进行转化.以

平行、垂直直线斜率间的关系为载体求参数的值，则要求掌握平行、垂直与斜率之间的关系，进而

和导数联系起来求解.

2017年高考全景屐帚

1.[2017山东，理20】已知函数/(x)=％2+2cosx,g(x)=e*(cosx-sinx+2x-2)，其中e=2.71828

是自然对数的底数.

(I)求曲线y=在点(肛〃万))处的切线方程;

(H)令〃(x)=g(x)-4(x)(〃eR)，讨论〃(力的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值.

【答案】(I)y=2TVx-7i2-2.

(II)综上所述：当时，/2(X)在(F,0)上单调递减，在(0,+oo)上单调递增，

函数有极小值，极小值是〃(0)=-2。-1；

当0<a<1时，函数/z(x)在(-co,In和(O,lna)和(0,+oo)上单调递增,在(ln〃,0)上单调递减,函数

可力有极大值，也有极小值，

极大值是/z(lna)=一硝/a-21na+sin(lna)+cos(lna)+2]

极小值是/i(0)=—2ci—1；

当a=l时，函数人("在(-oo,y)上单调递增，无极值：

当a>l时,函数〃(x)在(-oo,0)和(ina,+oo)上单调递增,

在(0,Ina)上单调递减,函数网x)有极大值，也有极小值,

极大值是妆0)=-2〃-1；

极小值是/z(lna)=-々[in?a-21na+sin(ina)+cos(ina)+2].

【解析】试题分析：(I)求导数得斜率/'(*)=方，由点斜式写出直线方程.

(II)写出函数%(x)=/(cosx-sinx+2x-2)-df(x2+2cosx),

求导数得到力'(力=23-a)(x-sinx),由于/的正负与。的取值有关，故可令优(x)=x-sinx,通过

应用导数研究加(X)在R上的单调性，明确其正负.然后分以下情况讨论力(x)极值情况：(1)当〃40时。)当

4>0时.

试题解析：(I)由题意-:-2又/'(%)=2x-2sinx,所以)=2%,

因此曲线y=在点(肛/(%))处的切线方程为y—(/—2)=2乃(x—九)，

即y=27TX-7T2-2.

(II)由题意得h(x)=ev(cosx-sinx+2x-2)-6i(x2+2cosx),

因为〃'(x)=ex(cosx-sinx+2x-2)+ex(-sinx-cosx+2)-a(2工一2sinx)

=2ex(x-sinx)-2tz(x-sinx)=2("-a)(x-sinx),

令制x)=x-sinx则加(x)=1-cosx之0所以〃心。在R上单调递增.因为加(0)=0,

所以当x>0时，加(x)>0,当工<0时，7?7(X)<0

⑴当a<0时;优-a>0当x<0时，/zr(x)<0,人(力单调递减，当%>0时，〃(x)>0,6(x)单调

递增，

所以当工=0时取得极小值，极小值是例0)=-2加1；

(2)当a>0时，〃(x)=2(e"-*")(x-sinx)由“(x)=0得xi=In,x2=0

①当0<a<1时，Intz<0,当xe(-oo,Ina)时,ex-^na<0,/zr(x)>0,/?(x)单调递增；

当xw(lna,O)时，-e'na>O,〃'(x)vO,A(x)单调递减;

当X£(0,+oo)时，ex-e}na>0,//(x)>0,〃(x)单调递增.所以当x=In〃时力(尤)取得极大值.

极大值为=-Q[ln?a-21na+sin(lna)+cos(lna)+2],

当x=0时〃(x)取到极小值，极小值是/i(0)=—2a—1；②当a=1时，lna=O,

所以当X£(fo,+co)时，///(%)>0,函数力(冗)在(-00,+oo)上单调递增，无极值；

③当a>1时，Ina>。所以当xw(fo,0)时，ex-e]na<0,〃'(x)>0,〃(x)单调递增；

当xw(O,lna)时，ex-eina<0,<0,〃(x)单调递减；

当xw(lna,+oo)时，ex-elna>0,“(x)>0,〃(x)单调递增：

所以当x=0时〃(x)取得极大值，极大值是力(0)=-勿-1：

当x=Ina时/i(x)取得极小值.

极小值是=-Q[ln?a-21na+sin(lna)+cos(lna)+2].

综上所述：当〃<0时，耳力在(-oo,0)匕单调递减，在(0,也)上单调递增，

函数从力有极小值,极小值是〃(0)=-2〃-1；

当Ovavl时,函数Mx)在(-8,Ina)和(0,Ina)和(0,+oo)匕单调递增,在(lna,O)匕单调递减，函数

〃(力有极大值，也有极小值,

极大值是/z（lno）=-fl^ln2a-21na+sin（lna）+cos（lna）+2^|

极小值是/?（0）=-2"1；当”=1时，函数旗力在（-co,W）上单调递增，无极值；

当a>1时,函数/i（x）在（-8,0）和（ina,+oo）上单调递增,

在（0,In.）上单调递减，函数网》）有极大值，也有极小值，

极大值是/?（£））=-2a-1；极小值是〃（lna）=-a[ln2a_2Ina+sin（lna）+cos（lna）+2].

【考点】1.导数的几何意义2应用导数研究函数的单调性、极值.3.分类讨论思想.

【名师点睛】1.函数〃x）在点出处的导数/（X。）的几何意义是曲线y=f（x）在点尸（项，兆）处的切线的斜

率.相应地，切线方程为7-%=/'（沏）（0沏）.注意：求曲线切线时，要分清在点尸处的切线与过点尸

的切线的不同.

2.本题主要考查导数的几何意义、应用导数研究函数的单调性与极值、分类讨论思想.本题覆盖面广，

对考生计算能力要求较高，是一道难题.解答本题，准确求导数是基础，恰当分类讨论是关键，易错

点是分类讨论不全面、不彻底、不恰当，或因复杂式子变形能力差，而错漏百出.本题能较好的考查

考生的逻辑思维能力、基本计算能力、分类讨论思想等.

2.12017北京,理19】已知函数/'（x）=e'cosx-x.

（I）求曲线>=/（x）在点（0,7（0））处的切线方程；

（II）求函数/（X）在区间[0,万]上的最大值和最小值.

TT

【答案】（I）y=1；（n）最大值1；最小值—.

2

【解析】

试题分析：(I)根据导数的几何意义，求斜率再代入切线方程公式y-/(o)=/'(o)(x-o)；(H)设

〃(x)=/(x),求V(x),根据l(x)<0确定函数Mx)的单调性，根据单调减求函数的最大值%(0)=0,

可以知道Mx)=7'(x)WO恒成立，所以函数“X)是单调递减函数，根据单调性求最值

试题解析：(I)因为/(x)=eXcosx-x,所以/'(x)=eX(cosx-sinx)-lJ'(0)=0.

又因为/(0)=1,所以曲线y=/(x)在点(0,f(0))处的切线方程为y=i

(II)设〃(x)=ev(cosx-sin幻一1,则/f(x)=ex(cosx-sinx-sinx-cosx)=-2exsinx.

TT

当兀£(0,一)时，"(x)<0,

2

TT

所以我(X)在区间［0,—］上单调递减.

2

TT

所以对任意Xe(0,-］有h(x)<h(0)=0,即以(x)<0.

TT

所以函数/(X)在区间［0,万］上单调递减.

因此/(x)在区间［0申上的最大值为/(0)=1,最小值为吗)=-1.

【考点】1.导数的几何意义；2.利用导数求函数的最值.

【名师点睛】这道导数题并不难，比一般意义上的压轴题要简单很多，第二问比较有特点是需要求

二阶导数，因为/'(力不能判断函数的单调性，所以需要再求一次导数，设&(x)=r(x)，再求

h'(x),一般这时就可求得函数”(x)的零点，或是"(x)恒成立，这样就能知道函数人(力的单调性，

根据单调性求最值，从而判断y=/(x)的单调性，求得最值.

2016年高考全曷屐帚

1.12016高考山东理数】若函数y=/(x)的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互

相垂直，则称y=/(x)具有T性质.下列函数中具有T性质的是()

(A)y=sinx(B)y=lnx(C)y=e'(D)y=d

【答案】A

【解析】

试题分析：由函数的图象在两点处的切线互相垂直可知，存在两点处的切线斜率的积，即导函数值

的乘积为负

当丁=$[!1%时，y'=cosx,有cosO-cos)=一1,所以在函数y=sinx图象存在两点x=0,x=%

使条件成立，故A正确；函数卜=心%,旷=/,卜=》3的导数值均非负，不符合题意，故选A.

考点：1.导数的计算；2.导数的几何意义.

【名师点睛】本题主要考查导数的计算、导数的几何意义及两直线的位置关系，本题给出常见的三

角函数、指数函数、对数函数、幕函数，突出了高考命题注重基础的原则.解答本题，关键在于将直

线的位置关系与直线的斜率、切点处的导数值相联系，使问题加以转化，利用特殊化思想解题，降

低难度.本题能较好的考查考生分析问题解决问题的能力、基本计算能力及转化与化归思想的应用等.

2.【2016年高考四川理数】设直线小/2分别是函数於)={图象上点P，P2处的

Inx,x>1,

切线，人与/2垂直相交于点P，且i6分别与y轴相交于点A,B,则的面积的取值范围是()

(A)(0,1)(B)(0,2)(C)(0,+8)(D)(1,+8)

【答案】A

【解析】

试题分析：设［(玉，lnxj，6(w，-ln£)(不妨设%>1,0<当<1),则由导数的几何意义易得

切线/,,/2的斜率分别为k,=-,k2=--.由已知得W=-1,玉/=l,：.x2=—.:.切线I1的

方程分别为y—In%=」~(x—xj,切线乙的方程为y+ln%2=—'(x—z)，即

X\X2

(1、

y-\nxl=-x1x---.分别令x=0得A(0,-1+lnxJ,3(0,1+lnxj.乂《与"的交点为

\x\)

「〔高'1n玉+吕］'%>1，,5“扉=3|力一%>卜/=高<&=1，

y1IA|1"rX|y4111-Aj

.,.0<5^8<1.故选A.

考点：1.导数的几何意义；2.两直线垂直关系；3.直线方程的应用；4.三角形面积取值范围.

【名师点睛】本题首先考查导数的几何意义，其次考查最值问题，解题时可设出切点坐标，利用切

线垂直求出这两点的关系，同时得出切线方程，从而得点A,8坐标，由两直线相交得出P点坐标，

从而求得面积，题中把面积用须表示后，可得它的取值范围.解决本题可以是根据题意按部就班一

步一步解得结论.这也是我们解决问题的一种基本方法，朴实而基础，简单而实用.

3.12016高考新课标3理数圮知/(x)为偶函数，当x<0时，/(x)=In(-x)+3%,则曲线y=f(x)

在点(1,-3)处的切线方程是.

【答案】y=-2x-l

【解析】

试题分析：当x>0时，-x<0,!UiJ/(-x)=lnx-3x.又因为/(x)为偶函数，所以

/(x)=/(-x)=lnx-3x,所以/'(x)=L—3,则切线斜率为了'(I)=一2,所以切线方程为

x

y+3=-2(x-Y),gpy=-2x-l.

考点：1、函数的奇偶性与解析式；2、导数的几何意义.

【知识拓展】本题题型可归纳为“己知当》>0时，函数y=f(x)，则当x<0时，求函数的解析式有

如下结论：若函数/(X)为偶函数，则当x<0时，函数的解析式为y=—/(x)；若/(X)为奇函数，

则函数的解析式为y=-f(-x).

4.【2016年高考北京理数】

设函数/(x)=xe~+加，曲线y=f(x)在点(2"(2))处的切线方程为y=(e-I)x+4,

(1)求a,b的值；

(2)求/(x)的单调区间.

【答案】(1)a=2,b=e：(2)/(x)的单调递增区间为(fo,+8)

【解析】

试题分析：(1)根据题意求出了'(X)，根据/(2)=2e+2,八2)="1,求a,b的值；

(2)由题意知判断了'(x),即判断g(x)=l—的单调性，知g(x)>0,即/'(x)>0,由此

求得/(%)的单调区间.

试题解析:⑴因为/(x)=xea-z+bx,所以/'(x)=(1-力尸+b

’2尸+26=2e+2.

依题设,

猥M廊-e3'2+b=e-l,

解得q=2,6=c；(2)由(【)知f(x)=xe'r+ex

由/'(xWc’rQ-x+产)即e：r>0知，尸(力与1-X+/T同号

令g(x)=l-x+ci,则g'(x)=-l+eT

所以，当XG(-00,1)时，g'(x)<0,g(x)在区间(一8,1)上单调递减；

当xe(l,+8)时，g'(x)>0,g(x)在区间(l,+oo)上单调递增.

故g⑴=1是g(X)在区间(一00,+8)上的最小值，

从而g(x)>0,XG(-00,4-00).

综上可知，/'(X)>0,XG(-00,+00),故/(X)的单调递增区间为(一00,+00).

考点：导数的应用.

【名师点睛】用导数判断函数的单调性时，首先应确定函数的定义域，然后在函数的定义域内，通

过讨论导数的符号，来判断函数的单调区间.在对函数划分单调区间时，除了必须确定使导数等于0

的点外，还要注意定义区间内的间断点.

专题07导数的应用

考纲解读明方向

预测热

考点内容解读要求常考题型

度

1.导数与函数的了解函数单调性和导数的关系；能利用导数

选择题

研究函数的单调性，会求函数的单调区间理解★★★

解答题

单调性（其中多项式函数一般不超过三次）

了解函数在某点取得极值的必要条件和充

2.导数与函数的极分条件;会用导数求函数的极大值、极小值

（其中多项式函数一般不超过三次）；会求闭掌握解答题★★★

（最）值区间上函数的最大值、最小值（其中多项式

函数一般不超过三次）

3.生活中的优化问

会利用导数解决某些实际问题掌握选择题

题

分析解读

L会利用导数研究函数的单调性，掌握求函数单调区间的方法.

2.掌握求函数极值与最值的方法，解决利润最大、用料最省、效率最高等实际生产、生活中的优化问

题.

3.利用导数求函数极值与最值、结合单调性与最值求参数范围、证明不等式是高考热点.分值为12~17

分,属于高档题.

命题探究练犷展

1求导,分类讨论.即可求顺动

的单调性

2.分类讨论，根据函数的单调性

及两数零点的判断，分别求得函

数的零点个数，即可求得a的取

值范围

国易错鲁示｝

错因分析：

1.第一问求导错误,主要是学生

不知道要用复合函数的求导法则

来求导

2.第•问求导后不会因式分解或

因式分解错误

3.笫一向讨论单调性时分类错误

或分类不全

4.第一问中没布•找到两个点使此

函数值大于0,或者没有说明

£一8时，代卜+8,*T8时，

人力T8

5.未会利用函数的思想处理不等

式问题，在第二问中,列出

/（-Ina）=1---+lna<0Jn,不会解

_一.-八a

不等式

2018年高考全易屐示

1.【2018年理数天津卷】已知函数f（x）=a*,g（x）=l。。/,其中a>i.

（I）求函数Mx）=fO）-xbia的单调区间；

（ID若曲线y=fO）在点（//（与））处的切线与曲线y=gO）在点（々区（为2））处的切线平行，证明

2lnlna

+以々）=一一；—

Ina.

1

（in）证明当aNe，时，存在直线/,使/是曲线y=f（x）的切线，也是曲线y=g（x）的切线.

【答案】（I）单调递减区间（-8,0）,单调递增区间为（。,+8）；（H）证明见解析；（W）证明见解析.

【解析】分析：(7)由题意可得，(灯=户］初一ma.令汇(x)=0,解得x-0.据此可得函数h(x)的单调递减

区间(-8,0),单调递增区间为(0,+8).

(〃)曲线y=f在点(％，f(xJ处的切线斜率为户，bia曲线y=g(x)在点NMM)处的切线斜率为三

原问题等价于，Oa)2=1.两边取对数可得％+g(h)=一等.

*1X1

(///)由题意可得两条切线方程分别为/iy-a=a/na-Cx-Xj)^.

则原问题等价于当a?ee时，存在/€(-8,+8),七€(。,+8),使得人和石重合.转化为当aNe，时,

xyxy12lnlna

a一占QIna+篇H----1-------=0

关于的方程1"aIna存在实数解，构造函数，令

1llnlna

u(x)=a-xaIna+xH-----1------、八

lnalna,结合函数的性质可知存在唯一的即，且Xo>O,使得然(勺)=°,

据此可证得存在实数/,使得“(。<。，则题中的结论成立.

详解：(/)由己知，h(x)=ax-xlna,有h'(x)=/7na-仇a.

令M#)=o,解得户o.

由a>l,可知当x变化时，hM,Mx)的变化情况如下表:

X(-8,0)0(0,+oo)

"(X)-0+

/l(x)极小值7

所以函数Mx)的单调递减区间(-8,0),单调递增区间为(0,+8).

<//)由/'(灯=谟2砧，可得曲线y=f(x)在点(%,/(%)处的切线斜率为炉，加&

由g'(x)=京，可得曲线y=g。)在点(4，。(七)较b的切线斜率为拿

因为这两条切线平行，故有a*'尻a=品，即=1.

5

两边取以a为底的对数，得1。外孙+%+2sg2lna=0,所以%+p(x2)=-啜

(///)曲线y=/(x)在点(工〕QX]1)处的切线Ay_QX]1=QX]

1

y-logx------(x-々)

曲线y=g(x)在点(々/。。M2)处的切线Ga2x2lna

1

要证明当aze，时，存在直线/,使/是曲线y=f(x)的切线，也是曲线y=g(x)的切线，

1

只需证明当aNe，时，存在%1W(-8,+8),々W(0，+8),使得"和‘2重合.

a1Ina=---①

x2lna

1qq1o

"a-x.aIna=logx---(2)

即只需证明当a2小时，方程组I"a2Ina有解，

x=--------x.X1llnlna八

L7A

勺八、？a-占QIna+占+---1----=0

由①得a1(ma)l代入②，得InaIna.③

1

因此，只需证明当aNee时，关于芍的方程③存在实数解.

12lnlna1

u(x)=a-xaIna+xH----H--------/、

设函数》QmQ,即要证明当QNe时，函数'="(%)存在零点.

u(x)=l-(/na)2zax,可知％€(-8,0)时，u(x)>0；

1

=l-a^<0

xe(0,+8)时，U(x)单调递减，又“(0)=1>0,L(/na)2J,

故存在唯一的即，且M>0,使得〃(％)=°,HP1-(/na)2xoa0=0

由此可得“(对在(-8