三角函数(一轮复习教案)2

第三章三角函数1

第一节角的概念与任意角的三角函数..........................................3

第二节同角三角函数的基本关系式与诱导公式.................................8

第三节三角函数的图象与性质................................................13

第四节函数），=Asin（sxIw）的图象及二角函数模型的应用.......................19

第五节和角公式............................................................30

第六节倍角公式与半角公式.................................................36

第七节正弦定理和余弦定理.................................................42

第八节正弦定理、余弦定理的应用举例.......................................48

第三章三角函数

知识网络：

［解三角形＞------------（三角函蛇T，位图与三角函数缄।——（同角三角函数关系式）

箧

茶任意角和孤度制及

弦

导

导

弦任意角的三角函数

两角和（差）的正弦、

定

公

定

公余弦和II沏公式，

区

（三角函数的图象和性质）串

（函数y=48in（3H（p）的图象）隹角函数的积化和菜与和片化积）

（应用举例）

学习重点：

三角函言是高考命题的重点，分值约占10%〜15%,一般是一个小题和一个大题，以中

低档题为主.

1.主要考查三角函数的图象与性质，简单的三角恒等变换，正、余弦定理及其应用，且

题目常考常新.

2.客观题L要涉及三角函数的求值，函数的图象及性质，解答题土要以三角变换为工具，综

合考查函数的图象与性质；或以正、余弦定理为工具，结合三角变换考查解三角形的有关知

识.

3.高考命题中，本章常与平面向晟相结合，既可以考查立面向显的运算，又可以考查三角函

数式的化简和三角函数的性质，符合高考命题“要在知识点的交汇处命题”的要求.

学法指导.

1.立足基础，着眼于提高.立足课本，牢固掌握三角函数的概念、图象和性质；弄清每个

公式成立的条件，公式间的内在联系及公式的变形、逆用等.要在灵、活、巧上下功夫，切

不可死记硬背.

2.突出数学思想方法.应深刻理解数与形的内在联系，理解众多三角公式的应用无一

不休观等价转化思想.在解决三角函数的问题时仔细体会拆角、切化弦、三角函数归一的方

法技能.

3.抓住关键，三角函数的化简、求值中，要熟练掌握三角变换公式的应用，其中角的变

换是解题的关键，注意已知与待求中角的关系，力争整体处理.

4.注意三角函数与向量等内容的交汇渗透，这也是命题的热点之一.

第一节角的概念与任意角的三角函数

学习目标：

1.了解任意角的概念，了解弧度制的概念.

2.能进行弧度与角度的互化.

3.理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义

考点梳理：

1.角的有关概念

(1)从运动的角度看，侑可分为正角、负角和零角.

(2)从终边位置来看，可分为象限角与轴线角.

(3)若B与a是终边相同的角，则B用a表示为B=2k“+a(kEZ).

2.弧度与角度的互化

(1)1弧度的角

长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角.

(2)角«的弧度数

在半径为r的圆中，弧长为1的弧所对圆心角为arad,则a=.

(3)角度与弧度的换算①〃。=〃需产(1；②arad=(当马。.

(4)弧长、扇形面积的公式

设扇形的弧长为1,圆心角大小为a(rad),半径为r,则1=rQ,扇形的面积为S=lr=r2a.

3.任意角的三角函数

(1)定义：设a是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x,y),那么sina=y,cosa

=x,tana=.

(2)三角函数在各象限的符号

一全正，二正弦，三正切，四余弦.

4.单位圆与三角函数线

(I)单位圆：半径为I的圆叫做单位圆.

(2)三角函数线.

(3)几何表示：三角函数线可以看作是三角函数的几何表示，正弦线的起点都在x轴上，余弦

线的起点都是原点，正切线的起点都是(1,0).

思考.

1.“角a为锐角”是“角a为第一象限角”的什么条件？

【提示】充分不必要条件.

2.终边在直线y=x上的角的正弦值相等吗？

【提示】当角的终边一个在第一象限，一个在第三象限时，正弦值不相等.

学情自测：

1.已知锐角a终边上一点A的坐标是(2sin,2cos),则a弧度数是()

A.2B.C.D.

【解析】点A的坐标为(，1).

Asina==,又a为锐角，a=.

【答案】C

2.(2012•江西高考)二列函数中，与函数y=定义域相同的函数为()

A.y=B.y=

C.y=xexD.y=

【解析】函数y=的定义域为{x|x#:0},选项A中由sinx/Onx丰kn,k£Z,故A不

对；选项B中x>0,故B不对；选项C中.x£R,故C不对；选项D中由正弦函数及分式型

函数的定义域确定方法可知定义域为{x|xH0},故选D.

【答案】D

3.若sina<0且tana>0,则a是()

A.笫一象限角B.第二象限角

C.第三象限角D.第四象限角

【解析】由sinaVO,得a在第三、四象限或y轴非正半轴上，又tana>0,/.a

在第三象限.

【答案】C

4.弧长为3n,圆心角为135°的扇形半径为,面积为.

【解析】•「1=3n,a=135°=,

Ar==4,S=lr=X3nX4=6n.

【答案】46兀

5.已知角0的顶点为坐标原点，始边为x轴的正半轴.若P(4,y)是角6终边上一点，且

sin0=—,则y=_______.

【解析】‘由三角函数的定义,sine=,

又sin8=-V0,・・・丫<0且=一，

解之得)，=—8.

【答案】-8

典例探究：

例1(角的集合表示)

⑴写出终边在直线>=小》上的角的集合；

(2)已知a是第三象限角，求所在的象限.

【思路】(1)角的终边是射线，应分两种情况求解.

(2)把a写成集合的形式，从而的集合形式也确定.

【解答】(1)当角的终边在第一象限时，角的集合为{a|a=2kn+,k£Z},当角的终

边在第三象限时，角的集合为{a|a=2kn+n,k《Z},故所求角的集合为{QIa=2kn+,

kGZ}U{a|a=2kn+n,k£Z}={a|a=kn4-,kGZ}.

(2)V2kn+n<a<2kn+n(kez),

/.kn+<<kn+n(kGZ).

当k=2n(n£Z)时，2nn+VV2nn+n,是第二象限角，

当k=2n+l(neZ)Bt,2nn+<<2nn+n,是第四象限角，

综上知，当a是第三象限角时，是第二或第四象限角，

变式训练1：

若角e的终边与角的终边相同，则在［0,2n)内终边与角的终边相同的角为.

【解析】ve=+2kn(kez),.'.=+kn(kez),

当k=0.1.2时，

【答案】,,

例2(弧度制的应用)

已知扇形的圆心角是a,半径为R,弧长为1.

⑴若a=60°,R=10cm,求扇形的弧长I.

(2)若扇形的周氏为20cm,当扇形的圆心角a为多少弧度时，这个扇形的面积最大？

(3)若a=,R=2cm,求扇形的弧所在的弓形的面积.

【思路】(1)可直接用弧长公式,但要注意用弧度制；

(2)可用瓠长或半径表示出扇形面积，然后确定其最大值时的半径和强长，进而求出圆

心角a;

(3)利用S弓=5扇一SZX,这样就需要求扇形的面积和三角形的面积.

【解答】(l)l=10X=(cm).

(2)由已知得：1+2R=2(),

所以S=lR=(20-2R)R=10R-R2=-(R-5)2+25,

所以R=5时，S取得最大值25,此时1=10,a=2rad.

(3)设弓形面积为S弓.

由题知l=cm,S弓=S扇一§△=><X2—X22Xsin=(-)(cm2)

变式训练2:

已知半径为10的圆O中，弦AB的长为10,

(1)求弦A8所对的圆心角a的大小；

(2)求a所在的扇形弧长I及弧所在的弓形的面积S.

【解】(1)在AAOB中,AB=OA=OB=1(),

AAA0B为等边三角形.

因此弦所对的圆心角a=?

(2)由扇形的孤长与扇形面积公式，得

1=a♦R=XIO=n,S扇形=R・1=a•R2=.

又S^AOH=-^OAOBSV(\三=25小.

:.弓形的面积S=S.一SzMO8=50(W—乎).

例3(三角函数的定义)

(1)已知角a的终边经过点P(m,—3),且cosa=—,则m等于()

A.-B.C.-4D.4

(2)已知角a的终边在直线3x+4y=0上，求sina,cosa,tana的值.

【思路】(1)求出点P到原点O的距离.根据三角函数的定义求解.

(2)在直线上设一点P(4t,-3t),求出点P到原点0的距离，根据三角函数的定义求解,

由于点P可在不同的象限内，所以需分类讨论.

【解答】()*SP到原点O距离|OP|=,

cosa==—,

.*.m=—4.

【答案】C

(2)在直线3x+4y=0上任取一点P(4t,—3。(#0),

则x=4t,y=-3t,

/.r=|P0|===5|t|,

当t>0时,r=5t,

sina===—,cosa===,

y~3t3

lana=x=~="4:

当tVO时，r=-5t,sina===,

cosa===—,tana===—.

综上可知，当t>0时，sina=—,cosa=,tana=—.

当tVO时，sina=,cosa=—,tana=—.

变式训练3:

设90°<a<180°,角a的终边上一点为P(x,),且cosa=x,求4sina—3tana的

值.

【解】'.*r=,.*.cosa=,

从而x=,解得*=0或*=±.

V900<a<180°,

.,.xV0,因此x=-.则r=2,

Asina==,tana==—.

故4sina—3tana=，T6+，T5.

小结：

一条规律

三角函数值在各象限的符号规律概括为：一全正、二正弦、三正切、四余弦.

两个技巧

1.在利用三角画数定义时，点P可取终边上任一点，如有可能则取终边与单位圆的交

点.

2.利用单位圆和三角函数线是解简单三角不等式的常用技巧.

1.第一象限角、锐角、小于90°的角是三个不同的概念，前者是象限角，后两者是区

间角.

2.角度制与弧度制可利用180°=nrad进行互化，在同一个式子中，采用的度量制度必须

一致，不可混用.

3.注意熟记0°〜360°间特殊角的弧度表示，以方便解题.

课后作业（十六）角的概念与任意角的三角函数

一、选择题

图3—1一2

1.（2013个波模拟）如图3—1-2,在直角坐标系xOy中，射线OP交单位圆。于点P,若

ZAOP=0,则点P的坐标是（）

A.(cos0,sin0)

B.(—cos0,sin0)

C.(sin0,cos0)

D.（—sin0,cos0）

【解析】设P（x,y）,由二角函数定义知sin6=y,cos6=x，故点P的坐标为（cos0,

sin0）.

【答案】A

2.已知2弧度的圆心角所对的弦长为2,则这个圆心角所对的弧长是（）

A.2B.sin2C.D.2sin1

【解析】由题设.圆弧的半径r=,

2

・•・圆心角所对的弧长/=2-=而7

【答案】C

3.（2013•海淀模拟）若a=k-360°4-0,=m•360°一（）（k,m£Z）,则角a与B的

终边的位置关系是（）

A.重合B.关于原点对称

C.关于x轴对称D.关于y轴对称

【解析】由题意知角a与错8的终边相同，角B与角-8的终边相同，又角8与角一

8的终边关于x轴对称，故选C.

【答案】C

4.若角a的终边在直线y=-2x上，且sina>0,则cosa和⑶]a的值分别为（）

A.,—2B.—,一

C.—,~2D.一,—2

【解析】由题意知、角Q的终边在第二象限，在角a的终边上取点P（—1,2）,则r=,

从而co*a==—,tana==—2,故选D.

【答案】D

5.（2013•昆明模拟）设Q是第二象限角，P（x,4）为其终边上的一点，且cosa=x,则tan

a=（）

A.B.C.-D.-

【解析】由题意知xV0,r=,「.cosa==x,

.*.x2=9,.*.x=—3,tana=—.

【答案】D

6.己知点P（sin,cos冗）在角0的终边上，且0£[02皿），则（）的值为（）

，兀-3兀「5冗-7兀

A-4BTC彳D彳

【解析】由已知得P(,-),/.tane=-1且e是第四象限角.e=.

【答案】D

二、填空题

7.(2013•潍坊模拟)若角120。的终边上有一点(一4,a),则a的值是_______.

【解析】由题意知一=tan1200,

/.a=4.

【答案】4<3

8.已知角a的终边落在直线y=-3x(xV0)上，则一=.

【解析】因为角a的终边落在直线y=-3x(xV0)上，

所以南a是第二象限角,因此sina>0,cosaVO.

,|sina\|cosa\sina-cosa..,

古攵=~III=2.

sinacosasinacosa

【答案】2

9.点P从(1,0)出发，沿单位圆x2+y2=l逆时针方向运动弧长到达Q点，则Q点的坐

标为.

【解析】由题意知点Q是角的终边与单位圆的交点，设Q(x,y),则y=sin=,x=cos

=一，故Q(l).

【答案】(一,)

三、解答题

10.已知角6的终边上有一点P(x,—l)(x#=0),且tan6=-x,求sin6+cos8的值.

【解】的终边过点(x,一l)(x手0),

tan0=—,又tan8=­x,

Ax2=l,Ax=±1.

当x=l时，sin9=—,cos6=,

因此sin0+cos9=0;

当x=-1时,sin6=-,cos6=­,

因此sin6/4-cos6=-y[2.

11.已知扇形OAB的圆心角a为120°,半径长为6,

(1)求方的长；

⑵求所在弓形的面积.

【解】(1)'*'a=120°=,r=6,•.•的长1=X6=4n.

(2)・；S扇形OAB=lr=X4nX6=12n,

SAABO=r2・sin=X62X=9,

•'•S弓套=SOAB~S/\ABO=1271—9^/3.

12.角a终边上的点P与A(a,2a)关于x轴对称(a>0),角B终边上的点Q与A关于直线

y=x对称，求sina,cosa+sinB'cosB+tana,tanB的值.

【解】由题意得，点P的坐标为(a,-2a),

点Q的坐标为(2a,a).

所以，sina==—,

cosa---,

tana==—2

sin0==,

cos3==,

tanB==,

故有sina-cosa+sin必cos/+tanatan

=U+宝旨(-2尾=-1.

第二节同角三角函数的基本关系式与诱导公式

学习目标：

1.理解同角三角函数的基本关系式:sin2x+cos2x=1,=tanx.

2.能利用单位圆中的三角函数线推导出土a,冗士a的正弦、余弦、正切的诱导公式.

考点梳理：

1.同角三角函数的基本关系式

⑴平方关系：sin2a+cos2a=).

⑵商

数关

系：tan

a=

(a/

―-三四五

+kn,

kGZ).

2.诱

导公式

组数

1兀

角a+2E(kWZ)~aa+(2k+l)MZ£Z)—J

正弦sina~~sin_a一sin_acosocosa

余弦cosacosa一cos_a一sin_asina

正切tana-tan_atan_a

口诀函4包名不变符号看象限

思考：

1.有人说sin(kn—a)=sin(n—a)=sina(k£Z).你认为正确吗？

【提示】不正确.当k=2n(n£Z)时,sin(kn—Q)=sin(2nn—a)=-sina；当k=

2n+l(nWZ)时,sin(kn-a)=sin(2nn+n-a)=sin(n-a)=sina.

2.sin(-n-a)如何使用诱导公式变形？

【提示】sin(—a)=—sin(n+«)=sina.

学情自测：

1.已知cos(a—JI)=一,且a是第四象限角，则Sila=()

A.-B.C.D.土

【解析】*.*cos(a—n)=cos(n—a)=—cosa=—,

cosa=,

义a是第四象限角，

/.sina<0,则sira.

【答案】A

2.已知sin(n+0)=-cos(2n-0),|0|<,则0等于()

A.—B.—C.D.

【解析】由sin(7t+J)=一于cos(2it-J)得

-sin0=-cos0,

/.tan0=,

又|6|V,J9=,故选D.

【答案】D

3.sin585°的值为()

A.—B.C.—D.

【解析】sin585°=sin(360o4-225o)=sin225o=sin(180o4-45°)=-sin45°=-^.

【答案】A

4.若cosa=一且a£(IT,),则tana=()

A.B.C.-D.-

【解析】'/COSa=一，且a£(n,),

/.sina=-=-=一,

sina4

••we蓊,

【答案】B

5.(2012•辽宁高考)已知sina—cosa=,aG(0,n),则sin2a=()

A.11B.—C.D.1

【解析】因为sina—cosa=，所以I—2sinacosa=2,

即sin2a=-1.

【答案】A

典例探究：

例1(同角三角函数关系式的应用)

(1)(2013•潍坊模拟)已知=5,则sin2a-sinacosa的值是()

A.B.-C.-2D.2

⑵(2013•银川模拟)已知二tana=2,则cosa=.

【思路】(D先根据已知条件求得tana,冉把所求式变为用tana表示的式子求解;

(2)切化弦，结合sin21+cos2a=1求解.

【解答】⑴由=5,得=5,即lana=2.

sin2a-sinacosalan%-【ana2

所以sin7^-sinacosa=⑺7+―‘2a=la/a+l=》

sinac

(anc〜1

(2)依题意得j8sa由此解得cos2a="

,sin2«+cos2a=1,

又a£(n,),因此cosa=—.

【答案】(1)A(2)一坐，

变式训练1：

(2012•大纲全国卷)已知a为第二象限角,sina=,则sin2a=()

A.—B.—C.D.

【解析】Ta为第二象限角且sina=,

cosa,

3424

/.sin2a=2sina-cosa=2X-X

【答案】A

例2(诱导公式的应用)

⑴已知tana=2,sina+cosaVO,则=.

(2)已知a为第三象限角，f(a)=,

①化简/(a)；

②若cos(a—)=,求f(a)的值.

【思路】(1)先利用诱导公式对原式进行化简,再根据tana=2,结合a的范围和同角

三角函数关系式求解；

(2)①直接利用诱导公式化简约分.②利用a在第三象限及同角三角函数关系的变形式得

f(a).

【解答】(1)原式==sina,

Vtana=2>0,工a为第一象限角或第三象限角.

又sina+cosaVO,Ja为患三象限角，

由lana==2,得sina=2cosa代入sin2a+cos2a=1,解得sina=—.

【答案】一手

〜siMagXos(、+a)・tan(La)(_.a),sina—tana)

(2)17(a)-tan(—。—兀)6卜(一“一兀)­(—tana)-sina~C0Sa'

②:cosla—)=,

—sina=,从而sina=—.

又a为第三象限角，；•cosa=—=—,

・7Aa)=¥.

变式训练2:

(1)(2013•烟台模拟)sin600°+tan240。的值等于()

A.—B.C.—D.+

(2)(2013•台州模拟)已知f(x)=asin(Jix+a)+bcos(冗x+B)+4(a,b,a,)为非零实数),

若f(2012)=5,则f(2013)=()

A.3B.5C.1D.不能确定

【解析】(l)sin6000+tan240°=sin(360°+240°)+tan(180°+60°)

=sin(180o4-60°)+tan600=-sin600+tan60。=一竽+小=彳.

(2y：fl2012)=〃sin(2012兀+a)+Aos(20I2n+fi)+4

=asina+bcos3+4=5,

/.asina+bcos3=1,

2O13)=asin(2O137r+a)+/?cos(2013兀+夕)+4

=­asina-bcos夕+4=-(asina+》cos夕)+4=-1+4=3.

【答案】(1)B(2)A

例3(sinaicosa与sinacosa的关系)

(2013•扬州模拟)已知一n<x<0,sinx+cosx=.

⑴求sinx—cosx的值；(2)求的值.

【思路】⑴利用平方关系，设法沟通sinx—cosx与sinx+cosx的关系；(2)先利用倍

角公式、商数关系式化为角x的弦函数，再设法将所求式于用已知表示出来.

【解答】(1)由sinx+cosx=,平方得sin2x+2sinxcosx+cos2x=,

24

整理得2sinACOSx=一毛.

49

*.*(sincosx)2=1-2sinxcos工=行.

义•・•一n<x<0,

/.sinx<0,又sinx+cosx>0,

/.cosx>0,sinx—cosx<0,

M故si•nx—cosx=­7y

sin2x+ZsiR2sinx(cosx+sinx)

⑵1—tanJ-jsinx

cosx

24n

2sinxcosMcosx+sinx)25524

cosx-sinx-7-175,

5

变式训练3:

已知一VxVO,sinx+cosx=.

(1)求sinx—cosx的值：

⑵求tanx的值.

【解】⑴由sinx+cosx=,

平方得sin2x+2sinxcosx+cos2x=,

即2sinxcosx=—,

,49

V(sinx-cosx)2=I_2sinxcos戈=行.

又：一VxVO,

/.sinx<0,cosx>0,sinx—cosx<0,

乂・7

故sinx-cosx=­5.

⑵由⑴得sinx—cosx=一,

故由，得sinx=—,cosx=,

—I3

sinx53

..tanx=~~~=~7~=-7.

cosx44

5

小结：

一个口诀

诱导公式的记忆口诀为：奇变偶不变，符号看象限.

两个防范

1.利用诱导公式进行化简求值时，要注意函数名称和符号的确定.

2.在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要注意判断三角函数值的符号.

三种方法

在求值与化简时，常用方法有：

(1)弦切互化法：主要利用公式tan(1=进行弦、切互化.

(2)和积转换法：利用(sin9±cos6)2=l±2sinOcos。的关系进行变形、转化.

(3)巧用“I”的变换：I=sin264-cos20=cos20(l+tan26)=tan等.

课后作业(十七)同角三角函数的基本关系式与诱导公式

一、选择题

1.(2013・郑州模拟)记cos(—80°)=k.那么tan100°=()

A.B.一

C.D.一

【解析】由cos(—80°)=k,得cos80°=k,

Asin800=,

Alan100°=lan(180°-80°)=-tan800=一七一.

K

【答案】B

2.(2013♦温州模拟)若cos(+0)=,且I0I〈，则tan0=()

A.B.C.D.

【解析】e.'cos(4-0)=..,.—sin8=.

即sin6=—,

VI6|<,，B=一,

tan6=tan(一鼻)=一小.

【答案】A

3.(2013•济南模拟)已知ae(—,0),sin(—a—)=则sin(—n—a)=()

A.B.C.-D.-

【解析】'.'sin(—c—)=—sin(4-a)=cosa=，且a£(一,()),

••.sina=—=—=—,

.•.sin(-7r-a)=-sin(7r+a)=sin«=-^.

【答案】D

4.(2013•保定模拟)已知tan。=2,则sin20+sin8cos0—2cos20=()

A.-B.C.-D.

【解析】sin%+sinOcosJ—2cos2。

sin?sin<9cos1一2cos汨

sin26>+cos2<9

_lan2^+lan8-2_4+2-2_4

一tan2^+1-4+1=5,

【答案】D

5.(2013•普宁模拟)若=2,则+的值为()

A.—B.C.D.一

【解析】,.*=2,.*.sin6=3cos6,

.sin〃cos〃_3182

,.cos'O十高百=»27cos2e=27cos2。

由得cos26=,

.sin〃cos。82()

••cos3〃+sin30=57・

【答案】C

6.若sina是5x2—7x-6=0的根，

3冗37r、

sin(-a—~^sin^a)tan-(27i-«)

cos(^—a)cos(^+a)sin(7c+a)

3545

--C-D-

A.5354

【解析】方程5x2-7x—6=0的两根为xl=—,x2=2,则sina=—

cosa(—cosa)tan2a1_5

原式=

sina(—sina)(—sina)sina~3"

【答案】B

二、填空题

7.已知sin(+a)=,则sin(—a)的值为

sin(竽-a)=sin[7t-€+a)]=sin€+a)=坐.

【解析】

近一

【答案】

2

8.(2013,青岛模拟)已知tana=2,则7sin2a+3cos2a=.

222

,r_9,、7sin«+3cosa7tan%+37X2+331

【斛析】7sin-«+3cos-«=sin2</+cos26z

【答案】y

9.已知sin(x+)=,贝I]sin(+x)+cos2(—x)=.

[解析]原式=—sin(^+x)+cos2(^+x)=—1+(I-£)=技

【答案】li

三、解答题

10.已知函数f(x)=.

(1)求函数y=/a)的定义域；

(2)设tana=—,求f(a)的值.

【解】(1汕cosx于0,得xH十kn,KRZ,

所以函数的定义域是{x|xW+kn,k£Z}.

(2)Vtana=—,

1—sin(a-芍)+cos(a+3)+tanTTC

：==

.八fia')=-----------------c-o--s--a-----------------

1-cosa-sina—I

cosa

—cos«—sina1

=-----—co―sa------=-1-tana=w3.

11.己知(an(a+n)=a.

求证：=.

【证明】由已知得

887t88

sin[7r+(a+亍兀)]+3cos[(«+-)-3n]-sin(a+,7r)-3cos(a+yn)

左边=gg=gg

sin[4n一(a+亍初一cos[2兀+(a+]7r)]-sin(6+,7t)—cos(a+]兀)

===右边，

所以原等式成立.

12.在AABC中，若sin(2n—A)=—sin(n—B),cosA=—cos(n—B),求aABC的三

个内角.

sinA=V5sinb,①

【解】由已知得，广广…

3cos4=q2cos8,②

①2+②2得2cos2A=1,

即cosA=拳或cosA=­2•

（1）当cosA=时，cosB=,

义A.B是三角形的内角，

/.A=,B=,

7

••C=n—(A+B)=]哽.t

⑵当cosA=一时,cosB=—.

又A.B是三角形的内角，

，A=n,B=n,不合题意.

综上知,A=,B=,C=n.

第三节三角函数的图象与性质

学习目标：

1.能画出y=sinx,y=cosx,y=tanx的图象，了解三角函数的周期性.

2.理解正弦函数、余弦函数在区间［0,2打上的性质（如单调性、最大值和最小值以及与x轴

的交点等），理解正切函数在区间（一，）内的单调性.

考点梳理：

1.周期函数和最小止周期

对于函数f(x),如果存在一个非零常数T,使得定义域内的每一个X值，都满足f(x+T)

=f(x),那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期.若在所有周期也

存在一个最小的正数，那么这个最小的正数叫做f(x)的最小正周期.

2.正弦函数、余

弦函数、正切函

y=sinxy=cosxy=lanx

数的图象和性质

函数

图象

{x|xW+kn,k£Z}

定义域RR

值域LL1ILI,11R

递增区间是［2k八一，

2k八十］(k£Z)；递增区间是[2k又一

递减区间是［2kn+,n,2kn](keZ)；

递增区间是(k"一,k

2kn+j(kGZ)递减区间是[2kIT,

单调性JI+)(kez)

递减区间是［2E+］2kJI4-n](kGZ)

递减区间是[2E,

2E+冷］伏£Z)2E+TI](KEZ)

最大值和最小值Jmax=1；ymin=-l)'max=l；无最大值

奇偶性奇函数偶函数奇函数

对(kn,O),k£Z(kn+,O),k£Z(,O),kGZ

对称中心

称

性刀£Z

对称轴x=k+,k£Zx=kJr,k无对称轴

最小正周期2兀2KIt

思考.

1.是否每一个周期函数都有最小正周期？

【提示】不一定.如常数函数f(x)=a,每一个非零数都是它的周期.

2.正弦函数和余弦函数的图象的对称轴及对称中心与函数图象的关键点是什么关系？

【提示】y=sinx与y=cosx的对称轴方程中的x都是它们取得最大值或最小值时相应的

x.对称中心的横坐标都是它们的零点.

学情自测：

1.函数y=tan3x的定义域为()

A.{x|xW五+3kn,kEZ}B.{x|xW+k五，kWZ)

C.{x|x=#-+kn,kGZ}D.{x|x于+,k£Z}

【解析】由3x/+kn,k£Z得x手+,k£Z,故选D.

【答案】D

2.函数£(乂)=28$支+)是()

A.最小正周期为2n的奇函数

B.最小正周期为2天的偶函数

C.最小正周期为2元的非奇非偶函数

D.最小正周期为n的偶函数

【解析】f(x)=2cos(x+n)=2cos(x+)=-2sinx,故f(x)是最小正周期为2n的奇函

数.

【答案】A

3.(2012•福建高考)函数f(x)=sin(x-)的图象的一条对称轴是()

A.x=B.x=

C.x=—D.x=-

【解析】法一..・正弦函数图象的对称轴过图象的最高点或最低点，

故令x-=kn+,k£Z,・・・x=kn+,keZ.

取k=—1,则x=—.

法二x=时,y=sin(—)=0,不合题意，排除A；x=时,y=sin(—)=,不合题意，排除B；

x=一时,y=sin()=-I,符合题意,C项正确；而*=一时,y=sin()=一,不合题意，

故D项也不正确.

【答案】C

4.比较大小:sin(—)sin(—).

【解析】—V—V—V0,

/.sin(—)>sin(—).

【答案】>

5.函数y=2—3cos(x+)的最大值为,此时x=.

【解析】当cos(x+)=-l时.函数有最大值5,

此时，x+=n+2kn、k£Z,

即x=n+2kn,k£Z.

【答案】5n+2krt,k£Z

典例探究：

例1(三角函数的定义域和值域)

(1)(2012.山东高考)函数y=2sin借一令(04W9)的最大值与最小值之和为()

A.2-B.0

C."ID.—I—

(2)函数y=的定义域为.

【思路】(1)先确定一的范围，再数形结合求最值；

(2)由tanx-IWO且xWkir+,k£Z求解.

【解答】(l)T0WxW9,・—Wx-W,

/.sin(x-)E[―,1].

yE[—,2],/.ymax4-ymin=2—.

(2)要使函数有意义，

panx—1^0,[xwf+E,A^Z,

必须有(兀，_即《

卜巧+E,Q考+伍k"

故函数的定义域为{x|xW+k口且xW+kn,k£Z}.

【答案】(1)A(2){x|x#+kn且x左+kn,k£Z},

变式训练1：

(1)函数y=的定义域为.

(2)当x^[,时，函数y=3—sinx—2cos2x的最小值是_______,最大值是

【解析】⑴由2sinx-120得sinx2,「.2kn+WxW2kn+,k《Z,

故函数的定义域为[2kn+,2kn+n](k£Z).

(2)・・・x£[,nj

:.一WsinxWl,

又y=3-sinx_2cos2x=2sin2x-sinx+1=2(sinx-)2+,

，当sinx=时，ymin=,

当sinx=1或一时，ymax=2.

【答案】(l)[2kn+，2kn+](kJZ)(2)2

例2(三角函数的单调性)

„_J(sinx-cosx)sin2x

(2012・北京局考)已知函数/U)=----------------.

olllA,

(1)求7U)的定义域及最小正周期；

(2)求f(x)的单调递减区间.

【思路】(1)求定义域时考虑分母不为零，然后对f(x)解析式进行化简，转化成正弦型函

数的形式，再求周期；

(2)求单调递减区间时利用整体代换，把3x+d)当作一个整体放入正弦的减区间内解出

X即为减区间，不要忽略对定义域的考虑.

【解答】⑴由sinx学0得xWkn(kCZ),

故f(x)的定义域为{x£R|x手kn,k£Z}.

(sinx—cosA)sin2x

因为火外=-------：---------=2cosx(sinx-cosx)

=sin2x-cos2x_1=sin(2x-)-I,

所以的最小正周期T=~^=n.

(2)函数y=sinx的单调递减区间为［2kn+,2kn+］(k£Z).

由2kn+W2x—W2kn+,x丰kn(k£Z),

得kn+WxWkn+(k£Z).

所以f(x)的单调递减区间为［kn+,kn+］(k£Z).

变式训练2:

(2013•武汉模拟)已知函数y=sin(-2x),求：

(1)函数的周期；

⑵求函数在［-n,0］上的单调递减区间.

【解】由y=sin(-2x)可化为y=—sin(2x-).

(1)周期「=普=夸=工

(2)令2kn-W2x-W2kn+,k®Z,

得kn-WxWkn+,k£Z.

所以x£R时,y=sin(—2x)的减区间为［kn—，kn+］,k£Z.

取k--l,0可得函数在［-n,0］上的单调递减区间为［一n,一］和［一，0］.

例3(三角函数的奇偶性、周期性和对称性)

设函数f(x)=sin(cox+6)(3>0,给出以下四个论断:

①它的最小正周期为71；

②它的图象关于直线x=自成轴对称图形：

③它的图象关于点(，0)成中心对称图形；

④在区间［一,0)上是增函数.

以其中两个论断作为条件，另两个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题________(用

序号表示即可).

【思路】本题是一个开放性题目，依据正弦函数的图象及单调性、周期性以及对称性逐一判

断.

【解答】若①、②成立，则3==2；令2•+Q=kn+,k£Z,且|e|V,故k=0,「.。=.

此时f(x)=sin(2x+),当x=时,sin(2x+)=sinn=0,「/'(x)的图象关