2026届中考数学复习解答题专项集训之命题与证明 含答案

/2026年中考数学复习解答题专项集训之命题与证明一．解答题（共20小题）1．（2025•蔡甸区校级模拟）如图，在平行四边形ABCD中，点E，F分别在BC，AD上，AC与EF相交于点O，且BE＝DF．下列三个命题：①∠AOE＝90°，则四边形AECF是菱形；②∠EAF＝90°，则四边形AECF是菱形；③∠EAF＝90°，则四边形AECF是矩形．从中选一个命题，判断其真假，并说明理由．2．（2025•安庆校级二模）如图，在平面直角坐标系中，点A1的坐标为（1，0）、点A2的坐标为（2，0）、点A3的坐标为（3，0）、…，过点A1、A2、A3、…、别作x轴垂线，交直线＝x于点B1、B2、B3、…，△OA1B1覆盖的整点（横、纵坐标均为整数的点）的个数记为P1，面积的值记为S1；△OA2B2覆盖的整点的个数记为P2，面积的值记为S2；△OA3B3覆盖的整点的个数记为P3，面积的值记为S3；…；【注：连续x个正整数和的计算公式：1+2+3+…+x﹣1+x=x（1）由题意可知：P1＝3、S1=12；P2＝6、S2＝2；P3＝10、S3=92；则P4＝、S（2）P7﹣S7＝；（3）Pn﹣Sn的值是否会等于2022？若能，请求出n的值，若不能，请说明理由．3．（2025•泰兴市校级三模）如图，点B为△EAC边AC上一点，以AB为直径的圆交△EAC于点D、F．连接AD、BD、BF，BF交AD于点H．给出下列三个信息：①D为弧BF的中点；②EA⊥EC；③CE是⊙O的切线．（1）请从上述三个信息中选择两个信息作为条件，余下的一个信息作为结论组成一个真命题．你选择的条件是，结论是.（只要填写序号）并证明．（2）在（1）的条件下，若FH＝3，BD=25，求4．（2025•重庆模拟）已知：在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，E为AB边上一点，D为BC边中点．（1）尺规作图：过点D作直线DE的垂线，交AC于点F；（只保留作图痕迹）（2）小明想探究DE与DF的数量关系，请根据他的思路完成以下填空．证明：在Rt△ABC中，AB＝AC∴①又∵∠BAC＝90°，D为BC中点∴BD∴∠C＝∠DAC∴②又AB＝AC，D为BC中点∴AD⊥BC∴∠BDE+∠ADE＝90°又∵DE⊥DF∴∠ADF+∠ADE＝90°∴③在△BED和△AFD中，∠∴△BED≌△AFD∴DE＝DF．小明在进一步研究中发现，只要等腰直角三角形满足此特征均有此结论，请你根据题意完成下面命题：在等腰直角三角形中，如果由斜边的中点向两腰分别引出一条射线，与等腰直角三角形两腰各相交于一点，若两条射线互相垂直，则⑤．5．（2025•城关区校级模拟）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AD平分∠BAC．小明在刚学完“角平分线的性质”这节课后，想利用所学知识，推导出△ABD和△ACD面积的比值与AB、AC两边比值的关系．他的思路是：过点D作AC的垂线，垂足为点H，根据角平分线的性质来证明△ABD和△ACD的高相等，进一步得到△ABD和△ACD的面积之比等于∠BAC的两邻边边长之比．请根据小明的思路完成以下作图与填空：（1）尺规作图：过点D作AC的垂线，垂足为点H（保留作图痕迹，不写作法，不下结论）．（2）证明：∵∠ABD＝90°，∴AB①BD，又∵DH⊥AC，AD平分∠BAC，∴②．∵S△ABD=12AB•BD，S△ACD=12S△ABDS小明再进一步研究发现，只要任意一个三角形被其一内角角平分线分为两个三角形，均有此结论．请你依照题意完成下面命题：如果一个三角形满足被其一内角角平分线分为两个三角形，那么这两个三角形的面积之比等于．6．（2025•重庆模拟）学习了平行四边形后，小渝进行了拓展性探究．他发现，连接平行四边形一组对角顶点对应的对角线后，作另外一组对角的两条角平分线，这两条角平分线与对角线交于两点，那么这两点与这组对角顶点构成的四边形是平行四边形．他的解决思路是通过证明三角形全等得出结论．请根据他的思路完成以下作图和填空．（1）如图，在平行四边形ABCD中，用尺规作∠BCD的角平分线，交BD于点F，连接AF、CE；（不写作法，保留作图痕迹）（2）已知：平行四边形ABCD中，AE，CF分别平分∠BAD和∠BCD，连接AF、CE．求证：四边形AECF是平行四边形．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴①，AD＝BC，AD∥BC．∴∠ADB＝∠CBD．又∵AE，CF分别平分∠BAD和∠BCD，∴∠EAD∴②．∵在△ADE和△CBF中∠∴△ADE≌△CBF（ASA）．∴∠AED＝∠CFB，③．∴④．∴四边形AECF是平行四边形．小渝进一步探究发现，如果将上述条件中的平行四边形变为矩形也有类似的结论，请完成下面的命题：连接矩形一组对角顶点对应的对角线后，作另外一组对角的两条角平分线，这两条角平分线与对角线交于两点，那么⑤．7．（2025•青岛模拟）如图，在△ABC中，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC，AF与CE的延长线相交于点F，连接BF．（1）求证：四边形AFBD是平行四边形．（2）将下列命题填写完整，使命题成立（图中不再添加其他的点和线）．当△ABC满足条件时，四边形AFBD是矩形，并说明理由．8．（2025•江北区校级模拟）在学习了平行四边形的性质后，小红进行了拓展性探究．她发现在平行四边形中，连接一条对角线，分别过另外两个顶点作这条对角线的垂线，则这两个顶点到垂足之间的两条垂线段有一定的数量和位置关系．她的解题思路是通过证明对应线段所在的两个三角形全等得出结论．请根据她的思路完成以下作图与填空：（1）用直尺和圆规，过点A作对角线BD的垂线，垂足为点E．（要求：只保留作图痕迹）（2）已知：如图，在平行四边形ABCD中，连接BD，AE⊥BD于点E，CF⊥BD于点F．求证：AE＝CF且AE∥CF．证明：∵四边形ABCD为平行四边形，∴AB＝CD且AB∥CD．∴①．∵AE⊥BD，∴∠AEB＝90°，同理可得，∠CFD＝90°．∴∠AEB＝∠CFD，∴△ABE≌△CDF（AAS）．∴②．又∵AE⊥BD，∴∠AEF＝90°，同理可得，∠CFE＝90°．∴③．∴AE∥CF．请你根据该探究过程完成下面命题：在平行四边形中，连接一条对角线，分别过另外两个顶点作这条对角线的垂线，则这两个顶点到垂足之间的垂线段．9．（2025•白云区模拟）如图，在正方形ABCD中，点E，F分别为BC和CD上的点，AE与BF交于点G，现提供三个关系：①BE＝CF；②AE＝BF；③AE⊥BF．（1）从三个关系中选择一个作为条件，剩下的两个作为结论，形成一个真命题，写出所有的真命题；（2）选择其中的一个真命题进行证明．10．（2025•永春县模拟）已知正整数x1，x2，x3，x4，满足2x1+2x2+x3+x4=x（1）若x1＝1，x2＝3，请写出一组x3，x4满足条件的值并简要说明理由；（2）试说明x1，x2，x3，x4一定不是连续的四个奇数．11．（2025•深圳二模）如图，在△ABC中，以AB上一点O为圆心，OA为半径的⊙O与BC、AB相交于D、E，连接AD．（1）从以下三个信息中选择两个作为条件，剩余的一个作为结论组成一个真命题，并写出你的证明过程．①AD平分∠BAC；②∠ACB＝90°；③直线BC是⊙O的切线．你选择的条件是，结论是（填序号）；（2）在（1）的条件下，若∠B＝30°，BE＝2，求图中阴影部分的面积．12．（2024•九龙坡区校级模拟）学习了菱形后，小莉进行了拓展性研究．她发现：过菱形的一个钝角的顶点分别与两条对边上的点作线段，若这两条线段所夹的角与菱形的另一个钝角互补时，则这两条线段相等．她的解决思路是通过证明对应线段所在的两个三角形全等得出结论．请根据她的思路完成以下作图与填空：用直尺和圆规，过点A作BC的垂线，垂足为点H．（只保留作图痕迹）已知：如图，四边形ABCD是菱形，过A作AG⊥CD于点G，作AH⊥BC于点H，点E、F分别是边CD、BC上一点，连接AE、AF，且满足∠EAF+∠C＝180°．求证：AE＝AF．证明：∵AH⊥BC，AG⊥CD，∴∠AHF＝∠AGE＝90°．∵∠AHF+∠AGC+∠GAH+∠C＝360°，∴∠GAH+∠C＝180°，∵∠EAF+∠C＝180°，∴①，∴∠GAH﹣∠GAF＝∠EAF﹣∠GAF，∴∠HAF＝∠GAE．∵四边形ABCD是菱形，∴BC＝CD，∵S菱形ABCD＝BC•AH＝CD•AG，∴②．∴在△AHF和△AGE中，∠AHF∴△AHF≌△AGE（ASA）．∴AE＝AF．小莉再进一步研究发现，过菱形的一个钝角的顶点分别与两条对边上的点作线段均有此特征．请你依照题意完成下面的命题：过菱形的一个钝角的顶点分别与两条对边上的点作线段，若这两条线段：④．13．（2024•渝中区校级三模）学习了菱形后，小莉进行了拓展性研究：过菱形的一个顶点分别向两条对边作垂线，则这两条垂线与对角线产生两个交点，那么这两交点到此顶点的距离关系如何？她的解决思路是通过证明对应线段所在的两个三角形全等得出结论．请根据她的思路完成以下作图与填空：用直尺和圆规，过点A作CD的垂线，垂足为点M，交BD于点N．（只保留作图痕迹）已知：如图，四边形ABCD是菱形，过A作AE⊥BC于点E，并交对角线BD于点F，作AM⊥CD于点M，交对角线BD于点N．求证：AF＝AN．证明：∵四边形ABCD是菱形∴AB＝∠ABC＝∠ADC∠ABD∵AE⊥BC，AM⊥CD∴∠AEB＝∠AMD＝90°∵∠AEB+∠ABC+∠BAE＝180°∠AMD+∠ADC+∠DAM＝180°∴∴△ABF≌∴AF＝AN请你依照题意完成下面命题：过菱形的一个顶点向两条对边作垂线，与对角线产生两个交点，则.14．（2024•沙坪坝区校级一模）学习了正方形后，小虹进行了拓展性研究，她发现，如图所示正方形ABCD中，E为BC上一点（E不与B，C重合），连接AE，过点B作AE的垂线，交CD于点F，则线段AE与线段BF的长度相等，她的解决思路是通过证明这两条线段所在的两个三角形全等得出结论，请根据她的思路完成以下作图与填空：用直尺和圆规，过点B作AE的垂线，垂足为点O，交DC于点F．（只保留作图点痕迹）已知：如图，四边形ABCD是正方形，点E在BC上（E不与B，C重合），连接AE，BF⊥AE，垂足为O，交DC于点F．求证：AE＝BF．证明：∵四边形ABCD是正方形，∴，∠ABC＝∠BCD＝90°，∴∠CBF+∠ABF＝90°．∵BF⊥AE．∴∠AOF＝90°．∴，∴∠EAB＝．∴△ABE≌△BCF（ASA）．∴AE＝BF．小虹再进一步研究发现，过AB上其它点也能作出具备此特征的一组垂线，请你依照题意完成下面命题：过AB上一点作AE的垂线，．15．（2024•高港区三模）定理：直径所对的圆周角是直角．（1）写出此定理的逆命题；（2）判断此定理的逆命题是否为真命题，如果是真命题，请写出已知、求证并证明；如果不是真命题，请说明理由．16．（2024•禅城区三模）综合与实践【提出问题】学习完勾股定理后，思考它的逆命题：两边平方和等于第三边的平方的三角形是直角三角形，这个命题正确吗？教材是没有证明的．【先贤智慧】相传我国古代大禹在治水测量工程时，曾用下列的方法确定直角：把一根长绳打上等距离的13个结，然后以3、4、5个结间距的长度为边长，用木桩钉成一个三角形，其中一个角便是直角．【动手操作】如图，三条线段a、b、c的长度比满足a：b：c＝3：4：5，某数学小组利用这三条线段，设计了如下作图步骤对上述问题开展了验证：①作线段AB＝c；②以点A为圆心，b为半径画弧．以点B为圆心，a为半径画弧．两弧相交于C点；③连接AC，BC，得到△ABC．（1）根据作图步骤，完成作图（要求：保留作图痕迹）．【问题解决】（2）由三线段的长度比可知，（1）中的△ABC三边满足AB2＝AC2+BC2，请你证明：边长满足AB2＝AC2+BC2的△ABC是直角三角形．17．（2024•鄞州区一模）如图是由30个边长为1的正方形组成的9×4的网格，△ABC的顶点都是网格的格点．（1）求tan∠ABC；（2）在图中找一个格点D，利用△ABD和△ABC说明“有两条边和一个角相等的两个三角形全等”是假命题．18．（2023•临渭区二模）如图，在△ABC和△DEB中，点D在边AB上，下面有四个条件：①BD＝CA，②DE＝AB，③DE∥AC，④∠ABC＝∠E．（1）从中选三个作为题设，余下的一个作为结论，组成一个真命题，将你选择的条件和结论的序号分别填写在对应的横线上，已知：，求证：；（2）请对你写出的命题进行证明．19．（2023•浦东新区三模）求证：等腰三角形腰上的高与底边的夹角等于其顶角的一半．（1）在图中按照下面“已知”的要求，画出符合题意的图形，并根据题设和结论，结合图形，用符号语言写出“求证”．已知：在△ABC中，AB＝AC，过C作CD⊥AB交BA的延长线于点D．求证：．（2）证明上述命题：20．（2023•胶州市模拟）证明如图，▱ABCD中，AC，BD相交于点O，E，F分别是OA，OC的中点．（1）求证：BE＝DF；（2）当时，四边形DEBF是矩形．要求：从下面列出的三个条件中，选一个条件填在横线上，使命题成立．并写出证明过程．①AC：BD＝2；②BD＝2OE；③AD⊥BD

2026年中考数学复习解答题专项集训之命题与证明答案与试题解析一．解答题（共20小题）1．（2025•蔡甸区校级模拟）如图，在平行四边形ABCD中，点E，F分别在BC，AD上，AC与EF相交于点O，且BE＝DF．下列三个命题：①∠AOE＝90°，则四边形AECF是菱形；②∠EAF＝90°，则四边形AECF是菱形；③∠EAF＝90°，则四边形AECF是矩形．从中选一个命题，判断其真假，并说明理由．【考点】命题与定理；平行四边形的性质；菱形的判定与性质；矩形的判定．版权所有【专题】多边形与平行四边形；推理能力．【正确答案】命题①③是真命题．【分析】先根据平行四边形ABCD，以及BE＝DF证明四边形AECF是平行四边形，再根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形和有一个角是直角的平行四边形是矩形进行判断①③．解：命题①③是真命题，理由如下：连接AE，CF，∵四边形ABCD平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC，∵BE＝DF，∴EC＝AF∵AF∥CE，∴四边形AECF是平行四边形，选择①：∵∠AOE＝90°，∴AC⊥EF，∴四边形AECF是菱形，故①为真命题；选择③：∵∠EAF＝90°，四边形AECF是平行四边形，∴四边形AECF是矩形，故③为真命题，②为假命题．【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质，矩形的判定，菱形的判定，熟练掌握平行四边形的性质，矩形的判定，菱形的判定是解题的关键．2．（2025•安庆校级二模）如图，在平面直角坐标系中，点A1的坐标为（1，0）、点A2的坐标为（2，0）、点A3的坐标为（3，0）、…，过点A1、A2、A3、…、别作x轴垂线，交直线＝x于点B1、B2、B3、…，△OA1B1覆盖的整点（横、纵坐标均为整数的点）的个数记为P1，面积的值记为S1；△OA2B2覆盖的整点的个数记为P2，面积的值记为S2；△OA3B3覆盖的整点的个数记为P3，面积的值记为S3；…；【注：连续x个正整数和的计算公式：1+2+3+…+x﹣1+x=x（1）由题意可知：P1＝3、S1=12；P2＝6、S2＝2；P3＝10、S3=92；则P4＝15、S（2）P7﹣S7＝232（3）Pn﹣Sn的值是否会等于2022？若能，请求出n的值，若不能，请说明理由．【考点】推理与论证．版权所有【专题】计算题；运算能力；推理能力．【正确答案】（1）15；8；（2）232（3）不能，理由如下：∵Pn﹣Sn=3n+22∵n不是整数，∴Pn﹣Sn的值不会等于2022．【分析】（1）根据点的变化规律得到Sn=n（2）根据变化规律计算出P7和S7的值，再进行解答即可；（3）根据规律计算出n的值，即可得知结果．解：（1）∵P1＝1+2＝3，S1=122=12，P……∴根据规律发现Pn＝1+2+3+4+…+（n+1）=(Sn∴P4＝1+2+3+4+5＝15，S4故15；8．（2）∵P7S7P7故232（3）不能，理由如下：∵Pn﹣Sn=3n+22∵n不是整数，∴Pn﹣Sn的值不会等于2022．【点评】本题考查归纳推理的应用，根据条件寻找规律是解决本题的关键．3．（2025•泰兴市校级三模）如图，点B为△EAC边AC上一点，以AB为直径的圆交△EAC于点D、F．连接AD、BD、BF，BF交AD于点H．给出下列三个信息：①D为弧BF的中点；②EA⊥EC；③CE是⊙O的切线．（1）请从上述三个信息中选择两个信息作为条件，余下的一个信息作为结论组成一个真命题．你选择的条件是①②，结论是③.（只要填写序号）并证明．（2）在（1）的条件下，若FH＝3，BD=25，求【考点】命题与定理；垂径定理；圆周角定理；切线的判定与性质．版权所有【专题】应用意识．【正确答案】（1）见解析；（2）8．【分析】（1）条件：①②，结论：③，连接OD，根据垂径定理的推论得到OD⊥BF，然后得到OD∥AE，进而得到OD⊥EC，即可得到结论；（2）连接OD交BF于点G，根据垂径定理得到OD⊥EC且FG＝BG，设HG＝x，则FG＝BG＝x+3，证明△BDG∽△BHD，得到BD2＝BG•BH，解方程即可解题．解：（1）若条件：①②，结论：③，证明：连接OD，∵D为弧BF的中点且OD为半径，∴OD⊥BF，∵AB是直径，∴∠AFB＝90°，∴AF⊥BF，∴OD∥AE，又∵EA⊥EC，∴∠E＝90°，∴∠ODC＝∠E＝90°，∴OD⊥EC，又∵OD为半径，∴CE是⊙O的切线；若条件：②③，结论：①；证明：连接OD，∵CE是⊙O的切线，∴OD⊥EC，∵EA⊥EC，∴OD∥AE，∵AB是直径，∴∠AFB＝90°，∴AF⊥BF，∴OD⊥BF，∵OD为半径，∴D为弧BF的中点；若条件：①③，结论：②证明：连接OD，∵D为弧BF的中点且OD为半径，∴OD⊥BF，∵CE是⊙O的切线，∴OD⊥EC，∴EC∥BF，∵AB是直径，∴∠AFB＝90°，∴∠E＝90°，∴EA⊥EC；（2）连接OD交BF于点G，∵D为弧BF的中点且OD为半径，∴OD⊥EC且FG＝BG，∵FH＝3，设HG＝x，∴FG＝BG＝x+3，∵AB是直径，∴∠ADB＝90°，∴∠BGD＝∠BDH＝90°，∵∠DBG＝∠HBD＝90°，∴△BDG∽△BHD，∴BDBG=BHBD，即BD2＝∴(25解得x＝1，∴FG＝4，∴FB＝2FG＝8．【点评】本题考查切线的判定和性质，垂径定理，相似三角形的判定和性质，正确进行计算是解题关键．4．（2025•重庆模拟）已知：在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，E为AB边上一点，D为BC边中点．（1）尺规作图：过点D作直线DE的垂线，交AC于点F；（只保留作图痕迹）（2）小明想探究DE与DF的数量关系，请根据他的思路完成以下填空．证明：在Rt△ABC中，AB＝AC∴①∠B＝∠C又∵∠BAC＝90°，D为BC中点∴BD∴∠C＝∠DAC∴②∠DAC＝∠B又AB＝AC，D为BC中点∴AD⊥BC∴∠BDE+∠ADE＝90°又∵DE⊥DF∴∠ADF+∠ADE＝90°∴③∠BDE＝∠ADF在△BED和△AFD中，∠∴△BED≌△AFD∴DE＝DF．小明在进一步研究中发现，只要等腰直角三角形满足此特征均有此结论，请你根据题意完成下面命题：在等腰直角三角形中，如果由斜边的中点向两腰分别引出一条射线，与等腰直角三角形两腰各相交于一点，若两条射线互相垂直，则⑤两交点到斜边中点的距离相等．【考点】命题与定理；全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形；作图—复杂作图．版权所有【专题】图形的全等；几何直观；推理能力．【正确答案】∠B＝∠C，∠DAC＝∠B，∠BDE＝∠ADF，BD＝AD，两交点到斜边中点的距离相等．【分析】（1）利用过直线上一点作直线的垂线作出DF即可；（2）先根据等腰直角三角形的性质得到∠B＝∠C，BD=AD=CD=12BC，AD⊥BC，则可判断∠DAC＝∠B，接着证明∠BDE＝∠ADF，从而根据全等三角形的判定方法得到△（1）解：如图，DF为所作；（2）证明：在Rt△ABC中，∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，又∵∠BAC＝90°，D为BC中点，∴BD=∴∠C＝∠DAC，∴∠DAC＝∠B，又AB＝AC，D为BC中点，∴AD⊥BC，∴∠BDE+∠ADE＝90°，又∵DE⊥DF，∴∠ADF+∠ADE＝90°∴∠BDE＝∠ADF，在△BED和△AFD中，∠B∴△BED≌△AFD（ASA），∴DE＝DF．在等腰直角三角形中，如果由斜边的中点向两腰分别引出一条射线，与等腰直角三角形两腰各相交于一点，若两条射线互相垂直，则两交点到斜边中点的距离相等．故∠B＝∠C，∠DAC＝∠B，∠BDE＝∠ADF，BD＝AD，两交点到斜边中点的距离相等．【点评】本题考查了命题与定理，熟练掌握全等三角形的判定与性质和等腰直角三角形的性质是解决问题的关键．也考查了复杂作图．5．（2025•城关区校级模拟）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AD平分∠BAC．小明在刚学完“角平分线的性质”这节课后，想利用所学知识，推导出△ABD和△ACD面积的比值与AB、AC两边比值的关系．他的思路是：过点D作AC的垂线，垂足为点H，根据角平分线的性质来证明△ABD和△ACD的高相等，进一步得到△ABD和△ACD的面积之比等于∠BAC的两邻边边长之比．请根据小明的思路完成以下作图与填空：（1）尺规作图：过点D作AC的垂线，垂足为点H（保留作图痕迹，不写作法，不下结论）．（2）证明：∵∠ABD＝90°，∴AB①⊥BD，又∵DH⊥AC，AD平分∠BAC，∴②DH＝DB．∵S△ABD=12AB•BD，S△ACD=12S△ABDS△ACD小明再进一步研究发现，只要任意一个三角形被其一内角角平分线分为两个三角形，均有此结论．请你依照题意完成下面命题：如果一个三角形满足被其一内角角平分线分为两个三角形，那么这两个三角形的面积之比等于等于这个内角的两条邻边边长之比．【考点】命题与定理；角平分线的性质；作图—复杂作图．版权所有【专题】线段、角、相交线与平行线；尺规作图；推理能力．【正确答案】（1）见图形；（2）⊥，DH＝DB，ABAC等于这个内角的两条邻边边长之比．【分析】（1）以D为圆心画弧交AC于M、N，分别以M、N为圆心，大于12MN的长为半径画弧，两弧交于P，作直线PD交AC于H（2）由角平分线的性质定理推出DH＝DB，由三角形的面积公式推出S△（1）解：如图：PD⊥AC于H；（2）证明：∵∠ABD＝90°，∴AB⊥BD，又∵DH⊥AC，AD平分∠BAC，∴DH＝DB，∵S△ABD=12AB•BD，S△ACD=12∴S△故⊥，DH＝DB，ABAC小明再进一步研究发现，只要任意一个三角形被其一内角角平分线分为两个三角形，均有此结论．依照题意完成下面命题：如果一个三角形满足被其一内角角平分线分为两个三角形，那么这两个三角形的面积之比等于这个内角的两条邻边边长之比．故等于这个内角的两条邻边边长之比．【点评】本题考查命题与定理，角平分线的性质，作图﹣复杂作图，关键是掌握尺规作图：过直线外一点作已知直线垂线的方法，掌握角平分线的性质定理．6．（2025•重庆模拟）学习了平行四边形后，小渝进行了拓展性探究．他发现，连接平行四边形一组对角顶点对应的对角线后，作另外一组对角的两条角平分线，这两条角平分线与对角线交于两点，那么这两点与这组对角顶点构成的四边形是平行四边形．他的解决思路是通过证明三角形全等得出结论．请根据他的思路完成以下作图和填空．（1）如图，在平行四边形ABCD中，用尺规作∠BCD的角平分线，交BD于点F，连接AF、CE；（不写作法，保留作图痕迹）（2）已知：平行四边形ABCD中，AE，CF分别平分∠BAD和∠BCD，连接AF、CE．求证：四边形AECF是平行四边形．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠BAD＝∠BCD①，AD＝BC，AD∥BC．∴∠ADB＝∠CBD．又∵AE，CF分别平分∠BAD和∠BCD，∴∠EAD∴∠EAD＝∠FCB②．∵在△ADE和△CBF中∠∴△ADE≌△CBF（ASA）．∴∠AED＝∠CFB，AE＝CF③．∴AE∥CF④．∴四边形AECF是平行四边形．小渝进一步探究发现，如果将上述条件中的平行四边形变为矩形也有类似的结论，请完成下面的命题：连接矩形一组对角顶点对应的对角线后，作另外一组对角的两条角平分线，这两条角平分线与对角线交于两点，那么这两点与这组对角顶点构成的四边形是平行四边形．⑤．【考点】命题与定理；全等三角形的判定与性质；角平分线的性质；多边形；平行四边形的判定与性质；矩形的判定与性质；作图—基本作图．版权所有【专题】作图题；多边形与平行四边形；矩形菱形正方形；推理能力．【正确答案】（1）见解析；（2）①∠BAD＝∠BCD；②∠EAD＝∠FCB；③AE＝CF；④AE∥CF；⑤这两点与这组对角顶点构成的四边形是平行四边形．【分析】（1）根据作一个角的平分线的方法，进行作图即可；（2）根据平行四边形的性质得出∠BAD＝∠BCD，AD＝BC，AD∥BC，根据角平分线定义得出∠EAD＝∠FCB，证明△ADE≌△CBF（ASA），得出∠AED＝∠CFB，AE＝CF，根据平行线的性质证明AE∥CF，即可证明四边形AECF是平行四边形．（1）解：如图，CF为∠BCD的平分线；（2）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠BAD＝∠BCD，AD＝BC，AD∥BC，∴∠ADB＝∠CBD，由条件可知∠EAD∴∠EAD＝∠FCB，∵在△ADE和△CBF中∠∴△ADE≌△CBF（ASA），∴∠AED＝∠CFB，AE＝CF．∴AE∥CF．∴四边形AECF是平行四边形．当ABCD为矩形时，如图所示：∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD＝∠BCD，AD＝BC，AD∥BC，∴∠ADB＝∠CBD，由条件可知∠EAD∴∠EAD＝∠FCB，∵在△ADE和△CBF中∠ADB∴△ADE≌△CBF（ASA），∴∠AED＝∠CFB，AE＝CF．∴AE∥CF．∴四边形AECF是平行四边形．即连接矩形一组对角顶点对应的对角线后，作另外一组对角的两条角平分线，这两条角平分线与对角线交于两点，那么这两点与这组对角顶点构成的四边形是平行四边形．故①∠BAD＝∠BCD；②∠EAD＝∠FCB；③AE＝CF；④AE∥CF；⑤这两点与这组对角顶点构成的四边形是平行四边形．【点评】本题主要考查了矩形的性质，平行四边形的判定和性质，作角平分线，平行线的性质，三角形全等的判定和性质，解题的关键是熟练掌握相关的判定和性质．7．（2025•青岛模拟）如图，在△ABC中，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC，AF与CE的延长线相交于点F，连接BF．（1）求证：四边形AFBD是平行四边形．（2）将下列命题填写完整，使命题成立（图中不再添加其他的点和线）．当△ABC满足条件AB＝AC时，四边形AFBD是矩形，并说明理由．【考点】命题与定理；平行四边形的判定与性质；矩形的判定．版权所有【专题】几何图形；运算能力．【正确答案】（1）见解析；（2）AB＝AC，理由见解析．【分析】（1）由AF∥BC，得到两对内错角相等，再由E为中点，得到AE＝DE，利用AAS得到△AFE与△CDE全等，利用全等三角形对应边相等得到AF＝CD，再由BD＝CD，等量代换得到AF＝BD，利用一组对边平行且相等的四边形为平行四边形即可得证；（2）由AB＝AC，D是BC的中点，利用三线合一，得到∠BDA＝90°，即可得证．（1）证明：由题意可得：∴AE＝DE，BD＝CD，∵AF∥BC，∴∠AFE＝∠DCE，∠FAE＝∠CDE，在△AFE和△DCE中，∠AFE∴△AFE≌△DCE（AAS），∴AF＝CD，∴AF＝BD，∵AF∥BD，∴四边形AFBD为平行四边形；（2）解：当△ABC满足条件AB＝AC时，四边形AFBD是矩形，理由如下：由（1）可得；AB＝AC，D是BC的中点，∴AD⊥BC，∴∠BDA＝90°，∴四边形AFBD是矩形．故答案位：AB＝AC．【点评】此题属于四边形综合题，涉及的知识有：平行四边形的判定，矩形的判定，全等三角形的判定与性质，以及等腰三角形的性质，熟练掌握判定与性质是解本题的关键．8．（2025•江北区校级模拟）在学习了平行四边形的性质后，小红进行了拓展性探究．她发现在平行四边形中，连接一条对角线，分别过另外两个顶点作这条对角线的垂线，则这两个顶点到垂足之间的两条垂线段有一定的数量和位置关系．她的解题思路是通过证明对应线段所在的两个三角形全等得出结论．请根据她的思路完成以下作图与填空：（1）用直尺和圆规，过点A作对角线BD的垂线，垂足为点E．（要求：只保留作图痕迹）（2）已知：如图，在平行四边形ABCD中，连接BD，AE⊥BD于点E，CF⊥BD于点F．求证：AE＝CF且AE∥CF．证明：∵四边形ABCD为平行四边形，∴AB＝CD且AB∥CD．∴①∠ABE＝∠CDF．∵AE⊥BD，∴∠AEB＝90°，同理可得，∠CFD＝90°．∴∠AEB＝∠CFD，∴△ABE≌△CDF（AAS）．∴②AE＝CF．又∵AE⊥BD，∴∠AEF＝90°，同理可得，∠CFE＝90°．∴③∠AEF＝∠CFE．∴AE∥CF．请你根据该探究过程完成下面命题：在平行四边形中，连接一条对角线，分别过另外两个顶点作这条对角线的垂线，则这两个顶点到垂足之间的垂线段平行且相等．【考点】命题与定理；全等三角形的判定与性质；平行四边形的判定与性质；作图—基本作图．版权所有【专题】三角形；图形的全等；多边形与平行四边形；推理能力．【正确答案】（1）见解答．（2）①∠ABE＝∠CDF；②AE＝CF；③∠AEF＝∠CFE；④平行且相等．【分析】（1）根据过直线外一点作直线的垂线的方法作图即可；（2）根据平行四边形的性质和全等三角形的判定和性质解答即可．解：（1）如图所示：（2）证明：∵四边形ABCD为平行四边形，∴AB＝CD且AB∥CD．∴①∠ABE＝∠CDF．∵AE⊥BD，∴∠AEB＝90°，同理可得，∠CFD＝90°．∴∠AEB＝∠CFD，∴△ABE≌△CDF（AAS）．∴②AE＝CF．又∵AE⊥BD，∴∠AEF＝90°，同理可得，∠CFE＝90°．∴③∠AEF＝∠CFE．∴AE∥CF．在平行四边形中，连接一条对角线，分别过另外两个顶点作这条对角线的垂线，则这两个顶点到垂足之间的垂线段平行且相等．故①∠ABE＝∠CDF；②AE＝CF；③∠AEF＝∠CFE；④平行且相等．【点评】此题考查作图﹣基本作图，命题与定理、全等三角形的判定与性质以及平行四边形的判定与性质，关键是根据平行四边形的性质和全等三角形的判定和性质解答．9．（2025•白云区模拟）如图，在正方形ABCD中，点E，F分别为BC和CD上的点，AE与BF交于点G，现提供三个关系：①BE＝CF；②AE＝BF；③AE⊥BF．（1）从三个关系中选择一个作为条件，剩下的两个作为结论，形成一个真命题，写出所有的真命题；（2）选择其中的一个真命题进行证明．【考点】命题与定理；全等三角形的判定与性质；正方形的性质．版权所有【专题】图形的全等；矩形菱形正方形；推理能力．【正确答案】（1）真命题有三个，见解析；（2）证明见解析．【分析】（1）由正方形的性质得到三个真命题；（2）判定△ABE≌△BCF（SAS），推出AE＝BF，∠BAE＝∠CBF，得到∠CBF+∠AEB＝90°，求出∠BGE＝90°，即可证明AE⊥BF．解：（1）真命题有三个：命题一：若①BE＝CF，则②AE＝BF，③AE⊥BF；命题二：若②AE＝BF，则①BE＝CF，③AE⊥BF；命题三：若③AE⊥BF，则①BE＝CF，②AE＝BF．（2）选择命题一，证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC，∠ABE＝∠C＝90°，∵BE＝CF，∴△ABE≌△BCF（SAS），∴AE＝BF，∠BAE＝∠CBF，∵∠BAE+∠AEB＝90°，∴∠CBF+∠AEB＝90°，∴∠BGE＝180°＝90°＝90°，∴AE⊥BF．【点评】本题考查命题与定理，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，关键是由正方形的性质推出△ABE≌△BCF（SAS）．10．（2025•永春县模拟）已知正整数x1，x2，x3，x4，满足2x1+2x2+x3+x4=x（1）若x1＝1，x2＝3，请写出一组x3，x4满足条件的值并简要说明理由；（2）试说明x1，x2，x3，x4一定不是连续的四个奇数．【考点】反证法；代数式求值．版权所有【正确答案】（1）x3，x4只要取两个连续的正整数，如x3＝5，x4＝6，说明见解析；（2）见解析．【分析】（1）将已知条件代入方程，通过整理方程发现x3与x4的关系，进而确定可能的取值；（2）假设四个数为连续奇数，代入方程后导出矛盾，从而证明原命题成立．解：（1）因为2x所以（2﹣x2+x1）（x1+x2）+（1﹣x4+x3）（x3+x4）＝0，所以（2﹣x2+x1）（x1+x2）与（1﹣x4+x3）（x3+x4）互为相反数，当x1＝1，x2＝3时，（2﹣x2+x1）（x1+x2）＝0，所以（1﹣x4+x3）（x3+x4）＝0，又因为x3，x4为正整数，所以x3+x4≠0，所以1﹣x4+x3＝0即x4﹣x3＝1，所以x3，x4只要取两个连续的正整数，如x3＝5，x4＝6；（2）假设x1，x2．x3，x4一定是连续的四个奇数，设任意四个连续的奇数为2t﹣1，2t+1，2t+3，2t+5，其中t为正整数，因为x1＜x2＜x3＜x4，所以x1＝2t﹣1，x2＝2t+1，x3＝2t+3，x4＝2t+5，所以2x1+2x2+x3+x4＝2（2t﹣1）+2（2t+1）+2t+3+2t+5＝12t+8，x22−x12+x42−x32=（2t+1）2因为为正整数，所以16t+16≠12t+8，所以2x1+2x2+x3+x所以x1，x2，x3，x4一定不是连续的四个奇数．【点评】本题主要考查方程的求解，解题的关键是根据已知条件，灵活运用代数运算和因式分解，结合奇数的性质进行求解．11．（2025•深圳二模）如图，在△ABC中，以AB上一点O为圆心，OA为半径的⊙O与BC、AB相交于D、E，连接AD．（1）从以下三个信息中选择两个作为条件，剩余的一个作为结论组成一个真命题，并写出你的证明过程．①AD平分∠BAC；②∠ACB＝90°；③直线BC是⊙O的切线．你选择的条件是①②，结论是③（填序号）；（2）在（1）的条件下，若∠B＝30°，BE＝2，求图中阴影部分的面积．【考点】命题与定理；圆周角定理；切线的判定与性质；扇形面积的计算．版权所有【专题】几何图形；运算能力．【正确答案】（1）①②，③；（2）23−【分析】（1）选择的条件是①②，结论是③；理由：连接OD，根据等腰三角形性质可得∠OAD＝∠ODA，根据角平分线性质得∠BAD＝∠CAD，可得OD∥AC，得∠ODB＝∠ACB＝90°，即得；（2）先求出∠BOD＝60°，OD＝2，OB＝4，得BD=2解：（1）选择的条件是①②，结论是③．如图，连接OD，∵OD＝OA，∴∠OAD＝∠ODA，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD，∴∠ODA＝∠CAD，∴OD∥AC；∵∠ACB＝90°，∴∠ODB＝∠ACB＝90°，∴BC⊥OD，∵OD为⊙O的半径，∴BC是⊙O的切线；故①②，③（答案不唯一）；（2）由题意可得：∠BOD＝60°，∴OB＝2OD，∵OD＝OE，∴OE＝BE＝2，∴OD＝2，OB＝4，∴BD=S阴影＝△BOD的面积﹣扇形ODE的面积=12BD故阴影部分的面积为23−【点评】本题考查构造真命题，角平分线定义，等腰三角形性质，圆切线的判定和性质，扇形的面积，三角形面积，勾股定理，含30度的直角三角形的性质等知识．解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．12．（2024•九龙坡区校级模拟）学习了菱形后，小莉进行了拓展性研究．她发现：过菱形的一个钝角的顶点分别与两条对边上的点作线段，若这两条线段所夹的角与菱形的另一个钝角互补时，则这两条线段相等．她的解决思路是通过证明对应线段所在的两个三角形全等得出结论．请根据她的思路完成以下作图与填空：用直尺和圆规，过点A作BC的垂线，垂足为点H．（只保留作图痕迹）已知：如图，四边形ABCD是菱形，过A作AG⊥CD于点G，作AH⊥BC于点H，点E、F分别是边CD、BC上一点，连接AE、AF，且满足∠EAF+∠C＝180°．求证：AE＝AF．证明：∵AH⊥BC，AG⊥CD，∴∠AHF＝∠AGE＝90°．∵∠AHF+∠AGC+∠GAH+∠C＝360°，∴∠GAH+∠C＝180°，∵∠EAF+∠C＝180°，∴①∠EAF＝∠GAH，∴∠GAH﹣∠GAF＝∠EAF﹣∠GAF，∴∠HAF＝∠GAE．∵四边形ABCD是菱形，∴BC＝CD，∵S菱形ABCD＝BC•AH＝CD•AG，∴②AH＝AG．∴在△AHF和△AGE中，∠AHF∴△AHF≌△AGE（ASA）．∴AE＝AF．小莉再进一步研究发现，过菱形的一个钝角的顶点分别与两条对边上的点作线段均有此特征．请你依照题意完成下面的命题：过菱形的一个钝角的顶点分别与两条对边上的点作线段，若这两条线段：④所夹的角与菱形的另一个钝角互补时，则这两条线段相等．．【考点】命题与定理；相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；角平分线的性质；菱形的性质；作图—复杂作图．版权所有【专题】矩形菱形正方形；推理能力．【正确答案】∠EAF＝∠GAH，AH＝AG，∠HAF＝∠GAE，所夹的角与菱形的另一个钝角互补时，则这两条线段相等．【分析】过A点作AH⊥BC于H点，先证明∠HAF＝∠GAE，再利用面积法证明AH＝AG．则可判断△AHF≌△AGE，所以AE＝AF，然后写出一般性的结论．证明：如图，∵AH⊥BC，AG⊥CD，∴∠AHF＝∠AGE＝90°．∵∠AHF+∠AGC+∠GAH+∠C＝360°，∴∠GAH+∠C＝180°，∵∠EAF+∠C＝180°∴∠EAF＝∠GAH，∴∠GAH﹣∠GAF＝∠EAF﹣∠GAF，∴∠HAF＝∠GAE，∵四边形ABCD是菱形，∴BC＝CD，∵S菱形ABCD＝BC•AH＝CD•AG，∴AH＝AG．∴在△AHF和△AGE中，∠AHF∴△AHF≌△AGE（ASA）∴AE＝AF．结论：过菱形的一个钝角的顶点分别与两条对边上的点作线段，若这两条线段所夹的角与菱形的另一个钝角互补时，则这两条线段相等．故∠EAF＝∠GAH，AH＝AG，∠HAF＝∠GAE，所夹的角与菱形的另一个钝角互补时，则这两条线段相等．【点评】本题考查了命题：要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．也考查了全等三角形的判定与性质、菱形的性质和复杂作图．13．（2024•渝中区校级三模）学习了菱形后，小莉进行了拓展性研究：过菱形的一个顶点分别向两条对边作垂线，则这两条垂线与对角线产生两个交点，那么这两交点到此顶点的距离关系如何？她的解决思路是通过证明对应线段所在的两个三角形全等得出结论．请根据她的思路完成以下作图与填空：用直尺和圆规，过点A作CD的垂线，垂足为点M，交BD于点N．（只保留作图痕迹）已知：如图，四边形ABCD是菱形，过A作AE⊥BC于点E，并交对角线BD于点F，作AM⊥CD于点M，交对角线BD于点N．求证：AF＝AN．证明：∵四边形ABCD是菱形∴AB＝AD∠ABC＝∠ADC∠ABD∵AE⊥BC，AM⊥CD∴∠AEB＝∠AMD＝90°∵∠AEB+∠ABC+∠BAE＝180°∠AMD+∠ADC+∠DAM＝180°∴∠BAE＝∠DAN∴△ABF≌△ADN∴AF＝AN请你依照题意完成下面命题：过菱形的一个顶点向两条对边作垂线，与对角线产生两个交点，则两交点到顶点的距离相等.【考点】命题与定理；全等三角形的判定与性质；菱形的性质；作图—基本作图．版权所有【正确答案】作图见解析，①AD；②∠BAE＝∠DAN；③△ADN；④两交点到顶点的距离相等．【分析】用尺规作图作出过A与CD垂直的垂线；由菱形的性质易证△ABF≌ADN，则可得AF＝AN；由此可归纳出结论．解：作图如下：证明：∵四边形ABCD是菱形，AB＝AD，∠ABC＝∠ADC，∠ABD∵AE⊥BC，AM⊥CD，∴∠AEB＝∠AMD＝90°，∵∠AEB+∠ABC+∠BAE＝180°，∠AMD+∠ADC+∠DAM＝180°，∴∠BAE＝∠DAN，∴△ABF≌△ADN，∴AF＝AN，请你依照题意完成下面命题：过菱形的一个顶点向两条对边作垂线，与对角线产生两个交点，则两交点到顶点的距离相等．故①AD；②∠BAE＝∠DAN；③△ADN；④两交点到顶点的距离相等．【点评】本题考查了命题：任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证．也考查了全等三角形的判定与性质、平行四边形的性质．14．（2024•沙坪坝区校级一模）学习了正方形后，小虹进行了拓展性研究，她发现，如图所示正方形ABCD中，E为BC上一点（E不与B，C重合），连接AE，过点B作AE的垂线，交CD于点F，则线段AE与线段BF的长度相等，她的解决思路是通过证明这两条线段所在的两个三角形全等得出结论，请根据她的思路完成以下作图与填空：用直尺和圆规，过点B作AE的垂线，垂足为点O，交DC于点F．（只保留作图点痕迹）已知：如图，四边形ABCD是正方形，点E在BC上（E不与B，C重合），连接AE，BF⊥AE，垂足为O，交DC于点F．求证：AE＝BF．证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC，∠ABC＝∠BCD＝90°，∴∠CBF+∠ABF＝90°．∵BF⊥AE．∴∠AOF＝90°．∴∠BAE+∠ABF＝90°，∴∠EAB＝∠FBC．∴△ABE≌△BCF（ASA）．∴AE＝BF．小虹再进一步研究发现，过AB上其它点也能作出具备此特征的一组垂线，请你依照题意完成下面命题：过AB上一点作AE的垂线，分别与DC，AB交于F、G，则线段FG与线段AE的长度相等．．【考点】命题与定理；全等三角形的判定与性质；正方形的性质；作图—基本作图．版权所有【专题】图形的全等；矩形菱形正方形；尺规作图；推理能力．【正确答案】AB＝BC，∠BAE+∠ABF＝90°，∠CBE，过AB上一点作AE的垂线，分别与DC，AB交于F、G，则线段FG与线段AE的长度相等．【分析】以B为圆心画弧交AE于M、N，分别以M、N为圆心，大于12MN的长为半径画弧交于P，作射线BP交AE于O，交CD于F；由正方形的性质推出△ABE≌△BCF（ASA）．即可证明AE＝BF如图，BF⊥AE于O，交CD于F；证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC，∠ABC＝∠BCD＝90°，∴∠CBF+∠ABF＝90°．∵BF⊥AE．∴∠AOF＝90°，∴∠BAE+∠ABF＝90°，∴∠EAB＝∠CBE．∴△ABE≌△BCF（ASA），∴AE＝BF；过AB上其它点也能作出具备此特征的一组垂线，依照题意命题为：过AB上一点作AE的垂线，分别与DC，AB交于F、G，则线段FG与线段AE的长度相等．故AB＝BC，∠BAE+∠ABF＝90°，∠CBE，过AB上一点作AE的垂线，分别与DC，AB交于F、G，则线段FG与线段AE的长度相等．【点评】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，作图﹣基本作图，关键是掌握基本作图：过直线外一点作已知直线的垂线的方法；由ASA推出△ABE≌△BCF．15．（2024•高港区三模）定理：直径所对的圆周角是直角．（1）写出此定理的逆命题；（2）判断此定理的逆命题是否为真命题，如果是真命题，请写出已知、求证并证明；如果不是真命题，请说明理由．【考点】命题与定理；圆周角定理．版权所有【专题】圆的有关概念及性质；推理能力．【正确答案】（1）90°的圆周角所对的弦是直角；（2）真命题，证明见解答过程．【分析】（1）根据逆命题的概念写出原命题的逆命题；（2）连接OA、OB，根据圆周角定理证明即可．解：（1）定理的逆命题是：90°的圆周角所对的弦是直角；（2）此定理的逆命题是真命题，已知：如图，点A、B、C在⊙O上，∠ACB＝90°，求证：AB为⊙O的直径．证明：如图，连接OA、OB，∵∠ACB＝90°，∴∠AOB＝2∠ACB＝180°，∴点A、O、B在同一条直线上，∴AB为⊙O的直径．【点评】本题考查的是命题与定理，熟记逆命题的概念、圆周角定理是解题的关键．16．（2024•禅城区三模）综合与实践【提出问题】学习完勾股定理后，思考它的逆命题：两边平方和等于第三边的平方的三角形是直角三角形，这个命题正确吗？教材是没有证明的．【先贤智慧】相传我国古代大禹在治水测量工程时，曾用下列的方法确定直角：把一根长绳打上等距离的13个结，然后以3、4、5个结间距的长度为边长，用木桩钉成一个三角形，其中一个角便是直角．【动手操作】如图，三条线段a、b、c的长度比满足a：b：c＝3：4：5，某数学小组利用这三条线段，设计了如下作图步骤对上述问题开展了验证：①作线段AB＝c；②以点A为圆心，b为半径画弧．以点B为圆心，a为半径画弧．两弧相交于C点；③连接AC，BC，得到△ABC．（1）根据作图步骤，完成作图（要求：保留作图痕迹）．【问题解决】（2）由三线段的长度比可知，（1）中的△ABC三边满足AB2＝AC2+BC2，请你证明：边长满足AB2＝AC2+BC2的△ABC是直角三角形．【考点】命题与定理；比例线段；勾股定理的证明．版权所有【正确答案】见解析．【分析】（1）根据画图步骤画图即可；（2）再画一个直角三角形，使两条直角边分别是BC、AC，再证明这两个三角形全等即可．解：（1）根据题意，△ABC就是所画图形；（2）作直角三角形DEF，使∠D＝90°，DE＝BC，DF＝AC，∴EF2＝ED2+DF2，∵AB2＝AC2+BC2，∴AB＝EF，∴△ABC≌△FED，∴∠C＝∠D＝90°，边长满足AB2＝AC2+BC2的△ABC是直角三角形．【点评】本题考查了勾股定理逆定理的证明和作图，解题关键是根据题意画出图形，利用全等三角形的判定与性质进行证明．17．（2024•鄞州区一模）如图是由30个边长为1的正方形组成的9×4的网格，△ABC的顶点都是网格的格点．（1）求tan∠ABC；（2）在图中找一个格点D，利用△ABD和△ABC说明“有两条边和一个角相等的两个三角形全等”是假命题．【考点】命题与定理；解直角三角形；全等三角形的判定．版权所有【专题】图形的全等；解直角三角形及其应用；推理能力．【正确答案】见试题解答内容【分析】（1）根据正切的定义计算；（2）根据题意图中找一个格点D，判断即可．解：（1）如图，在△ABE中，AE＝4，BE＝6，则tan∠ABC=AE（2）在△ABD和△ABC中，AB＝AB，AC＝AD，∠ABC＝∠ABD，而△ABD与△ABC不全等，所以“有两条边和一个角相等的两个三角形全等”是假命题．【点评】本题考查的是解直角三角形、三角形全等的判定，掌握正切的定义、三角形全等的判定定理是解题的关键．18．（2023•临渭区二模）如图，在△ABC和△DEB中，点D在边AB上，下面有四个条件：①BD＝CA，②DE＝AB，③DE∥AC，④∠ABC＝∠E．（1）从中选三个作为题设，余下的一个作为结论，组成一个真命题，将你选择的条件和结论的序号分别填写在对应的横线上，已知：①③④，求证：②；（2）请对你写出的命题进行证明．【考点】命题与定理；平行线的判定与性质．版权所有【正确答案】（1）①③④，②；（2）证明见解答过程．【分析】（1）根据题意写出已知、求证；（2）证明△ABC≌△DEB，根据全等三角形的性质证明即可．（1）解：已知：①③④，求证：②，故①③④，②；（2）证明：∵DE∥AC，∴∠A＝∠EDB，在△ABC和△DEB中，∠ABC∴△ABC≌△DEB（AAS），∴DE＝AB．【点评】本题考查的是命题与定理、全等三角形的判定和性质，熟记全等三角形的判定定理是解题的关键．19．（2023•浦东新区三模）求证：等腰三角形腰上的高与底边的夹角等于其顶角的一半．（1）在图中按照下面“已知”的要求，画出符合题意的图形，并根据题设和结论，结合图形，用符号语言写出“求证”．已知：在△ABC中，AB＝AC，过C作CD⊥AB交BA的延长线于点D．求证：∠BCD=12∠BAC（2）证明上述命题：【考点】命题与定理；等腰三角形的性质．版权所有【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．【正确答案】（1）∠BCD=12∠（2）见解析．【分析】（1）根据题意写出已知和求证；（2）根据等腰三角形的性质用∠A表示出∠B＝∠ACB，根据直角三角形的性质计算，证明结论．（1）解：已知：在△ABC中，AB＝AC，CD⊥AB于D，求证：∠BCD=12∠故∠BCD=12∠（2）证明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB=12（180°﹣∠BAC）＝90°−1∵CD⊥AB，∴∠ACD＝90°﹣∠BAA，∴∠BCD＝∠ACB﹣∠ACD＝（90°−12∠BAC）﹣（90°﹣∠A）=1【点评】本题考查的是命题的证明，掌握等腰三角形的性质、三角形内角和定理是解题的关键．20．（2023•胶州市模拟）证明如图，▱ABCD中，AC，BD相交于点O，E，F分别是OA，OC的中点．（1）求证：BE＝DF；（2）当②时，四边形DEBF是矩形．要求：从下面列出的三个条件中，选一个条件填在横线上，使命题成立．并写出证明过程．①AC：BD＝2；②BD＝2OE；③AD⊥BD【考点】命题与定理；全等三角形的判定与性质；三角形中位线定理；平行四边形的性质；矩形的判定．版权所有【专题】证明题；推理能力．【正确答案】（1）BE＝DF，证明过程详见解析；（2）②，证明过程详见解析．【分析】（1）根据△BOE≌△DOF求证BE＝DF；（2）根据△BOE≌△DOF求证BE＝DF，∠EBD＝∠FDB，进而求证四边形DEBF是平行四边形，再根据所选条件证明四边形DEBF是矩形．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AO＝OC=12AC，BO＝OD=又∵E，F分别是OA，OC的中点，∴AE＝EO＝FO＝FC=12AO=在△BOE和△DOF中，EO=∴△BOE≌△DOF（SAS），∴BE＝DF．（2）②BD＝2OE，证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AO＝OC=12AC，BO＝OD=又∵E，F分别是OA，OC的中点，∴AE＝EO＝FO＝FC=12AO=在△BOE和△DOF中，EO=∴△BOE≌△DOF（SAS），∴∠EBD＝∠FDB，BE＝DF，即BE∥DF，BE＝DF，∴四边形DEBF是平行四边形，∵OE=12又∵BD＝2OE，∴BD＝EF，又∵四边形DEBF是平行四边形，∴四边形DEBF是矩形（对角线相等的平行四边形是矩形）．【点评】本题重点考查三角形全等证明以及平行四边形的证明，熟练掌握三角形全等的证明方法以及平行四边形的证明方法是本题的解题关键．

考点卡片1．代数式求值（1）代数式的值：用数值代替代数式里的字母，计算后所得的结果叫做代数式的值．（2）代数式的求值：求代数式的值可以直接代入、计算．如果给出的代数式可以化简，要先化简再求值．题型简单总结以下三种：①已知条件不化简，所给代数式化简；②已知条件化简，所给代数式不化简；③已知条件和所给代数式都要化简．2．平行线的判定与性质（1）平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系．平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系．（2）应用平行线的判定和性质定理时，一定要弄清题设和结论，切莫混淆．（3）平行线的判定与性质的联系与区别区别：性质由形到数，用于推导角的关系并计算；判定由数到形，用于判定两直线平行．联系：性质与判定的已知和结论正好相反，都是角的关系与平行线相关．（4）辅助线规律，经常作出两平行线平行的直线或作出联系两直线的截线，构造出三类角．3．全等三角形的判定（1）判定定理1：SSS﹣﹣三条边分别对应相等的两个三角形全等．（2）判定定理2：SAS﹣﹣两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等．（3）判定定理3：ASA﹣﹣两角及其夹边分别对应相等的两个三角形全等．（4）判定定理4：AAS﹣﹣两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等．（5）判定定理5：HL﹣﹣斜边与直角边对应相等的两个直角三角形全等．方法指引：全等三角形的5种判定方法中，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件，若已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边；若已知两角对应相等，则必须再找一组对边对应相等，且要是两角的夹边，若已知一边一角，则找另一组角，或找这个角的另一组对应邻边．4．全等三角形的判定与性质（1）全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．（2）在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．5．角平分线的性质角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．注意：①这里的距离是指点到角的两边垂线段的长；②该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据，有时不必证明全等；③使用该结论的前提条件是图中有角平分线，有垂直角平分线的性质语言：如图，∵C在∠AOB的平分线上，CD⊥OA，CE⊥OB∴CD＝CE6．等腰三角形的性质（1）等腰三角形的概念有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．（2）等腰三角形的性质①等腰三角形的两腰相等②等腰三角形的两个底角相等．【简称：等边对等角】③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．【三线合一】（3）在①等腰；②底边上的高；③底边上的中线；④顶角平分线．以上四个元素中，从中任意取出两个元素当成条件，就可以得到另外两个元素为结论．7．勾股定理的证明（1）勾股定理的证明方法有很多种，教材是采用了拼图的方法证明的．先利用拼图的方法，然后再利用面积相等证明勾股定理．（2）证明勾股定理时，用几个全等的直角三角形拼成一个规则的图形，然后利用大图形的面积等于几个小图形的面积和化简整理得到勾股定理．8．等腰直角三角形（1）两条直角边相等的直角三角形叫做等腰直角三角形．（2）等腰直角三角形是一种特殊的三角形，具有所有三角形的性质，还具备等腰三角形和直角三角形的所有性质．即：两个锐角都是45°，斜边上中线、角平分线、斜边上的高，三线合一，等腰直角三角形斜边上的高为外接圆的半径R，而高又为内切圆的直径（因为等腰直角三角形的两个小角均为45°，高又垂直于斜边，所以两个小三角形均为等腰直角三角形，则两腰相等）；（3）若设等腰直角三角形内切圆的半径r＝1，则外接圆的半径R=2+1，所以r：R＝1：9．三角形中位线定理（1）三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．（2）几何语言：如图，∵点D、E分别是AB、AC的中点∴DE∥BC，DE=1210．多边形（1）多边形的概念：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形．（2）多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线．（3）正多边形的概念：各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形．（4）多边形可分为凸多边形和凹多边形，辨别凸多边形可用两种方法：①画多边形任何一边所在的直线整个多边形都在此直线的同一侧．②每个内角的度数均小于180°，通常所说的多边形指凸多边形．（5）重心的定义：平面图形中，多边形的重心是当支撑或悬挂时图形能在水平面处于平稳状态，此时的支撑点或者悬挂点叫做平衡点，或重心．常见图形的重心（1）线段：中点（2）平行四边形：对角线的交点（3）三角形：三边中线的交点（4）任意多边形．11．平行四边形的性质（1）平行四边形的概念：有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形．（2）平行四边形的性质：①边：平行四边形的对边相等．②角：平行四边形的对角相等．③对角线：平行四边形的对角线互相平分．（3）平行线间的距离处处相等．（4）平行四边形的面积：①平行四边形的面积等于它的底和这个底上的高的积．②同底（等底）同高（等高）的平行四边形面积相等．12．平行四边形的判定与性质平行四边形的判定与性质的作用平行四边形对应边相等，对应角相等，对角线互相平分及它的判定，是我们证明直线的平行、线段相等、角相等的重要方法，若要证明两直线平行和两线段相等、两角相等，可考虑将要证的直线、线段、角、分别置于一个四边形的对边或对角的位置上，通过证明四边形是平行四边形达到上述目的．运用定义，也可以判定某个图形是平行四边形，这是常用的方法，不要忘记平行四边形的定义，有时用定义判定比用其他判定定理还简单．凡是可以用平行四边形知识证明的问题，不要再回到用三角形全等证明，应直接运用平行四边形的性质和判定去解决问题．13．菱形的性质（1）菱形的性质①菱形具有平行四边形的一切性质；②菱形的四条边都相等；③菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；④菱形是轴对称图形，它有2条对称轴，分别是两条对角线所在直线．（2）菱形的面积计算①利用平行四边形的面积公式．②菱形面积=12ab．（a、14．菱形的判定与性质（1）依次连接四边形各边中点所得的四边形称为中点四边形．不管原四边形的形状怎样改变，中点四边形的形状始终是平行四边形．（2）菱形的中点四边形是矩形（对角线互相垂直的四边形的中点四边形定为矩形，对角线相等的四边形的中点四边形定为菱形．）（3）菱形是在平行四边形的前提下定义的，首先它是平行四边形，但它是特殊的平行四边形，特殊之处就是“有一组邻边相等”，因而就增加了一些特殊的性质和不同于平行四边形的判定方法．（4）正方形是特殊的菱形，菱形不一定是正方形，所以，在同一平面上四边相等的图形不只是正方形．15．矩形的判定（1）矩形的判定：①矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形；②有三个角是直角的四边形是矩形；③对角线相等的平行四边形是矩形（或“对角线互相平分且相等的四边形是矩形”）（2）①证明一个四边形是矩形，若题设条件与这个四边形的对角线有关，通常证这个四边形的对角线相等．②题设中出现多个直角或垂直时，常采用“三个角是直角的四边形是矩形”来判定矩形．16．矩形的判定与性质（1）关于矩形，应从平行四边形的内角的变化上认识其特殊性：一个内角是直角的平行四边形，进一步研究其特有的性质：是轴对称图形、内角都是直角、对角线相等．同时平行四边形的性质矩形也