20252026学年第26章二次函数练习卷（华东师大版）数学九年级学期 含答案

/第26章二次函数练习卷一、单选题1．二次函数的图象与y轴的交点坐标是（

）A． B． C． D．2．若是二次函数，则的值为（

）A． B．4 C． D．3．对于二次函数，下列结论正确的是（

）A．函数图像的顶点坐标是B．当时，有最小值为7C．当时，随的增大而增大D．图像的对称轴是直线4．下列抛物线中与的形状、开口方向都相同，只有位置不同的是（

）A． B．C． D．5．已知抛物线经过和两点，则的值为（

）.A． B． C． D．6．二次函数的图象如图所示，对称轴为直线，下列结论不正确的是（

）A．B．顶点的坐标为C．当时，y随着x的增大而增大D．当时，7．如图，正方形的顶点A，C在抛物线上，点D在y轴上．若A，C两点的横坐标分别为m，n，下列结论正确的是（

）A． B． C． D．8．已知二次函数的图象上有两点和，则的值为（

）A．2023 B．2024 C．2025 D．2026二、填空题9．坐标平面上有两个二次函数的图象，其顶点M、N皆在x轴上，且有一水平线与两图象相交于A、B、C、D四点，各点位置如图所示，，，，则的长度是_____．10．抛物线与y轴交点位于x轴下方，则______．11．某广场有一喷水池，水从地面喷出，以水平地面为x轴，出水点为原点，建立平面直角坐标系，水在空中运行路线是抛物线（单位：米）的一部分，则水喷出的最远水平距离是______米．12．二次函数y＝－2(x－3)(x＋1)的图象与y轴的交点坐标是________．13．已知抛物线，若抛物线的函数值为，则x的取值范围是_____________．三、解答题14．已知二次函数的，的部分对应值如下表所示：求这个二次函数的表达式．15．已知关于的二次函数（是常数）．(1)求证：二次函数的图象与轴总有两个交点；(2)若该抛物线与轴的交点分别为，且，求的值．16．已知二次函数y=ax2+bx的图象过点（6，0），（﹣2，8）．（1）求二次函数的关系式；（2）写出它的对称轴和顶点坐标．17．某校将新建实验楼的正门设计为一个抛物线型拱门，现将设计方案中的拱门图形放入平面直角坐标系中，如图所示，拱门的跨度，拱高，点M在x轴上，，．要在拱门中设置高为（）的矩形框架，点A、D在抛物线上，边在上，请你根据以上提供的相关信息，解答下列问题：(1)求抛物线的函数表达式；(2)求矩形框架的周长．18．已知抛物线与轴交于点，，与轴交于点．(1)求，的值；(2)直线，且直线与抛物线只有一个交点．①求直线的表达式；②设直线与抛物线的交点为，在平面内是否存在点，使以，，，为顶点的四边形是平行四边形？若不存在，说明理由；若存在，求出点的坐标．19．如图1，已知抛物线经过点A（4，0）、B．(1)直接写出抛物线的解析式和顶点G的坐标；(2)如图2，点C、D是线段OA上的两点（不含端点），过C、D分别作x轴的垂线，交抛物线于点E、F．设P是第三象限内抛物线上任意一点，连接PE和PF，分别交y轴于点M、N．求证：MCND；(3)如图3，直线y＝kx（k＞0）交抛物线于另一点于Q．当∠OQG＝90°时，求k的值．答案1．B【分析】本题考查二次函数图象与y轴的交点，掌握相关知识是解决问题的关键．即令，代入函数解析式计算的值．【详解】解：当时，，∴交点坐标为．故选：B．2．A【分析】本题考查二次函数的定义，二次函数的一般形式为()，根据定义列出关于的方程与不等式，进而求解的值．【详解】解：∵函数是二次函数，∴，且．由，得，解得或．又∵，即，∴．故选：A．3．D【分析】本题考查了二次函数的图像性质，根据得出顶点坐标，对称轴，增减性，以及最值，进行逐项分析，即可作答．【详解】解：∵，∴函数图像的顶点坐标是，故A选项不符合题意；∵，∴开口方向向下，当时，有最大值为7，故B选项不符合题意；∵，∴抛物线开口方向向下，对称轴为直线，故D选项符合题意；当时，随的增大而减小，故C选项不符合题意；故选：D．4．A【详解】本题考查了二次函数(a，b，c为常数，)的性质，a决定抛物线的形状和开口方向，a和b决定对称轴位置，c决定抛物线与轴的交点．根据二次函数的性质判断即可．【分析】解：∵抛物线，∴，开口向上，∴与其开口方向相同、形状相同，位置不同．故选：A．5．D【分析】本题考查二次函数的图像和性质．熟悉二次函数的图像和性质，抛物线的对称性，二次函数的对称轴公式，是解题的关键．点和纵坐标相同，故关于抛物线的对称轴对称，先求对称轴以确定，再代入求．【详解】解：∵抛物线，经过和，两点纵坐标相等，∴对称轴为直线，又∵对称轴为直线，∴，解得，∴抛物线为，代入，得，或代入，，结果一致．故选：．6．D【分析】本题考查二次函数的性质、二次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答．根据题意和二次函数的性质，可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题．【详解】解：二次函数对称轴为直线，，得，故选项A正确；该函数图象过点，，得，，该抛物线的顶点坐标为，故选项B正确；二次函数对称轴为直线，抛物线开口向上，当时，随的增大而增大，当时，随着的增大而增大，故选项C正确；二次函数对称轴为直线，过点，该函数过点，又抛物线的顶点坐标为，当时，，故选项D不正确；故选：D．7．B【分析】本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征、全等三角形的判定与性质及正方形的性质，分别过A，两点作轴的垂线，进而得出全等三角形，根据全等三角形的性质得出，即可解决问题．【详解】解：分别过点A和点作轴的垂线，垂足分别为和，将A，两点的横坐标代入函数解析式得，点坐标为，点坐标为，∴，，，．∵四边形是正方形，∴，，∴，∴．在和中，，∴，∴，，∴，又∵，∴，即，∵，∴，∴．故选：B．8．C【分析】此题考查二次函数的性质，一元二次方程的解，一元二次方程根与系数的关系，由于点A和B在二次函数图象上且纵坐标相同，可得a和b是方程的两个根，利用根与系数的关系得到a，并由方程变形得，代入所求表达式化简计算即可【详解】∵点和在函数的图象上，

∴，即，

同理，

∴a,b是方程的两个根，

由根与系数关系得：，

由，得，

∴，

代入，

∴原式

故选C9．9【分析】本题主要考查了二次函数的图像与性质，线段长度的相关计算，熟练掌握以上知识点是解题的关键．由，，的长度以及根据二次函数的对称性可以知道，和，和，和横坐标的差，从而推出和的横坐标之差，得到的长度．【详解】解：由、、、四点在同一水平线，可以知道四点纵坐标相同，，，，，，，又，．故9．10．【分析】本题主要考查了二次函数的定义以及抛物线与轴交点的性质，熟练掌握二次函数的定义是解题的关键．先根据抛物线的定义确定的取值范围，再根据抛物线与轴交点的位置进一步确定的值．【详解】解：∵函数是抛物线，∴且．由，得，即或；由，得．当时，，∵抛物线与轴交点位于轴下方，∴，∴．故．11．4【分析】本题主要考查了二次函数的应用．水喷出的最远水平距离即为抛物线与x轴交点的横坐标差的绝对值，据此解答即可．【详解】解：令，解得：或，所以抛物线与x轴交于点和，∴水喷出的最远水平距离是米．故答案为4．12．(0，6)【详解】试题分析：当x=0时，y=﹣2（x﹣3）（x+1）=6，所以二次函数y=﹣2（x﹣3）（x+1）的图象与y轴的交点坐标为（0，6）．故答案为（0，6）．考点：二次函数图象上点的坐标特征．13．或【分析】本题考查了二次函数的图象与性质；求出抛物线的对称轴为直线，函数的最小值为；再求出当函数值分别为2与3时的自变量取值，结合二次函数的图象与性质即可求得自变量的取值范围．【详解】解：，则抛物线的对称轴为直线，函数的最小值为；当时，，解得：；当时，，解得：；当，且时，；当，且时，；综上，当，则x的取值范围是或；故或．14．【分析】此题考查了待定系数法求二次函数解析式，能够通过表格找到对称点是解题的关键．根据表格观察出来和为对称点，再通过表格确认顶点坐标，用顶点坐标求二次函数的表达式即可．【详解】解：∵由表可知和为对称点，∴对称轴为直线，∵由表可知，，对应的是，∴该函数的顶点为，且，∴这个二次函数的表达式为．15．(1)见解析(2)【分析】本题考查了二次函数与轴的交点问题，一元二次方程根的判别式，一元二次方程根与系数的关系，完全平方公式的变形，熟练掌握以上知识点并可以灵活运用是解答本题的关键．（1）令，即，根据根的判别式恒大于0即可求解；（2）由题意得：和是方程的两个根，即，，再根据，得到，变形得到，然后分别代入即可求解．【详解】（1）证明：令，即，∴，∵，∴，即，∴方程有2个不相等的根，即二次函数的图象与轴总有两个交点；（2）解：由题意得：和是方程的两个根，∴，，∵，∴，∴，∴，即，解得：．16．（1）y=x2﹣3x；（2）对称轴为直线x=3、顶点坐标为（3，﹣）．【分析】（1）根据图像过点（6，0），（﹣2，8）列方程组求出a、b的值即可，（2）把解析式配方后即可确定对称轴和顶点坐标．【详解】（1）∵y=ax2+bx的图象过点（6，0），（﹣2，8）．∴，解得：，∴二次函数解析式为y=x2﹣3x；（2）∵y=x2﹣3x=（x﹣3）2﹣，∴抛物线的对称轴为直线x=3、顶点坐标为（3，﹣）．本题考查了待定系数法求二次函数的解析式、二次函数的三种形式．将二次函数的一般解析式转化为顶点式时，可采用了“配方法”．灵活运用二次函数的三种形式是解题关键.17．(1)(2)【分析】本题考查了二次函数的应用，矩形的性质，准确熟练地进行计算是解题的关键．（1）根据题意可得：点M为，顶点E为，然后利用待定系数法求二次函数解析式进行计算，即可解答；（2）利用（1）的结论进行计算，即可解答．【详解】（1）解：∵拱门的跨度，，∴点M为，，∵拱高，，∴顶点E为，设抛物线的函数表达式为，把代入中得：，解得：，∴；（2）解：当时，，解得：，∴，∴，∴矩形框架的周长，即矩形框架的周长为．18．(1)，(2);存在，点的坐标为或或【分析】（1）利用待定系数法求抛物线的解析式即可；（2）①先求出直线的解析式为，根据直线，设的表达式为，再根据与抛物线只有一个交点求解即可；②先求出点的坐标，设，然后根据四边形的对角线分三种情况讨论即可．【详解】（1）解：将，代入抛物线解析式，得：，解得：，；（2）解：①由（1）可知，抛物线解析式为：，令，则，∴，设直线的解析式为，将代入，得：，解得：，∴，∵直线，∴设的表达式为：，联立直线与抛物线，得：，整理，得：，∵直线与抛物线只有一个交点，∴，解得：，∴直线的表达式为：；②存在，点的坐标为或或，理由如下：设直线与抛物线的交点为，∴，解得：，∴，∵，，∴直线的解析式为：，∴不在直线上，∴一定存在，设，然后分三种情况讨论：第一种情况：当四边形为平行四边形时，由平行四边形的性质可知，和互相平分，又，，，∴，，∴，，∴；第二种情况：当四边形为平行四边形时，和互相平分，∴，，∴，，∴；第三种情况：当四边形为平行四边形时，和互相平分，∴，，∴，，∴；综上所述，点的坐标为或或．本题主要考查了待定系数法求一次函数、二次函数解析式，求一次函数与二次函数交点，解二元一次方程组，二次函数与平行四边形的结合，中点坐标公式等知识点，熟练掌握二次函数的图象与性质、平行四边形的性质及中点坐标公式是解题的关键．19．(1)y＝﹣x2+4x，顶点G的坐标为（2，4）(2)见解析(3)k＝1【分析】（1）使用待定系数法求解即可；（2）设，及PE直线的解析式y=kx+m，联立求解.得出，从而tan∠OCM=t，同理也可得到tan∠ODN=-t，由∠OCM=∠ODN，证得MCND．；（3）联立y=kx和抛物线解析式，可计算Q坐标，根据O，G，Q坐标可用k表示OG，GQ，OQ的长度，根据勾股定理可解得k.【详解】（1）解：将代入，解得，∴抛物线的解析式为，顶点G的坐标为：（2，4）．（2）设，则E，∵点P是第三象限内抛物线上一点，故可设，其中t＜0，设PE：y＝kx+m，则，解得：，∴PE：y＝（4﹣t﹣c）x+ct，令x＝0，得y＝ct，即M（0，ct），∴OC＝c，OM＝﹣ct，在Rt△OCM中，tan∠OCM＝＝﹣t，同理：tan∠ODN＝﹣t，，