2027届新高考数学热点精准复习排列与组合

2027届新高考数学热点精准复习排列与组合1.排列与组合的概念名称定义区别排列按照____________排成一列排列有序，组合无序组合作为一组一定的顺序2.排列数与组合数名称定义计算公式性质联系排列数不同排列

名称定义计算公式性质联系组合数（2）应用时一般是先选（元素）后排，先分组后分配

不同组合

续表常用结论1.排列的常用方法：（1）相邻问题——捆绑法；（2）不相邻问题——插空法；（3）定序问题（或相同元素）——用除法处理；（4）分排问题——直排法.

类型分法两组各有两个一组一个两组各有一个一组三个（3）六个不同的小球的分三组结论：类型分法每组两个一组一个，一组二个，一组三个一组四个，另外两组各一个题组一

常识题1.［教材改编］某校文艺部有4名学生，其中高一、高二年级各2名，从这4名学生中随机选2名参加校文艺汇演，要求这2名学生来自不同年级，则不同的选择方法共有___种.4

◆对点演练

◆2.［教材改编］某学校组织高二学生参加社会实践研学活动，研学路线有成都、南京、西安共3条.学校安排3名男教师和3名女教师一起负责研学活动，若每条路线安排男、女教师各1名，则不同的分配方案种数为____.36

20

题组二

常错题◆

索引：不能正确区分排列与组合;不能正确运用捆绑法致误;部分均匀分配问题不明白原理;分类标准不清致误.4.从5名学生中选出4名去参加学科竞赛,有___种选法;若这4名学生分别参加数学、物理、化学、生物四科竞赛,则不同的参赛方案种数为_____;若甲不参加生物竞赛,则不同的参赛方案种数为____.512096

5.已知4个男生，3个女生站成一排，若3个女生必须排在一起，则有_____种不同的排法；若甲、乙2人之间恰好有3个人，则有_____种不同的排法.（用数字作答）720720

6.有五位志愿者参加三项志愿活动，每人至少参加一项，每项活动至少一人参加，则不同的参加方式种数为_____.150

探究点一

排列问题

A.8种

B.14种

C.18种

D.24种［思路点拨］按照甲站在第二位和不站在第二位两种情况讨论，结合分类加法计数原理可得解.√

（2）有甲、乙等5名同学咨询数学史知识竞赛分数.教师说：甲不是5人中分数最高的，乙不是5人中分数最低的，而且5人的分数互不相同.则这5名同学的可能排名有(

)A.42种

B.72种

C.78种

D.120种［思路点拨］思路一：根据题意，按甲同学的排名分两种情况讨论，求出每种情况下的可能排名数目，由分类加法计数原理计算可得答案；思路二：首先考虑没有任意限制条件的所有排名方法，然后减去不符合题意的情况，由此求得正确答案.√

[总结反思]求排列问题的注意点（1）有些排列的问题，可以根据机会均等的关系或每个元素出现的机会所占整个问题的比例关系使问题得到解决.（2）间接法是解决排列问题的常用方法，即遇到直接进行解题步骤多,

不易计算时，可以考虑先计算出总的情况数,然后计算出不满足要求的情况数,最后用总的情况数减去不满足的情况数即得最后答案.（3）求解排列问题往往有多个不同的思路，若选择方法得当，则求解过程简单，容易让人接受，否则复杂难解且易犯“重复”或“遗漏”等错误，因此，可借助分类讨论思想来求解.变式题（1）已知4张卡片的正、反两面分别写有数字1，2；3，4；5，6；7，8.将这4张卡片排成一排，则可构成不同的四位数的个数为(

)A.384

B.360

C.120

D.368

√（2）电视台有6个不同的节目准备当天播出，每半天播出3个节目，其中某电视剧和某专题报道必须在上午播出，则不同播出方案的种数为_____（用数字作答）.144

探究点二

组合问题例2（1）某公司的一个部门有6名男员工和4名女员工，从该部门选3人组成一个项目组，要求该项目组男、女员工都有，则不同的选法种数为(

)A.84

B.90

C.96

D.100［思路点拨］思路一：直接法，即分1男2女，2男1女两种情况求解；思路二：间接法，即先求出无任何限制条件的选法，然后减去全是男生和全是女生的选法.√

A.12

B.24

C.28

D.36

√

[总结反思]解决组合问题的注意点（1）“含有”或“不含有”某些元素的组合题型:“含”则先将这些元素取出,再由另外元素补足;“不含”则先将这些元素剔除,再从剩下的元素中选取.（2）“至少”或“至多”含有几个元素的组合题型:用直接法和间接法都可以求解,通常用直接法分类复杂时,用间接法处理.（3）成双成对的元素一般是先取双再取单.变式题（1）[2025·天津十二区重点学校二联]将5个颜色互不相同的小球全部放入编号为1和2的两个盒子里，使得放入每个盒子里的小球的个数不小于该盒子的编号，则不同的放球方法有(

)A.3种

B.4种

C.10种

D.25种√

（2）[2025·辽宁辽南协作体三模]将9本不同的书平均分成三摞，如图所示，现将这9本书全部取走，且每次只能从其中一摞的上面取1本，则不同的取法有(

)

√

探究点三

排列与组合的综合应用角度1相邻、相间及特殊元素（位置）问题

A.12种

B.24种

C.36种

D.48种

√

（2）甲、乙等6人参加某次会议，会议安排其前后两排入座，每排3人（如图所示），其中甲坐后排，乙与甲前后、左右均不相邻，则不同的坐法共有(

)A.144种

B.168种

C.192种

D.216种［思路点拨］分类讨论甲坐的位置，然后根据分类加法计数原理求解即可.√

[总结反思]（1）对于有限制条件的排列组合问题，分析问题时有位置分析法、元素分析法.在实际进行排列时一般采用特殊元素优先原则，即先安排有限制条件的元素或有限制条件的位置，对于分类过多的问题可以采用间接法.（2）有限制条件的排列问题的常用方法：相邻问题采用捆绑法，不相邻问题采用插空法.变式题（1）某多功能体育场馆决定承包举办马术、击剑、游泳、跑步四项比赛.应主办方要求，马术比赛和跑步比赛不相邻，游泳比赛不在第一场也不在最后一场，则不同的比赛方式共有(

)A.16种

B.12种

C.8种

D.6种

√（2）毕业前夕，某高中高三（6）班科技创新兴趣小组的5名同学与1名辅导老师，共6人合影留念，站成前后相对应的两排，每排3人，老师站在前排中间，其中甲、乙两名同学相邻（仅包括正前后或左右），则不同的站法种数为(

)A.24

B.36

C.42

D.48√

角度2

定序问题

A.120

B.160

C.240

D.360

√

[总结反思]定序问题用除法：对于某几个元素顺序一定的排列问题，可先把这几个元素与其他元素一同进行排列，然后用总的排列数除以这几个元素的全排列数.变式题

一班有5名棋手，出场次序已经排定，二班有2名棋手，现要排出这7人的出场顺序，如果不改变一班棋手出场次序，那么不同排法有(

)A.12种

B.20种

C.30种

D.42种√

角度3

相同元素分配问题例5

[2025·江苏泰州姜堰区二调]2025年央视春晚的四个分会场分别为重庆、武汉、无锡和拉萨，现有11个志愿者名额分配给这四个分会场，其中一个分会场分5个名额，在余下的三个分会场中每个会场至少分一个名额，则名额分配的不同种数为(

)A.210

B.35

C.40

D.120［思路点拨］根据给定条件，选择一个分会场获取5个名额，再将余下的6个名额利用隔板法分到另外三个分会场即可.√

变式题

《九章算术》是我国古代数学名著之一，其中记载了关于粟米分配的问题.现将14斗粟米分给4个人，每人分到的粟米斗数均为整数，每人至少分到1斗粟米，则不同的分配方法有(

)A.715种

B.572种

C.312种

D.286种

√角度4

分组分配问题例6

[2025·安徽合肥A10联盟模拟]甲、乙、丙、丁、戊五位同学打算去蚌埠固镇、天津陈塘关、南阳西峡县三个哪吒故里旅游打卡，每位同学只去一个地方，每个地方至少去1人，则不同的安排方法有(

)A.120种

B.150种

C.180种

D.300种［思路点拨］将五位同学分成三组，各组人数分别为1,1,3或1,2,2，进行求解.√

变式题

[2025·湖南娄底质检]长沙是一座有着悠久历史和丰富文化底蕴的城市，当地美食也独具特色.某个假期期间，一名游客前往长沙旅游打卡，现要每天从臭豆腐、炸藕夹、剁椒鱼头、辣椒小炒肉、酱板鸭、糖油粑粑这6种美食中随机选择2种品尝（选择的2种美食不分先后顺序），若三天后他品尝完这6种美食，则这三天他选择美食的不同选法种数为(

)A.90

B.120

C.150

D.180√

【备选理由】例1是排列问题，能够加深排列问题的注意点；例1

［配例1使用］将六个数0，1，2，9，19，20按任意次序排成一行，拼成一个八位数，则产生的不同的八位数的个数是(

)A.498

B.516

C.534

D.546√

例2

［配例2使用］[2026·山西长治质检]某游戏在山西的取景地共27处，包括长治市的崇庆寺、观音堂，大同市的云冈石窟等，具体分布如下：城市大同朔州忻州晋中长治晋城临汾运城取景地个数62622324某游客计划从中选5处景点游玩，其中长治、晋城的景点各选1处，大同的景点选2处，且云冈石窟必选，则不同的选法有(

)A.26种

B.450种

C.480种

D.1440种√【备选理由】例2考查组合问题的实际应用；

例3

［配例3使用］把除颜色外完全相同的5个红球和3个白球排成一行，则恰有3个红球相邻排在一起的不同排法种数为____.（用数字作答）24

【备选理由】例3考查相邻问题，体现整体思想的应用；例4

［配例4使用］为了抒写乡村发展故事，展望乡村振兴图景，演出民众身边日常，唱出百姓幸福心声，某地组织了“美丽乡村”节目表演，共有舞蹈、歌曲、戏曲、小品、器乐、非遗展演六个节目，若要求歌曲和戏曲节目相邻，且歌曲和戏曲都在器乐节目前面演出，则节目的排列顺序种数为(

)A.120

B.360

C.180

D.90√

【备选理由】例4考查定序问题，强化对有顺序与无顺序的理解；