上海市徐汇区2025-2026学年第二学期学习能力诊断高三数学试卷+答案

试卷第=page11页，共=sectionpages33页试卷第=page11页，共=sectionpages33页上海市徐汇区2025-2026学年第二学期学习能力诊断高三数学试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、填空题1．不等式1x−22．函数y=2x3．计算：i=14．若函数y=fx在x=x05．若幂函数y=xα在区间(0,6．若tanα−β=7．若x+1xn8．已知向量a､b，其中b=3，a在b方向上的投影向量是29．已知实数a1､a2､a310．设A,B是一个随机试验中的两个事件，且P(B11．已知复数w1,w2满足w1−w2=4w1−w212．如图为一架农业无人机沿固定航线匀速飞行，并在某时刻向下喷洒农药的示意图.将种植坡面视为坡角为θ的平面，航线视为直线，无人机视为航线上的点，无人机在任意时刻喷洒农药的雾滴形成的形状均为以铅垂线为轴､母线与轴夹角为45∘的圆锥及其内部.若无人机飞行的海拔高度恒定，航线与种植坡面平行且距离为3米，假设无人机飞行时农药喷洒不间断且不受风速影响；则飞行过程中会在种植坡面上形成一条宽为Lθ米的“农药条带”.当0∘≤θ≤15二、单选题13．已知a､b∈R，则“lnaA．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充要条件 D．既非充分又非必要条件14．已知甲､乙两班在某次数学测验中成绩近似服从正态分布，甲班成绩X∼Nμ1,A．μ1<B．μ1>C．PD．P15．设ω>0，函数y=32cosωA．0,12 B．13,116．设m∈R.定义点Pm,12m−1①若m=0，则其1-②设t0>0，若对任意实数m及任意t≤t0，集合则正确的选项是（

）A．①是真命题，②是真命题 B．①是假命题，②是假命题C．①是真命题，②是假命题 D．①是假命题，②是真命题三、解答题17．如图，在四棱锥P−ABCD中，△PC(1)求证：PB(2)若四棱锥P−ABCD的体积为418．为落实《全民健身条例》，某区体育局对本区居民的健身场所选择偏好进行调研.数据显示，居民主要选择商业健身场馆（如健身房､体育中心）和社区公共运动场（如小区健身点､街心公园）两类场所.为了解年龄因素是否影响健身场所的选择，研究人员将成年居民分为青壮年组（≥18岁且<40岁）和中老年组（≥40青壮年中老年合计商业健身场馆60社区公共运动场50合计80170(1)请补充2×2列联表，并根据表中数据判断能否有(2)用分层抽样的方式从选择社区公共运动场的居民中抽取14个人，再从14个人中随机抽取7个人，用随机变量X表示这7个人中中老年与青壮年人数之差的绝对值，求X的分布和数学期望.参考公式及数据：χ2=nP0.10.050.0250.010.0050.001χ2.7063.8415.0246.6357.87910.82819．已知函数y=fx，其中f(1)设gx=2x，写出函数y=(2)设gx=log2x.若关于x20．已知无穷数列λn为严格增数列，且λn>0.双曲线Cn的方程为x2−(1)若λ1=1(2)若λ1=1,λ2=(3)已知直线AnBn过双曲线Cn+1的右顶点.若Bn在双曲线Cn的右支上，则称弦AnBn为双曲线Cn的“同支弦”，否则称其为双曲线21．已知函数y=fx与函数y=gx的定义域均为R，且在R上的导函数分别为f′x和g′x.若存在常数k，使得对任意实数(1)设fx=cosx,(2)设fx=x2,gx=ex+(3)已知y=gx是y=fx的“1-调整函数”，函数y=gx的值域是一个闭区间，记作集合P答案第=page11页，共=sectionpages22页答案第=page11页，共=sectionpages22页《上海市徐汇区2025-2026学年第二学期学习能力诊断高三数学试卷》参考答案题号13141516答案ACCD1．2,+【详解】因为1x−2>0，所以2．0【详解】令y=2x−1所以函数y=3．1【分析】根据无穷等比数列的求和公式直接即可求出答案.【详解】i=故答案为：1.4．2【详解】根据导数的定义，函数y=fx在x根据导数的几何意义，就是函数在该点处切线的斜率，因为y=fx在x=x所以limh5．(【分析】由幂函数的性质进行求解即可.【详解】因为幂函数y=xα所以α<故答案为：(6．5【详解】由tanα则tanα7．8【分析】利用二项展开式通项以及已知条件可得出关于n的等式，即可得解.【详解】根据二项式定理，x+1xTk当k=4时，第5项为则n−解得：n=8．2【详解】因为a在b方向上的投影向量是a·bbb9．34【详解】设a1､a2､则a=所以a1s==2因为函数fx=2x2且f1所以当t=1或4时，该组数据的方差相等，且取得最大值，为所以该组数据方差的最大值为：342510．7【分析】根据给定的条件，利用对立事件的概率公式，以及全概率公式，列出方程，即可求解.【详解】由P(B|A)则P(B)即13=P11．[【分析】先对已知条件w1−w2=4w1−w2进行化简，得出w【详解】∵w1−设w1−w2=m，则m=已知z−wi∈[1,3]，根据复数模的几何意义，z−wi表示复数z所对应的点Z到复数wi所对应的点W记W1,W当z1,z2分别在以W1,W当z1,z2分别在以W1,W∴z1−12．6.93【详解】作垂直于无人机航线与平面α的平面，与无人机航线交于点A,与平面α交于直线BC，线段BC的长为农药条带的宽度，BH为水平线作AD⊥BC于D，AD⊥B由题意得∠B则∠CAD所以ACB=6因为0∘≤θ≤15BC13．A【详解】lna>lnb等价于a>a>b>0可以推出a>b，但a>b无法推出14．C【详解】正态密度曲线关于x=μ对称，对称轴位置对应均值μ；且σ越大，曲线越矮胖，从图中可知：X的对称轴为x=70，Y的对称轴为x=75，因此μ1由正态分布的对称性：P(X≤P(Y≥75)=0.5，而15．C【详解】因为y=由π2<x<π，ω因为函数y=sinω所以函数的半个周期的区间长度不小于π2，即πω≥π2结合正弦函数性质，则有0<ωπ解得0<ω≤即ω的取值范围为：0,16．D【分析】对于①，先判断出相伴集合的对应平面图形为正方形，即可得到面积；对于②，根据无交点的限制得出正方形的点应满足y<12x2，然后对不同的自变量范围分类讨论，综合得到【详解】根据定义点P的t-相伴集合即为以P为中心的边长为2若m=0，则其1-相伴集合AP−集合AP−t对应一系列正方形，它们与抛物线x则意味着这些正方形都在抛物线下方即正方形内的点均满足y<有ymax=12m设f(x)=12x当m>t时，h(设u=m-t，则u>令g(u)=1当-t<m≤t时，h12m-1+当m≤-t时，h设v=m+t，则v≤令p(v)=1综上所述t<712，要使对任意实数m及任意t≤17．(1)证明见解析(2)arcsin【分析】（1）取CD的中点E，利用等边三角形性质和直角梯形的性质证明CD⊥面P（2）首先利用体积公式求出四棱锥的高，结合几何特征得到PE⊥面【详解】（1）取CD的中点E，连接P因为AB//则DE=A又CD⊥A所以BE△PCD为等边三角形，E所以PEBE∩PE=所以CD⊥平面PB⊂平面PB（2）梯形ABCD设四棱锥P−ABCD得h=所以PE⊥平面以EB,EC,EP所在直线分别为xB(2,0,0)设面PBC的法向量为PB=(n⋅PB取z=则n=(3设直线PD与平面PBCsinθ直线PD与平面PBC18．(1)列联表见解析，有95%的把握认为年龄与健身场所选择有关(2)X的分布见解析，数学期望为439143（或约3.07【分析】（1）先补全2×2列联表，再代入卡方独立性检验公式计算统计量，与95%置信度临界值比较，判断年龄与健身场所选择是否有关联；（2）先按分层抽样确定抽取的青壮、中老年人数，再用超几何分布计算随机变量X的各取值概率，列出分布列并代入期望公式求数学期望.【详解】（1）根据已知数据计算空缺值，得到完整2×青壮年中老年合计商业健身场馆6040100社区公共运动场205070合计8090170χ2=170因此有95%的把握认为年龄与居民健身场所的选择有关.（2）选择社区公共运动场的居民共70人，其中青壮年20人、中老年50人，抽样比为1470因此抽取的样本中青壮年人数：20×15设抽取的7人中中老年人数为m，则青壮年人数为7−m，因为青壮年共4人，故7−m≤4，解得因此m=3,4,总情况数为C14X=1（对应m=3或X=3（对应m=5X=5（对应m=6X=7（对应m=7因此，X的分布列为：X1357P4063355所以E19．(1)x|x≠(2)a=13或【分析】（1）由分母不等于0解出定义域，由奇函数的定义域关于原点对称求出a的值，再利用奇函数的定义检验即可；（2）令t=log2x，则原命题可等价于方程t2+(【详解】（1）由题意知：fx分母不等于0得：a−解得：x≠所以函数y=fx要使函数y=则log2a=当a=1时，fx此时f−所以存在正数a=1，使得函数（2）由题意知：fx则fx=gx等价于2a化简得：log2令t=log2原命题等价于：t2①方程有两相等实根，且不等于a，所以Δ=化简得：a2解得：a=验证根是否等于a，当a=5+当a=5−②方程有两不等实根，且其中一个根为a，则将t=a代入方程：当a=13解得：t=13综上所述：正数a的取值为a=13或a20．(1)渐近线方程y=±x(2)[(3)不存在，理由见解析【分析】（1）根据双曲线的标准方程求出a,（2）先设出A1,A2的坐标，再根据中点坐标公式得到t关于（3）先设出直线AnBn的方程，然后分别联立直线与双曲线C【详解】（1）当λ1=1时，双曲线C1的方程为根据双曲线渐近线方程y=±b根据c2=a2+b2（2）设A1x1,y1,A2在双曲线C2:已知点Tt,0为线段A因为x1≥1,x即实数t的取值范围是[3（3）Cn的右顶点为λ若直线AnBn的斜率为0，此时Anλ若直线AnBn的斜率不为0，设直线AnB得t2当t2-设AnxAn设t2-1当AnBn为异支弦时，y1y所以AnBn当AnBn因为-λn+所以同支弦长最小值为2λn+12若λn是等差数列，设公差为d>0，则一定存在一个充分大的n此时2λn>21．(1)证明见解析(2)((3)不一定，举出反例即可【分析】（1）对fx,gx分别求导，并根据y=gx是y（2）对fx,gx分别求导，根据y=gx是y=fx的“k-调整函数”的定义，得ex-1≥2kx（3）对题意所述函数举出实例说