【数学】古典概型同步课件-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

第十章概率10.1

随机事件与概率

10.1.3 古典概型1.

结合具体实例，理解古典概型，能计算古典概型中随机事件的概率.2.理解古典概型的两个基本特征和计算公式，能利用古典概型解决简单的实际问题.学习目标重点：古典概型的概念与计算.难点：古典概型的应用.我们将具有（1）有限性（2）等可能性两个特征的试验称为古典概型试验，其数学模型称为古典概率模型，简称古典概型.

（1）有限性：样本空间的样本点只有有限个；（2）等可能性：每个样本点发生的可能性相等.一

古典概型知识梳理

三、求解古典概型问题的一般思路（1）明确试验的条件及要观察的结果，用适当的符号（字母

、数字、数组等）表示试验的可能结果（借助图表可以帮助我们不重不漏地列出所有的可能结果）；（2）根据实际问题情境判断样本点的等可能性；（3）计算样本点总个数及事件A包含的样本点个数，求出事件A的概率.

常考题型题组一古典概型的判断例判断下列试验是不是古典概型：（1）一个不透明的口袋中有2个红球、2个白球，每次从中任取1个球，观察颜色后放回，直到取出红球；（2）从甲、乙、丙、丁、戊5名同学中任意抽取1名担任学生代表；（3）射击运动员向一靶子射击5次，脱靶的次数.【解题提示】运用古典概型的两个特征逐个判断即可.【解】（1）每次摸出1个球后，仍放回袋中，再摸1个球.显然，这是有放回抽样，依次摸出的球可以重复，且摸球可无限地进行下去，即所有的可能结果有无限个，因此该试验不是古典概型.（2）从5名同学中任意抽取1名，有5种等可能发生的结果：抽到学生甲，抽到学生乙，抽到学生丙，抽到学生丁，抽到学生戊.因此该试验是古典概型.（3）射击的结果：脱靶0次，脱靶1次，脱靶2次，…，脱靶5次.这都是样本点，但不是等可能事件.因此该试验不是古典概型.◆古典概型的判断方法1.判断一个随机试验是不是古典概型，只要看以下两个特征是否同时成立：（1）有限性：样本空间的样本点是有限个.（2）等可能性：每个样本点发生的可能性相等.两个特征同时成立的才是古典概型.2.常见的具备等可能性的语句有“随机抽取”“任选”“质地均匀”“完全相同”等.变式训练下列试验中是古典概型的是（

）A.在适宜的条件下，种下一粒种子，观察它是否发芽B.一个不透明的口袋里有2个白球和2个黑球，这4个球除颜色外完全相同，从中任取1个球C.向一个圆面内随机地投一个点，观察该点落在圆内的位置D.射击运动员向一靶心进行射击，试验结果为命中10环，命中9环，…，命中0环B【特别提醒】下列三类试验都不是古典概型：1.样本点个数有限，但不等可能；2.样本点个数无限，但等可能；3.样本点个数无限，也不等可能.

题型三常见的古典概型问题1.与数字有关的古典概型问题例从1，2，3，4，5，6中先后任取两个数字，先取的数字作十位上的数、后取的数字作个位上的数，组成一个两位数，求组成的两位数大于50的概率.

C【方法技巧】关于数字问题的古典概型，要注意数字的选取及其顺序问题，可以用穷举法写出符合要求的样本点，再进行计算，特别注意的是数字是否允许重复，它们的样本点是不同的.

2.抛硬币中的古典概型问题例

先后抛掷质地均匀的3枚硬币各一次.（1）一共可能出现多少种结果？（2）出现“2枚正面朝上，1枚反面朝上”的结果有多少种？（3）出现“2枚正面朝上，1枚反面朝上”的概率是多少？

A◆抛硬币中的古典概型问题的求解策略抛掷n枚质地均匀的硬币，每枚硬币都有“正面朝上”“反面朝上”两种等可能发生的结果，因此，该试验共有2n个等可能发生的样本点，将所有的样本点（第一枚硬币的结果（正或反），第二枚硬币的结果（正或反），…，第n枚硬币的结果（正或反））列举出来，统计所求事件包含的样本点个数，则易得所求事件发生的概率.抛掷n枚硬币一次或一枚硬币抛掷n次，试验的样本空间可以看成是相同的、有顺序的.3.抛骰子中的古典概型问题例

抛掷两枚质地均匀的骰子，求：（1）向上的点数之和为5的概率；（2）向上的点数之和为7的概率；（3）向上的点数为两个4点的概率.【解】在抛掷两枚质地均匀的骰子的试验中，每枚骰子均可能出现1点，2点，…，6点.两枚骰子出现的点数可以用有序实数对（x，y）来表示，它与直角坐标系内的一个点对应，则所有的样本点为（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（1，6），（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（2，5），（2，6），（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），（3，5），（3，6），（4，1），（4，2），（4，3），（4，4），（4，5），（4，6），（5，1），（5，2），（5，3），（5，4），（5，5），（5，6），（6，1），（6，2），（6，3），（6，4），（6，5），（6，6），共36个.（1）（2）

◆抛骰子中的古典概型问题的求解策略1.抛掷一枚骰子两次与一次抛掷两枚骰子是等价的，处理方法相同.2.求解抛掷两枚骰子的古典概型问题时常用列表法（或坐标系法），这样，不论是样本空间中的样本点数，还是所求事件包含的样本点数都一目了然.

CBA4.与顺序有关的古典概型问题例随意安排甲、乙、丙3人在3天节日中值班，每人值班1天.（1）这3人的值班顺序共有多少种不同的安排方法？（2）甲在乙之前的安排方法有多少种？（3）甲安排在乙之前的概率是多少？

5.抽样中的古典概型问题例从含有两件正品a1，a2和一件次品b1的三件产品中每次任取一件，每次取出后不放回，连续取两次.（1）求取出的两件产品中恰有一件次品的概率.（2）如果将“每次取出后不放回”这一条件换成“每次取出后放回”，则取出的两件产品中恰有一件次品的概率是多少？【解题提示】已知从两件正品和一件次品中任取两件产品，分不放回和有放回两种情况，分别计算恰有一件次品的概率.根据不同抽样方式，先列出样本空间中的样本点，再进行计算.

DB◆有放回和无放回抽样问题的求解策略在进行古典概型试验时常有两种抽取方式：一种是不放回抽取；另一种是有放回抽取.不放回抽取是指前一次抽取的个体，不再放回原处，即前一次抽取时有n个个体，那么紧接的下一次抽取时只有（n-1）个个体.有放回抽取是指前一次抽取的个体再放回原处，搅拌均匀后再一次抽取，即前一次抽取时有n个个体，那么紧接的下一次抽取时还有n个个体.题组四概率与统计的综合问题例

某市为了调查市民对城区环境卫生的满意程度，研究人员随机抽取了1000名市民进行调查，并将满意程度统计成如图所示的频率分布直方图，其中a＝2b.（1）求a，b的值；（2）若按照分层随机抽样的方式从［50，60），［60，70）中随机抽取5人，再从这5人中随机抽取2人，求至少有1人的分数在［50，60）的概率.【解题提示】（1）由频率分布直方图列出方程，由此能求出a，b.（2）［50，60），［60，70）两段频率比为0.1∶0.15＝2∶3，按照分层随机抽样的方式从［50，60），［60，70）中随机抽取5人，从分数在［50，60）中抽取2人，记为a1，a2，从分数在［60，70）中抽取3人，记为b1，b2，b3，从这5人中随机抽取2人，利用列举法能求出至少有1人的分数在［50，60）的概率.

变式训练20名学生某次数学考试成绩（单位：分）的频率分布直方图如图.（1）求频率分布直方图中a的值；（2）分别求出成绩落在［50，60）与［60，70）中的学生人数；（3）从成绩在［50，70）中的学生中任选2人，求这2人的