中考专题2026年中考数学专项提优复习：二次函数含答案

[中考专题]2026年中考数学专项提优复习：二次函数[含答案]二次函数的定义与表达式1.定义：一般地，形如$y=ax^{2}+bx+c$（$a$，$b$，$c$是常数，$a\neq0$）的函数叫做二次函数。其中$x$是自变量，$y$是$x$的函数。2.三种表达式一般式：$y=ax^{2}+bx+c$（$a\neq0$）。已知抛物线上任意三点的坐标时，通常设为一般式来求解函数表达式。顶点式：$y=a(xh)^{2}+k$（$a\neq0$），其中$(h,k)$为抛物线的顶点坐标。当已知抛物线的顶点坐标或对称轴时，可设为顶点式。交点式：$y=a(xx_{1})(xx_{2})$（$a\neq0$），其中$x_{1}$，$x_{2}$是抛物线与$x$轴交点的横坐标。当已知抛物线与$x$轴的两个交点坐标时，可设为交点式。二次函数的图象与性质1.图象：二次函数$y=ax^{2}+bx+c$（$a\neq0$）的图象是一条抛物线。2.性质开口方向：当$a\gt0$时，抛物线开口向上；当$a\lt0$时，抛物线开口向下。$|a|$越大，抛物线的开口越窄；$|a|$越小，抛物线的开口越宽。对称轴：抛物线$y=ax^{2}+bx+c$（$a\neq0$）的对称轴是直线$x=\frac{b}{2a}$。顶点坐标：把$x=\frac{b}{2a}$代入$y=ax^{2}+bx+c$可得顶点纵坐标$y=\frac{4acb^{2}}{4a}$，所以顶点坐标是$(\frac{b}{2a},\frac{4acb^{2}}{4a})$。增减性：当$a\gt0$时，在对称轴左侧，即$x\lt\frac{b}{2a}$时，$y$随$x$的增大而减小；在对称轴右侧，即$x\gt\frac{b}{2a}$时，$y$随$x$的增大而增大。当$a\lt0$时，在对称轴左侧，即$x\lt\frac{b}{2a}$时，$y$随$x$的增大而增大；在对称轴右侧，即$x\gt\frac{b}{2a}$时，$y$随$x$的增大而减小。最值：当$a\gt0$时，抛物线有最低点，函数有最小值，$y_{min}=\frac{4acb^{2}}{4a}$；当$a\lt0$时，抛物线有最高点，函数有最大值，$y_{max}=\frac{4acb^{2}}{4a}$。二次函数与一元二次方程的关系1.抛物线$y=ax^{2}+bx+c$（$a\neq0$）与$x$轴的交点情况可由对应的一元二次方程$ax^{2}+bx+c=0$（$a\neq0$）的根的判别式$\Delta=b^{2}4ac$来判断。当$\Delta\gt0$时，方程$ax^{2}+bx+c=0$有两个不相等的实数根，抛物线与$x$轴有两个交点。当$\Delta=0$时，方程$ax^{2}+bx+c=0$有两个相等的实数根，抛物线与$x$轴有一个交点。当$\Delta\lt0$时，方程$ax^{2}+bx+c=0$没有实数根，抛物线与$x$轴没有交点。2.若抛物线$y=ax^{2}+bx+c$（$a\neq0$）与$x$轴的两个交点坐标分别为$(x_{1},0)$，$(x_{2},0)$，则$x_{1}$，$x_{2}$是方程$ax^{2}+bx+c=0$（$a\neq0$）的两个根，且$x_{1}+x_{2}=\frac{b}{a}$，$x_{1}x_{2}=\frac{c}{a}$。二次函数的应用1.求最值问题：在实际问题中，当自变量的取值范围是全体实数时，二次函数在顶点处取得最值；当自变量的取值范围是某一区间时，要根据对称轴与该区间的位置关系来确定最值。2.抛物线型问题：如桥梁、隧道、喷泉等问题，通常建立合适的平面直角坐标系，设出二次函数表达式，再根据已知条件求解。例题讲解1.已知二次函数的图象经过点$(0,3)$，$(3,0)$，$(2,5)$，求此二次函数的表达式。解：设二次函数的表达式为$y=ax^{2}+bx+c$（$a\neq0$）。因为函数图象经过点$(0,3)$，$(3,0)$，$(2,5)$，所以把这三个点的坐标分别代入表达式可得：$\begin{cases}c=3\\9a3b+c=0\\4a+2b+c=5\end{cases}$将$c=3$代入$9a3b+c=0$和$4a+2b+c=5$中，得到$\begin{cases}9a3b+3=0\\4a+2b+3=5\end{cases}$，化简为$\begin{cases}3ab=1&(1)\\2a+b=4&(2)\end{cases}$$(1)+(2)$得：$5a=5$，解得$a=1$。把$a=1$代入$(1)$得：$3b=1$，解得$b=2$。所以二次函数的表达式为$y=x^{2}2x+3$。2.已知抛物线$y=ax^{2}+bx+c$（$a\neq0$）的顶点坐标是$(1,4)$，且经过点$(0,3)$，求此抛物线的表达式。解：因为抛物线的顶点坐标是$(1,4)$，所以设抛物线的表达式为$y=a(x1)^{2}4$（$a\neq0$）。又因为抛物线经过点$(0,3)$，把$(0,3)$代入$y=a(x1)^{2}4$得：$a(01)^{2}4=3$，即$a4=3$，解得$a=1$。所以抛物线的表达式为$y=(x1)^{2}4=x^{2}2x3$。3.已知抛物线与$x$轴交于$A(1,0)$，$B(3,0)$两点，且经过点$C(0,3)$，求此抛物线的表达式。解：因为抛物线与$x$轴交于$A(1,0)$，$B(3,0)$两点，所以设抛物线的表达式为$y=a(x+1)(x3)$（$a\neq0$）。又因为抛物线经过点$C(0,3)$，把$(0,3)$代入$y=a(x+1)(x3)$得：$a(0+1)(03)=3$，即$3a=3$，解得$a=1$。所以抛物线的表达式为$y=(x+1)(x3)=x^{2}+2x+3$。4.某商场销售一种商品，已知这种商品的进价为每件$6$元，市场调查发现，在一段时间内，销售量$y$（件）与销售单价$x$（元）之间的关系可近似地看作一次函数$y=10x+200$。设这种商品在这段时间内的销售利润为$w$元，求$w$与$x$之间的函数关系式，并求出当销售单价为多少元时，销售利润最大，最大利润是多少元。解：根据利润=（售价进价）×销售量，可得：$w=(x6)y=(x6)(10x+200)$展开式子得$w=10x^{2}+200x+60x1200=10x^{2}+260x1200$。对于二次函数$w=10x^{2}+260x1200$，其中$a=10\lt0$，$b=260$，$c=1200$。对称轴为$x=\frac{b}{2a}=\frac{260}{2\times(10)}=13$。把$x=13$代入$w=10x^{2}+260x1200$得：