江苏省苏州市2025-2026学年高二下学期期中调研数学试卷（含答案）

江苏苏州市2025-2026学年高二下学期期中调研试卷数学一、单选题1．已知，则（

）A． B． C． D．2．已知函数，则（

）A． B． C．1 D．23．某高山滑雪运动员在一次滑雪训练中滑行的路程（单位：m）与时间（单位：s）满足关系式．当运动员的滑雪路程为时，则运动员此时的滑雪速度是（

）A． B． C． D．4．线段在平面内，，且，则两点间的距离为（

）A．5 B． C． D．5．已知在上的投影向量是，则（

）A． B．3 C． D．6．点是四面体的棱的中点，点在线段上且，点在线段上且，若，则（

）A． B． C． D．17．在棱长为1的正方体中，为线段的中点，为线段的中点，则直线到平面的距离是（

）A． B． C． D．8．已知，函数在区间上不单调，则的取值范围是（

）A． B． C． D．二、多选题9．若构成空间的一个基底，则下列向量共面的是（

）A．B．C．D．10．设，两个函数的图象如图所示，则（

）A．的图象是的图象是B．的图象是的图象是C．当时，D．11．如图，在四面体中，二面角的大小为，且，，则（

）A．无论为何值，B．当与平面所成角为时，C．当时，二面角大于D．当时，二面角的正切值为三、填空题12．设函数，当自变量由1变到1.1时，函数的平均变化率是___________.13．，，是从点出发的三条射线，每两条射线的夹角均为，那么直线与平面所成角的正切值是___________．14．已知，若函数在区间上单调递减，则的最大值是___________．四、解答题15．如图，在平行六面体中，，．(1)用表示，并求的长；(2)求证：平面．16．已知函数．(1)求的极值；(2)若对任意，都有恒成立，求实数的最小值；(3)若过点的直线与曲线相切，求的方程．17．如图，在直三棱柱中，，，，是的中点，是的中点．(1)求与所成角的余弦值：(2)求平面与平面所成角的正弦值；(3)记是与的交点，在线段上是否存在点，使得平面？若存在，求出的值：若不存在，请说明理由．18．现有一块半径为的圆形铁皮，开展如下设计与优化问题：(1)若从该圆形铁皮中剪出一个内接等腰三角形（三角形的三个顶点均在圆周上），试问：当等腰三角形的顶角取何值时，该三角形的面积取得最大值？(2)若从该圆形铁皮中剪出一个圆心角为的扇形（扇形的顶点与圆心重合，弧长对应圆周上的一段弧），并将该扇形制作成一个无盖的圆锥形容器（扇形的两条半径作为圆锥的母线，弧长作为圆锥底面的周长），试问：当扇形的圆心角取何值时，该圆锥形容器的容积取得最大值？19．已知函数，．(1)当时，①求曲线在处的切线；②是否存在实数使得不等式恒成立，若存在，求出的值：若不存在，说明理由．(2)若函数与的图象有两个不同的交点，求实数的取值范围．参考答案1．C【详解】已知，则.2．A【详解】.故选：A3．A【详解】由题意得，即，所以，解得，所以.4．D【详解】由，，，得，，得到，又所以，，，∴.5．B【详解】设在上的投影向量为，则，所以，所以，解得，所以，所以.6．B【详解】在四面体中，，，，则，可得，因为，则，所以.7．A【详解】如图，以点为坐标原点，分别为轴，建立空间直角坐标系.则，，，，，可得，，，，设平面的法向量为，则，令，则，，可得，因为，可知，且平面，平面，所以平面，因此直线到平面的距离等于点到平面的距离，则点到平面的距离为，所以直线到平面的距离为.8．D【详解】由题意得：，令，所以，所以在单调递增，且，，又因为在上不单调，所以，解得.9．AC【详解】对于A：，可以由和线性表示，所以共面.对于B：假设，可得，此方程组无解，所以不能用和线性表示，故不共面.对于C：，可以由和线性表示，所以共面.对于D：假设，可得，此方程组无解，所以不能用和线性表示，故不共面.10．ACD【详解】令，所以，由，所以在单调递减，在单调递增，所以，所以，所以，即，所以的图象是的图象是，故A正确，B错误；当时，由，由取代得，所以，故C正确；令，所以，所以，所以，故D正确.11．ABD【详解】选项A：如下图所示，取中点，连接，因为，，平面，所以平面，因为平面，所以；选项B：如下图所示，作，垂足为，连接，作，垂足为，作，垂足为，连接AH，由可得，所以即为二面角的平面角，因为平面，平面，所以平面平面，因为平面平面，平面，所以即为与平面所成角，因为，为等腰三角形，所以，即；选项C：若，则平面，因为，所以即为二面角的平面角，因为，可求得，所以，所以二面角小于；选项D：如下图所示，作，垂足为，作，垂足为，连接，因为，所以平面，因为，所以，，因为，所以，，所以.12．【详解】函数，当自变量由1变到1.1时，函数的平均变化率为，故答案为：.13．【详解】在上任取一点并作平面，则即为直线与平面所成角的平面角．过点作，，.因为平面，平面，所以，.又平面，，所以平面，又平面，所以，同理.又，，所以，所以.又，所以，所以.设，在中，；在中，.在中，，则.即直线与平面所成角的正切值为.14．【详解】由题意得：，又在上单调递减，所以在上恒成立，即，令，所以，当时，，所以在单调递减，所以在上恒成立，所以，所以，又，令，所以，令，解得，由，由，所以在单调递增，在单调递减，所以，所以.15．(1)，(2)证明见解析【详解】（1）平行六面体中，，..，所以.（2），，，所以，所以，所以.，所以，所以.又，，平面，所以平面.16．(1)的极大值为；的极小值为(2)(3)【详解】（1）由题意得：，令，解得或，由有：或，由有：，所以在单调递减，在单调递增，所以的极大值为，的极小值为（2）由已知有：对任意，都有恒成立，由（1）有在单调递增，在单调递减，又，所以，所以，所以实数的最小值为；（3）设切点为，所以，，所以切线方程为：，所以，又切线过点，所以，化简整理有：，即，解得，所以直线的方程为：，所以直线的方程为：.17．(1)(2)(3)当时，平面【详解】（1）由题意得：以为坐标原点，分别以为轴建立空间直角坐标系，如图，由，，所以，所以，所以；（2）由题意得，设平面的法向量为，所以，令，得，显然为平面的一个法向量，设平面与平面所成角为，所以，所以；（3）由题意得四边形为矩形，所以点为的中点，所以，所以，设，所以，所以，设平面的法向量为，由，所以，令，得，由平面，所以，解得，所以当时，平面.18．(1)当等腰三角形的顶角时，该三角形的面积取得最大值(2)当扇形的圆心角时，该圆锥形容器的容积取得最大值【详解】（1）设等腰三角形的顶角为，底边为，高为，则，，所以，所以.则三角形面积，.令，即，解得或.因为，所以，所以，此时.当时，，单调递增；当时，，单调递减；所以当时，取得最大值.故当等腰三角形的顶角时，该三角形的面积取得最大值.（2）设圆锥形容器的底面半径为，高为，则，即，所以.所以圆锥形容器的容积为.设，则.令，即，则，解得或（舍去），当时，，单调递增；当时，，单调递减；所以当时，该圆锥形容器的容积取得最大值.故当扇形的圆心角时，该圆锥形容器的容积取得最大值.19．(1)①；②存在实数满足题意，(2)【详解】（1）①若，则的定义域为，且，可得，，所以曲线在处的切线为，即；②若，则，，可得，，可知曲线在处的切线为，因为不等式恒成立，且，可知为，在处的公切线，则，若，构造，，则，令，解得；令，解得；可知在内单调递增，在内单调递减，则，可得，又因为，可得；综上所述：不等式恒成立，所以存在实数满足题意