四川省成都榕城名校联盟2025-2026学年下学期高三数学4月联考试卷（含答案）

高三年级数学考试时间120分钟,满分150分注意事项:1.答题前，考生务必在答题卡上将自己的姓名、座位号、考籍号用0.5毫米的黑色签字笔填写清楚，考生考试条形码由监考老师粘贴在答题卡上的“贴条形码区”。2.选择题使用2B铅笔填涂在答题卡上对应题目标号的位置上，如需改动，用橡皮擦擦干净后再填涂其它答案:非选择题用0.5毫米的黑色签字笔在答题卡的对应区域内作答，超出答题区域答题的答案无效；在草稿纸上、试卷上答题无效。3.考试结束后由监考老师将答题卡收回。一、选择题:本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。1.已知全集U={2,3A.{2,C.{2,2.复数2i1A.1B.iC.-1D.−i3.不等式2x−1A.−4,C.−∞,−4∪4.已知双曲线x2a2−y2A.43B.34C.55.x−2A.-240B.-16C.16D.2406.人工智能大语言模型训练是借助海量数据与特定算法,实现模型知识学习与能力迭代的复杂过程.在一定条件下,某人工智能大语言模型训练N个单位的数据量所需的时间T=m0lgN(单位:h),其中m0为常数.在此条件下,训练200000个单位的数据量与训练2000个单位的数据量所需的时间之差为8h，当训练m个单位的数据量所需的时间为A.10000B.15000C.20000D.300007.如图,在三棱锥O−ABC中,CO⊥OA,CO⊥OB,且CD为△ABC中AB边上的高.给出以下结论:①CO⊥AB;②∠CDO等于直线CD与平面AOBA.①②B.①③C.②③D.①②③8.已知函数fx=4x−14x+1+x,若正实数A.10B.12C.14D.16二、选择题:本大题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分,选对但不全的得部分分,有选错的得0分。9.已知随机事件A,B满足:PA.事件A与B互为对立事件B.如果A⊆B,那么C.如果事件A,B互斥,那么D.如果事件A,B相互独立,那么10.已知函数fx=A.ωB.fC.−π2,0是函数D.函数fx的对称轴方程为11.设过点Ta,0的直线与抛物线y2=4x相交于PA.若a=1,则B.若a=2,则yC.若a=4,则弦PQ的中点的轨迹方程为D.若a>0,直线PO与直线l:x=−a相交于点三、填空题:本大题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知向量a=2,−1,b=4,13.已知等差数列an中，a1+a2+a3=14.若定义在区间D上的函数fx，其导函数为f′x，且∀x∈D，xf′x>fx，则称fx为区间D上的“M函数”.若fx四、解答题:本大题共5小题,共77分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15.(13分)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a(1)求A:(2)若b=3，△ABC的面积为33，求16.(15分)如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，AB⊥BC,AB=BC(1)若A1C1//平面B1EF(2)当三棱锥B−B1EF的体积取得最大值时,求平面B1EF17.(15分)设函数fx(1)讨论函数fx(2)证明:存在正实数a0，使得a∈0,a0时，函数18.(17分)已知直线l:x=4，椭圆C:x24+y23=1，过椭圆(1)判断直线l与以线段AB为直径的圆的位置关系,并证明你的结论:(2)过点F作直线AB的垂线，与直线l相交于点P，(i)求△PAB(ii)证明:直线PA与椭圆C有且只有一个公共点.19.(17分)某种特制提示器有红、黄、绿三种颜色的提示灯，提示灯每隔1秒亮一次，如果前一次亮红灯，紧接着亮红灯和黄灯的概率都为12；如果前一次亮黄灯，紧接着亮红灯和绿灯的概率分别为13和23:如果前一次亮绿灯,紧接着亮红灯和黄灯的概率都为12(1)求第三次亮灯为红灯的概率；(2)设第n次亮灯为红灯的概率为Pn，当n≥(i)求Pn(ii)该提示灯亮哪种颜色灯的概率最大?为什么?高三年级数学参考答案及评分意见评分说明:1.本解答给出了一种解法供参考,如果考生的解法与本解答不同,可根据试题的主要考查内容比照评分参考制定相应的评分细则。2.对计算题,当考生的解答在某一步出现错误时,如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度,可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分。3.解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数。4.只给整数分。一、选择题:本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。12345678CABCDADB二、选择题:本大题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分。91011BDBCDACD三、填空题:本大题共3小题，每小题5分，共15分。12.-213.1214.2四、解答题:本大题共5小题,共77分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15.(1)由3sinA有2sin即sinA−∵0∴−π∴A∴A=(2)由(1)的结论有A=π又∵b=由三角形面积公式有S==3∴c=在△ABC中，由余弦定理有=3∴a=∴△ABC的周长=a16.方法1:(1)若A1C1//平面B1EF，则E为理由如下:在直三棱柱ABC−A1B1C∵A1C1//平面B∴AC//平面B又∵平面ABC∩平面B故AC//EF，∴AEAB又∵AB=∴AE=又∵AE=∴CF=即F为BC的中点，从而E为AB的中点，故当A1C1//平面B1EF时,E为(2)不妨设AB=1则三棱锥B−B1EF的体积=1当且仅当t=1−t,即t=12时取此时，E，F分别为AB,CB的中点，过点B作BG⊥EF于点G可知G为EF的中点,连接B1则EF⊥在直三棱柱ABC−ABB1⊥平面∴EF⊥∵B∴EF⊥平面∴EF∴∠B1GB是二面角B1∵B∴B故当三棱锥B−B1EF的体积取得最大值时,平面B1EF与平面15分方法2:(1)以B为原点，以BC，BA，BB1的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系设AB=则A0AC=设平面B1EF的法向量为由n得tx取y=得x=则平面B1EF的一个法向量n欲使A1C1//即使AC//平面B则AC⋅∴1得t=可知E为AB的中点，故当A1C1//平面B1EF时,E为(2)三棱锥B−B1EF==t1≤=1当且仅当t=1−t,即t=12时取“此时,平面B1EF的一个法向量平面BEF的一个法向量m=0设平面B1EF与平面BEF的夹角为可知0<则cosθ故当三棱锥B−B1EF的体积取得最大值时,平面B1EF与平面15分17.(1)由fx=2lnxf′x①当a≤0ax−可知当0<x<1当x>1时,此时,fx在区间0,1上单调递增,在区间1,+∞②当0<a可知当0<x<1当1<x<1a当x>1a时，此时，fx在区间0,1上单调递增，在区间1,1a3分③当a=1f′x=2x−12④当a>1可知当0<x<1a当1a<x<1当x>1时,此时,fx在区间0,1a上单调递增,在区间1a,5分综上所述:①当a≤0时,fx在区间0,1②当0<a<1时，fx在区间0,1上单调递增，在区间③当a=1时，fx在区间④当a>1时，fx在区间0,1a上单调递增，在区间1a,(2)方法1:由(1)可知，当0<ax=1是函数fx的极大值点，极大值函数fx的极小值=1−令gx即gx则g′当0<x<12当1>x>12则x=12是则gx的极大值为g又∵当x→0时,则gx的值域为−∞,即fx的极小值f1a取值范围是又∵2则存在a0即a0为方程1−当a∈0,a0则ga<0,即又∵当x→0时,当x→+∞时,f∴存在正实数a0,使得a∈0,a0时,函数f方法2:由(1)可知，当0<ax=1是函数fx的极大值点，极大值函数fx的极小值=1−令gx即gx则g′当0<x<12当1>x>12取a0=1e2(或1e当a∈0,a0则ga<0,即又∵当x→0时,当x→+∞时,f∴存在正实数a0,使得a∈0,a0时,函数f18.(1)直线l与以线段AB为直径的圆相离.2分理由如下:由已知,右焦点F的坐标为1,设点Ax其中−2令点A,B到直线l的距离分别为则AF====1同理,BF=设D为AB的中点，点D到直线l的距离为d,则d=显然,以线段AB为直径的圆的圆心为D,半径为AB2∴直线l与以线段AB为直径的圆相离:5分(2)(i)方法1:由题意知直线AB所与x轴重合,由已知,直线AB的方程可设为x=联立x=my+1,∴y则x1+由(1)得,AB===≥3当且仅当m=0,即AB垂直于x轴时取“根据平面几何知识,此时PF同时取得最小值3,∴△PAB的面积S故△PAB面积的最小值为92方法2:由题意知直线AB不与x轴重合,由已知,直线AB的方程可设为x=联立x=my+1,∴y则x1+由(1)得,AB===12m∵过焦点F且与直线AB垂直的直线方程为y=−则P4PF=4△PAB的面积==令t=则St于是S′∴当t≥1时,S【或St=18t33t2+1∴当t=1,即mSt取得最小值,最小值为S故△PAB面积的最小值为92(ii)欲证直线PA与椭圆C有且只有一个公共点,只需证明在点A处切线l的斜率等于直线PA的斜率kPA由i得,Ax1,y1依题意,直线l′的斜率存在,设为k则l′的方程为y联立y得3+由于直线l′与椭圆C则由Δ=0得64k2∴−3即4−解得k=x过焦点F且与直线AB垂直的直线方程为y=−则P4kPA=只需证明kIR即证明y1+即只需证明y1即证明4y即证明3m只需证明y1满足方程3m根据(i)中的方程(*)，显然y1是方程3m∴k出此可知，直线PA与椭圆C有且只有一个公共点.17分19.(1)设单件An=“第n次充灯为红灯”,事件Bn=“第则第三次亮灯为红灯的概率:PA2分4分(2)方法1:(i)设事件Cn=“第n次亮灯为绿灯”,∴====1则bn+∵a∴b即bn由于b1−则bn−13是以−13∴bn∵即a=12由①②得a=1∴a即Pn=(ii)由(i)可知,a==当n=2k1−−12n−当n=2k1综上,an+1≥bn∴亮红灯的概率不小于亮黄灯的概率,13分又∵P即cn故cn+an当n=2k−1k当n=2kk∈N∴a即亮红灯的