广东省江门市2026年高三年级高考适应性考试(江门高三二模)数学试卷（含答案）

【高三数学第1页(共4页)】--2026年高考适应性测试试卷数学注意事项:1.答题前,考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。4.本试卷主要考试内容:高考全部内容。一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.若复数z=2+i,23i,则x1,x2在复平面内对应的两点之间的距离为A·/2B.2C.J5D.52.已知两个单位向量a,b的夹角为150",则a·(、/3ab)=3.已知集合Atzl1<a},B2a1},且A三B,则a的取值范围是A.(1,1]B.(1,+o)C.L1,+)D.(cO,1]U[1,+)4.某工厂抽检了100个零件,并统计了这些零件的直径(单位:mm)数据,得到如下表格:直径/mm464748495051525354频数5121520124由表可知这100个零件的直径的第60百分位数为A.49.5mmB.50mmC.50.5mmD.51mm5·若直线l:23+y3l2:k则k围是A.C2,1]U4}B.(4,3]U[2,1]C.(2,1]U4}D.(4,3]U(2,1]【高三数学第2页(共4页)】--7.已知a>1,b>1,且ab=a+b+3,则4a+b的最小值为A.11B.12C.13D.148.若ABC的中线AD=2,且AB=4,BC=m,AC=n,在平面直角坐标系zOY中,点(m,")在双曲线Q上,则Ω的离心率为二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.9.若曲线y=f(x)关于点(x,0)对称,则f(1)的解析式可以为A.f(x)=sinzB.f(1)CoszC.f(a)=sin210.若正方体ABCD-ABCD外接球的球心为O,且E,F分别为棱BC,AD的中点,则A.CF/3OEB.二面角A-EF-C的正切值为2C.AB/平面EOFD.0为四面体CCEF外接球的球心11.若函数f(u)的定义域为R,f(1)=2,且yx,yER,f(u2y2)f(u)yf(y),则A.f(0)=0B.YaR,af(a)a+f(a2-1)C.y=f(ux)Lf(u)]3为奇函数D.当y0时,f(u十y)=f(z)+f(y)三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.12.若椭圆C:mx2+y2=1的焦点在y轴上,则m的取值范围是·13.甲、乙两名游客来广州旅游,他们各自从广州塔、永庆坊、镇海楼、广州大剧院、周氏大宗祠、五仙门发电厂旧址这6个景点中选2个游玩,则甲、乙两人至少有一人选择广州塔的选法种14.正三棱柱ABC-ABC的棱长均为2,M,N分别是棱BB1,BC的中点,过点A,M,N的平面分别交直线BC,CC于点D,E,则三棱柱ABC-ABC1与三棱锥E-ACD公共部分的体积为·【高三数学第3页(共4页)】--四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.(13分)如图,在四棱锥P-ABCD中,正三角形PAB所在平面与矩形ABCD所在平面垂直.(1)在答题卡中,作出四棱锥P-ABCD的高,并说明理由;(2)若BE=EC,且AB=4,AD=6,求AE与平面PCD所成角的正弦值.16.(15分)已知函数f(x)=xz+2sin3.(1)求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程;t2)若不等f2/2求m的取值范围·17.(15分)某用户只在某外卖平台的甲、乙两家餐厅点餐,根据历史数据,选择甲餐厅的概率为0.6,选择乙餐厅的概率为0.4,甲餐厅的准时送达率为0.95,乙餐厅的准时送达率为0.9.已知该用户每次外卖点餐准时送达与否相互独立.(1)求该用户每次外卖点餐准时送达的概率.(2)在该用户的N次外卖点餐中,记准时送达的次数为X,若X的方差大于0.7,求N的最小值.(3)平台推出"准时保",每单需支付0.5元的服务费,若外卖未准时送达,则平台赔付3元;若外卖准时送达,则平台不赔付.该用户愿意购买"准时保"的条件是亏损期望不超过0.3元,试问他是否愿意购买"准时保"?说明你的理由.【高三数学第4页(共4页)】--18.(17分)已知圆C的圆心在第一象限且圆c与两坐标轴均相切,抛物线:y2=2pu(p>0)经过圆心C.(1)求圆C的标准方程.(3)0为坐标原点,过圆心C的直线l交于另一点P,r的焦点为F,求IOCI2+IopI2CFI2PFI2的最小值.19.(17分)若数列(a,}满足a+a+2kan+1,则称(a,}为"k-拟等差数列";若数列a,}满足a,a,+2=an2+1t,则称(a,}为"t-拟等比数列".(1)若数列(a,}既是"2-拟等差数列",又是"4-拟等比数列",且a40,求(a,}的通项公式.(2)已知b1=1,b22,b35,数列{b,}是"t-拟等比数列",(b,}的前"项和为s,.(i)证明:存在k,使得b,}是"k-拟等差数列".".【高三数学·参考答案第1页(共7页)】--2026年高考适应性测试试卷数学参考答案题序123456789101l121314答案CDDCABCBACDBCACD(1,+co)12523,/3【评分细则】【1第1~8题,凡与答案不符的均不得分.【2】第10题,全部选对的得6分,有选错的不得分,每选对一个得3分;第9,11题,全部选对的得6分,有选错的不得分,每选对一个得2分.【3】第12题的答案也可写为m>1.【4】第13,14题,凡与答案不符的均不得分.1.C【解析】本题考查复平面,考查数学运算的核心素养.因为1,之2在复平面内对应的点分别为A(2,1),B(3,1),所以IAB/(32)2+(11)2/5.2.D【解析】本题考查平面向量的数量积,考查数学运算的核心素养.依题意可得a·(/3ab)=,/3a2a·b=/3IaI2IalIbICos150"=/3X121X1X3.D【解析】本题考查集合中的子集,考查逻辑推理的核心素养.若A,则a≤1;若A,则a2a1,即a≥1.综上,aE(co,1]u[1,+co).4.C【解析】本题考查统计中的百分位数,考查数据处理能力.因为被抽检的零件中,直径小于或等于50mm的零件共有5十8+12+15+20=60个,且1005.A【解析】本题考查直线的倾斜角与三角恒等变换,考查数学运算的核心素养.因为直线2/3+y3o的斜率为239所以6.B【解析】本题考查指数函数、分段函数、函数的零点及导数的应用,考查直观想象、逻辑推理及数学运算的核心素养.当>1时,f(1)332,则f"(x)=326x=3z(x2),则f(1)在(1,2)上单调递减,在(2,十)上单调递增,则f()min=f(2)=.4作出f(z)的大致图象,如图所示.由g(u)=0,得f(x)=a,由图可【高三数学·参考答案第2页(共7页)】--知,当aE(4,3]u2,1]时,直线y=a与f(1)的图象恰有2个交点,即g(uc)恰有2个零点.7.C【解析】本题考查基本不等式,考查逻辑推理与数学运算的核心素养.(方法一)由ab=a十b+3,可得(a1)(b1)=4,因为a>1,b>1,所以a1>0,b1>0,则4a+b=4(a1)+(b1)+5≥2/4(a1)(b1)+5=13,当且仅当4(a1)=b1,即a=2,b=5时,等号成立,故4a+b的最小值为13.8.B【解析】本题考查解三角形与双曲线的离心率,考查直观想象、数学运算及逻辑推理的核心素养.因为LADB+LADC=n9所以COSLADBCSLADC又所以9.ACD【解析】本题考查三角函数图象的对称性,考查直观想象与逻辑推理的核心素养.曲线in.ry—sin2,C2均关于点(r,0)对称.10.BC【解析】本题考查正方体、球体、二面角,考查空间想象能力.设BC1,AD,的中点分别为G,H,连接EG,HG,HF,则易证平面EFHG/平面ABB1A1.因为AB一平面ABB1A1,所以A1B平面EOF,C正确.设AB=2,则四边形EFHG为边长是2的正方形,且O为该正方形的中心,则所以CF3OE,A错误.易证EF上平面BCCB1,则EFCE,EFCE,所以CEC为二面角A-EF-C1的平面四面体CCEF外接球的球心为线段C1F的中点,O为线段AC的中点,因为C1F与AC1不重合,所以O不是四面体CCEF外接球的球心,D错误.11.ACD【解析】本题考查抽象函数,考查数学抽象与逻辑推理的核心素养.令x=y=0,得f(0)=0,A正确.令z=a,y=1,得f(a21)=af(a)f(1),因为f(1)【高三数学·参考答案第3页(共7页)】--=2,所以af(a)=f(a21)+2,令a=2,得2f(2)=2+f(221),B错误.令y=0,得f(12)=zf(a),f((x)2)=xf(x),所以f(1)=xf(x),当时,f(x)=f(xc),又因为f(0)=0,所以f(x)为奇函数,则y=f(x)Lf(]3为奇函数,C正确.y因为f(u2y2)=uf(1)yf(y),所以f(2y2)=f(u2)f(y2)=f(u2)+f(2),y所以f(+y)=f(u)+f(y)(x≥0,y0),同理可得f(+y)=f()+f(y)(u0,y≥0),故当y时,f(+y)=f(u)+f(y),D正确.12.(1,+o)【解析】本题考查椭圆的方程,考查逻辑推理与数学运算的核心素养.>l·13.125【解析】本题考查排列组合的实际应用,考查应用意识.由间接法可得甲、乙两人至少有一人选择广州塔的选法种数为C26C26C25C25225100=125.素养.如图,连接NM并延长,与CB的延长线交于点D,连接AD,延长MN与CC的延长线交于点E,连接AE,交A1C1于点F,连接E-ACD的公共部分为几何体FNCCBMA,其体积为三棱台1/3/31113/3/32323296+x1x+')x21/3/31113/3/3232329615.【解析】本题考查立体几何与空间向量,考查直观想象、逻辑推理及数学运算的核心素养.解:(1)取AB的中点O,连接PO,则PO是要求作的四棱锥P-ABCD的高.………2分理由如下:因为PAB为正三角形,O是AB的中点,所以PO_AB.……3分因为平面PAB上平面ABCD,平面PAB平面ABCD=AB,所以PO__平面ABCD,即PO是四棱锥P-ABCD的高.…………4分…取CD的中点F,连接OF.以O为坐标原点,OA,OF,OP所在直线分别为z,y,x轴,建立如图所示的空间直角坐标系.……………6分【高三数学·参考答案第4页(共7页)】--因为BE=EC,所以E为棱BC的中点,则A(2,0,0),E(2,3,0),P(0,0,2:J3),C(2,6,0),D(2,6,0),……8分所以AE=(4,3,0),PC=(2,6,2/3),PD=(2,6, 2:/3).…9分设平面PCD的法向量为n=(uyx),则n…令y=1,得"=(0,1,J3),……【评分细则】1】第(1)问中,只要写了"取AB的中点O"就给1分;未写"平面PAB平面ABCD=AB",扣1分.2第(2问中9平面PCD的法向量不唯只要所求法向量是与"-(0,1,3)共线的非零向量即可;未写"因为BE=EC,所以E为棱BC的中点",但正确写出点E的坐标,不扣分.16.【解析】本题考查导数的几何意义、导数的应用及三角函数,考查逻辑推理与数学运算的核心素养.解:(1)f"(u)=1+2cosz,…则f'(0)=3.……因为f(0)=3,…4分所以曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为y3=3(x0),即y3+3.…6分 Cosr.……7分4由f()22sin(+)+m,得m<2cosx+3…………8分422设g()2cos+3.,xe(,")22g'(x)=1+2sinz.………5分【高三数学·参考答案第5页(共7页)】--【评分细则】【1】第(1)问中,y=33也可以写为3ry3=0.17.【解析本题考查全概率公式、独立重复试验、随机变量的期望与方差,考查逻辑推理与数据分析的核心素养.解:(1)设事件B="外卖点餐准时送达",A1="在甲餐厅点餐",A2在乙餐厅点餐",依题意得P(A1)=0.6,P(A2)=0.4,P(BA1)=0.95,P(BA2)=0.9.…………1分由全概率公式得该用户每次外卖点餐准时送达的概率P=P(Al)·P(BA)+P(A2)·P(BA2)=0.6XO.95+0.4XO.9=0.57+0.36=0.93.……4分(2)依题意得X~B(N,0.93),………6分则D(X)=NXO.93X(10.93)=0.0651N.………7分故N的最小值为11.…………9分(3)他愿意购买"准时保".……………10分理由如下:设他购买"准时保"的净收益为Y元,则Y的所有可能取值为0.5,2.5.…………11分P(Y=0.5)=0.93,………………12分P(Y=2.5)=10.93=0.07,…………13分则E(Y)=0.93X(0.5)十0.07X2.5=0.29.………14分因为E(Y)=0.29>0.3,即亏损期望不超过0.3元,所以他愿意购买"准时保". ……15分【评分细则】第(3)问的理由还可以这样写:设他购买"准时保"的亏损为Y元,则Y的所有可能取值为0.5,2.5,……………11分P(Y=0.5)=0.93,P(Y=2.5)=10.93=0.07,……13分则E(Y)=0.93XO.5+0.07X(2.5)=0.29.………14分因为0.29<0.3,所以他愿意购买"准时保".………………15分18.【解析】本题考查圆与抛物线的综合,考查直观想象、逻辑推理及数学运算的核心素养.(1)解:设圆C的半径为r,则圆心C(r,r)(r>0)·………1分将圆心C的坐标代入y2=2pz,得r2=2pr(r>0),解得r=2p.……2分故圆C的标准方程为(uc2p)2+(y2p)2=4p2.…4分 +4p2=4py,…6分则(ucp)2+3p2=4py,……7分因为(xp)2≥0,所以4py≥3p2,又p>0,…【高三数学·参考答案第6页(共7页)】--4"),…4所以IOCI2+Iop2CFI2PFI2=(IOCI2CFI2)+(1OP2PFI2)设过圆心C的直线l的方程为z=m(y2)+2p,代入y2=2pr,得y22pmy+4p2(m 1)=0,………13分则4p2(m2)2>0,即m2,且y+y22pm,…14分所以+2m(y1十y24)+4p=m(2pm4)+4p=2pm24m+4p,……15分-因为p>0,所以当m=1(满足m2)时,1OCI2+Iop2CFI2PFI2取得最小值,且3p22最小值为.………………173p22【评分细则】第(3)问还可以这样解答:由(1)知C(2p,2p),则IOCI2=(2p0)2+(2p0)2=8p2,………10分…I2…-3p22当y=0时,IoC2+IopI2CFI2PFI2取得最小值,且最小值为·…17分3p2219.【解析】本题考查数列的新定义与导数的综合,考查数学抽象、逻辑推理及数学运算的核心素养.(1)解:因为(a,}是"2-拟等差数列",所以a+an+22an+,则(a,}是等差数列,设{a,}的公差为d.…………………1分又ta,}是"4-拟等比数列",所以a,a,:2a2+1,4即(a+1d)(a,++d)=an2+4,即d2=4,d=士2.………2分【高三数学·参考答案第7页(共7页)】--当d=2时,由a40,得ai—a43d=6,a,=ai+(n1)d=2n8;……3分当d=2时,由a4=0,得aa43d=6,an=a+(m1)d=82n.………4分(2)证明:(i)由"t拟等比数列"的定义,取"=1,得b1b3b22t,即1X(5)=22t,得t=9,所以b,b2b219.……5分"2-拟等差数列".………8分(ii)由b,十b-2=2b,+1,得b+2+b-1(b,-1+b,),可知b,-1+b,}是等比数列,首项为b1十b23,公比为1,故b++b,=3·(1)"'·……9分n1S35222n当"为奇数时,S,=b1十(b2+b3)++(b1+b,)=13·,"=222nnS32n2当"为偶数时,S,=(b1+b2)+(b3+b4)十…+(b,1十b,)=3·,"=·2n2 …设f当zE(0,1)时,f"(x)<0,f(1)单调递减;当zE(1,+)时,f"(x)>0,f(1)单调递增.所以f(x)≥f(1)=0,即z1≥lnz,当且仅当z=1时,等号成立.…………13分12k+111