专题57 二次函数中的线段最值问题（老师版）

专题二次函数

中的线段最值问题

例题精讲

【例1].如图，已知抛物线)，=・x2+2x+3与x轴交于4,8两点(点4在点8左侧)，与y轴交于点C,连

接8C,点尸是线段3。上方抛物线上一点，过点P作PM_L8C于点M,求线段PM的最大值.

解：过P点作PQ〃y轴交BC于。，如图，

当y=0时，-f+2x+3=0,

解得加=・1，照=3,则B(3,0),A(・1,0),

当x=0时，)，=・』+2V+3=3,则C(0,3),

设直线BC的解析式为y=kx^b,

把8(3,0),C(0,3)代入得，倍"一°,

lb=3

解得(k=T,

lb=3

/.直线BC的解析式为.y=-x+3,

•・3=OC=3,

•••△OBC为等腰直角三角形，

：,ZOCB=45°,

•；PQ分轴，

・・・NPQM=45°,

VPM1BC,

•••△PMQ为等腰直角三角形，

V2

设尸（f,-尸+2f+3）（0</<3）,则Q（6-什3）,

：.PQ=-?+2r+3-（-什3）=-尸+33

"3=返（-e+3f）=-返（/--）2+-5^,,

2228

当上反时，夕例的最大值为吼Z.

28

A^\B-

tol'x

》变式训练

【变1T].如图，抛物线尸争Mzr+c经过点B（3,0）、C（0,-2）,宜线L：尸-_|犬-弓交），轴于点

OO«J

E,且与抛物线交于A、D两点,尸为抛物线上一动点（不与A、D重合）.

（1）求抛物线的解析式；

（2）当点P在直线L下方时，过点〃作PN〃丁轴交L于点M求PN的最大值.

（3）当点P在直线L下方时，过点P作PM〃入•轴交L于点M,求PM的最大值.

解：（1）把8（3,0）,C（0,-2）代入）=2/+尿+c得，

3

'f2X32^+3b+c=0

4O9

c=-2

c=-2

效物线的解析式为：尸当2-当-2；

33

(2)设P(in,-nr--/??~2),

33

轴，N在直线AO上,

:・N(m,-2〃？-2),

33

:.PN=--m---2“尸+'犷+2=-

3333333

.•.当加=_1时,取的最大值是国：

22

(3)设P(加，—nr--m-2)，

33

•；PM〃x轴，M在直线AO上：M与。纵坐标相同，

把y=2〃?2--2,代入y="-'X~2中，得x=-〃?2+2加+2

3333

/.M(-"尸+2/%+2,—m2--m-1)

33

/.PM=-〃尸+2〃?+2-m=-机2+川+2

・•・当加="1时，PM的最大值是9.

24

【变1-2].如图，抛物线)，=品2+如+〃与％轴交于A,8两点，与)，轴交于点C,抛物线的对称轴交x轴

于点。，已知4(-1,0),C(0,2).

(1)求抛物线的表达式；

(2)线段BC上有一动点P,过点P作)，轴的平行线，交抛物线于点Q,求线段PQ的最大值.

解：(1)抛物线y=-工乂2+巾+〃与x轴交于A,B两点,与)，釉交于点C,/I(-1,0),C(0,2).

2

.-4-m+n=0

n=2

二3

解得：m=T,

n=2

故抛物线解析式为：y=--^AX+2；

22

(2)令)，=0,则-2/+昆工+2=0,解得XI=-1,九2=4,

22

:・B(4,0),

设直线BC的解析式为)=&+/,,

，直线BC的解析式为y=~—.v+2,

2

设P(m,-—/«+2)；贝ljQ(m,--nr+—m+2)>

222

则PQ=(--—〃?+2)-(-—m+2)="-//z^+2/w=-—(〃？-2)?+2,

22222

此时尸。的最大值为2.

【例2].已知：如图，抛物线y=7+bx+c与x轴交于A、B两点,与)，轴交于点C,OA=OC=3,顶点为

D.

(1)求此函数的关系式；

(2)在对称轴上找一点P.使的周长最小，求出夕点坐标；

(3)在AC下方的抛物线上有一点N,过点N作直线/〃y轴，交AC与点M,当点N坐标为多少时，线

段MN的长度最大？最大是多少？

・・・A(-3,0),C(0,-3),

:抛物线+法+c经过点A(-3,0),C(0,-3),

・•・将人(-3,0),C(0,-3),分别代入抛物线>=/+法+c,

得产3b+c=0,

(c=-3

解得产2.

lc=-3

故此抛物线的函数关系式为：)，=/+2・3；

(2)如图，连接入P,BP,BC,AC,AC与抛物线对称轴交于点P',

•・•抛物线的解析式为：y=，+213,

・••抛物线的对称轴为直线x=-1,

•••3是抛物线与x轴的另一个交点，A(-3,0),

(1,0),

•**5C=VOB2-H3C2=V12+32=A/^，

•・•点4,8关于抛物线对称轴对称，

：.AP=BP,

・・・PB+PC的最小值即为两+PC的最小值，此时巩+PC+BC最小，即△8CP的周长最小,

・••当P、八、C三点共线时，△BCP的周长最小，即夕在P'所在的位置，

设直线AC的解析式为y=kx+b\,

<3k+bi=0

•二，

b[=-3

解得：L.

b[=-3

，直线AC的解析式为：y=-x-3,

・・・当％=-I时，y=-2,

・••点P的坐标为(-1,-2)；

(3)如图3,设N(r,P+2L3),则Md,-r-3),

MN=-/-3-(~+2/-3)=-r-3t=-(r+—)2+—,

24

V-l<0,

・••当/=Y，即点N的坐标为(Y，—")时，线段MN的长度最大，最大值为

2244

【变27].如图1,在平面直角坐标系中，已知8点坐标为（1,0）,且OA=OC=3O8,抛物线），=/+bx+c

（〃KO）图象经过A,B,C三点，其中。点是该抛物线的顶点.

（1）求抛物线的解析式；

（2）判断△A。。的形状并且求△AOC的面积：

（3）如图2,点P是该抛物线第三象限部分上的一个动点，过P点作PELAC于E点,当PE的值最大

时，求此时。点的坐标及PE的最大值.

图1图2

W：(i)•・•/?点坐标为(1,0),

：.OB=1,

又•••OA=OC=3O3,

・・・OA=OC=3,

・・・A(-3,0),C(0,-3),

将A,B,C三点代入解析式得，

(9a-3b+c=0

sa+b+c=0,

Ic=-3

a=l

解得＜b=2,

c=-3

，抛物级的解析式为：,=r+2・3：

(2)由(1)知抛物线的解析式为y=/+2x-3,

，对称轴为直线X=-上=-1,

2a

当x=-I时，y=(-I)2+2X(-1)-3=-4,

・•・£＞点的坐标为(-1,-4),

22

[-1-(-3)]+(-4-0)=2^5.IAG=J(-3)2+[0-(-3)]2=3近,|CZ)|=^2^2

=&,

V|AD|2=|AC]2+|C£＞|2,

•••△4CO是直角三角形，

SA48c=2人。・|。。|=枭3V2xV2=3；

乙乙

(3)设直线AC的解析式为y=sx+r,

代入A,C点坐标,

得「3s+，0,

lt=-3

解得（s=T,

lt=-3

・•・直线AC的解析式为y=-x-3,

如右图，过点尸作S轴的平行线交4c于点儿

*：OA=OC,

.•・NCMC=NOC4=45°，

轴，

：,ZPHE=ZOCA=45°，

设点P（x,/+2x-3）,则点"（x,-x-3）,

，PH=-x-3-（』+2x-3）=-f-3x,

・・

•PE=PH*sinNPHE=*』）X浮-浮吟，吟

・•・当工=-2时，夕上有最大值为皿2,

28

【变2-2].如图，二次函数）ual+Zu+c（。工0）的图象交x轴于A、8两点，交），轴于点/）,点8的坐

标为（3,0）,顶点。的坐标为（1,4）.

（1）求二次函数的解析式；

（2）点P是直线B。上的一个动点，过点P作x轴的垂线，交抛物线于点M,当点P在第一象限时，

求线段PM长度的最大值；

（3）在抛物线上是否存在点Q,且点Q在第•象限，使△80Q中8。边I：的高为血？若存在，直接写

出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.

解：(1)由二次函数顶点C(l,4),设y=a(..1)2+4,

将5(3,0)代入得:4«+4=0,

：.a=-1,

••y=~(x-1)2+4=-』+2r+3,

答：二次函数的解析式为y=-/+2X+3；

(2)在)，=-，+2r+3中，令1=()得y=3,

：,D(0,3),

设直线解析式为y=丘+3,将B(3,0)代入得：

363=0,

解得k=-\,

.•.直线区。解析式为)，=7+3,

设尸(m,-m+3),则M(w,-〃P+2〃?+3),

PM=-nr+2m+3+ni-3=-nr+3m=-(/??--)2+一,

24

V-l<0,

・•・当加=2时，2例取最大值，最大值为9；

24

(3)存在点。，使△8Q0中8。边上的高为"历，理由如下：

过。作QG〃y轴交8。于点G,交x轴于点E,作QHLBD丁H,如图:

：.ZOBD=45°,

・・・N8GE=45°=ZQGH,

・•・△QGII足等腰直角二角形，

当ABOQ中BD边上的高为加时，即QH=HG=近,

・・・QG=2,

•・•点Q在第一象限，QG=|-，+3x|,

:.・,+3x=2，

解得x=1或x=2,

：,Q（1,4）或（2,3）,

综上可知存在满足条件的点Q,坐标为（1,4）或（2,3）.

.已知抛物线的顶点A（7,4）,且经过点3（-2,3）,与“轴分别交于C,D两於.

(I)求直线OB和该抛物线的解析式；

(2)如图1,点M是抛物线上的一个动点，且在直线的上方，过点M作x轴的平行线与直线08交

于点M求的最大值；

(3)如图2,轴交x轴于点上，点P足抛物线上A、。之问的一个动点，直线PC、77)与分

别交于广、G,当点P运动时，求lan/PCD+lanNPDC的值.

解：(1)设直线08的解析式为)，=6,

(-2,3),

・•・-2k=3,

直线0B的解析式为y=--|-x,

•・•抛物线的顶点为A(-1,4),

・•・设抛物线对•应的函数表达式为(x+l)2+4.

将B(-2,3)代入y=a(x+1)2+4,得：3=〃+4,

解得：。=-1，

・•・抛物线对应的函数表达式为y=・(x+1)2+4,即)=-炉-筋+3.

(2)设M"-r-2r+3),MN=s,

则N的横坐标为LS,纵坐标为一2(LS),

2

3

片7x

o

y=-x-2x+3

2

•・•点M是直线08的上方抛物线上的点，

q

工-2</<—,

2

•・・MN〃4轴，

，-r-2/+3=-—(LS),

2

・《_221,_2z1x249

.'L2t万t+92--石(二彳)

・.•-2<y3,

2

*,•当/=-」■时，MN的最大值为4?；

424

(3)解：过点P作PQ〃)，轴交x釉于Q,

设夕(7,-P-2/+3),则PQ=-P-2/+3,CQ=/+3,DQ=1-t,

AtanZPCD+tanZPDC=电耳，

CQDQ

_-t2-2t+3,-t2-2t+3

t+3l-t

;(t+3)(l-t)Jt+3)(l-t)

t+3l~t

=1-z+z+3,

=4

2.如图，抛物线），=7+/u-+c与x轴交于点A和点8（3,0）,与y轴交于点C（0,3）.

（1）求抛物线的解析式；

（2）若点M是抛物线在x轴下方上的动点，过点M作MN4），轴交直线8c于点N,求线段MN的最大

值；

（3）在（2）的条件下，当MN取得最大值时，在抛物线的对称轴/上是否存在点P,使APB/V是等腰

解：（1）将点8（3,0）、C（0,3）代入抛物线），=/+"+。中，

得:（0=9+3b+c,解得：代=-4

I3=cIc=3

J抛物线的解析式为），=』-41+3.

（2）设点M的坐标为（加，，/・4〃?+3）,设直线BC的解析式为），=h+3,

把点3（3,0）代入），=&+3中，

得：O=3k+3,解得：k=-I,

・•・直线BC的解析式为y=-x+3.

轴，

・••点N的坐标为（，〃，-〃?+3）.

•・•抛物线的解析式为y=*-4.计3=（x-2）2-1,

・•・抛物线的对称轴为文=2,

・••点（I,0）在抛物线的图象上，

Al</w<3.

•・•线段MN=-w+3-（w2-4冽+3）=-//+3m=-）2+—,

、24

・・・当m=与时，线段"N取最大值，最大值为圣

24

（3）假设存在.设点。的坐标为（2,〃）.

当〃?=2时，点N的坐标为（1,旦），

222

APB=V（2-3）2+（n-0）2=71+n2,P/V=J（2-y）2+（n-y）2»^=J（3-y）2+（0-y）2=

V乙乙V乙乙

372

△PBN为等腰三角形分三种情况：

①当。3=呐时，即匹^=J（2，）2+（nV）2,

V乙乙

解得：〃=2，

2

此时点P的坐标为（2,1）；

2

②当PB=BN0寸，即百滔=且乎.

乙

解得：〃=士华，

2

此时点P的坐标为（2,-叵）或（2,巫）；

22

③当PN=3N时，即J（2-|y+（n_1）2=平,

V乙乙乙

解得：〃=3±F7,

2

此时点尸的坐标为（2,或（2,受叵）.

22

综上可知：在抛物线的对称轴/上存在点P,使△PBN是等腰三角形，点尸的坐标为（2,工）、（2,-隼）、

22

（2,叵）、（2,知叵）或⑵如叵）.

222

3.已知，如图，抛物线与x轴交点坐标为A（1,0）,C（-3,0）,

（1）如图I，已知顶点坐标。为（-1,4）或B点（0,3）,选择适当方法求抛物线的解析式；

（2）如图2,在抛物线的对称轴。，上求作一点M,使AABM的周长最小，井求出点M的坐标；

（3）如图3,将图2中的对称轴向左移动，交x轴于点P（m,0）（-3V〃?V-1）,与抛物线，线段8。

的交点分别为点£、F,用含小的代数式表示线段E〃的长度，并求出当〃，为何值时，线段最长.

解：(1)由抛物线的顶点。的坐标(-1,4)可设其解析式为(x+1)2+4,

将点C(-3,0)代入，得：4。+4=0,

解得a--\,

则抛物线解析式为y=-(x+1)2+4=-x2-2x+3；

(2)连接8C,交DH于点M.此时△A8M的周长最小,

图①

当j=0时，-(x+1)2+4=0,

解得x=-3或％=1,

则A(1,0),C(-3,0),

当x=0时，y=3,则B(0,3),

设直线BC的解析式为y=kx+b,

.格H(0.3),C(-3,0)代入得

l-3k+b=0

解得：(k=1,

lb=3

・•・直线解析式为)，=x+3,

当x=-1时，y=-1+3=2,

所以点M坐标为(・1,2)；

(3)由题意知E(〃?,-rr?-2w+3),F(m,m+3),

则EF=EP-FP=-nr-2w+3-(w+3)=-nr-3m=-(w+—)2+—,

24

.・・当加=一2时，线段石户最长.

2

4.在平面直角坐标系中，直线尸蛆-2m与x轴，_)，轴分别交于A,B两点，顶点为D的抛物线＞，=-f+2心

-W2+2与y轴交于点C.

(1)如图，当机=2时，点P是抛物线。。段上的一个动点.

①求A,B,C,。四点的坐标：

②当△雨8面积最大时，求点。的坐标；

(2)在y轴上有一点M(0,2加)，当点C在线段MB上时，

3

①求机的取值范围；

②求线段，。长度的最大值.

(备用图)

解：(1)•・•直线尸始-2〃?与x轴，y轴分别交于A,B两点，

(2,0),B(0,-2〃?)；

Vy=-(x-in)2+2,

，抛物线的顶点为。(m,2),

令x=0,则y=-〃?+2,

AC(0,・苏+2).

①当m=2时，-2w=-4,-nr+2=-2,

:.B(0,-4),C(0,-2),D(2,2).

②由上可知，直线/W的解析式为；J=2A-4,抛物线的解析式为；)，=/+4x2.

如图，过点P作PE〃:V轴交直线AB于点E,

设点P的横坐标为7,

：.P",-r+4r-2),E(r,2-4).

・•・PE=-r+4t-2-(2f-4)=-r+2/+2,

的面积为：士义(2-0)X(-?+2/+2)=-(L1)2+3,

2

V-l<0,

・••当r=l时，△以B的面积的最大值为3.

此时尸(1,1).

(2)由(1)可知，B(0,-2m),C(0,-m2+2),

①•・•)，轴上有一点M(0,1M,点C在线段MB上，

3

・•・需要分两种情况：

当工〃?2-/+22-2m时，可得1+畲，

33

当工/“W-//+2W-2m时，可得-3W〃?W1-

3

・•.〃?的取值范围为：2w〃Wl+g或-3W加W1-V3.

3

②当时.

3

VBC=~nr+2-(-2m)=-m2+2m+2=-Cm-1)2+3,

・••当加=1时，8c的最大值为3；

当工〃-2m时，即・3W〃iWl-V3»

3

：.BC=-2m-(-W2+2)=rrr-2m-2=(w-1)2-3,

当〃z=・3时，点M与点C重合，8C的最大值为13.

：,当m=-3时，HC的最大值为13.

5.如图I,抛物线产加+法+3与x轴交于4(-1,0),B两点，与y轴交于点C,且CO=8O,连接8C.

(1)求抛物线的解析式：

(2)如图2,抛物线的顶点为。，其对称轴与线段8c交于点E,求线段OE的长度；

(3)如图3,垂直于x轴的动直线I分别交抛物线和线段BC于点P和点片连接CP,CD,抛物线上

是否存在点P,使ACDEsAPCF,如果存在，求出点P的坐标，如果不存在，请说明理

解：(1)在抛物线尸av2+公+3中，令工=(),得)，=3,

：,C(0,3),

・•・CO=3,

*/CO=BO,

・・・4O=3,

：,B(3,0),

VA(-1,0),

.fa-b+3=0

9a+3b+3=0

解得：

lb=2

・•・抛物线的解析式为：)，=-/+2v+3；

(2)设直线BC的解析式为＞，=心+力，

*：B(3,0),C(0,3),

.’3k+b=0

lb=3

解得：(「-I,

lb=3

・•・直线BC的解析式为y=・x+3,

;抛物线)，=/+2x+3的顶点D坐标为(1,4),

，当x=l时，y=-1+3=2,

：.E(1,2),

・・.Z)E=2；

(3),:PF〃DE,

：・4CED=/CFP,

当旦1=望时，△PCFsACDE,

CEDE

由。(1,4),C(0,3),E(1,2),

利用勾股定理，可得CE={I2+(3_2)2=&，

DE=4-2=2,

设点P坐标为"-尸+2什3),点尸坐标为(f,-Z+3),

PF=-r+2t+3-(・什3)=・1+3/，C^=Vt2+[3-(-t+3)]2=

.-t2+3t-V2t

♦.FF，

•LWO,

；•f=2,

当f=2时，・»+2什3=-22+2X2+3=3,

・•・点尸坐标为(2,3).

图2

y

图i

6.如图1,已知在平面直角坐标系xQy中，四边形是边长为3的正方形，其中顶点A,。分别在x

轴的正半轴和y轴的正半轴上.抛物线y=・«+公+。经过A,C两点，与x轴交于另一个点。.

（1）①求点A，B,。的坐标；

②求〃，c的值.

（2）若点P是边8c上的一个动点，连结AP,过点P作PM_LAP,交y轴于点M（如图2所示）.当点

P在BC上运动时，点M也随之运动.设8P=〃?，CM=n,试用含用的代数式表示〃，并求出〃的最大

解：(1)①四边形04BC是边长为3的正方形，

・・・A(3,0),B(3,3),C(0,3)；

②把4(3,0),C(0,3)代入抛物线产-f+法+c中得：f-9+3b+c=°

\c=3

解得：fb=2：

Ic=3

(2)*：AP1.PM,

：.ZAPA/=90°,

AZAPB+ZCPM=90°,

VAB=ZAPB+ZBAP=9Q°,

:・/BAP=NCPM,

•・・N4=NPCM=90°,

.••△MCPsAPBA,

・里=&5.[iii3-m_n

••而一而''m'

，3〃=〃？(3-〃？),

n=~—•ifr+m=~—(tn~—)^+-—■(0W〃?W3),

3324

•.♦・A<o,

3

，当m=2时，〃的值最大，最大值是旦.

24

7.已知二次函数y=『-x-2的图象和x轴相交于点A、B,与y轴相交于点C,过直线8c的下方抛物线

上一动点P作PQ//AC交线段BC于点Q,再过P作PEVx轴于点E,交BC于点D.

（1）求直线AC的解析式；

（2）求△PQ。周长的最大值；

（3）当△尸。。的周长最大时，在），轴上有两个动点M、N（M在N的上方），且MN=I,求PN+MN+AM

的最小值.

解：(1)对于二次函数y=f-x-2,令x=0得y=・2,令y=0,得.1-工-2=0,解得x=・l或2,

・"(-1,0),B(2,0),C(0,-2),

设直线AC的解析式为y=kx+h,则有产-2,

l-k+b=0

解得(k=2,

lb=-2

・•・直线AC的解析式为y=-2J-2.

(2))YB(2,0),C(0,-2),

・•・直线8C的解析式为y=x-2,OB=OC=2,

・・・NOCB=NO8C=45°,

•・・PE_Lx轴，

：・/DEB=90°,

:・/EDB=/ODP=/EBD=45°,

*：PQ//AC,

・・・NPQC=NACQ,

:・NPQD,NPOQ是定值，

，尸。最长时，Z\PDQ的最长最大，设尸(/〃，/J-〃?-2),则。(/〃，

,\PD=m-2-Cm2-m-2)--nr+2m=-(/n-1)2+l>

l<0,

・•・〃?=1时，PD的值最大，尸乃最大值为1,此时P(l,-2),D(I,-1),

・•・直线PQ的解析式为y=-2r,

y=-2x

由,

y=x-2

2

解得

4'

y=-3

：,Q(—,

33

r.PD=1,PQ=®,OQ=亚，

33

••.△PDQ的最长的最大值为1+哼+*■.

(3)如图2中，作PP'〃y轴，使得PP'=MN=1,连接交)，轴于M,此时PN+MW+4M的值最

小.

由(2)可知。(1,-2),

:.P'(1,-1),VA(-1,0),

・•・直线科的解析式为尸-点

1、q

：.M(0,--),N(0,--

22

•••加丁+旷考，PN=qF+g)2=隼，

：.AM+MN+PN的最小值为赤+1.

8.如图，抛物线・3。工・4。(«<0)与x轴交于A,B两点，直线y=2x+2经过点A,与抛物线的

22

另一个交点为点C,点。的横坐标为3,线段PQ在线段A/3上移动，PQ=\,分别过点P、Q作x轴的

垂线，交抛物线于E、F,交直线于Q,G.

(1)求抛物线的解析式；

(2)当四边形。£FG为平行四边形时，求出此时点P、。的坐标；

(3)在线段PQ的移动过程中，以。、E、F、G为顶点的四边形面积是否有最大值，若有求出最大值,

.・.),=2x3+』=2,

22

・••点C的坐标为(3,2),

把点C(3,2)代入抛物线，可得2=94-9〃-4a,

解得：a=—

2

2

・•・抛物线的解析式为)，=-1X-^|X+2；

(2)设点P(m,0),Q(w+1,0),

由题意，点。(〃?，—///+—)m,E()G（m+1,—///+1）,F（m+1,

222

•・•四边形DEFG为平行四边形，

：・ED=FG,

，(^-m2+|-ni+2)-■"吟)=（2m2卷m+3）_（/〃?+］），I*-^•m2+111,=4m2+2,

•*»TM=0.5»

:・P(0.5,0)、Q(1.5,0)；

(3)设以。、E、F、G为顶点的四边形面积为S,

由(2)可得,S=(—2tm■母［孤2+2)(-m2+m+^

乙乙乙乙乙

.・.当m=2"时，s最大值为工工，

28

・•・以。、E、F、G为顶点的四边形面积有最大值，最大值为三.

8

9.如图所示，二次函数尸ad-」L+c•的图象经过点4(0,1),8(-3,•|),A点在y轴上，过点8作

4

BC_Lx轴，垂足为点C.

(1)求直线AB的解析式和二次函数的解析式:

(2)点N是二次函数图象上一点(点N在4B上方)，过N作NP_Lx轴，垂足为点P,交A8于点M,

求MN的最大值；

(3)点N是一次困数图象上一点(点N在八8上方)，是否存在点M使得b0与NC相互垂直平分？

若存在，求出所有满足条件的N点的坐标；若不存在，说明理由.

,W：(1)设直线A/y的解析式为：y=lcx+b,

b=l

•Ic5，

-3k+b=—

乙

,M

b=l

・•・直线44的解析式为：y=-l.t+1：

2

J

把4(0,1),8(-3,—)代入y=t?x2-^-x+c得，，*4,

241

c=l

，二次函数的解析式为：y=・6/・卫”+l；

44

(2)设点N的坐标为(加，-^-m2-^-m+l)(-3<w<0),则点M的坐标为(5，・L〃+l),

442

:・MN=-9//-又加+1-(--lw+i)=-区渥-工/〃+]=__5(/〃+3)2+至，

442444216

.・・当川=-3时，MN取最大值，最大值为至：

216

（3）假设存在，设点N的坐标为3〃,—n?-—m+\)(-3<m<0),连接8N、CM,如图所示.

44

若要3M与NC相互垂直平分，只需四边形BCMN为菱形即可.

•・•点B坐标为（-3,土），点C的坐标为（-3,0）,

2

：.BC=—.

2

•・•四边形8cMN为菱形，

:,MN=--/n2--m=BC=­,

442

解得：m[=-2,ni2=-1.

当用=・2时，点N的坐标为（・2,9）,

2

.•*N=J（-2+3）2+（孩得）2=泥，BC=1,BN/BC,

V乙乙乙

故m--2（舍去）；

当m=-1时，点N的坐标为（-1,4）,

，BN=J（-l+3产+（4心）2=25C=—,BN=BC,

V222

・••点N（-1,4）符合题意.

故存在点M使得8M与NC相互垂直平分，点N的坐标为（-1,4）.

10.如图所示，抛物线），=以2+质-3交工轴交于A（-1,0）,B（3,0）两点，与），轴交于点C.

（1）求抛物线的解析式；

（2）如图，直线下方的抛物线上有一点。，过点D作DELBC于点E,作/）/平行x轴交直线

点F,求△£）£：〃周长的最大值：

（3）已知点M是抛物线的顶点，点N是），轴上一点，点Q是坐标平面内一点，若点户是抛物线上一点，

且位于抛物线对称轴的右侧，是否存在以点P、M、N、。为顶点且以PM为边的正方形？若存在，请直

接写出点P的横坐标；若不存在，请说明理由.

解：（1），・,抛物线y=o?+/次-3交x轴交于4（-1,0）,8（3,0）两点,

.f0=9a+3b-3

••<

0=a-b_3

解得：(a"

b=-2

，抛物线的解析式为-2r-3

(2).••抛物线-2x-3与)，轴交于点C

・••点C坐标为(0,-3)

，直线解析式为：)，=x-3

♦:点B(3,0),点C(0,-3)

：.OB=OC=3,

：./OBC=NOCB=45°

*：DF//AB,

AZEFD=45°=ZOBC,

VDE1BC,

；・NEFD=NED尸=45°,

：,DE=EF,

:.DF=®EF,

J?

：,EF=DE=-^-DF,

2

/周长=OE+Eb+DF=(1+V2)DF,

设点D(4,cr-24-3),则F(/-2a,cr-2〃-3)

DF=(1~ci^+2ci=-42+3〃=-(a--)~+—

24

・•・当a=3时，D/；有最大值为a,

24

即周长有最大值为(1+&)Xa=:也，

44

(3)存在，

如图I,过点用作GH_LOC,过点P作PH上GH,连接MN,PM,

图1

•・•抛物线的解析式为尸7-2x-3=(X-1)2-4

・••点M(1,4)

•・•以点P、M、N、Q为顶点且以PM为边的正方形，

:・PM=MN,NPMN=90°,

:・NPMH+/NMG=90°，且NPMH+/MPH=90°,

:・/NMG=/MPH,且MN=PM,ZH=NNGM=96°,

:.XMNG9丛PMH(AAS)

:・GM=PH=1,

-**点P的纵坐标为-3.

工-3=？-2A--3

.*.A=0(不合题意舍去)，x=2,

・••点P的横坐标为2,

如图2,过点P作G”_LA8,过点N作NGLGH,过点M作

可得NG=P”，GP=MH,

设点尸横坐标为a，（。＞1）

:,NG=PH=a,

・••点尸纵坐标为-4+m

:.-4+a=J-1a-3

・・.1=生匹（不合题意舍去），工=之近.

22

综上所述：点P的横坐标为2或亚区

2

11.如图，抛物线y=』-2x-3与x轴交A、B两点（4点在8点左侧），直线/与抛物线交于4、C两点,

其中C点的横坐标为2.

（1）P是线段AC上的一个动点，过P点作y轴的平行线交抛物线于E点，求线段PE长度的最大值：

（2）在抛物线上是否存在点Q,使得△BOQ中边上的高为簿.若存在，请求出点。的坐标；若

不存在，请说明理由；

（3）点G是抛物线上的动点，在x轴上是否存在点F,使A、C、F、G这样的四个点为顶点的四边形是

平行四边形？如果存在，直接写出所有满足条件的尸点坐标；如果不存在，请说明理由.

W：(1)令y=0,解得尤=-1或x=3,

AA(-1,0),B(3,0)；

将。点的横坐标工=2代入＞，=*-21-3得.丫=-3,则C(2,-3),

设直线AC的表达式为y=k.x+b,

则(-3=2k+b,解得(k=-l,

I0=_k+bIb=_l

・•・直线AC的函数解析式是y=-x-I,

设P点的横坐标为x(-14W2),

则尸、E的坐标分别为：P(x,-X-1),EG,

•・•尸点在E点的上方，PE=(-x-1)-(?-lv-3)=-?+x+2,

.♦•当时，尸石的最大值=?；

24

(2)存在，点Q的坐标为：(-1,0)或(4,5)：

令x=0,贝1))，=/-2.3=-3,即0(0,-3),

由B(3,0),。(0,-3)得到直线的解析式是y=x-3,

如上图，过点Q作QE±BD交BD的延长线于点E,则。£=2近,

过点Q作QNLc轴于点N,交BD于点H,

由直线8。的表达式知，N"8V=45°=ZQHE,

则X272=4,

设点Q(〃?，〃?，n?-2m-3),则点〃Cm,m-3)»

则Q”=[yQ-y〃|=4,即〃?？-3-(〃L3)=±4,解得5=-1或4,

・・・Q的坐标为：（・1,0）或（4,5）；

（3）存在，点尸的坐标为（1,0）或（-3,0）或（4+巾，0）或（4-夜，0）,理由：

设点尸的坐标为（x,0）,点G的坐标为Cm,W2-2/M-3）,而点A、C的坐标分别为（-1,0）、（2,

-3）,

①当AC为平行四边形的对角线时,

由中点坐标公式得：「"2=个，解得*1或产一1（舍去）,

0-3=0+mz-2m-3m=0Im=2

故点尸的坐标为（1,0）：

②当AF为平行四边形的对角线时，

由中点坐标公式得.1*2；解得,"+可或卜

0=-3+m-2m-3m=l+V7m=l-v7

却点尸的坐标为（4+巾，0）或（4-W，0）；

③当AG为平行四边形的对角线时，

由中点坐标公式得尸三=>2,解得卜“3或卜二T（舍去）,

0+mz-2in-3=-3+0Im=0m=2

故点尸的坐标为（-3,（））,

综上，点F的坐标为（1,0）或（-3,0）或（4+J7，0）或（4-VV»0）.

12.已知抛物线）=0?+2计（：（“之0）与x轴交于点4（-1,0）和点B,与直线），=-x+3交于点B和点C,

M为抛物线的顶点，直线ME是抛物线的对称轴.

（1）求抛物线的解析式及点M的坐标.

（2）点P为直线8。上方抛物线上一点，设d为点P到直线C8的距离，当d有最大值时，求点P的坐

标.

（3）若点尸为直线BC上一点，作点A关于y轴的对称点4,连接A'C,A'F,当是直角三角形

时，直接写出点尸的坐标.

解：（1）直线y=r+3过点8和点C,则点8、C的坐标分别为：（3,0）、（0,3）,

抛物线的表达式为：y=a（x+1）（x-3）=a（f-2x-3）,

故-2a=2,解得：〃=-1,

故抛物线的表达式为：），=・f+2v+3,

函数的对称轴为：x=\,当x=l时，＞,=4,故点/（1,4）；

（2）过点P作y轴的平行线交8c于点“，过点P作PO_L8C于点D,

OC=OB=3,则NQP〃=NCBA=45°,

设点P(x,-7+Zt+3)