中考高频压轴题突破-二次函数与线段周长

中考高频压轴题突破一二次函数与线段周长

1.如图一所示，在平面直角坐标中，抛物线.y=4*2+2x+c经过点力(TO)、8(3,0),

与丁轴交于点C,顶点为点D.在线段4C上方的抛物线上有一动点P,过点P作PELBC

于点£,作PF〃AB交BC于点F.

图一备用图

(1)求抛物线和直线8c的函数表达式.

(2)当！庄F的周长为最大值时，求点尸的坐标和！〃所的周长.

2.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=法-3与％轴交于点A(T,0)1(1，。)，

与)'轴交于点C.

图i备用图

⑴求抛物线的函数解析式.

⑵如图1,点E为直线AC下方抛物线上一动点，过点E作)，轴的平行线交AC于点D,

过点E作x轴的平行线交了轴于点尸，过点。作大轴的平行线交了轴于点G,得到矩形

DEFG,求矩形OEFG的周长最大值及此时点E的坐标；

(3)点尸是直线AC上一动点，点。是在平面内一点，当以点A,0,P,。为顶点的四

边形是菱形时，请直接写出点。的坐标.(参考数据：1282=16384,1602=25600)

3.如图，抛物线y=+bx+c与x轴交于A,B两点,与丁轴交于C点且点8的坐

标为(-4,0),OC=2.

(I)求抛物线的解析式及顶点。的坐标；

⑵判断的形状，并证明你的结论：

(3)点M是抛物线对称粕上的一个动点，当△ACM的周长最小时，求点M的坐标.

4.已知抛物线尸加十笈+。(。>0)经过A(TO)、*〃?,0)两点(点A在点8的左侧),

与y轴交于点C,04=248,tanZAfiC=l.

4

⑴如图1,求此抛物线的表达式;

(2)如图2,直线y=b〃+〃(O<&<l)经过点3,交AC于点。，点。为线段8Z)的中点,

过点。作。£_Lx轴于点E,作。/_LBC于点尸，连结P£、PF.

①求证：！夕£尸是等腰直角三角形；

②当！PE尸的周长最小时，求直线4。的表达式.

5.如图，抛物线W-V+ZUTC与x轴交于A(2,0),8(T,0)两点.

⑴求该抛物线的解析式;

试卷第2页，共9页

(2)若抛物线交)，轴于C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点。，使得△QAC的周长

最小？若存在，求出。点的坐标；若不存在，请说明理由.

(3)在抛物线的第二象限图像上是否存在一点P,使得PBC的面积最大？若存在，求出

点P的坐标及.PBC的而枳最大值；若不存在，请说明理由.

6.如图1,抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A,B两点，且AB=30C,

与轴交于点C(0,2),若P为抛物线上的一动点，它在x轴上方且在对称轴左

侧运动，过点P作PQXx轴于点。，作PM与x轴平行，交抛物线另一点M,

⑴求抛物线的函数表达式.

⑵设矩形PQNM的周长为,,求/的取值范围.

⑶如图2,当P点与C点重合时，连接对角线PN,取PN上一点。(不与P,

N重合)，连接DM,作DELDM,交汇轴于点E.

①试求器的值.

DE

②试探求是否存在点D,使&DEN是等腰三角形？若存在，请直接写出符合条件的

点。坐标；若不存在，请说明理由.

7.如图，在平面直角坐标系xOv中，一次函数y=〃的图象与％轴交于A(-1,O),

与y轴交于点C.以直线x=2为对称轴的抛物线C|：y=o?+法+c(a#O)经过A、C两

(I)求〃的值及抛物线G:y=or?+/>+c(a/0)的函数表达式.

⑵设点o(o，K}

若F是抛物线C,：y=ax2+bx+c(ah0)对称轴上使得△AO/7的周

长取得最小值的点，过F任意作一条与y轴不平行的直线交抛物线c,于必(百,无),

/、11

例式9，％)两点，试探究,+,是否为定值？请说明理由♦

ivijr1V1?r

⑶将抛物线G作适当平移，得到抛物线。2：乃={(xi)2，h>\.若当时,

%NT恒成立,求m的最大值.

8.二次函数》=加+岳+39件0)的图像与y轴交于点C,与X轴交于点A(l,o)、

⑴求。、b的值；

(2)P是二次函数图像在第一象限部分上一点，且NRW=NOG4,求P点坐标；

⑶在(2)的条件下，有一条长度为1的线段样落在0A上(E与点。重合，尸与点A重

合)，将线段E尸沿x轴:E方向以每秒2个单位向右平移，设移动时间为，秒，当四边形

C4尸周长最小时，求/的值.

9.如图,抛物线y=o?+历：-3(°工0)与x轴交于点4-1,0),点8(3,0),与y轴交于点

C.

试卷第4页，共9页

(1)求抛物线的表达式；

(2)在对称轴上找一点Q,使-4CQ的周长最小，求点。的坐标；

(3)点P是抛物线对称轴上的•点，点M是对称轴左侧抛物线上的•点，当△尸MB是以

/行为腰的等腰直角三角形时，请直接写出所有点M的坐标.

10.如图，已知抛物线)，=*./+队+。与工轴交于45两点，点A的坐标为

点B的坐标(3,0),与)，轴交于点C,点D是点C关于抛物线对称轴的对称点，连接CD,

过点D作DHLx轴于点H,过点4作AE4。交DH的延长线于点E.

备用图

(1)求抛物线的解析式；

⑵在线段AE上找一点M,在线段QE上找一点N,求-CMN的周长最小值；

⑶在(2)问的条件下，将得到的，CMN沿射线AE平移得到CM%',记在平移过程

中，在抛物线上是否存在这样的点。，使Q、C'、M'、V为顶点的四边形为菱形，

若存在，直接写ULCMN平移的距离；若不存在，说明理由.

11.如图，抛物线产一小从+c与x轴交于与2,0),8(60)两点.

(1)求该抛物线的解析式；

⑵若抛物线交y轴于C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点。，使得Q4c的周长

最小？若存在，求出。点的坐标；若不存在，请说明理由.

(3)在坐标平面内是否存在一点尸，使得Q、8、A、尸围成的图形是平行四边形，若存在，

直接写出点夕的坐标；若不存在，请说明理由.

12.如图，边长为5的正方形OABC的两边在坐标轴匕以点M(0,4)为顶点的

抛物线经过点N(4,0),点P是抛物线MN段上一动点，过点尸作PFLBC

于点F,点E(0,3),连接PE、EF.

⑴求抛物线的解析式；

(2)当/K"=60。，求点「的坐标;

(3)求！尸EF周长的取值范围.

13.如图，已知抛物线y=-/+&+。与x轴交于人、B两点，入4=4,交y轴于点C,

⑴求抛物线的关系式；

(2)请在抛物线的对称轴上找一点P,使△4CP的周长最小，并求此时点。的坐标.

⑶动点M从点。出发，以每秒2个单位长度的速度向点8运动(到点3停止)，过M

作x轴的垂线交抛物线于点M交线段BC于点Q.设运动时间为/(f>0)秒.ABOQ

能否为等腰三角形？若能，求出/的值；若不能，请说明理由.

14.如图，抛物线y=af+/?x+c(a为常数，且aVO)与x轴相交于4(-1,0),B(3,0)

两点，与)，轴相交于点C,顶点为。，直线8。与)，轴相交于点E.

试卷第6页，共9页

⑴求证OC=；OE；

(2)M为线段OB上一点,N为线段BE上一点、,当g-；时，求△CMN的周长的最小值；

(3)若Q为第一象限内抛物线上一动点，小林猜想：当点Q与点。重合时，四边形A8QC

的面积取得最大值.请判断小林猜想是否正确，并说理由.

15.如图，已知二次函数y=ad+云+2(力0)与x轴交于点A(-1,0),B(4,0),

与)'轴交于点C.

⑴求抛物线的解析式；

(2)连接AC,8C,点尸是直线8c上方抛物线上一点，过点P作PO//AC交直线BC于点

D,正〃工轴交直线8c于点E,求周长的最大值及此时点/＞的坐标；

⑶在(2)的条件下，将原抛物线向左平移g个单位长度得到新抛物线y'，点"是新抛

物线对称轴上一点，点N是平面直角坐标系内一点，当点M,N,P,笈为顶点的

四边形是菱形时,请直接写出所有符合条件的N点的坐标,并任选一点，写出求解过程.

16.如图，在平面直角坐标系中，抛物线)，=9+区+。经过A(0,-1),8(4,1).直

线4?交x轴于点C,P是直线A4下方抛物线上的一个动点.过点P作夕。LAB,垂足

为。，PE//x^,交直线人8于点E.

（1）求抛物线的函数表达式；

（2）如图1,在抛物线上有一点心使得NC8F=N0AC,求点尸的坐标；

⑶如图2,当的周长为岑1+8时，求点P的坐标.

17.已知抛物线y=V-3.14与x轴交于A、4（A在8的左侧），与），轴交于点C,点

D是直线I3C下方抛物线上的动点.

（1）求直线8C的解析式;

（2）如图1,过。作。£〃），轴交8c于£点。是8c下方抛物线上的动点”在。的右

侧），过点。作夕。〃），轴交8C于。，若四边形为平行四边形.且周长最大.求

点、P的坐标;

⑶如图2,当。点横坐标为1时，过A且平行于B。的直线交抛物线于另一点£,若M

在工轴上，是否存在这样点的M,使得以M、B、。为顶点的三角形与AAEB相似？若

存在，求出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，说明理由.

18.如图，对称轴为直线工=-1的抛物线（x-A）2+k（存0）图象与x轴交于点

A、B（点A在点3的左侧），与），轴交于点C,其中点4的坐标为（2,0）,点。的坐

标为（0,4）.

试卷第8页，共9页

(1)求该抛物线的解析式：

⑵如图1,若点P为抛物线上第二象限内的一个动点，点M为线段CO上一动点，当

△4PC的面积最大时，求周长最小值；

(3)如图2,将原抛物线绕点A旋转180。，得新抛物线-在新抛物线)的对称轴上是

否存在点。使得AACQ为等腰三角形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，

说明理由.

参考答案:

1.⑴产一丁+2刀+3,y=-x+3

3159夜9

⑵P-----------1-----

2,744

【分析】（1）运用待定系数法解答计算即可.

（2）连接PC,PO,PB.设P（M,T/+2〃7+3）,结合！PE尸的周长为

PE+EF+PF=（6+2）PE,得当庄的值最大时，！发尸的周长最大，利用

SPMUSPOB+SPX-S.求得最值，代入计算即可.

【解析】⑴•・•抛物线产aP+2x+c经过点A（-1,O）、8（3,0）,

。-2+。=0

•■**,

9。+6+c=0

解得

c=3

工抛物线的解析式为），=一/+2犬+3,

令x=(),得y=3,

・•・C(0,3),

设直线/3C的解析式为）H+f（/#0）,

3k+t=0

则

t=3

k=-l

解得：

t=3

・•・直线BC的解析式为），=-X+3.

（2）如图一中，连接PC,PO,PB.

设尸（，几一〃P+2m+3）,

答案第10页，共49页

图一

•・•3（3,0）,C（0,3）,

•**OB=OC=3,BC=V3232=3x/2>

・•・ZOBC=ZOCB=45°,

VPF//AB,

・•・NOBC=NPFE=45。,

,：PEA.BC,

・•・！庄尸是等腰直角三角形，

,PF=42PE，

・•・!际的周长为PE+EF+P尸=(&+2)PE,

，当PE的值最大时，！代户的周长最大，

VSPRC=SPOR+SPOC-SOBC=1OB・P、+1OC・P「；OBQC

444

+_LX3X〃，X3X3=，2+。

2222

V--<0,

2

37715

工〃?=5时，ePBC的面积最大，面积的最大值为不，-"+2〃?+3=i，根据8c是定值,

故此时收的值最大，

V-x3x/2xPE=—,

28

•or9加

・・PE=-----,

8

答案第11页，共49页

，！PE尸的周长的最大值：P£+EF+PF=（垃+2）x警=9（：+l）,此时p$*

【点评】本题考查了待定系数法求解析式，等腰直角三角形的判定和性质，构造二次*数求

三角形面积的最大值，熟练掌握抛物线的性质，待定系数法，构造二次函数求最值是解题的

关键.

3r9

2.（i）y=-x+-x-3

44

o3!（811、

⑵当/=-三时，矩形。EFG的周长最大值为不；£-鼻，r

（3）Q（40停-9或。（-或《费,关）

【分析】（1）待定系数法求解析式即可求解；

（2）根据抛物线解析式求得点。的坐标，进而得出直线AC的解析式，设。；-3）,

<anX2

依题意，Er,^z2+-r-3,DG=T，得出。£=-=/一％,根据矩形的周长得出关于，的

144）4

二次函数，进而根据二次函数的性质即可求解：

（3）点。是直线4c上一动点，设〜（〃.-（〃-3）,分三种情况讨论，①当0P为对角线时，

2525

则AO=AP,即〃2+=■〃+25=16②当AO为对角线时，则八2=。尸，即

71672

2s/+2s〃+25=2丁s/+99,当m为对角线时，AO=OP即27s〃2+9+9=]6,根据

162162162

菱形的性质进而求得。点的坐标即可求解.

【解析】（1）解：•・•抛物线广加+法—3与x轴交于点A（-4,0）,8（l,0）,

*（164-4/7-3=0

•・a+b-3=0

3

a=­

解得：：

b=-

4

•••抛物线的函数解析式为：尸了4、》9-3

44

（2）解:由），+:4一3,令x=0,解得y=-3,

44

・•・C（O,-3）,

答案第12页，共49页

设过点A(-4,0),C(0,-3)的直线AC解析式为y=h-3,

贝iJ-U-3=(),

3

解得：

，直线AC的解析式为一%-3；

设。［TT，

(3o

依题意，石/,丁?+―3,DG=-t,

k44J

3

・・・DE=一一r-3t

4

3238)32

・•・矩形DEFG的周长为2(。£+DG)=21+-d----9

I4223J3

3

7«=--<()

2

Q37

・•・当，=-］时，矩形OEFG的周长最大值为三；

(/_j)(4)=13114

力+21=2z+14—x—X—

444rrr4333

.Fl811)

(3)解：•.•点P是直线4c上一动点,

设3),•・・A(40),0(0,0)

1二%」+学+

$.325,AO'=16>

4J16

，

OP2=n2+\--n-33++9

[4162

①当OP为对角线时，则AO=AP,

gp—/?2+—w+25=16

162

41212]

解得："=则力用

g5T<"5

答案第13页，共49页

即史〃2+生〃+25="〃2+2〃+9

162162

解得：〃[=六,〃2=T

乙D

./2896)

J分—)

由平移得：Q，关者、

答案第14页，共49页

【点评】本题考查了二次函数综合运用，待定系数法求解析式，线段周长最值问题，特殊四

边形，掌握二次函数的性质是解题的关键.

3.⑴y=3+2,顶点。的坐标为一不予

22\Zo)

(2)ABC是直角三角形，理由见解析

35

(3)点M的坐标为

2,4

【分析】(1)根据OC=2可得。点的坐标为(0,2),即c=2,点仪-4,。)代入抛物线表达式，

3

求出〃=-1，即可求出抛物线的解析式，将抛物线表达式化为顶点式，即可得到顶点D的

坐标；

(2)工3c是直角三角形，求出抛物线与x轴的交点A的坐标，即可求出A8,由勾股定理

得求出AC=6，BC=2后,再由勾股定理的逆定理证明,A8C是直角三角形；

(3)由抛物线的性质可知，点A与点8关于对称轴对称，连接BC交对称轴于M,此时

△ACM的周长最小，求出直线8c的解析式，求出点M的坐标即可.

【解析】(1)解：・・・OC=2,

・・・C点的坐标为(0.2),

c=2,

•・•点3(-4,0)在抛物线y=—gr+"+2上，

3

A-S-4/?+2=0.解得,b=~.

2

答案第15页，共49页

I3

・•・抛物线的解析式为了=-；/-$丫+2

.123cIf3?25

222^2)8

,顶点。的坐标为(-看野

(2)解：二/SC是直角三角形，

证明：点C的坐标为(0,2),即OC=2,

当」X2_3X+2=0,

22

解得，百=T,-G=1,

则点A的坐标为(1,0),即08=4,0A=1,

，A8=5,

•••由勾股定理得，AC=芯,BC=2场,

工AC2+BC2=25=AB2,

・•・ABC是直角三角形.

(3)解：由抛物线的性质可知，点A与点8关于对称轴对称,

连接8c交对称轴于M,此时△ACM的周长最小，

-4k+〃？=0k=—

由题意得，①，解得，2,

m=2

[m=2

则直线BC的解析式为：v=1x+2,

35

当x=一,时，>'=->

工点M的坐标为卜•!，；)・

【点评】本题考查了求二次函数的解析式及一次函数的解析式，勾股定理及其逆定理和釉对

称中的最短距离问题，利川待定系数法求函数解析式是解答本题的关键.

答案第16页，共49页

4.(l)y=x2-2x-3

（2）①见解析，②>=夫-1

【分析】（1）根据0A=；A8,可得8（3,0）.再由tan/4BC=l,可得C（0,-3）,再利用待

定系数法解答，即可求解;

（2）①根据直角三角形的性质可得尸石=尸尸=产8,从而得到N'£AN>=2N'KZ2,

NFPD=2NFBD,进而得到/E/T=/EPD+NTPOMZ/ABC.再由lan/A8C=l,可

得/EPF=90。，即可；②根据题意可得！尸所的周长=PE+PP+E〃=空但8Q,从而得

2

到当BO_LAC,即4405=90。时，！尸班'的周长最小.再由△AOBS/XAOC,可得

?OArq6]

AD=-V10,然后根据△AEDsAAOC,可得AE=-,DE=-,从而得到。一不

J5J5J5tJ5>

即可.

【解析】（1）解：•.Y（T0）,OA=；AB,

:.OB=3OA=3,即4(3,。).

.tan/ABC=I,

:.0C=3,即。(0,-3).

把A(—1,0)、伙3,0),C(0,—3)代入得:

a-b+c=Oa=1

9a+3〃+c=0解得，/?=-2,

c=-3

,此抛物线的表达式为y=x2-2,v-3.

(2)解：①.••力E_Lx轴，DF1BC,

小花和VW）「都是直角三角形.

点P为线段8。的中点,

：.PE=-BD=PB,PF=>BD=PB,

22

:.PE=PF=PB,

；./PBE=/PEB,

:.NEPD=2NEBD,

同理，得NFPD=2NFBD,

答案第17页，共49页

NEPF=NEPD+NFPD=2ZABC.

•「tan/ABC=1,

:.ZABC=45°,

ZEPF=90°,

.・“房■尸是等腰直角三角形.

图2

②由①得产E=PF，EF=>J2PE»

.♦二PEF的周长=庄+P厂+EF

(2+%PE=",BD

・•・当8DJ.AC,即/4。8=90。时，！P比'的周长最小.

-ZADI3=ZAOC=90°,ZDAI3=ZOAC,

.\Z\ADB^^AOC,

ABAD

ACAO

,/OA=1,OC=3,AB=4*

：.AC=y]OA1+OC2=V10,

5AB-AO4x12r

AD=----------=—f==-VI

ACM5

•・・OE_Lx轴，

..DE//CO,

.­.△AED^ZV^OC,

AEDEAD

'~^d~~CO~~AC'

3

:.OE=OA-AE=-

5f

答案第18页，共49页

8(3,0),

3k+〃=0,

3,6解得，3

55-1

..•直线BO的表达式为y=9-l.

【点评】本题主要考查了二次函数的综合题，相似三角形的判定和性质，解直角三角形，熟

练掌握二次函数的图象和性质，相似三角形的判定和性质是解题的关键.

5.(1)y=-x2-2A+8

⑵存在，C(-h6)

(3)存在，点P的坐标为P(-2,8),8

【分析】(1)运用待定系数法计算即可.

⑵判定4(2.0),B(T,0)是对称点，确定直线8C的解析式，计算当户-1时的函数值即可

确定坐标.

⑶设尸(〃?,-"产―2〃?+8),过点P作PELx于点E,根据

SHPC=S四边形BPCO—SHCO=S四边形PCOE+SnrE—SBCO，构造二次函数，根据二次函数的最值计

算即可.

【解析】(1),・•抛物线y=-Y+Zu+c与上轴交于A(2,0),8(-4,())两点，

-4+2Z?+c=0[b=—2.

二IA”7解得Q一••该抛物线的解析式为丁=-/—2工+8・

-16-4/?+c=0[c=8

(2)存在，点。(-1,6).理由如下：•・•抛物线.%-/-2工+8与x轴交于A(2,0),8(~4,0)

两点，・・・A(2,0),例-4,0)是对称点，且C(0,8),设直线的解析式为,=履+8,・・・

0=Y&+8,解得2=2,工直的解析式为y=2x+8,

当户-1时，y=2x+8=-2+8=6,故点Q(-l,6).

(3)如图，设P(血-病-2.+8),过点P作PE_Lx于点石，

答案第19页，共49页

,・,抛物线y=-f-2x+8与x轴交于A（2,0）,B（-4,0）两点,且C（0,8）,

:.OC—8,08—4,PE=-fir-2m+8，OE--m,EB=tn+4,

S.BPC=S四边形BPCO-S.HCG=S四边形PCOE+.HPE-HCO»

=-（PE+OC}xOE+-PExI3E--OI3xOC

2V722

=LpExOE+LoCxOE+LpExBE-、OBxOC

2222

=LpExOB+LoCxOE」OBxOC

222

=一2〃?2-8〃？=一2（“2+2）'+8,

故当〃?=-2时，S△稗,取得最大值，且为8,此时夕（-2,8）.

【点评】本题考查了待定系数法确定二次函数的解析式，一次函数的解析式，构造二次函数

计算二角形的最值，熟练掌握待定系数法，灵活构造二次函数是解题的关键.

2,8

6.（l）y=--x+-X+2

【分析】（1）先求出点。坐标，由A8=3O。和点A坐标得到点8坐标，用待定系数法即求

出抛物线解析式.

7Q

（2）设点夕坐标（〃,-三〃2+三〃+2）,即能用〃表示PQ：由轴可知HM关于抛物

JJ

线对称轴对称，即P、M到对称轴的距离相等，故能用〃表示M的横坐标，进而表示加的

长；由矩形PQMW周长等于PQ与月W的和的2倍，即用含〃的二次式表示周长C,配方即

得到其最值.再根据〃的取值范围，即能求C的取值范围.

答案第20页，共49页

(3)①由。点与C点重合即求得P、M、N的坐标；由。£_L/W,过。作x轴垂线EG,

即构造出,MDGsDEF,所以=片旨=黑=穿=2.

DEDrDrOP

②对点E在点N左侧和右侧进行分类讨论：若点石在点N左侧，先说明N3硒为钝角，所

以.OEN为等腰三角形时只有£>£=硒一种情况.设点。横坐标为"，求直线PN解析式

即得到D的纵坐标，进而能用d表示所有线段的长，再在放△。所中利用勾股定理列方程，

即求出d的值；若点七在点N右侧，说明/ONE为钝角，得DN=EN,解题思路与第一•种

情况相同，即求出d的值.

【解析】(1)当x=0时，y=ax2+hx+c=2,

.'.c=2,

AB=30C=6»

•.B（-LO）,即08=1,

:.OA=AB-OB=5,

A（5,0）,

把A,3坐标代入抛物线解析式得：

25a+5b+2=0,

\a-b+2=0,

2

a=—»

解?

5

2Q

•1.抛物线的函数表达式为y=-/2+]x+2.

JJ

<2RA

（2）设々P，-y2+”+2j,

轴于Q,PM//X轴，

2Q

2

...PQ=--p+-p+2,

点尸，M关于抛物线对称轴对称，

8

v抛物线对称轴：直线工=----q==2，

2xhJ

f=2+（2—p）=4—p,

.\PM=（4-p）-p=4-2p,

:.l=2（PM+PQ）

答案第21页，共49页

/2«\

=24-2p-p2+-p+2

<55，

44s

=--P-2--P+12

4f1V61

5V2)5

,-1<p<2,

P=~~♦l有最大值为»

乙J

4436

当〃=2时，I=—x4—x2+12=—,

555

•••C的取值范围是日VCV技

(3)①过点。作GFlx轴于点F,交PM于G,

/DFE=NDGM=90,DF//y轴，

二•四边形MNFG是矩形，iDFN^PON,

DFFN

~OP~7)N'

P点与C点重合，P、M关于直线x=2对称,

P(O,2),M(4,2),M：4,0),

：.GF=MN=OP=2,PM=ON=4,

DFOP2\

••==—=一,

FNON42

.DELDM,

；.NMDE=90,

/MDG+NEDF=/EDF+/DEF=90,

：.ZMDG=ZDEF,

lMDGs：.DEF,

・-DM-=-M-G=-F-N=2.

DEDFDF'

②存在点。，使aQEN是等腰三角形

设直线PN解析式为y=心+〃

1

0+〃=2m=—

解得:2

4〃?+〃=0

n=2

，直线PN解析式为y=-gx+2

答案第22页，共49页

设£Xd,—j〃+2)(0<6/<4)

：.OF=d,DF=--d+2

2

FN=ON-OF=4-d,DG=FG-DF=2-<--d+2)=-d

22

*/MDGsDEF

.DGDM.

EFDE

：.EF=-DG=-d

24

当点E在点N左侧时，如图1,

•・•四边形。ENM中，/MDE=NMNE=9U°,ZDM^<90°

，Z.DEN=360°-ZMDE-ZMNE-ZDMNRt1800-ZZ)WV>90o

:.当/DEN是等腰三角形时，DE=EN=FN-EF=4-d--d=4--d

44

•：RtADEF中,DF2+EF2=DE2

I2JUJI4J

12

解得：4=4（舍去），d2=-

：.--d+2=--x—+2=-

2255

rp41

・••点。坐标为彳N

②当点E在点N右侧时，如图2,NDVQ900

••・当-OEN是等腰三角形时，DN=EN=EF-FN=；dT4—d)=3d-4

,/RtDFN中,DE2+FN'=DN2

•［一7+2)+(4-小(％41

解得：d、=处,〃,=-5叵(舍去)

1525

.1.1*后604石

••—a+n2=—x---F2=2-----

2255

.占”正后“(8石4石］

••点力坐标为［三一，2-——

答案第23页，共49页

综上所述，符合条件的点。坐标为（5个）与（¥，2-竺.

【点评】本题考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的图象与性质，求二次函数最值,

相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，勾股定理，解一元二次方程.第（3）题的

解题关键和常规做法是：①利用90。作工轴垂线构造三垂直模型得等量关系；②设要求的

点坐标后利用勾股定理为等量关系列方程.

7.⑴〃的值为]抛物线G的函数表达式为）=-打+八+3

444

Q）七+为定值，理由见解析

1V1]―1，1、厂

（3）〃?的最大值为9

【分析】（1）将A点坐标代入一次函数解析式，即可求得〃值；根据A、C两点坐标，以及

对称轴，代入二次函数解析式，即可求得抛物线Ci的函数表达式；

（2）先运用轴对称的性质找到点尸的坐标，再运用一元二次方程根与系数的关系及平面

直角坐标系中两点之间的距离公式求出M“2、M产、M?F,证出必产・知2「=””2,

最后可求"'-—■-=I-

取'口J"M|FM2F,

（3）设片与）'=-x的两交点的横坐标分别为小，<,因为抛物线可以

看成由y=左右平移得到，观察图象可知，随着图象向右移，%,q的值不断增大，

故当l<x3〃，力Nr恒成立时，加最大值在即‘处取得,，根据题意列出方程求出％'，即可

求解.

（1）

解：•・•一次函数y=%+P的图象与x轴交于A（TO）,

・♦・一次函数的解析式为y

44

・••点C的坐标为（（），£.

,・,>=⑪2+瓜+c（awo）经过八、。两点且对称轴是直线x=2,

答案第24页，共49页

a-b+c=O

5

c=—

4

」=2

2a

1

a=—

4

解得b=l

5

c=—

4

・•・〃的值为7,抛物线G的函数表达式为y=+x+。.

444

(2)

要使△AOF的周长取得最小，只需尸最小.

连接8。交x=2于点r，因为点4与点A关于x=2对称，

根据轴对称性质以及两点之间线段最短，可知此时4尸+。尸最小，如图所示,

・•・8(5,0),

5?5

・♦・直线8。解析式为)，=-

CW.

令过尸皆5的直线解析式为y="+4,则5=2s,

4

答案第25页，共49页

则直线必隹的解析式为片

y=lcc+--2k

解法一：由《.4.,得/一(4-4Z)x-8A=0,

123

V=——X+X+—

44

%+,v2=4-4%,xtx2=-8%,

**X=kx、—2k,y2=iuc2+——2X:,

--%=%(百一丁)，

•••M%=，("-“+(乂-

=Jl+k?J($一42)=\l\+k2yl(x+x)2XX

t2-4(2

=J1+/J(4-4&、+32女=4(1+&)

=m不&-2)，

・•・加尸%尸=(1+公)&「2『伍-2)2=(1+-族中2_2(2+%)+4丁

=(l+k2)yl[-8k-2(4-4k)+4]-=4(1+A:2)=,

11M-+%FMM

+

~M^FM2F~MXF»M.：F~M.F^M.F

I5।q

解法二：•・・y=_：V+x+；=_；(x_2)2+；,

4444

.•.(X-2)2=9-4V,

设M(XQ3贝ij有&_2)2=9-4y.

设“2（王，必），同理可求得：尸=j—%•

(13、fl313/、

.i।i=MP+MF二〔(一乂尸〔(一二3-(y+必)

-------------------------①

1*M,FM,FMF・M、F(13V13)16913/、”

*匕司匕-引二一:(X+M)+M)’2

104

直线的解析式为功即：

答案第26页，共49页

联立）,一彳二%。-2）与抛物线（》一2）2=9-4），，得：y*4公一严9二=0,

412/1。

・・・g=W3/取代入①式,得:册+册=寡=】•

（3）

设%与）'=T的两交点的横坐标分别为七，%'，

丁抛物线G：龙=-!"-〃）2可以看成由，=-!/左右平移得到，观察图象可知，随着图

44

•XH

:GX

•••当】vA<m,y22-A恒成立时，加最大值在X；处取得,

•••当与=1时，对应的二即为m的最大值,

将毛=1代入>2=一；*一/?了=一/得（1一%）2=4,

，力=3或一1（舍），

将〃=3代入％=_；（3一力）2=一工有一;（1一3『=-x,

：•%=1,%；=9.

・•・阳的最大值为9.

【点评】本题主要考查运用待定系数法求函数解析式、一元二次方程根与系数的关系及平

面直角坐标系中两点距离公式的综合运用，对计算要求较高.

8.（1）0=1，/?=—^

JJ

（2）P«

（3）6

【分析】⑴把4（1）、嗜,01代入数），=加+法+3即可得出结果;

I47

答案第27页，共49页

(2)先得出1@11/尸48=；,设/)],'|/一£X+3)(0<1<:1或.1>2),如图：过点/>作.尸0_1_%.

2IL+3

轴于点。，根据解直角三角形得出PDaa32得出点坐标:

tanZPAD=—=------七-----2

ADx-\3

(3)作《关于x轴的对称点鸟，先求。鸟的解析式，得出当CE+P产值最小时，四边形CEFP

的周长最小，连接以］,根据两点之间线段最短可得：当C,E,6三点共线，CE+EP2=CP2

时，CZ;十最短，得出结论.

(1)

解：把A(LO)、8仁,0)代入数产处2+以+3

〃+。+3=0

211

得：819,_»解得：=~♦b=-■—

——〃+—。+3=0A33

42

・・〃的值为：。的值为：一2.

(2)

211

解：由丁=§/一§1+3,令x=0,则y=3,

C(0,3),即0C=3

•・・QA=1,0C=3,

Ani

，在用AAOC中，tan^ACO=—=~,

、：NPNB=NOCA,

tan/PAB=-,

3

设〃卜(/一日工+3)(0<入<1或x>g),

过点尸作叨-Lx轴于点。，

:.AD=OD-OA=x-i,

在RtZ\PAO中，

211.

nc-%2----X+31

tanNPAD=——=-------、----=一，

ADx-13

.**x=5,

二x—1w0,

当x=5时，-A-2-^X+3=-X52--x5+3=-,

33333

答案第28页，共49页

解：由题意得：。七二3OF哈+1,即尸向左平移1个单位到点E,

将P弓向左平移1个单位到