专题14 新定义型问题（解析版）-2024年高考真题和模拟题数学分类汇编

专题14新定义型问题

2024

//高考真题

q_1

1.（新高考北京卷）生物丰富度指数"二：?是河流水质的一个评价指标，其中S,N分别表示河流中的生

InN

物种类数与生物个体总数.生物丰富度指数d越大，水质越好.如果某河流治理前后的生物种类数S没有变

化，生物个体总数由M变为M，生物丰富度指数由2.1提高到3.15,则（）

A.3N『2N\B.2乂=3乂

C.D.M=N：

【答案】D

【分析】根据题意分析可得竦=2.1，U=3.15,消去S即可求解.

InN、InN、

STS-l

【详解】由题意得K=21，K=3.15,则2.11nM=3.⑸n”,即21n2=31nN?,所以N"N：.

Ill।111<v

故选：D.

2.（新高考上海卷）定义一个集合C,集合中的元素是空间内的点集，任取乙，Ac。，存在不全为。的

实数4,4,4,使得40Pl+4平+4J=0.已知（1,0,0）£。，则（o,o,i）任c的充分条件是〔）

A.（0,0,0）eQB.（-1,0.0）eQ

C.（0J,0）GQD.（0,0,-1）GQ

【答案】c

【分析】首先分析出三个向量共面，、显然当（1,。，0）,（0，。,1）,（0，1，0）€。时，三个向量构成空间的•个基底，

则即可分析出正确答案.

【详解】由题意知这三个向量OR,ORQA共面，即这三个向量不能构成空间的•个基底，

对A,由空间直角坐标系易知（0,0,0）,（1,0,0）,（0,0」）三个向量共面，则当（-1,0,0）,（1,0,0）£。无法推出

（0,0,1）后。，故A错误；

对B,由空间直角坐标系易知（-1.0,0）,（1,0,0）,（0,04）三个向量共面，则当（0,0,0）,（1。0）£。无法推出

(0,0/)史Q,故A错误;

对C,由空间直角坐标系易知(1。0),(0,0,1),(OJO)三个向量不共面，可构成空间的一个基底，

则由(l,O,O),(O,l,O)eQ能推出(0,0,1)史C,

对D,由空间直角坐标系易知(1,0,0),(0,0,1),(0,0,-1)三个向量共面，

则当(0,0,-1)(1,0,0)<=。无法推出(OCI)aC,故D错误.

故选：C.

3.(新高考上海卷)已知函数/。)的定义域为R,定义集合加={%氏£1<,_¥£(「",.0),/(1)</(工0)}，在

使得的所有/(X)中，下列成立的是()

A.存在“X)是偶函数B.存在““在x=2处取最大值

C.存在/(力是严格增函数D.存在“X)在尸-1处取到极小值

【答案】B

【分析】对于ACD利用反证法并结合函数奇偶性、单调性以及极小值的概念即可判断，对于B,构造函数

-2,x<-l

/("=卜,一1-41即可判断.

l,x>1

【详解】对于A,若存在y=f(x)是偶函数，取X0=1G[-1JJ,

则对于任意XG(-OO,1),/U)</(1),而/(-1)=/(1),矛盾，故A错误；

—2,A<—1,

对于B,可构造函数/(力=JI,T4x满足集合M=[-1,1],

当”一1时，则f(x)=-2,当TWxWl时,当X>1时，/(x)=l,

则该函数/(%)的最大值是/⑵,则B正确;

对3假设存在了(可，使得严格递增，则加=也与已知加二卜1』矛盾，则C错误；

对D,假设存在/(“，使得/1㈤在4-1处取极小值，则在T的左侧附近存在〃，使得这

与己知集合M的定义矛盾，故D错误；

故选:B.

4.（新高考上海卷）无穷等比数列｛/｝满足首项4>。，>1,记/“=｛x-小/«4，。2]3凡"+1｝，若对任

意正整数〃集合/“是闭区间，则9的取值范围是.

【答案】q>2

【分析】当〃22时，不妨设xNy,则里一4][为一生，4川一41[0，4用一4』，结合（为闭区间可

得q-22--丁对任意的〃上2恒成立，故可求9的取值范围.

q

【详解】由题设有因为4>0,4>设故%>2，故&，*]=[%〃，%力，

当〃=1时，x,y«4M2]，故工一了目"一％,生—4]，此时人为闭区间，

当“N2时，不妨设xNy,若工丁目4生]，则x-y£[（），g

若ye[4，%]，x£[4，a”+J，贝UX一）'一•，4+|一弓]，

若myw&M+J,则x-y40,4川-q],

综上,x-ye^^-a,]&一生，%+「4][°，凡+「4』，

又i„为闭区间等价于[0,生一4]u[4一%，凡+「4]d[°，《用一为]为闭区间，

而。向一%>-%>，故%+「424-%对任意n之2恒成立,

故。用一2《,十%之0即49"」（g―2）十％之0,故式（^-2）+1>0,

故q-22--!对任意的〃之2恒成江，因“>1,

q

故当时，一-L-。，故夕-22（）即"2.

q-

故答案为：q>2.

【点睛】思路点睛：与等比数列性质有关的不等式恒成立，可利川基本量法把恒成立为转为关于与公比有

关的不等式恒成立，必耍时可利用参变分离来处理.

5.（新课标全国I卷）设机为正整数，数列4，/，…，/m+2是公差不为0的等差数列，若从中删去两项《和

%（，</）后剩余的4〃?项可被平均分为〃?组，且每组的4个数都能构成等差数列，则称数列4M2，…，Ca.2是

（仃）-可分数列.

⑴写出所有的（V）,1±</工6,使数列4M2,…，4是（"）一可分数列;

⑵当〃此3时，证明：数列％—会是（2」3）-可分数列；

⑶从1,2,...,4〃?+2中一次任取两个数1和/（，＜/）,记数列勺生,...必2是亿力-可分数列的概率为匕，证明：

2,＞：.

O

【答案】⑴（1,2）,（1,6）,（5,6）

⑵证叨见解析

（3）证明见解析

【分析】（1）直接根据（0）-可分数列的定义即可：

（2）根据可分数列的定义即可验证结论；

（3）证明使得原数列足（切）可分数列的（灯）至少有（加十I）?-〃2个，再使用概率的定义.

【详解】（1）首先，我们设数列4%…，的公差为"，则"工0.

由于一个数列同时加上一个数或者乘以一个非零数后是等差数列，当且仅当该数列是等差数列，

故我们可以对该数列进行适当的变形4=巧&+1仕=1,2，…,4m+2）,

得到新数列4=%（攵=1,2…4,n+2）,然后对4，4...，4日进行相应的讨论即可.

换言之，我们可以不妨设4=^（A=1,2,...,4/n+2）,此后的讨论为建立在该假设下进行.

回到原题，第1小问相当于从1,2,3,4,5,6中取出两个数i和/（，＜/）,使得剩卜.四个数是等差数列.

那么剩下四个数只可能是123,4,或2,3,4,5,或345,6.

所以所有可能的（i,j）就是。2）,。6）,（5,6）.

（2）由于从数列L2,…,4,〃+2中取出2和13后，剩余的4/〃个数可以分为以下两个部分，共，〃组，使得每组

成等差数列：

①{1,4,7,10},{3,6,9,12},{5,8,11,14},共3组；

©{15,16,17,18},{19,20,21,22}{4m-l,4/n,4m+l,4m+2},共用―3组.

（如果〃L3=0,则忽略②）

故数列1,2,...,4〃?+2是（2,13）-可分数列.

(3)定义集合人={42+1枚=0J2,...,/n}={l,5,9,13,...,4m+l},

8={42+2伙=0,1,2,...,〃,={2,6,10,14,...,4〃?+2}.

下面证明，Xji</<j<4/n+2,如果下面两个命题同时成片

则数列1,2,...,4〃?+2一定是(盯)-可分数列：

命题1：iwAj或iwB,…;

命题2：m

我们分两种情况证明这个结论.

第一种情况：如果ieA/eB,且/一。3.

此时设i=44+l,j=%+2,{(),1,2,

则由可知4占+1<4&+2,即幺一4>一,，故k,Nk「

4

此时，由于从数列1,2,...,4m+2中取出i=4占+1和/=4/+2后,

剩余的4加个数可以分为以下三个部分，共，〃组，使得每组成等差数列：

①{1,2,3,4},{5,6,7,8},...,{秋-3,做-2,4£-1,秋},共[组;

②{他+24左+3,4匕+4,46+5}，{然+6,44+7,%+8,4勺-2,4他T,4&4&+1},共取一K组；

③{4心+3,4七+4,4口+5,软,+6},14心+7,4幺+8,软,+9,4^,+10),[4m-1,4m,4m+1,4m+2),共6一网组.

(如果某一部分的组数为0,则忽略之)

故此时数列1,2,...,4闭+2是(0)一可分数列.

第二种情况：如果於民JeA,且

此时设i=4披+2,j=4A2+1,e{0,1,2,

则由i<J可知4匕+2<4七+1,即&故A2>匕

由于/—-3,故(4&+1)-(然+2)工3,从而他-仁工1,这就意味着内-K22.

此时，由于从数列L2…46+2中取出1=做+2和/=4&+1后，剩余的4〃?个数可以分为以下四个部分，

共卅组，使得每组成等差数列：

©{1,2,3,4},{5,6,7,8},...,{4^-3,4^-2,4^,-1,4^},共1组;

②[4A]+1,3k]+&+L2A]+2k2+1,匕+3k2+1}»{34+七+2,24+2k2+2,kx+3&+2,4&+2},共2组;

③全体{秋+p,3A]+k1+p,2kl+2&+p，4+3自+p},其中〃=3,4,...,&-用，共七一K-2组：

④{4&+3,4&+4,4&+5,4&+6},{4&+7,4&+8,4&+9,4&+10},...,{4〃?一1,4〃乙4〃?+1,4加+2},共小一网组.

（如果某一部分的组数为0,则忽略之）

这里对②和③进行一下解释：将③中的每一组作为一个横排，拄成一个包含内-4-2个行，4个列的数表

以后，4个列分别是下面这些数：

{44+3,4k1+4,...,34+£},{34+幺+3,3勺+幺+4,...,2勺+2幺},{24+2Z,+3,24+2Z,+3,...温+3匕},

情+3&+3温+3&+4,...,4&}.

可以看出每列都是连续的若干个整数，它们再取并以后，将取遍{4匕+1,4匕+2,+2}中除开五个集合

{44+1,秋+2},{3仁+占+1,34+佝+2},{2仁+2占+1,2仁+2占+2},植+3幺+1/+3&+2},

{4%+1,软2+2}中的十个元素以外的所有数.

而这十个数中，除开已经去掉的4K+2和4&+I以外，剩余的八个数恰好就是②中出现的八个数.

这就说明我们给出的分组方式满足要求，故此时数列12...,46+2是（/J）-可分数列.

至此，我们证明了：对l«iv/W4m+2,如果前述命题1和命题2同时成立,则数列1,2,...,4切+2一定是（0）一

可分数列.

然后我们来考虑这样的（。）的个数.

首先，由于Ac8=0,A和8各有〃叶1个元素，故满足命题I的（仃）总共有（〃?+1）2个；

而如果/-i=3,假设ieA/C则可设i=4^+l,，=40+2,代入得（4&+2）-（秋+1）=3.

但这导致右一勺=3,矛盾，所以正仇JeA.

设1=他+2,/=%+】，w{0』,2,...,相},则（4&+1）-（4勺+2）=3,即右一四=1.

所以可能的色人）恰好就是（0,1）,。,2）,...,（加-1,加）,对应的（厉）分别是（Z5）,（69）,...,（4用-2,4川+1）,总

共阳个.

所以这（"7+1）2个满足命题1的亿力中，不满足命题2的恰好有小个.

这就得到同时满足命题1和命题2的（V）的个数为（m+1）2

当我们从1,2,...,4机+2中一次任取两个数i和/（/•<力时，总的选取方式的个数等于

山产t（2m+l）（4〃7+lj.

而根据之前的结论，使得数列…，％,2是（。）-可分数列的（V）至少有-〃?个.

所以数列4M2，…，。4m.2是（盯）-可分数列的概率2一定满足

+苏+切+]，/+〃?+；卜什；）L

P>——-----------------=---------------------->------------------=------:-----------------=—

（2〃?+l）（4〃z+1）（2/〃+1）（4〃?+1）（2〃，+1）（4，〃+2）2（2/〃+1）（2/〃+1）8

这就证明了结论.

【点睛】关键点点睛：本题的关键在于对新定义数列的理解，只有理解了定义，方可使用定义验证或探究

结论.

6.（新课标全国H卷）已知双曲线c：f—点爪5,4）在c上，攵为常数，0<%<1.按照如

下方式依次构造点勺5=2,3,...）,过心作斜率为攵的直线与CH勺左支交于点Q“T，令2为2T关于），轴的

对称点，记2的坐标为（乙,州）.

（1）若A=求0%;

⑵证明：数列｛4-"｝是公比为苦的等比数列：

⑶设S”为；6的面积，证明：对任意的正整数〃,S”=S用.

【答案】（1）x2=3.>2=0

⑵证明见解析

（3）证明见解析

【分析】（1）直接根据题目中的构造方式计算出6的坐标即可；

（2）根据等比数列的定义即可验证结论；

（3）思路■：使用平面向量数量积和等比数列工具，证明S”的取值为与〃无关的定值即可.思路二：使用等

差数列工具，证明S”的取值为与，，无关的定值即可.

【详解】（I）

当”二;时，过耳（5,4）且斜率为3的直线为旷=等，与--丁=9联立得到/-（与j=9

解得x=-3或x=5,所以该直线与C的不同于R的交点为Q（T,O）,该点显然在。的左支上.

故2（3,0）,从而巧=3,），2=0.

（2）由于过且斜率为&的直线为y=A（x—七）+外，与/一）1=9联立，得到方程

22

x-（A:（x-xn）+yM）=9.

展开即得（1-22卜2_2女3_匕）.3一心）2—9=0,由于匕（心”）已经是直线广刈,.七）+”和

炉-丁=9的公共点，故方程必有一根1=%.

从而根据韦达定理，另一根x=2*：?何）_/=2如3天，相应的

2

,/、y„+kyn-2kxf

y=（-＜）+”=二一-.

I一—入

所以该直线与c的不同于p.的交点为优"千'，论,〉’j声'：’而注意到©的横且标亦可通过

一（y-云，-9

韦达定理表示为一丫匕/—.故Q一定在C的左支上.

所间P（Xn+k2x「2ky“乂+」.一2您、

功以小［―rp—'一百记—y

这就得到%=/+，：/2如，也.

所以加呼口一笆P

22

x„+k'xn+2kxnyn+ky„+2kyll\+k+2k、\+k/、

再由52-犬=9,就知道用-y户O,所以数列｛七-”｝是公比为与的等比数列.

1-k

⑶方法一：先证明一个结论：花平面上三个点UMW,若uv=ms，UW=（c,d）,则5f^,二；依-0小

（若UW,W在同一条直线上，约定SUM：。）

证明：55攸=・"w卜inUV.UW=i|w|-|f/VV|^\-coszUV.UW

臼叫网H窗焉P外叫网-叱而

=1#]+⑹/2+/)-(*+川y

=-sla2c2+a-d'+b2c2+b2d2-«2r-b'd--labcd

2

=^a'd'+b2c2-labcd=；J(ad-bc)-=^\ad-bc\.

证毕，回到原题.

由于上一小问已经得到怎x=3+料；2虫,,华"皿.

1—k1―k

乂用,+左々一2代y„+k2y-2kx\+k2-2k,、\-k、

故"+）3="i上+•Jit~~n°=K（Z+y”）=7TT（工+”）・

1K,11AC1।ft

再由X-犬=9,就知道％+y产o,所以数歹式七十y“｝是公比为衿的等比数列.

1•K

所以对任意的正整数小，都有

XQn.-m

g（（工/…一一》X…））一］（（七七.一"H+,”）一（乙"+,”一凹占+切））

X+

K(X”一”+yn+m)-~(n)(x〃+m-

1（1丫、加

（七十乂）（七一州）

1〔证

7i-&丫、2\

2J(…)

而又有R,M=(一(%-%)，-(%+「”))，匕.£+2=(%2f”加2-"+l)，

故利用前面已经证明的结论即得

s”=s=||-(-Vi-^)(y-

n+2y„+,)+(yn+,-y„)(^n+2-^+))|

=g|(茗出一4)()'”+2一)'”+J一(y.一以)(z+2一%用)|

=g|("”+1乂+2-%+「y+2)+(。券+|一%与+J一(%)/2-乂/+2)|

19("—kl1+Q4)9(\..-.k......\.+..k.9\-k

+-

2J2l.T+IT^I2八1+&)J-”,

这就表明S”的取值是与〃无关的定值，所以s.=s”.1.

方法二：由于上一小问已经得到%|=Z+."：；20n,y,「X+勺产”,

\-k\-k

放x十v£+公•一2",必+.北-2立,1+--2却）lzA/v+v\

故3十口—-2十-2-―2（五十，"）"科+））

再由4：-犬=9,就知道M+y尸0,所以数列｛七十），”｝是公比为三的等比数列.

所以对任意的正整数胆，都有

4L+-m

…)+(x-))一：((川—)一(4"+,”Um))

XXX

5(X"-yn)(n+m+yn+m)--(n+yn)(n+m)

ip-^y11+&丫

（Z一”）（乙+券）(玉+”)(%-”)

一

一叱门

2“1+力［\-k))

9f1-jti+n

这就得到％+2然+3—”+2“"+3=5..

N11十K1一。

以及玉+1%+3-另出七+3

两式相减,即得（％"+3一%+2玉+3）一（七+/+3一加吊+3）=（%丫用一%与+J一（七片+2一片/+2）.

移项得到小2乂+3一）'/”+2-Z+M+3+）',占+1=”+2当+3一%"+2一”+再+3+•

故（笫+3一州）（七+2-/+J=（"+2一）3）（*“.3一天）•

而*.3=（%f，”+3一%），匕冏+2=（%+2一%+1，笫+2一%+J•

所以匕心和力凡2平行，这就得到S-%=5.-，即S,,=S,…

【点睛】关键点点睛：本题的关键在于将解析几何和数列知识的结合，需要综合运用多方面知以方可得解.

7.(新高考北京卷)设集合M={(ijsj»e{l,2}je{3,4},se{5,6}je{7,8},2|(i+/+s+/)}.对于给定有

穷数列A:{(}(1~48),及序列Q:如◎，…，例，5=也、jk，“，GwM,定义变换兀将数列A的第

项加1，得到数列小人)；将数列丁伊)的第，2，/2过，，2列加1，得到数列B1(A)…；重复上述操作，得到数列

为4(A),记为复(A).

⑴给定数列月：1,3,2,4,6,3,1,9和序列C:(l,3,5,7)，亿46,8),(1,3,5,7),写出。(A)；

(2)是否存在序列C,使得C(A)为％+2,电+6,%+4,4+2吗+&牝+2,%+4,仆+4,若存在，写出一个符合

条件的C；若不存在，请说明理曰；

(3)若数列A的各项均为正整数，且4+%+%+%为偶数，证明：”存在序列Q,使得C(A)为常数歹IJ”的充

要条件为“％+。2=%+%=%+。6=%+4

【答案】(l)C(4):3,4,4,5,8,43,10

(2)不存在符合条件的。，理由见解析

(3)证明见解析

【分析】(I)直接按照C(A)的定义写出。(4)即可;

(2)利用反证法，假设存在符合条件的。，由此列出方程组，进一步说明方程组无解即可;

(3)分充分性和必要性两方面论证.

【详解】(1)由题意得。(A):3,4,4,5,8,4,3,10：

(2)假设存在符合条件的O,可知C(A)的第1,2项之和为q+的+-第3,4项之和为6+4-5,

+2)+(o,+6)=+a,+s

则।乂;•32，而该方程组无解，故假设不成立，

(%+4)+(〃4+2)=%+〃4+S

故不存在符合条件的C;

(3)我们设序列小工工①)为{%“}(1。工8),特别规定%“=%(1。48).

必要性：

若存在序列。：皿⑷2，-，4,使得。(4)为常数列.

则=%=4.3=4.4=4.5=4.6=4.7=4.8，所以4J+4.2=+4,4=%+%6=4.7+4.8•

根据/…/小人)的定义，显然有。,2尸|+4.2/=ak-\,2j-\+ak-\,2j»这里7=1，2,3,4,k=1,2,....

所以不断使用该式就得到，4+生=4+/=6+4=%+仆，必要性得证.

充分性：

若《+生=%+。4=牝+综=%+4.

由已知，4+%+%+%为偶数，而4+生=%+《=%+。6=%+4，所以

%+4+4+4=4(4+&)-(4+%+%+%)也是偶数.

我们设1.£彳(4)是通过合法的序列C的变换能得到的所有可能的数列Q(A)中，使得

卜h一42卜W，3-《J+Mc_4.6卜W.7最小的一个.

上皿已经证明ak.2j-\+ak.2j~ak-\,2j-l+ak-l.2j>这里.J=1,2,3,4,k=1,2,....

从而由4+〃2=。3+%=。5+4=。7+%可得+4,2=4.3+4.4=45+4,6=4.7+48.

同时，由于4+A+4+4总是偶数，所以4j+4.3+4j+%J和%2+&7+4,6+%,8的奇偶性保持不变，从而

%+63+%+4,7和4.2+6.4+4.6+0,8都是偶数.

下面证明不存在j=123,4使得卜所］一42,|22.

假设存在,根据对称性,不妨设j=l,a?小2,即1-22.

情况1：若1%3一44卜|45-46|+|4.7-4,8|=°，则由41+%3+%5+《.7和42+4.4+4.6+4.8都是偶数，知

4」.4.2之4.

对该数列连续作四次变换(2,3,5,8),(2,4,6,8),(2,3,6,7),(2,4,5,7)后，新的

|+|%,3-4+4,4|+|4+45一q+4,6+I/M,7-4MJ相比原来的

-a+-a+aa+a

|^,1s,211^,3S,41\s^-s,61\3,l-^,814»这与瓦心以+旧厂&,4|+|4,5一q.6|+k7_九8|的最小性

矛盾;

情况2：若_4J+l^.v.5-4,61+h，7_qj>0，不妨设|七3_4J>0・

情况2-1：如果4.3-4.421,则左•该数列连续作两次变换(2,4,5,7),(2,4,6,8)后，新的

I&+2L4+2.21+I4+2.3-4+2.4|+I4+2.5-必+2.6|+W+2.7-a,+2/相比原来的

|^.1-as.21+1^,3-^,41+-6.6|+|%7—《J至少减少2，这勺一4.2卜|43-6.4|+|4.5-4.6卜|%7一《J的最

小性矛盾;

情况22如果％4-%3如，则对该数列连续作两次变换(235,8),(23,6,7)后,新的

-4+21+14+2.5-4+2.6

+4+2.3+W+2.7-《+2」相比原来的

|4.1-4,2|+|4.3-4.4+|45-4,6卜|4.7一6,8|至少减少2，这与-《J+Hs_4.4+|4,5_%6卜|%7一里/的最

小性矛盾.

这就说明无论如何都会导致矛盾，所以对任意的,=123,4都有同2日-4加<1.

假设存在j=123,4使得,⑶t—&j=1，则t+43是奇数.所以

%』+%2=%3+4.4=%+4.6=勺7+6.8都是奇数，设为2N+1.

则此时对任意j=1,2,3,4,由|七21H-4.2)⑷可知必有{4*，4J={MN+1}.

而%+4.3++4.7和4.2+34.6+见.8都是偶数，故集合徊asjn=N｝中的四个元素iJs,z之和为偶数,

对该数列进行一次变换则该数列成为常数列，新的

I+H+L*/等于零,比原来的

|《+13-0+1.4+6+15-4+1.6

H.I-4.2卜|《.3-4.41+145-4.61+1^.7-4.81更小，这与|生.1-4.21+|43一生,41+1《.5-4.61+|%7-41的最小性矛

盾.

综上，只可能|4.2尸一4.21=°(，=1，2,3,4),而《+a=4,3+=凡,5+4,6=4,7+4,8，故{《”}=C(A)是

常数列，充分性得证.

【点睛】关键点点睛：本题第三问的关键在于对新定义的理解，以及对其本质的分析.

8.(新高考上海卷)对于一个函数“X)和一个点令$1))=0-。)2+(73-。)2,若。(.0,/(毛))

是5(工)取到最小值的点，则称P是M在/(X)的“最近点”.

⑴对于/(x)=£(x>0)，求证：对于点”(0,0),存在点尸，使得点尸是M在/("的“最近点”；

⑵对于/(6=以”(1,0),请判断是否存在一个点P,它是M在/(力的“最近点”，且直线与)=/")在

点尸处的切线垂直；

⑶已知y=/(x)在定义域R上存在导函数/(幻，且函数g(x)在定义域R上恒正，设点

M(/+lJU)+gS).若对任意的FR,存在点P同时是M，M［在/")的“最近点”,

试判断“X)的单调性.

【答案】(1)证明见解析

(2)存在，P(O,1)

(3)严格单调递减

【分析】(1)代入”(0,0),利用基本不等式即可；

(2)由题得s(x)=(x-l)2+e21利用导函数得到其最小值，则得到P,再证明直线与切线垂直即可；

(3)根据题意得到$：(.%)=$；(%)=0,对两等式化简得了(%)=-焉，再利用“最近点”的定义得到不等

式组，即可证明/=匕最后得到函数单调性.

【详解】(1)当”(0,0)时，s(x)=(x-0)2+&-()1=/+522旧.=2,

当且仅当Y=4即”=1时取等号.

x-

故对于点m(0,0),存在点尸(1/)，使得该点是“(0,0)在“X)的”最近点

(2)由题设可得5(工)=*一1)2+伫-0)2=(工-1)2+e2v,

则s'(x)=2(x—l)+2e2,因为)，=25-1),丁=2e2'均为口上单调递增函数，

则/(x)=2(x-l)+2e2x在R上为严格增函数，

而s'(0)=0,故当xvO时，/(x)<0,当x>0时，s'(x)>0,

故s(xL=s(0)=2,此时P(O,1),

而r(x)=e',Z=/'(O)=l,故/(x)在点P处的切线方程为y=*+L

而%>=汜=-1，故%>味=-1,故直线MP与y二〃力在点P处的切线垂直.

1—0

(3)设4(X)=(XT+1)2+(/(X)-/(/)+g(r))2,

22

52(x)=(x-r-1)+(/(x)-/(r)-,g(r)),

而s：(x)=2(xT+l)+2(/(x)-/(/)+g(W(x),

5；(x)=2(x-r-l)+2(/(x)-/(^)-<?(r))r(x),

若对任意的reR,存在点P同时是M，%在/(x)的“最近点”，

设厂(孙儿)，则凡既是与(X)的最小值点，也是与(力的最小值点,

因为两函数的定义域均为R,则％也是两函数的极小值点，

则存在乙，使得S；(xo)=$2,($)=。,

即父(飞)=2(3―+1)+2/(％)[〃3)一〃。+8(0=0(&

52’5)=2(%V—1)+2/一八—二。②

由①②相等得4+4g(r)m)=0,即l+，5)g⑺=0,

即「㈤二一前’又因为函数g。)在定义域R上恒正,

则小尸焉〈。恒成立,

接下来证明为=，,

因为人既是S1(X)的最小值点，也是$2(力的最小值点，

则5(%)KS”),52(%)Vs。),

l!|)(x0-r+l)*+(/(x0)-/(z)+g(f))41+(g(f)),③

(%—一1『+(/(/)—〃f)-g(f))Nl+(g(/)y,④

③-④得2(/-，)2+2+2"(%)-/。)7+2g?⑺42+2晨⑺

2

即(/一/1十(/“0)-/(/))2W0,因为(.T1^O,(/(XO)-/(/))>O

小一=°

解得.％二，,

/(x())-/(0=o

则f'S=-焉<o恒成立，因为，的任意性，则“X）严格单调递减.

【点睛】关键点点睛：本题第三问的关键是结合最值点和极小值的定义得到ra）二一焉，再利用最值点

定义得到与=，即可.

2024

.7高考模拟题

一、单选题

1.（2024.湖南怀化.二模）给定整数让3,有〃个实数元素的集合S,定义其相伴数集7={|。-可凡此S,a"},

如果min（T）=l,则称集合S为一个〃元规范数集.（注：min（X）表示数集X中的最小数）.对于集合

M={-0.1,T.1,2,2.5}、A^={-1.5,-0.5,0.5,1.5）,则（）

A.M是规范数集，N不是规范数集B.M是规范数集，N是规范数集

C.M不是规范数集，N是规范数集D.“不是规范数集，N不是规范数集

【答案】C

【分析】利用规范数集的定义，逐项判断即可得解.

【详解】集合M={>O.1,T.1,2,2.5}中，2eM,2.5wM,则12—2.5|=0.5<1,

即M的相伴数集中的最小数不是1,因此M不是规范数集；

集合N={-1.5,-0.5,0.5,1.5},|-1.5-（-0.5）|=1,|-0.5-0.51=1J0.5-1.51=1,

1-1.5-0.5H-0.5-1.5|=2,|-1.5-1.5|=3,

即N的相伴数集中的最小数是1,因此N是规范数集.

故选：C

2.（2024•四川绵阳•模拟预测）•般地，任意给定•个角awR,它的终边OP与单位圆的交点P的坐标，无

论是横坐标式还是纵坐标丁，都是唯一确定的，所以点P的横坐标工、纵坐标）'都是关于角。的函数.卜.面给

出这些函数的定义：

①把点P的纵坐标y叫作a的正弦函数，记作sina,即sina=y；

②把点P的横坐标工叫作。的余弦函数，记作cosa,即cosa=x；

③把点。的纵坐标了的倒数叫作a的余割函数，记作csca,即csca='；

y

④把点/)的横坐标X的倒数叫作。的正割函数，记作seca,即seca二L

x

下列结论错误的是()

A.sinacsca=1

n2冗

B.sec—=-2

3

C.函数/(x)=secx的定义域为｛小

D.sec2or+sin2a+esc2a+cos2a>5

【答案】C

【分析】根据定义可判断A：利序定义转化为余弦求解可•判断B：转化为余弦表示，根据分母不为0求解可

判断C；转化为正弦和余弦，利用平方关系和二倍角公式化简，由正弦函数性质可判断D.

【详解】由题知，csca=」一,seca=―5—,

sinacosa

对干A,sinacsca=y-=l,A正确；

y

2n1111

对于B，卷=;二二|二一，B正确；

对于C,函数f(x)=secx=—!—,由cosxwO得E+eZ

cosx2

所以的定义域为+c错误；

对于D,sec2a+sin2a+esc2a+cos2a=1+——\—+—\—

cos'asin'a

I4

=1+——------；—=1+——；------25,

sin~acos-asin_2a

当sin2a=±l时，等号成立,D正确.

故选：c.

3.（2024.河北邯郸•二模）对任意两个非零的平面向量〃和定义:若平

面向量满足,卜忖>0,且〃£6和a人都在集合qi〃cZ,0<〃W4,中，则“㊉人+〃b=()

375

A.1B.—C.1或—D.1或一

244

【答案】D

【分析】根据同＞忖＞0,得至“af+时＞2同W，再利用题设中的定义及向量夹角的范围，得到。㊉方＜；,

aQb＞^t再结合条件，即可求出结果.

【详解】因为上|〃eZ,0＜〃K4]=&D],

4（424

设向量〃和b的夹角为兄因为同＞尼卜。，所以同2+讨＞2同w，

ab|a|M|cos。同忖cose_cos®

得到。㊉〃

心M时+时＜2时似一亍

又6«0,可，所以警

,、

又G㊉人在集合d51〃£么0＜〃04）中，所以半＞!，即cose＞:,得到a㊉〃=:，

[42424

..3

又因为。一〃所以…二或I.

所以+a〃=1或g,

4

故选:D.

4.（2024,上海杨浦•二模）平面上的向量a、〃满足：时=3,恸=4,〃1从定义该平面上的向量集合

A={x||x+〃KIx+〃I，x•a＞x•5}.给出如下两个结论：

①对任意cwA，存在该平面的向量"cA，满足卜-。=0.5

②对任意cwA，存在该平面向量4任A，满足卜-d|=0.5

则下面判断正确的为（）

A.①正确，②错误B.①错误，②正确C.①正确，②正确D.①错误，②

错误

【答案】C

【分析】根据给定条件，令〃=(3,0),〃=(0,4),设x=(m,〃)，利用向量模及数量积的坐标表示探求相，〃的

关系，再借助平行线间距离分析判断得解.

【详解】由1々1=3,|b|=4,albf不妨令】=(3,0),5=(0,4),设x=(/小〃)，

\x+a\<\x+b|,得|x+a『<|x+Z?F,而x+a=(〃?+3,〃)，％+/>=(5,〃+4),

则(“2+3)2+/<〃?2+(〃+4)2,整理得6机一8〃一7<0,由得3〃z-4〃〉0,

|0-(-7)|

平行直线68〃-7=0和3/〃-4〃=0间的距离为d=='17,

>/62+82

到直线6m-8〃-7=0和直线3〃?-4〃=0距离相等的点到这两条直线的距离为0.35,

如图，阴影部分表示的区域为集合A,因此无论d是否属于A,都有k-4=0.5,

所以命题①②都正确.

【点睛】思路点睛：己知几个向量的模，探求向量问题，可以在平面直角坐标系中，借助向量的坐标表示，

利用代数方法解决.

5.(2024•甘肃兰州•一模)球面上两点间距离的定义为：经过球面上两点的大圆在这两点间劣钺的长度(大

圆就是经过球心的平面截球面所得的圆).设地球的半径为R,若甲地位于北纬45。东经120。，乙地位于北

纬45。西经60。，则甲、乙两地的球面距离为()

A.—/?B.—/?C.-RD.—R

6322

【答案】C

【分析】分析甲、乙两地的球心角，即可得解.

【详解】甲、乙两地在北纬45。线上,所对圆心角为120。+60。=180。，

即甲、乙两地在北纬45。线所在小圆的直径的两端，且小圆的半径「=心也45。=正R,

2

则R2+w=（&q,所以甲、乙两地的球心角为,，

故甲、乙两地的球面距离为

故选：C.

二、多选题

6.（2024・安徽芜湖•二模）在平面直角坐标系