专题312 综合求证多变换几何结合代数算（原卷版）

专题12综合求证多变换，几何结合代数算

【题型综述】

综合求证问题有以下类型：(1)证明直线过定点，设出直线方程，利用题中的条件与设而不求思想找出曲

线方程中参数间的关系，即可求出定点.

(2)定值问题就是证明一个量或表达式的值与其中的变化因素无关，这些变化的因素可能是直线的斜率、截

距，也可能是动点的坐标等，这类问题的一般解法是使用变化的量表示求证目标，通过运算得知求证目标

的取值与变化的量无关.当使用直线的斜率和截距表示直线方程时，在解题过程中要注意建立斜率和截距

之间的关系，把双参数问题化为单参数问题解决.

(3)恒等式的证明问题，将恒等式转化为常见’的弦长、距离之比或向量关系等问题，进而.转化为直线与圆

锥曲线的交点坐标问题，利用设而不求思想及韦达定理即可证明.

(4)几何图形性质的证明，利用几何图形性质与向量运算的关系，转化为向量的运算或直线的条率关系，再

用直线与圆锥曲线的交点坐标问想，利用设而不求思想及韦达定理即可证明.

【典例指引】

类型一证明分点问题

例I【2017北京，理18】已知抛物线C：)，2=2px过点尸(1,1).过点(0,-)作直线/与抛物线C交于

2

不同的两点M,N,过点M作x轴的垂线分别与直线OP,0V交于点人，B,其中。为原点.

(I)求抛物线右的方程，并求其焦点坐标和准线方程；

(II)求证：A为线段8M的中点..

【解析】

类型二几何证明问题

例2.(2015高考湖南，理20］已知抛物线G：x2=4y的焦点尸也是椭圆G：=+二=1(。＞方＞0)的一

~a~b~

个焦点，G与G的公共弦的长为26.

(1)求G的方程；

(2)过点户的直线/与G相交于A,B两点、,与,C2相交于C,。两点，且AC与同向

(i)若|AC|=|8。求直线/的斜率

(ii)设G在点A处的切线与工轴的交点为证明：直线/浇点厂旋转时，AMFQ总是钝角三角形

【解析】

类型三等式证明

例3【2015高考上海，理21】已知椭圆V4-2/=1,过原点的两条直线人和分别于椭圆交于A、B和C、

D,记得到的平行四边形ABCD的面积为S.

（1）设A（x，y）,C（w，%），用A、C的坐标表示点C到直线乙的距离，并证明5=2后%-%）小

（2）设小与/,的斜率之积为—,，求面积S的值.

-2

【解析】

类型四长度关系证明

例4.【2016高考四川】已知椭圆E：=十二=1（。>b>0）的一个焦点与短轴的两个端点是正三角形的三

crb~

个顶点，点出石,！）在椭圆E上.

2

（I）求椭圆E的方程；

（II）设不过原点。.比斜率为义的直线/与椭圆E交于不同的两点A,B,线段AB的中点为M,直线OM与

椭圆E交于C,D,证明「：|跖小附5|=阿。卜阿口.

【扩展链接】

1.圆锥曲线以尸（.旬，和）（yo/））为片点的弦所在直线的斜率分别是：〃=一黑（椭圆也+*=1），4=宋（双曲线

5一方=1），女=《（抛物线V=2px），其中k=y_?（x=x2）,（Xi,yi）,。2，a）为弦端点的坐标.

au）0工2Xi

2.绐出砺•标=0,等于已知MA1MB，即ZAMB是直角，给出丽•丽=〃?<0,等于已知ZAMZ?是钝

角，给出而•赢二机>0,等于已知/AM8是锐角；

3.在平行四边形AZ?。。中，给出（布+而）•（耘-而）=（）,等于己知A4CO是菱形；

4.在平行四边形A8CO中，给出|人B+AD|=|A3-AO|,等于已知ABC。是矩形；

【新题展示】

1.【2019宁夏吴忠中学一模】在平面直角坐标系％Oy中，椭圆。的中心为原点，焦点R,G在V轴上，离心

率为遥.过右的直线，。交C于P,Q两点，且APQG的周长为8也.

<1）求椭圆C的方程;

525

(2)圆卜一32+。-2)2=彳与之轴正半轴相交于两点加，N(点M在点N的左侧)，过点M任作一条直线与

椭圆。相交于4H两点，连接AN,BN,求证41NM=48NM.

卜思路引导】

y2(2

(1)设椭圆C的方程为今+丁=l(a>b>0),由离心率为j得。2=2必，又的周长为4a=8也，得

ab2

a=25/2,进而求出椭圆方程；

(2)把y=0代入圆的方程求出x的值，确定M与N的坐标，当AB_Lx轴时，由椭圆的对称性得证；当

AB与x轴不垂直时，设直线AB为y=k(x-1),与椭圆方程联立得到关于x的一元二次方程，设A(xi,

yi).B(X2,y2),利用韦达定理表示出xi+xz,xix2,进而表示出直线AN与直线BN斜率之和为0,即可得

证.

r2

2.12019福建厦门3月质检】已知椭圆「：-+y2=l，过点C(l,0)且与“轴不重合的直线与「相交于八方两

3

点，点0(2,0),直线4。与直线％=3交于点E.

(1)当AZ7垂直于“轴时，求直线AD的方程；

(2)证明：CD//BE.

【思路引导】

(1)当垂宜于%轴时，其方程为4=1,求出点4的坐标后可得直线4。的斜率，于是可得直线方程。(2)

由于在堂轴上，所以只需证明上以方的纵坐标相等即可得到结论成立，解题时注意直线方程的设法.

xV且椭圆C过点pjl,更

3.12019山东济宁一模】已知椭圆。：=+j=l(a>b>0)的离心率为三_,

a2b2

⑴求椭圆C的方程；

(⑴设椭圆C的右焦点为F,直线［与椭圆C相切于点A,与直线x=3相交于点B,求证：乙4/汨的大小为定

值.

【思路引导，】

c乖

a3

(I)由题意可知1q4_解得a2=3,b2=2,即可求出椭圆C的方程，(H)显然直线1的斜率存

-二I二—1

a23b2

a2=b2+c2

y=kx+m

在，设I：尸kx+m,联立《+片=i，根据直线I与椭圆相切，利用判别式可得m2=3k2+2,求出点A,

B的坐标，根据向量的运算可得可得H4了6=°，即NAFB=90。，故/AFB的大小为定值.

4.12019山西吕梁一模】已知抛物线E：x?=4y，过x轴上一点M(不同于原点)的直线I与E交于两点A%5]),

B(x2,y2),与y轴交于C点.

(1)若MA=M7IC，MB=u4c，求人曲勺值；

(2)若M(4Q),过A,B分别作E的切线，两切线交于点P,证明：点P在定直线方程上，求出此定直线.

【思路引导】

n-x,n-x9

(1)•设M(n,0),通过坐标表示向量得到人=-R=一一,设I：y=k(x-n),与抛物线联立利用韦达定理求

nn

解即可；

(2)由点斜式求出两条切线，两直线联立可得点P的坐标，进而可证得结论.

5.【2019山西吕梁一模】已知抛物线E：x?=4y，过x轴上一点M(不同于原点)的直线I与E交于两点A(X],yJ,

B(x2,y2),与y轴交于C点.

(1)若MA:入Me，MB=pMC»求入而勺值；

(2)若M(4,0),过A,B分别作E的切线，两切线交于点P,证明：点P在定直线方程上，求出此定直线.

【思路引导】

(1)设M(n,0),•通过坐标表示向量得到入=二，口=二二，设I：y=k(x-n),与抛物线联立利用韦达定理求

nn

解即可；

(2)由点斜式求出两条切线，两直线联立可得点P的坐标，进而可证得结论.

6-.[2019安徽六校联考】如图，C、D是离心率为:的椭圆的左、右顶点，F]、F2是该椭圆的左、右焦点，A、

B是直线x=>4上两个动点，连接AD和BD,它们分别与椭圆交于点E、F两点，且线段EF恰好过椭圆的

左焦点F「当EF1CD时，点E恰为线段AD的中点.

(I)求椭圆的方程；

(II)求证：以AB为直径的圆始终与直线EF相切.

【思路引导】

(I)由题意可得a+c=4-c,结合e-可求出a,b,c,进而可求得椭圆的方程；(II)设EF的方程为：x=my.1,

2

E(Xi〉[)、F(x2,y2),与椭圆联立，运用韦达定理得丫1+丫2，丫02，又设A(-4JA),由三点共线得YA，VB»求

出AB中点M坐标(-4,3m),求出点VI到直线EF的距离d,进而证得结果.

2

7.12019陕西咸阳■模已知椭圆=l(a>1)的上顶点为B,右顶点为A,直线AB与圆|7|八-2尸+(y-l『=1

a

相切.

(1)求椭圆C的方程;

(2)过点N(O,」)日斜率为k的直线I与椭圆C交于P,。两点,求讦：BP1BQ.

2

【思路引导】

(I)求得直线AB的的方程，利用圆心到直线的距离等于半径，列方程，解方程求得a的值，由•此求得椭圆

方程.(2)设出直线I的方程，联立直线方程和椭圆的方程，写出韦达定理.，通过计算BP-BQ=0,证得BP1BQ.

224

xy1

8.12019湖南长沙统一-检测】已知椭圆C:—+L=l(a>b>0)的离心率为-，左、右焦点分别为F1、F2,A为

a2b23

4

椭圆C上一点，AF1与y轴相交于B,|AB|=^Bl,|OB|=]

(I)求椭圆C的方程:

(II)设椭圆C的左、右顶点为A「A2,过A】、A2分别作x轴的垂线I1、片椭圆C的一条切线上y=kx+m(kH0)

与k12交于M、N两点，求证：^FiN=^MF2N.

【思路引导】

(1)•结合题意，得到BO为AFJF2的中位线，进而得到|AF21=2|BO|,利用椭圆性质，计算a,b值即可。(2)

将直线1的方程，代入椭圆方程，得至肝1M1F；N以及F2M1F；N,即可。

【同步训练】

1.如图，圆C与x轴相切于点T(2,()),与y轴正半轴相交于两点M,N(点M在点N的下方)，且MN|=3.

(1)求圆C的方程；

(2)过点M任作一条直线与椭圆§+(-二1相交于两点A、B,连接AN、BN,求证：ZANM=ZBNM.

【思路点拨】(I)设圆C的半役为r(r>0),依题意，圆心坐标为(2,r),根据|MN|=3，利用弦长公式

求得r的值，可得圆C的方程.

(2)把x=0代入圆C的方程，求得M、N的坐标，当AB_Ly轴时，由椭圆的对称性可知NANM=NBNM,

当AB与y轴不垂直时，可设直线AB的方程为丫=10<+1,代入椭圆的方程，利用韦达定理求得KAB+KBN=O,

可得NANM=/BNM.

【详细解析】

2.已知椭圆C：x'v-i(>b>0)经过(1,1)与(V6,M)

a两点.

a2b222

(1)求椭圆C的方程；

(2)过原点的直线1与椭圆C交于A、B两点，椭圆C上一点M满足|MA|=|MB|.求证：

---~z-"1----------~~市为定值•

|0A|2|0B|2|0M|2

【思路点拨】(1)把(1,1)与「巫,叵两点代入椭圆方程解出即可.

22

(2)由|MA|=|MB|,知M在线段AB的垂直平分线上，由椭圆的对称性知A、B关于原点对称.

①若点A、B是椭圆的短轴顶点，则点M是椭圆的一个长轴顶点；同理，若点A、B是椭圆的长轴顶点，

则点M在椭圆的一个短轴顶点；直接代入计算即可.

②若点A、B、M不是椭圆的顶点.设直线I的方程为ynkx("0),则直线OM的方程为行上X，设A3,

k

yi）,B（x2,y2）,与椭圆的方程联立解出坐标，即可得到|0A|2二|0B|

|0M/=3（l+k）,代入要求的式子即可•

2+k2

【详细解析】

3.在平面直角坐标系xOy中，动点p（x,y）（x20）满足：点p到定点F0）与到y轴的距离之差为L记

22

动点p的轨迹为曲线C.

（1）求曲线C的轨迹方程；

（2）过点F的直线交曲线C于A、B两点，过点A和原点O的直线交直线x=-工于点D,求证：直线DB

2

平行于x轴.

【思路点拨】（1）利用动点p（x,Y）（xXD,满足：点p到定点F（工，0）与到y轴的距离之差为工.列

22

出关系式，即可求曲线C的轨迹方程；

（2）过点F的直线交曲线C于A、B两点，过点A和原点O的直线交直线x=-工于点D,设A的坐标为

2

2

（"一,yQ）,求出OM的方程为y=£-x（y（#0）,推出点D的纵坐标然后求出直线AF的方程，求出点

B的纵坐标，判断直线DB平行于x轴.即可得到结果.

【详细解析】

221~

4.在平面直角坐标系xoy中，已知点P（2,1）在椭圆C：¥+g=l（a>b>0）上且离心率为乂2.

ab2

（1）求椭圆C的方程；

（2）不经过坐标原点O的直线I与椭圆C交于A,B两点（不与点P重合），且线段AB的中为D,直线

OD的斜率为I,记直线PA,PB的斜率分别为ki,k2,求证：ki・k2为定值.

【思路点拨】（1）根据椭圆的离心率公式，将P代入椭圆方程，即可求得a和b的值，求得椭圆方程;

⑵根据中点坐标公式及直线斜率公式，求得xi+x2=yi+y2,利用点差法求得直线1的斜率，将直线方程代

.入椭圆方程，利用韦达定理及直线的斜率公式，即可求得ki・k2为定值工.

2

【详细解析】

5.在平面直角坐标系xOy中，直线I：x=-1,点T(3,0),动点P满足PSJJ,垂足为S,且正•乐。，设

动点P的轨迹为曲线C.

(1)求.曲线C的方程；

(2)设Q是曲线C上异于点P的另一点，且直线PQ过点(1,0),线段PQ的中点为M,宜线1与x轴的

交点为N.求证：向量可与同共线.

【思路点拨】⑴设P(xo,y0),则S(-1,yo),由此利用向量的数量积能求出曲线C的方程.

(2)设Q(xi，yj则y,2二4从而y2=4x,p=2,焦点F(1,0),N(・1,0),由PQ过F,得

Ao

22

y产一£,进而血=(―------,———)，NQ=(—―,—由此能证明向量后i勺筋共线.

12x

y。o2yoMy0

【详细解析】

22

6.已知动点A,B在椭圆工+"1上，且线段AB的垂直平,分线始终过点P(-1,0).

84

(1)证明线段AB的中点M在定直线上；

(2)求线段AB长度的最大值.

【思路点拨】(1)设A(x,,yi),B(X2,yz)，线段AB的中点M(xo,y。)，当AB与x轴垂直时，线段

AB的中点M(-2,.0),在直线y=0,当AB与x轴不垂直时，利用平方差法推出印1二也二/P_,说明

xfx22yo

M在直线x=-2上.

(2)当AB与x轴垂直时，|AB二2加，当AB与x轴不垂直时，联立直线与抛物线方程，利用弦长公式

求解即可.

【详细解析】

7.已知椭圆E的焦点在x轴上，长轴长为2泥，离心率为2Z5；抛物线G：y2=2px(p>0)的焦点F马椭

5

圆E的右焦点重合，若斜率为k的直线1过抛物线G的焦点F与椭圆E交于A,B两点，与抛物线G相交

于C,D两点.

(1)求椭圆E及抛物线G的方程；

（2）证明：存在实数入，使得丁2r+▲_为常数，并求九的值.

|AB|CD

【思路点拨】（1）由2a=2%，根据椭圆的离心率公式即可求得c的值，代入，b2=a2-c2=l,求得椭圆方程，

由E=c,求一得.c的值，求得抛物线方程；

2

（2）设直线1的方程，分别代入椭圆方程及抛物线方程，分别求得IABI及ICDI,由

了2丁+1_（20+^^）k+4为常数贝ij须有204■加九=4,即可求得入的值.

lABlICD|8V5（k2+l）

【详细解析】

8.已知定点0）,P为圆N：&W5）2+y2二24上任意一点，线段QP的垂直平分线交NP于点M.

（1）当P点在圆周上运动时，求点M（x,y）的轨迹C的方程；

（2）若直线I与曲线C交于A、B两点，且6X•祈二0,求证：直线I与某个定圆E相切，并求出定圆E

的方程.

【思路点拨】（1）求出圆N的圆心坐标为N（二四，0），半径为2加，|MP|=|MQ|,得到

|M.N|+|MQ|4MN|+|MP|=|NP|=2«>|NQ|,利用椭圆的定义，求解点M的轨迹C的方程.

（2）当直线的斜率存在时，设直线1为丫=10（+111小㈠|,山）工62可2），联立直线与椭圆的方程，得x+2y=6

、y=kx+m

消去y,通过直线与椭圆有两个不同的交点，利用判别式以及韦达定理，通过水•瓦二。，求解即可，当直

线的斜率不存在时，直线为x二m,验证求解即可.

【详细解析】

2,21

9.已知椭圆C：三+4=|（a>b>0）的两焦点分别为B，F2,离心率为工.设过点F2的直线I被椭圆C

2,29

ab乙

截得的线段为RS,当l_Lx轴时，|RS|=3

（I）.求椭圆C的标准方程；

（H）已知点T（4,0）,证明：当宜线I变化时，宜线TS与TR的斜率之和为定值.

【思路点拨】（I）由题意可知：a=2c,空=3,且a2=b2+c2,即可求得a和b的值，求得椭圆方程；

a

（2）分类讨论，当直线I不垂直与x釉时，设直线方程，代入椭圆方程，由韦达定理及直线的斜率公式，

即可求得kTR+k、=0,即可证明直线TS与TR的斜率之和为定值.

【详细解析】

22a=J%，且椭圆E上任一点到点p(-L,0)的最小距离为42.

10.己知椭圆E：三+(a>b>l)中,

a2b222

(1)求椭圆E的标准方程:

(2)如图4,过点Q(1,1)作两条倾斜角互补的直线h，L(h，h不重合)分别交椭圆E于点A,C,B,

D,求证：|QA|*|QC|=|QB|*|QJD|.

【思路点拨】(1)设M(x,y)为椭圆E上任一点，由/回h椭圆E的方程可化为3：+y2=匕2,通过

2

求解椭圆E上任一点到点P(-L,0)的最小距离为近.即可求出椭圆的方程.

22

(2)直线h,L不重合，则直线h,L的斜率均存在，设直线h：y=k(x-I)+1,点A(xi,y。，C(x2,

yz)・

y=k(x-l)+l

直线12：y=-k(x-1)+1.联立，x2y2消去y