专题09计数原理与概率统计-2023年高考数学真题题源解密（全国卷）（原卷版）

2023年高考数学真题题源解密（全国卷）

专题09计数原理与概率统计

目录一览

①2023真题展现

考向一统计

考向二概率

考向三随机变量的分布列和数学期望

②真题考查解读

③近年真题对比

考向一统计

考向二概率

考向三随机变量的分布列和数学期望

④命题规律解密

⑤名校模拟探源

⑥易错易混速记

麴）23年真题展瓒

考向一统计

一、解答题

1.（2023•全国乙卷理数第17题）某厂为比较甲乙两种工艺对橡胶产品伸缩率的处理效应，进行10次配对

试验，每次配对试验选用材质相同的两个橡胶产品，随机地选其中一个用甲工艺处理，另一个用乙工艺处

理，测量处理后的橡胶产品的伸缩率.甲、乙两种工艺处理后的橡胶产品的伸缩率分别记为七，

^（/=1,2,...,10）.试验结果如下：

试验序号i1234567891()

伸缩率再545533551522575544541568596548

伸缩率必536527543530560533522550576536

记4=E-%。=1,2,…,10),记Z/2,…的样本平均数为□样本方差为S2.

⑴求三，$2；

(2)判断甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率是否有显著提高(如果

42&则认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺史理后的橡胶产品的伸缩率有.显著提高，否

V10

则不认为有品著提高)

2.(2023•全国甲卷文数第19题)一项试验旨在研究臭氧效应，试验方案如下：选40只小白鼠，随机地将

其中20只分配到试验组，另外20只分配到对照组，试验组的小白鼠饲养在高浓度臭氧环境，对照组的小

白鼠饲养在正常环境，一段时间后统计每只小白鼠体重的增加量(单位：g).试验结果如下：

对照组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为

试验组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为

(1)计算试验组的样本平均数；

(2)(i)求40只小白鼠体重的增加量的中位数〃?，再分别统计两样本中小于，〃与不小于”的数据的个数,

完成如下列联表

Z0

1对照组□□H

试验组

(ii)根□据(i□)中的列联表，能否有95%的把握认为小白鼠在高浓度臭氧环境中与在正常环境中体重的增

加量有差异？

2=_〃(ad-bc)2-----

m(a+b)(c+d)(a+c)°+d)'

P（K2之k）

k

考向二概率

一、单选题

1.（2023•全国乙卷理数第5题）设O为平面坐标系的坐标原点，在区域内随机取一

点，记该点为4则直线04的倾斜角不大于:的概率为（）

4

A.-B.C.—D.Y

8642

2.（2023•全国乙卷文数第9题）某学校举办作文比赛，共6个主题，每位参赛同学从中随机抽取一个主题

准备作文，则甲、乙两位参赛同学抽到不同主题概率为（）

A-B-C—D-

A.603J2»3

3.（2023•全国甲卷文数第4题）某校文艺部有4名学生，其中高一、高二年级各2名.从这4名学生中随

机选2名组织校文艺汇演，则这2名学生来自不同年级的概率为（）

A.-B.-C.~D.—

6323

4.（2023•全国甲卷理数第6题）某地的中学生中有60%的同学爱好滑冰，50%的同学爱好滑雪，70%的

同学爱好滑冰或爱好滑雪.在该地的中学生中随机调查一位同学，若该同学爱好滑雪，则该同学也爱好滑冰

的概率为（）

考向三随机变量的分布列和数学期望

一、单选题

1.（2023•全国乙卷理数第7题）甲乙两位同学从6种课外读物中各自选读2种，则这两人选读的课外读物

中恰有1种相同的选法共有（）

A.30种B.60种C.120种D.240种

2.（2023•全国甲卷理数第9题）现有5名志愿者报名参加公益活动，在某一星期的星期六、星期日两天，

每天从这5人中安排2人参加公益活动，则恰有1人在这两天都参加的不同安排方式共有（）

A.120B.60C.30D.20

3.（2023•全国甲卷理数第19题）一项试验旨在研究臭氧效应.实验方案如下：选40只小白鼠，随机地将

其中20只分配到实验组，另外20只分配到对照组，实验组的小白鼠饲养在高浓度臭氧环境，对照组的小

白鼠饲养在正常环境，一段时间后统计每只小白鼠体重的增加量（单位：g）.

（1）设X表示指定的两只小白城中分配到对照组的只数，求¥的分布列和数学期望；

（2）实验结果如下：

对照组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为:

实验组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为:

（i）求40只小鼠体重的增加量的中位数/〃，再分别统计两样本中小于小与不小于的数据的个数，完成如

下列联表：

FZH

1对照组二□

实验组□□

（ii）根据（i）中的列联表，能否有95%的把握认为小白鼠在高浓度臭氧环境中与正常环境中体重的增加量

有差异.

的K1=必八be）2

阳：一（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）'

k。

P(»)

真题考查解读

【命题意图】

I.用样本估计总体

（1）了解分布的意义和作用，会列频率分布表，会画频率分布直方图、频率折线图、茎叶图，理解它们各

自的特点.

（2）理解样本数据标准差的意义和作用，会计算数据标准差.

（3）能从样本数据中提取基本的数字特征（如平均数、标准差），并给出合理的解释.

（4）会用样本的频率分布估计总体分布，会用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征，理解用样本

估计总体的思想.

（5）会用随机抽样的基本方法和样本估计总体的思想解决•些简单的实际问题.

2.统计案例

了解下列一些常见的统计方法，并能应用这些方法解决一些实际问题.

（1）独立性检验

了解独立性检验（只要求2x2列联表）的基本思想、方法及其简单应用.

（2）回归分析

了解回归分析的基本思想、方法及其简单应用.

3.古典概型

（1）理解古典概型及其概率计算公式.

（2）会计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率.

4.随机数与几何概型

（1）了解随机数的意义，能运用模拟方法估计概率.

（2）了解几何概型的意义.

5.随机变量的分布列和数学期望

（1）理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念，了解分布列对于刻画随机现象的重要性.

（2）理解超几何分布及其导出过程，并能进行简单的应用.

（3）了解条件概率和两个事件相互独立的概念，理解〃次独立重复试验的模型及二项分布，并能解.决一些

简单的实际问题.

（4）理解取有限个值的离散型随机变量均值、方差的概念，能计算简单离散型随机变量的均值、方差，并

能解决一些实际问题.

（5）利用实际问题的直方图，了解正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义.

【考查要点】

本专题内容主要考查排列组合，二项式定理，随机抽样，用样本估计总体，变量的相关性，随机事件的概

率，古典概型，几何概型，回归分析，独立性检验，离散型随机变量的分布列、期望、方差、正态分布等

内容。用样本估计总体，占典概型，离散型随机变量的分布列、期望、方差是高考重点，考套的能力是应

用回归分析与独立性检验思想方法解决简单实际问题的能力。高考试题强调应用性，以实际问题为背景，

构建数学模型，突出考查统计与概率的思想和数据处理能力及应用意识。在复习过程中，要立足课本基础

知识，在“变式”上下功夫，力求对教材内容融会贯通，只有这样，才能“以不变应万变“，达到事半功倍的效

果。同时，本专题题目多以生产生活中的实际问题为背景，阅读量大，首先根据文宇信息、图表信息了解

考查的知识点，再结合考查目标，理解图文的内在含义，最后整合有效信息，明确数据关系。应用题的考

查，加大了对考生阅读能力的要求，对题忖的准确理解，找到数学模型，是解答题FI的关键.考生应该把

近几年各地高考及模拟题归类分析，强化训练。

【得分要点】

高频考点：随机事件与概率，统计图表，用样本估计总体；

中频考点：两个基本计数原理，排列组合，二项式定理，一元线性回归模型，2x2列联表，离散型随机变量

及其分布列；

低频考点：随机事件的条件概率，正态分布，随机抽样，成对数据的统计相关性，与数列、导数等其他知

识的结合。

近年真题对比

考向一统计

一、单选题

1.（2022•全国乙卷文数第4题）分别统计了甲、乙两位同学16周的各周课外体育运动时长i单位：h）,

得如下茎叶图：

甲乙

615.

85306.3

75327.46

64218.12256666

429.0238

10.

则下列结论中错误的是（）

B.乙同学周课外体育运动时长的样本平均数大于8

2.（2022•全国甲卷理数第2题）某社区通过公益讲座以普及社区居民的垃圾分类知识.为了解讲座效果,

随机抽取10位社区居民，让他们在讲座前和讲座后各回答•份泣圾分类知识问卷，这10位社区居民在讲

座前和讲座后问卷答题的正确率如下图：

95%..............................♦...........徐

90%...♦.........................-*.............

树85%

运80%.............•...........................将……*讲座前

由75%...........................*..................•讲座后

70%.............*................................

65%...*................*.....................

........*.......*..........................

12345678910

居民编号

则（）

A.讲座前问卷答题的正确率的中位数小于70%

B.讲座后问卷答题的正确率的平均数大于85%

C.讲座前问卷答题的正确率的标准差小于讲座后正确率的标准差

D.讲座后问卷答题的正确率的极差大于讲座前正确率的极差

3.（2021•全国甲卷文数第2题/理数第2题）为了解某地农村经济情况，对该地农户家庭年收入进行抽样

A.该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户比率估计为6%

B.该地农户家庭年收入不低三10.5万元的农户比率估计为10%

二、解答题

1.（2022•全国乙卷文数第19题/理数第19题）某地经过多年的环境治理，已将荒山改造成了绿水青山.为

估计一林区某种树木的总材积量，随机选取了10棵这种树木，测量每棵树的根部横截面积（单位：nf）和

材积量（单位：n?）,得到如下数据：

样本号i12345678910总和

根部横截面积七

材积量M

101010

并计算得=0.038,1.6158,X-Vi=0.2474.

i=li=li=l

（1）估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积与平均一棵的材积量；

（2）求该林区这种树木的根部横截面积与材积量的样本相关系数（精确到0.01）；

（3）观测量了该林区所有这种树木的根部横截面积，并得到所有这种树木的根部横截面积总和为186m2.已

知树木的材积量与其根部横截面积近似成正比.利用以上数据给出该林区这种树木的总材积量的估计值.

附：相关系数〃=---------------,71.896工1.377.

£（玉-丁茂（M-刃2

2.（2022•全国甲卷文数第17题）甲、乙两城之间的长途客车均由力和8两家公司运营，为了解这两家公

司长途客车的运行情况，随机调查了甲、乙两城之间的50（）个班次，得到下面列联表：

准点班次数未准点班次数

A24020

B21030

（I）根据上表，分别估计这两家公司甲、乙两城之间的长途客车准点的概率；

（2）能否有90%的把握认为甲、乙两城之间的长途客车是否准点与客车所属公司有关？

n(ad-bc^

附:K2

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

k

3.（2021•全国乙卷文数第17题/理数第17题）某厂研制了一种生产高精产品的设备，为检验新设备生产

产品的某项指标有无提高，用一台旧设备和一台新设备各生产了10件产品，得到各件产品该项指标数据如

下：

旧设备

新设备

旧设备和新设备生产产品的该项指标的样本平均数分别记为和了，样本方差分别记为S；和S；.

（1）求x»y»s；,s；;

（2）判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高（如果.-了之2后芸，则认为新

设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高，否则不认为有显著提高）.

4.（2021•全国甲卷文数第17题/理数第17题）甲、乙两台机床生产同种产品，产品按质量分为一级品和

二级品，为了比较两台机床产品的质量，分别用两台机床各生产了200件产品，产品的质量情况统计如下

表:

一级品二级品合计

甲机床15050200

乙机床12080200

合计270130400

（1）甲机床、乙机床生产的产品中一级品的频率分别是多少？

（2）能否有99%的把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异?

n(ad-bcY

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

考向二概率

一、单选题

1.（2022•全国乙卷理数第10题）某棋手与甲、乙、丙三位棋手各比赛一盘，各盘比赛结果相互独立.已

知该棋手与甲、乙、丙比赛获胜的概率分别为月且〃记该棋手连胜两盘的概率为P，

则（）

A.〃与该棋手和甲、乙、丙的比赛次序无关B.该棋手在第二盘与甲比赛，〃最大

C.该棋手在第二盘与乙比赛，〃最大D.该棋手在第二盘与丙比赛，〃最大

2.（2022•全国甲卷文数第6题）从分别写有1,2,3,4,5,6的6张卡片中无放回随机抽取2张，则抽

到的2张卡片上的数字之积是4的倍数的概率为（）

11八2D

A.-B.-C.一-t

535

3.（2021•全国乙卷文数第7题）在区间（0$随机取1个数，则取到的数小于;的概率为（）

1

A.-B.C.-D.-

4336

7

4.（2021・全国乙卷理数第8题）在区间（。,1）与（L2）中各随机取1个数，则两数之和大于"的概率为（）

A.2B.纪C.2

93232D-?

5.（2021•全国甲卷文数第10题）将3个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为（）

6.（2021•全国甲卷理数第10题）将4个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为（）

二、填空题

7.（2022•全国乙卷文数第14题/理数第13题）从甲、乙等5名同学中随机选3名参加社区服务工作，则

甲、乙都入选的概率为.

8.（2022•全国甲卷理数第15题）从正方体的8个顶点中任选4个，则这4个点在同一个平面的概率

为.

考向三随机变量的分布列和数学期望

一、单选题

1.（2021•全国乙卷理数第6题）将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项

目进行培训I，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有（）

A.60种B.120种C.240种D.480种

二、解答题

2.（2022•全国甲卷理数第19题）甲、乙两个学校进行体育比赛，比赛共设三个项目，每个项目胜方得10

分，负方得0分，没有平局.三个项目比赛结束后，总得分高的学校获得冠军.已知甲学校在三个项目中

获胜的概率分别为0.5,0.4,0.8,各项目的比赛结果相互独立.

（1）求甲学校获得冠军的概率；

（2）用X表示乙学校的总得分，求X的分布列与期望.

命题规律解密

1.本部分内容为高考热点，一般以课程学习情境与生活实践情境来考杳，全国甲、乙卷难度较小，解答题的

难度有所减少，重在考查考生的逻辑思维能力以及对事件进行分析♦、分解和转化的能力。

2.排列组合、二项式定理、抽样方法、占典概型、用样本估计总诙等等主要以选择题、填空题考杳，解答题

常利用排列组合考查离散型随机变量的分布列、均值、方差、二项分布和正态分布等问题，注意概率和其

他知识的综合考查。

3.常用公式法和排列组合知识处理小题，注意逻辑推理的灵活运用。

4.逻辑思维能力，运算求解能力和数学建模能力是本专题考查的关键能力。重点考查知识的应用性与基础性,

考查的学科素养为理性思维，数学应用和数学探索。

、名校模拟探源

一、单选题

1.'（2023•陕西宝鸡二模）Keep是一款具有社交属性的健身APP,致力于提供健身教学、跑步、骑行、交

友及健身饮食指导、装备购买等一站式运动解决方案.Keep可以让你随时随地进行锻炼，记录你每天的训

练进程.不仅如此，它还可以根据不同人的体质，制定不同的健身计划.小张根据Keep记录的2022年1

月至2022年11月期间每月跑步的里程（单位：十公里）数据整理并绘制了下面的折线图.根据该折线图,

A.月跑步里程逐月增加

B.月跑步里程最大值出现在月

C.月跑步里程的中位数为5月份对应的里程数

D.1月至5月的月跑步里程相对于6月至11月波动性更小

2.（2023•广东东莞三模）“春雨惊春清谷天，夏满芒夏暑相连，秋处露秋寒霜降，冬雪雪冬小大寒，每月

两节不变更，最多相差一两天.”中国农历的“二十四节气”，凝结着中华民族的智慧，是中国传统文化的结晶,

如五月有立夏、小满，六月有芒种、夏至，七月有小暑、大暑，现从五月、六月、七月的六个节气中任选

两个节气，则这两个节气不在同一个月的概率为（）

3.（2023・贵州遵义三模）下图是2013-2020年国家财政性教育经费（单位：万元）和国家财政性教育经费

占总教育经费占比的统计图，下列说法正确的是（）

MMMMNXMlOdll00%

450000000-K0U0S

400000000-W)60%

350000000=:■率M网MUR”密

>00000000

-H020S

250000000

M)00S

150000000

100000000•79.60%

5IXMMXMM)7940%

0・220%

201312014IF2OI5«I201642OI7M2OI8：I2019甲2O2O-I

A.2019年国家财政性教育经贽和国家财政性教育经费占总教育经费占比均最低

B.国家财政性教育经费逐年增加

C.国家财政性教育经费占比逐年增加

D.2020年国家财政性教育经贽是2014年的两倍

4.（2023・河南•襄城三模）一组数据的平均数是5,方差是16若将这组数据中的每一个数据都乘以2再

加二1,得到一组新数据，则这组新数据的平均数和方差分别是（）

5.（2023•江苏镇江三模）南沿江高铁即将开通，某小区居民前往高铁站有①，②两条路线可走，路线①穿

过市区，路程较短但交通拥挤，经测算所需时间（单位为分钟）服从正态分布N（50/00）；路线②骑共享单

车到地铁站，乘地铁前往，路程长，但意外阻塞较少，经测算所需付间（单位为分钟）服从正态分布N（6016）.

该小区的甲乙两人分别有70分钟与64分钟可用，要使两人按时到达车站的可能性更大，则甲乙选择的路线

分别为（）

A.①、①B.①、②C.②、①D.②、②

6.（2023•四川凉山•三模）样本数据斗和…，匕的平均数为%方差为1,则样本数据2演+1,2々+1,…,2乙+1

的平均数，方差分别为（）

A.9,4B,9,2C.4,1D.2,1

43两个代表团己经入住甲宾馆且不再安排其他代表团入住甲宾馆，则不同的入住方案种数为（）

A.6B.12C.16D.18

8.（2023・河南・统考三模）己知（亦-2）。+1尸的展开式中丁的系数为一2,则实数〃=（）

A.2B.-1C.1D.-2

9.（2023•北京海淀三模）现从3名男同学和2名女同学中选取两人加入“数学兴趣小组”，用A表示事件“抽

到两名同学性别相同”，“表示事件”抽到两名女同学”，则在已知力事件发生的情况下“事件发生的概率即

尸（8|4）=（）

A.5B.|C.|D.3

10.（2023•上海嘉定三模）已知随机变量X服从正态分布下列四个命题：

甲：P（X>m+\]>P（X<m-2）；乙：P（X<m）=0.5；

丙：P（X<m）=0.5；丁：P（m-\<X<m）<P（m+\<X<m+2）

如果有且只有一个是假命题，那么该命题是（）

A.甲B.乙C.丙D.T

11.（2023•河南・襄城三模）已知的展开式中的常数项是672,则。=（）

A.39B.29C.2D.1

12.（2023•北京海淀三模）在（4+1]的展开式中，常数项为（）

A.1B.3C.6D.12

13.（2023•山东省实验中学二模）某调查机构抽取了部分关注济南地铁建设的市民作为样本，分析其年龄

和性别结构，并制作出如下等高条形图.根据图中（35岁以上含35岁）的信息，关于该样本的结论不一定

正确的是（）

A.男性比女性更关注地铁建设

B.关注地铁建设的女性多数是35岁以上

C.35岁以下的男性人数比35岁以上的女性人数多

D.35岁以上的人对地铁建设关注度更高

14.（2023•山东荷泽三模）2023年春节在北京工作的五个家庭，开车搭伴一起回老家过年，若五辆车分别

为A,B,C,D,E,五辆车随机排成一排，则A车与8车相邻，A车与。车不相邻的排法有（）

A.36种B.42种C.48种D.60种

15.（2023•河南三模）某小学从2位语文教师，4位数学教师中安排3人到西部三个省支教，每个省各1

人，且至少有1位语文教师入选，则不同安排方法有（）种.

A.16B.20C.96D.120

16.（2023•福建福州三模）原门市博物馆由原门博物馆主馆、郑成功纪念馆、厦门经济特区纪念饵、屋门

市文化遗产保护中心、破狱斗争陈列馆、陈化成纪念馆、陈胜元故居七个馆区组成.甲、乙两名同学各自选

取一个馆区参观且所选馆区互不相同，若郑成功纪念馆和破狱斗争陈列馆至少有一个被选，则不同的参观

方案有（）

A.22种B.20种C.12种D.10种

17.（2023・湖南益阳三模）某个单位安排7位员工在“五•一”假期中1日至7日值班，每天安排1人值班，

且每人值班1天，若7位员工中的甲、乙排在相邻的两天，丙不排在5月1日，丁不排在5月7日，则不

同的安排方案共有（）

A.504种B.960种C.10（）8种D.1200种

18.（2023•四川泸州三模）中国古代的五经是指：《诗经》、《尚书》、《礼记》、《周易》、《春秋》，

甲、乙、丙、丁、戊5名同学分别选取了其中一本不同的书作为课外兴趣研读，若甲、乙都没有选《诗经》，

乙也没选《春秋》，则5名同学所有可能的选择有（）

A.18种B.24种C.36种D.54种

19.（2023•河北衡水三模）第19届亚运会将于2023年9月在杭州举行，在杭州亚运会三馆［杭州奥体中

心主体育馆、游泳馆和综合训练馆）对外免费开放预约期间，甲、乙、丙、丁4人预约参观，且每人预约

了I个或2个馆，则这4人中每个馆恰有2人预约的不同方案有（）

A.76种B.82种C.86种D.90种

20.（2023•福建宁德二模）为了支援与促进边疆少数民族地区教育事业发展，某市教育系统选派了三位男

教师和两位女教师支援新疆，这五名教师被分派到三个不同地方对口支援，每位教师只去一个地方，每个

地方至少去一人，其中两位女教师分派到同一个地方的概率为（：）

二、填空题

21.（2023•上海闵行三模）分别抛郑3枚质地均匀的硬币，则等可能事件的样本空间中样本点的个数

是.

22.（2023•四川南充三模）一个高中研究性学习小组对本地区2020年至2022年菜鸟驿站发展情况进行了

调查，制成了该地区菜鸟驿站站点个数情况的条形图和菜鸟驿站各站点年快递收发数量的平均数情况条形

图（如图），根据图中提供的信息可以得出这三年中该地区菜鸟驿站每年平均收发快递___________万件.

年收发量平均数情况图

23.（2023•新疆阿勒泰三模）从正方体的8个顶点中取出三个顶点构成三角形，其中为直角三角形的概率

为.

24.（2023•广东广州三模）算盘是中国传统的“珠算”工具.下图是一把算盘，自右向左，分别是个位、十

位、百位、L,上面一粒珠（简称上珠）代表数字5,下面一粒珠（简称下珠）代表数字1,即五粒下珠的

大小等于同组一粒上珠的大小.现从个位和十位这两组中随机选择往下拨一粒上珠，往上拨2粒下珠，则算

盘表示的数为质数（除了1和本身没有其它的约数）的概率是

号、春/¥¥¥¥¥¥¥¥¥串广上珠

!=4■

下珠

25.（2023•甘肃武威三模）为庆祝中国共产党笫二十次代表大会胜利闭幕，某高中学校在学生中开展了“学

精神，悟思想，谈收获”的二十大精神宣讲主题活动.为了解该校学生参加主题学习活动的具体情况，校团

委利用分层抽样的方法从三个年级中抽取了260人进行问卷调查，其中高一、高二年级各抽取了85人.已

知该校高三年级共有720名学生，则该校共有学生人.

26.（2023•广东珠海三模）第19届亚运会将于2023年9月23日至10月8日在杭州举行，甲、乙等4名杭

州亚运会志愿者到游泳、射击、体操三个场地进行志愿服务，每名志愿者只去一个场地，每个场地至少一名

志愿者，若甲不去游泳场地，则不同的安排方法共有种.

27.（2023•河南南阳三模）为了响应全国创文明城活动，某单位计划安排五名员工分别去三个小区4民C参

加志愿者服务，每个员工只去一个小区，每个小区至少安排1人，员工甲不去小区A,则不同的安排方法

种数共有种.

28.（2023•上海嘉定考三模）4名志愿者全部分到3所学校支教，要求每所学校至少有1名志愿者，则不

同的分法共有种.

29.（2023•四川成都三模）从正六边形的6个顶点中任取3个构成三角形，则所得三角形是直角三角形的

概率为.

3（）.（2023•山东荷泽三模）已知某学校高三数学期末考试成绩服从正杰分布N（110,/）,已知成绩落在

（80110）的概率为0.4,数学考试满分150分，该学校高三有学生800人，则考试成绩140分以上的学生大

约有人.

31.（2023•福建宁德二模）若随机变量X〜且产（X>5）=P（X<T）=0.3,则

P（-\<X<2）=.

32.（2023•天津滨海三模）若卜的展开式的奇数项的二项式系数和为16,则展开式中F的系数

为.

33.（2023・湖南长沙三模）每年高考结束后，各大高校会进入长沙的高中校园组织招生宣传.某中学高三年

级的3名男生、2名女生去参加4〃两所高校的志愿填报咨询会，每个学生只能去其中的一所学校，且要

求每所学校都既有男生又有女生参加，则不同的安排方法数是.

34.（2023•河北张家口三模）"卦1+2x）5展开式中1的系数是.

35.（2023•福建宁德二模）若〃eZ,且3«〃46,则卜的展开式中的常数项为.

36.（2023•安徽马鞍山三模）甲、乙等6名同学报名参加4个社区的服务工作，每人只能选一个社区，则

甲、乙选到同一个社区的概率为.

37.（2023•江西师大附中三模）城市地铁极大的方便了城市居民的出行，南昌地铁1号线是南昌市最早建成

并成功运营的一条地铁线.已知1号地铁线的每辆列车有6节车厢，从5月1日起实行“夏季运行模式”，其中

2节车厢开启强冷模式，2节车厢开启中冷模式，2节车厢开启弱冷模式.现在有甲、乙2人同一时间同一

地点乘坐同趟地铁列车，由「个人原因，甲不选择强冷车厢，乙不选择弱冷车厢，但他们都是独立而随

机的选择一节车厢乘坐，则甲、乙2人不在同一节车厢的概率为.

往双港方向下一站：长江箔

ToShuanggangNextChangjiangRoad

38.(2023•江苏镇江三模)现有甲、乙、丙、丁四个人到九嶷山、阳明山、云冰山、舜皇山4处景点旅游，每人

只去一处景点，设事件A为“4个人去的景点各不相同”，事件8为“只有甲去了九嶷山”，则

P(川为=.

元.

40.(2023•海南海口二模)临近春节，某校书法爱好小组书写了若干副春联，准备赠送给四户孤寡老人.春

联分为长联和短联两种，无论是长联或短联，内容均不相同.经过调查，四户老人各户需要1副长联，其

中乙户老人需要1副短联，其余三户各要2副短联.书法爱好小组按要求选出11副春联，则不同的赠送方

法种数为.

三、解答题

41.(2023•海南三模)实验发现，猴痘病毒与天花病毒有共同抗原，两者之间有很强的血清交叉反应和交

叉免疫，故猴痘流行的时候可接种牛痘疫苗预防.某医学研究机构对120个接种与未接种牛痘疫苗的密切接

触者进行医学观察后，统计了感染病毒情况，得到下面的列联表：

感染猴痘病毒未感染猴痘病毒

未接种牛痘疫苗2030

已接种牛痘疫苗1060

(1)根据上表，分别估计在未接种牛痘疫苗和已接种牛痘疫苗的情况下，感染猴痘病毒的概率;

(2)是否有99%的把握认为密切接触者未感染猴痘病毒与接种牛痘疫苗有关？

附.K1=______^ad-bcy______

叫(a+b)(c+d)(a+c)0+d)，

产（K2T

42.(2023•贵州黔东南模拟预测)二十四节气起源于黄河流域，是古代中国劳动人民长期经验的积累和智

慧的结晶.其中“立冬小雪十一月，大雪冬至迎新年”就是描述二十四节气农历11月和12月的节气口诀.某中

学为调查本校学生对二十四节气的了解情况，组织测试活动，按照性别分层抽样抽取了15()名学生进行答

题,其中男牛占60%,记录其件即和是否全部答对的情况，得到如图的等高条形图.

全部答时

部分答对

(1)若该校有3000人，试估计该校对二十四节气的测试活动全部答对的学生人数;

⑵完成下面的2x2列联表，判断能否有95%的把握认为“是否全部答对“与性别有关？

完全答对部分答对合计

男

女

合计

n(ad-bc)~

附：K2=,其中〃=a+6+c+d.

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

43.(2023•四川成都三模)全国中学生生物学竞赛隆重举行.为做好考试的评价工作，将本次成绩转化为百

分制，现从中随机抽取了50名学生的成绩，经统计，这批学生的成绩全部介于40至100之间，将数据按

照[40,50),[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]分成6组，制成了如图所示的频率分布直方图.

A频率

(1)求频率分布史方图中机的值，并估计这50名学生成绩的中位数；

(2)在这50名学生中用分层抽样的方法从成绩在[70,80),[80,90),[90,100]的三组中抽取了11人，再从这11人

中随机抽取2人,求这2人成绩都不在口0,80)的概率.

44.(2023•河南开封三模)2022年国际篮联女篮世界杯在澳大利亚悉尼落下帷幕，中国女篮团结•心、顽

强拼搏获得亚军.这届世界杯，中国女篮为国人留下了许多精彩瞬间和美好回忆，尤其是半决赛绝杀东道主

澳大利亚堪称经典一幕.为了了解喜爱篮球运动是否与性别有关，某体育台随机抽取100名观众进行统计，

得到如下2x2列联表.

男女合计

喜爱30

不喜爱40

合计50100

(1)洛列联表补充完整，并判断能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为喜爱篮球运动与性别有关？

(2)在不喜爱篮球运动的观众中，按性别分别用分层抽样的方式抽取6人，再从这6人中随机抽取2人参加

一台访谈节目，求这2人至少有一位男性的概率.

“2风ad-be)2廿』,,

附：A=-----------------------,其中〃=4十"+C十".

(a+b)(c+d)(a+c)(h+d)

45.(2023・河南•襄城三模)某公司是一家集无人机特种装备的研发、制造与技术服务的综合型科技创新企

、1%产品主要应用干森林消防、物流运输、航空测绘、军事侦察等领域,获得市场和广大观众的一致好评.

该公司生产的甲、乙两种类型无人运输机性能都比较出色，但操控水平需要十分娴熟，才能发挥更大的作

用.该公司分别收集了甲、乙两种类型无人运输机在5个不同的地点测试的某项指标数%,乂［=1,2,3,4,5),

数据如下表所示：

地点1地点2地点3地点4地点5

甲型无人运输机指标数X24568

乙型无人运输机指标数y34445

⑴试求y与x间的相关系数八并利用，•说明y与x是否具有较强的线性相关关系；(若卜1＞。乃，则线性相

关程度很高)

(2)从这5个地点中任抽2个地点，求抽到的这2个地点，甲型无人运输机指标数均高于乙型无人运输机指

标数的概率.

附：相关公式及数据:耐xD.95.

46.（2023•北京海淀三模）人工智能正在逐渐改变着我们的日常生活，不过，它所涉及的数学知识并非都

是遥不可及的高深理论.为了解“拼音输入法”的背后原理，随机选取甲类题材.“新闻稿''中1200字作为样本语

料库A,其中“一”出现了30次，统计“一”与其后面一个字（或标点）的搭配情况，数据如下：

，，一，，与其后面一个字（或标点）的搭配情况频数

”—•个”

6

4

“_.穷,,

2

“一条”2

其他a

假设用频率估计概率.

（1）求。的值，并估计甲类题材中“一”出现的概率；

（2）在甲类题材“新闻稿”中随机抽取2个“一”，其中搭配“一个”出现的次数为X,求X的分布列和期望：

（3）另外随机选取甲类题材“新闻稿”中800字作为样本语料库8进行统计，“一”出现了24次，“一格”出现了

2次，若在甲类题材“新闻稿”的撰写中，输入拼音“yige”时，“一个”和“一格”谁在前面更合适？（结论不要

求正明）

47.（2023•黑龙江哈尔滨三模）哈六中举行数学竞赛，竞赛分为初赛和决赛两阶段进行.初赛采用“两轮制”

方式进行，要求每个学年派出两名同学，且每名同学都要参加两轮比赛，两轮比赛都通过的同学才具备参

与决赛的资格.高三学年派出甲和乙参赛.在初赛中，若甲通过第一轮与第二轮比赛的概率分别是|,I，乙

通过第一轮与第二轮比赛的概率分别是?，；，且每名同学所有轮次比赛的结果互不影响.

43

（1）若高三学年获得决赛资格的同学个数为*,求X的分布列和数学期望.

（2）已知甲和乙都获得了决赛资格.决赛的规则如下：将问题放入44两个纸箱中，A箱中有3道选择题和2

道填空题，448A箱中依次抽取2道题目，答题结束后将题目一起放入88箱中抽取的第一题是选择题，

求甲从A箱中抽出的是2道选择题的概率.

48.（2023•山东德州•三模）某学校组织“一带一路”答题闯关活动，每位参赛选手需要回答三人问题，对于

前两个问题，每个问题回答正确得10分，回答错误得0分；第三个问题回答正确得20分，回答错误扣10

分，规定每位参赛选手回答这三个问题的总分不低于30分就算闯关成功.选手小明回答前两个问题正确的

概率都是小回答第三个问题正确的概率是；，且各题回答正确与否相互独立.

（1）求小明回答正确至少两个问题的概率；

（2）求小明回答这三个问题的总得分X的分布列，并求数学期望和闯关成功的概率.

49.（2023•山东潍坊•三模）某品牌中性笔研发部门从流水线上随机抽取100件产品，统计其性能指数并绘

产品的性能指数在［50,70）的适合儿童使用（简称4类产品），在［70,90）的适合少年使用（简称8类产品），

在［90410］的适合青年使用（简称。类产品），48,C三类产品的销售利润分别为每件1.5,3.5,5.5（单

位：元）.以这100件产品的性能指数位于各区间的频率代替产品的性能指数位于该区间的概率.

（1）该公司为了解年营销费用x（单位：万元）对年销售量p（单位：万件）的影响，对近5年的年营销费用

士和年销售量乂（，=1,2,3,4,5）的效据做了初步处理，得到散点图（如图2）及一些统计量的值（如下表）.

根据散点图判断，），=。・工人可以作为年销售量V（万件）关于年营销费用x（万元）的回归方程，求V关于T

的回归方程；（取/向=64）

（2）求每件产品的平均俏售利润；并用所求的回归方程估计该公司应投入多少营销费，才能使得该产品一年

的收益达到最大？（收益=销仕:利润-营销费用）

参考公式：对于一组数据（%»）（%玲）匕），其回归直线；=£+/〃的斜率和截距的最小二乘估计分

£（q-万）（4-M）

别为/=J-----------,«=v

力（%-万）2

r=l

50.（2023•安徽蚌埠三模）某校为了丰富学生课余生活，组建了足球社团.为了解学生喜欢足球是否与性别

有关，随机抽取了男、女同学各100名进行调查，部分数据如表所示：

喜欢足球不喜欢足球合计

男生40

女生30

合计

（1）根据所给数据完成上表，依据。=0.001的独立性检验，能否认为该校学生喜欢足球与性别有关？

这名女生进球的概率为每人射门一次，假设各人射门相互独立，求3人进球总次数X的分布列和

数学期望.

附./=_______〃5一3__

*g+b）（c+d）（a+c）e+〃）

51.（2023•湖南长沙三模）盲盒是指消费者不能提前得知具体产品款式的玩具盒子，具有随机属性.某品牌

推出2款盲盒套餐，力款盲盒套餐包含4款不同单品，且必包含隐裁款X；3款盲盒套餐包含2款不同单品，

有50%的可能性出现隐藏款X.为避免盲目购买与黄牛囤积，每人每天只能购买1件盲盒套餐，开售第二

日，销售门店对80名购买了套餐的消费者进行了问卷调查，得到如下数据：

4款盲盒套餐8款盲盒套餐

年龄低于30岁1830

年龄不低于30岁2210

（1）依据小概率值a=0.01的独立性检验，能否认为4、8款盲盒套餐的选择与年龄有关联？

（2）甲、乙、丙三人每人购买1件5款盲盒套餐，记随机变量4为其中隐藏款X的个数，求€的分布列和数

学期望；

（3）某消费者在开售首口与次口分别购买了力款盲盒套餐与4款盲盒套餐各1件，并将6件单品全部打乱放

在一起，从中随机抽取I件打开后发现为隐藏款尤求该隐藏款来自于R款盲盒套餐的概率.

附：/=（a+b）（：%?）（b+dy其中

52.（2023•福建福州三模）厦门思明区沙坡尾某网红店推出A、B两种不同风味的饮品.为了研究消费者性

别和饮品偏好的关联性，店主调查了首次到店的消费者，整理得到如下列联表：

表1单位:人

种类

性别合计

A饮品B饮品

女性6040100

男性4060100

合计100100200

（1）请画出列联表的等高堆枳条形图，并依据小概率值。=0.01的独立性检验，判断首次到店消费者的性别与

饮品风味偏好是否有关联.如果结论是性别与饮品风味偏好有关联，请解释它们之间如何相互影响.

A饮品