中考数学数学勾股定理试题及答案

一、选择题

1.如图，在△48C和△4DE中，ZBAC=ZDAE=90°tAB=AC,AD=AE,点C,D,E在同一

下列四个结论:

①8D=CE,

②8DJLCE,

③/ACE+N。8c=30°,

@BE2=2（AD2+AB2\

其中，正确的个数是（）

A.1B.2C.3D.4

2.如图,在M8c中,AC=BC,ZACB=90\点。在8c上，8D=6,DC=2,点P是48上的

动点,则PC+PD的最小值为（）

C.12D.14

3.如图，AB=AC,ZCAB=90°,ZADC=45°,AD=1,CD=3,则8D的长为（）

C.26D.4

4.如图，在长方形纸片48co中，AB=Scm,AO=6c7〃.把长方形纸片沿直线AC折

叠，点8落在点E处，AE交QC于点尸，则A厂的长为（）

251513

A.一cmB.一cmc.1cmD.—cm

422

5.如图所示，用四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成一个大正方形已知大正方形的

面积为49,小正方形的面积为4.用％,y表示直角三角形的两直角边（x>y）,请仔细观

察图案.下列关系式中不正确的是（）

A.x2+y2=49B.x-y=2

C.2xy+4=49D.x+y=13

6.如图，P为等边三角形48c内的一点,且P到三个顶点A,B,C的距离分别为

）

25&

C.18+25石D.3竽

7.如图，已知AB是。0的弦，AC是。。的直径,D为。0上一点，过D作。。的切线交BA

的延长线于P,且DP_LBP于P.若PD+PA=6,AB=6,则。0的直径AC的长为（）

8.如图，在四边形八BCD中，ZABC=ZACB=AADC=45°,若4D=4,CD=2,则B。的长为

A.6B.2夕C.5D.2yf5

9.如图，西安路与南京路平行，并且与八一街垂直，曙光路与环城路垂直.如果小明站在

南京路与八一街的交叉口，准备去书店，按图中的街道行走，最近的路程约为（）

10.如图，已知AB是线段MN上的两点，MN=12,MA=3,MB>3,以A为中心顺时针

旋转点M,以点B为中心顺时针旋转点N,使M、N两点重合成一点C,构成△ABC,当

△ABC为直角三角形时AB的长是（）

A.3B.5C.4或5D.3或51

二、填空题

11.如图，在矩形ABCD中，AB=1O,BC=5,若点M、N分别是线段AC、AB上的两个动

点，则BM+MN的最小值为.

12.如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别为5dm、3dm和ldm,A和B

是这个台阶两个相对的端点，A点有一只蚂蚊，想到B点去吃可口的食物.请你想一想，

这只蚂蚁从A点出发，沿着台阶面爬到B点的最短路程是dm.

18.如图，NBAC=90或，AB=AC,AE_LAD,且AE=AD,AF平分/DAE交

BC于F,若BD=6,CF=8,则线段AD的长为.

19.如图，由两个直角三角形和三个正方形组成的图形，已知A8=25,AC=24其中

阴影部分面积是平方单位.

20.如图的实线部分是由RWWC经过两次折叠得到的.首先将RIAA3C沿高C”折叠，使

点8落在斜边上的点3'处，再沿CA1折叠，使点A落在CB'的延长线上的点A处.若图中

ZAC^=90°,BC=15cm,AC=20cm,则MB'的长为.

三、解答题

21.在等边中，点。是线段8C的中点，NEO尸=120。,。石与线段A8相交于点

E,OF与射线AC相交于点尸.

(1)如图1,若OFJLAC,垂足为£A8=4,求应:的长；

图1

（2）如图2,将（1）中的NEOb绕点。顺时针旋转一定的角度，力/仍与线段4C相交于

点、F.求证：BE+CF=-AB.

（3）如图3,将⑵中的/日乃继续绕点。顺时针旋转一定的角度，使。尸与线段AC的

延长线交于点”，作ON14C于点N,若DN=FN,设BE=x,CF=y,写出》关于x

的函数关系式.

22.如图，△A8C和AEDC都是等边三角形，AD=小，BD=6,CD=2求：（1）AE

长；（2）N8DC的度数：（3）AC的长.

23.如图，一架长25米的梯子，斜靠在竖直的墙.匕这时梯子底端离墙7米.

（1）此时梯子顶端离地面多少米？

（2）若梯子顶端下滑4米，那么梯子底端将向左滑动多少米？

24.如图，4A80为边长不变的等腰直角三角形，AB=AD，Z2X4D=9O0,在

外取一点E,以A为直角顶点作等腰直角△4EP，其中P在LABO内部，

NE4尸=90。，AE=AP=O,当E、P、D三点共线时，BP=y/l.

下列结论：

①E、P、D共线时，点8到直线AE1的距离为石；

②E、P、D共线时，5必加+5必利=1+百；

③SAA8O=1+G；

④作点A关于5。的对称点C,在匚AEP绕点A旋转的过程中，PC的最小值为

5+2A/3-V2；

⑤△人£尸绕点4旋转，当点七落在A8上，当点户落在4。上时，取枕上一点N,使得

AN=BN,连接EQ,则AN_LEO.

其中正确结论的序号是

25.如图，在AABC中，ZC=90°,把aABC沿直线DE折叠，使ZiADE与4BDE重合.

⑴若NA=35。，则NCBD的度数为；

⑵若AC=8,BC=6,求AD的长;

⑶当AB=m(m>0),4ABC的面积为m+1B寸，求ABCD的周长.(用含m的代数式表示)

26.如图，点八是射线。Jy=x(x>0)上的一个动点，过点4作x轴的垂线，垂足为

8,过点8作04的平行线交NA08的平分线于点C.

瓦

(1)若0幺=50,求点B的坐标:

(2)如图2,过点C作CG_LA8于点G,CH上0E于点H,求证：CG=CH.

(3)①若点4的坐标为(2,2),射线0C与A8交于点D,在射线8c上是否存在一点P

使得aACP与△BDC全等，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.

②在(3)①的条件下，在平面内另有三点Pi(应，&),P2(2,2夜)，P3

(2+0,2-血)，请你判断也满足△4CP与△80C全等的点是.(写出你认为

正确的点)

27.如图，在平面直角坐标系中，点。是坐标原点，AABC，MDE,以尸。均为等边

三角形，4在)'轴正半轴上，点8(—6,0)，点。(6,0),点。在AA5C内部，点E在

△ABC的外部，AO=3后，NDOE=30。,O/与43交于点G，连接。/，DG,

DO,OE.

(1)求点A的坐标；

(2)判断。尸与OE的数量关系，并说明理由；

(3)直接写出A4OG的周长.

28.如图，在边长为正正方形A8CO中，点。是对角线AC的中点，E是线段0A上一

动点(不包括两个端点)，连接座.

（1）如图1，过点E作所_L5E1交CO于点尸，连接8尸交4。于点G.

①求证：BE=EF;

②设AE=x,CG=y,求y与x的函数关系式，并写出自变量工的取值范围.

（2）在如图2中，请用无刻度的直尺作出一个以跖为边的菱形.

29.如图1,在正方形ABCD中，点E,F分别是AC,BC上的点，且满足DE_LEF,垂足为

点E,连接DF.

（1）求NEDF=（填度数）；

（2）延长DE交AB于点G,连接FG,如图2,猜想AG,GF,FC三者的数量关系，并给出

证明；

（3）①若AB=6,G是AB的中点，求△BFG的面积；

②设AG=a,CF=b,△BFG的面积记为S,试确定S与a,b的关系，并说明理由.

30.如图1,点石是正方形4BCO边CO上任意一点，以DE为边作正方形DEFG,连

接点M是线段中点，射线与8c交于点”，连接CM.

（1）请直接写出CM和EM的数量关系和位置关系.

（2）把图1中的正方形O£FG绕点。顺时针旋转45。，此时点尸恰好落在线段CD上，

如图2,其他条件不变，（1）中的结论是否成立，请说明理由.

（3）把图1中的正方形QERS绕点。顺时针旋转90。，此时点七、G恰好分别落在线段

40、CO上，连接CE,如图3,其他条件不变，若DG=2,AB=6,直接写出CM

的长度.

【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除

一、选择题

1.B

解析：B

【分析】

①由AB=AC,AD=AE,利用等式的性质得到夹角相等，利用SAS得出三角形ABD与三角形

ACE全等，由全等三角形的对应边相等得到BD=CE；

②由三角形ABD与三角形ACE全等，得到一对角相等，再利用等腰直角三角形的性质及等

量代换得到BD垂直于CE：

③由等腰直角三角形的性质得到NABD+NDBC=45°,等量代换得到/ACE+NDBC=45°：

④由BD垂直于CE,在直角三角形BDE中，利用勾股定理列出关系式，等量代换即可作出

判断.

【详解】

解：如图，

①VZBAC=ZDAE=90°,

:.ZBAC+ZCAD=ZDAE+ZCAD,

即NBAD=NCAE,

vitABAD和ACAE中，

AB=AC

<ZBAD=ZCAE

AD=AE

.,.△BAD^ACAE(SAS),

.\BD=CE,

故①正确；

@VABAD^ACAE,

/.ZABD=ZACE,

VZABD+ZDBC=45°,

AZACE+ZDBC=45°,

:.ZDBC+ZDCB=ZDBC+ZACE+ZACB=45o+45o=90°,

.\ZBDC=90°,

ABDICE,

故②正确；

③•••△ABC为等腰直角三角形，

/.ZABC=ZACB=45\

.\ZABD+ZDBC=45°,

VZABD=ZACE

/.ZACE+ZDBC=45°,

故③错误；

®VBD±CE,

，在RtABDE中，利用勾股定理得BE2=BD2+DE2,

VAADE为等腰直角三角形，

AAE=AD,

ADE2=2AD2,

ABE2=BD2+DE2=BD2+2AD2,

在RtZ\BDC中，BD<BC,

而BC2=2AB2,

.\BD2<2AB2,

・•・BE2<2(AD2+AB2)

故④错误，

综上，正确的个数为2个.

故选：B.

【点睛】

此题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，以及等腰直角三角形的性质，熟练掌握

全等三角形的判定与性质是解本题的关键.

2.B

解析：B

【分析】

过点C作CO_L阳于。，延长C。到C',使OC'=0C,连接DC',交AB于P,连接

CP,此时。P+CP=OP+PC'=DC的值最小.由。C=2,80=6,得到8c=8,连接

8C',由对称性可知NC'8A=NCB4=45°,于是得到NCBC'=90°,然后根据勾股定

理即可得到结论.

【详解】

解：过点C作CO_L48于。，延长CO到C',使。C'=0C,连接DC',交AB于P,连接

CP.

此时OP+CP=OP+PC'=DC'的值最小.

VDC=2,8D=6,

，8c=8,

连接8C',由对称性可知NC'BA=^CBA=4S°,

：・ZCBU=90°,

：.BCIBC,N8CC'=N8C'C=45°,

：,BC=BC'=8,

根据勾股定理可得。C'=VBC2+BD2==10.

故选：B.

【点睛】

此题考查了轴对称・线路最短的问题，确定动点P为何位置时PC+PD的值最小是解题的

关键.

3.B

解析：B

【分析】

过点A作AE_LAD交CD于E,连接BE,利用SAS可证明4BAEgZXCAD,利用全等的性质

证得NBED=90。，最后根据勾股定理即可求出BD.

【详解】

解：如图，过点A作AE_LAD交CD于E,连接BE.

ZADE-ZAED=45°,

.\AE=AD=1,

:.在RtAADE'I,,DE=7l2+I2=亚，

VZDAE=ZBAC=90°,

Z.ZDAE+ZEAC=ZBAC+ZEAC,即NCAD=/BAE,

kVAB=AC,

.,.△BAE^ACAD(SAS),

ACD=BE=3,ZAEB=ZADC=45°,

.\ZBED=90°,

:.在RtABED中，BD=ylBE2+DE2="+(可=R•

故选B.

【点睛】

本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理等知识，作辅

助线构造出全等三角形是解题的关键.

4.A

解析：A

【分析】

由已知条件可证△CFEgAAFD,得到DF=EF,利用折卷知AE=AB=8cm,设AF=xcm,则DF=(8-

x)cm,在RtZiAFD中,利用勾股定理即可求得x的值.

【详解】

•・•四边形ABCD是长方形，

AZB=ZD=90°,BC=AD,

由翻折得AI-=AB=8m,ZE=Z13=90°,CE=BC=AI)

又；ZCFE=ZAFD

.,.△CFE^AAFD

・・・EF=DF

设AF二xcm,则DF=(8-x)cm

在RtAAFD中，AF2=DF2+AD2,AD=6cm,

X2=(8-X)2+62

25

x=cm

4

故选择A.

【点睛】

此题是翻折问题，利用勾股定理求线段的长度.

5.D

解析：D

【解析】

【分析】

利用勾股定理和正方形的面积公式，对公式进行合适的变形即可判断各个选项是否争取.

【详解】

A中，根据勾股定理V+y2等于大正方形边长的平方，它就是正方形的面积，故正确；

B中，根据小正方形的边长是2它等于三角形较长的直角边减较短的直角边即可得到，正

确；

C中，根据四个直角三角形的面积和加上小正方形的面枳即可得到，正确；

D中，根据A可得必+、2=49,c可得2盯=45,结合完全平方公式可以求得

“Iy=F，错误.

故选D.

【点睛】

本题考查勾股定理.在A、B、C选项的等式中需理解等式的各个部分表示的几何意义，对

于D选项是由A、C选项联立得出的.

6.A

解析：A

【解析】

分析：将△BPC绕点B逆时针旋转60。得△BEA,根据旋转的性质得

BE=BP=4,AE=PC=5,ZPBE=60°,则4BPE为等边三角形，得到PE=PB=4,ZBPE=60°,在

△AEP中，AE=5,延长BP,作AF_LBP于点F.AP=3,PE=4,根据勾股定理的逆定理可得

到△APE为直角三角形，AZAPE=90°,即可得到NAPB的度数，在直角△APF中利用三角

函数求得AF和PF的长，则在直角4ABF中利用勾股定理求得AB的长，进而求得三角形

ABC的面枳.

详解：・「△ABC为等边三角形，

BA=BC,

可将△BPC绕点B逆时针旋转60。得△BEA,连EP,且延KBP,作AFJLBP丁点F.如图，

BE=BP=4,AE=PC=5,ZPBE=60°,

△BPE为等边三角形，

PE=PB=4,ZBPE=60°,

在^AEP中，AE=5;AP=3,PE=4,

AE2=PE2+PA2,

・•.△APE为直角三角形，JLzAPE=90°,

ZAPB=900+60o=150°.

/.ZAPF=30°,

13

.,•在直角AAPF中,AF=-AP=-,PF=

22

33

在直角△ABF中，AB2=BF2+AF2=(4+->/3)2+(-)2=25+1273・

22

则AABC的面积是走的2=正・（25+12/）=9+”巫.

444

故选A.

点睛：本题考查了等边三角形的判定与性质、勾股定理的逆定理以及旋转的性质：旋转前

后的两个图形全等，对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角，对应点到旋转中心的

距离相等.

7.C

解析：c

【解析】

分析：通过切线的性质表示出EC的长度，用相似三角形的性质表示出0E的长度，由己知

条件表示出0C的长度即可通过勾股定理求出结果.

详解：如图：连接BC,并连接0D交BC于点E：

•/DP1BPfAC为直径；

ZDPB=ZPBC=90°.

---PDIIBC,且PD为。O的切线.

ZPDE=90°=ZDEB,

・•・四边形PDEB为矩形，

ABIIOE,且0为AC中点,AB=6.

PD=BE=EC.

1

OE=-AB=3.

2

设PA=x,则OD=DE-OE=6+x-3=3+x=OC,EC=PD=6-x.

.在RtAOEC中：

OEr+EC2=OC2,

BP：32+(6-X)2=(3+J)2,解得X=2.

所以AC=2OC=2x(3+x)=10.

点睛：本题考查了切线的性质，相似三角形的性质，勾股定理.

8.A

解析：A

【解析】

【分析】作AD'_LAD,AD，=AD,连接CD"DD：根据等式的性质,可得NBAD与NCAD，的

关系，根据SAS,可得ABAD与^CAD，的关系，根据全等三角形的性质，可得BD与CD，的关

系，根据勾股定理，可得答案.

【详解】作AD'J_AD,AD'=AD,连接CD"DD',

则有NAD'D=ND2D=45。，

VZBAC+ZCAD=ZDADf+ZCAD,

即NBAD=NCAD',

BC=CA

在ABAD与ACAD，中，＜ZBAD=ZCAD',

AD=AD'

.,.△BAD^ACAD'(SAS),

:.BD=CDZ,

ZDAD=90%由勾股定理得+=4及，

ZD,DA+ZADC=90%由勾股定理得

B=yjDC?+DD2=44/『+22=6，

【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，利用了全等三角形的判定与性质，勾股定

理，添加辅助线作出全等图形是解题关键.

9.D

解析：D

【分析】

由于BC〃AD,那么有NDAE=NACB,由题意可知NABC二NDEA=90",BA=ED,利用AAS可

证AABC04DEA,于是AE=BC=300,再利用勾股定理可求AC,即可求CE,根据图可知从

B到E的走法有两种，分别计算比较即可.

【详解】

解：如图所示，

西安路

VBC/7AD,

.\ZDAE=ZACB,

XVBC1AB,DEIAC,

AZABC=ZDEA=90°,

又・・・AB=DE=400m,

:•△ABC且△DEA,

:.EA=BC=300m,

在Rt^ABC中，AC=yjAB2+BC2=500/7?

.\CE=AC-AE=200,

从B到E有两种走法：①BA+AE=700m；②BC+CE=500m,

；・最近的路程是500m.

故选D.

【点睛】

本题考查了平行线的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理.解题的关键是证明

△ABC^ADEA,并能比较从B到E有两种走法.

10.C

解析：C

【分析】

设AB=x,贝l」BC=9—x,根据三角形两边之和大于第三边，得到x的取值范围，再利用分

类讨论思想，根据勾股定理列方程，计算解答.

【详解】

解：、•在△ABC中，AC=AM=3,

设AB=x,BC=9—x,

由三角形两边之和大于第三边得：

3+x>9-x

3+9-x>x

解得3VxV6,

①AC为斜边，则32=x?+(9-x)2,即X?—9x+36=0,方程无解，即AC为斜边不成

立，

②若AB为斜边，则x2=(9-x)2+32,解得x=5,满足3VxV6,

③若BC为斜边，则(9—x)2=32+X2,解得X=4,满足3VXV6,

.,.X=b或X=4；

故选C.

【点睛】

本题考查三角形的三边关系，勾股定理等，分类讨论和方程思想是解答的关键.

二、填空题

11.8

【解析】

如图作点B关于AC的对称点B',连接B'A交DC于点E,则BM+MN的最小值等于

B'M+MN的最小值

作8WU48交AC于M,则所”为所求；

25

设EC=4E=%(10-%)2+52=/"4

15

••・B'E=—

4

115125

SAR'CF—Kx5—,h

t山HABS24249/1=3，

h+5=8,即BM+MN的最小值是8.

点睛：本题主要是利用轴对称求最短路线，题中应用了勾股定理与用不同方式表示三角形

的面积从而求出某条边上的高，利用轴对■称得出M点与N点的位置是解题的关键.

12.【解析】

试题分析•：将台阶展开，如图，

・・・4C-3x3+1x3-12,bC-5,.•.人3?=人。2।=]6%Ab—13,即蚂蚁爬行的最

短线路为13力几

考点：平而展开：最短路译问撅.

13.5cm

【分析】

连接AC',分三种情况进行讨论：画出图形，用勾股定理计算出AC'长，再比较大小即

可得出结果.

【详解】

解：如图

图3

展开成平面图，连接AU,分三种情况讨论:

如图1,AB=4,BC'=1+2=3,

,在RtZXABC'中，由勾段定理得AC'=V42+32=5(cm),

如图2,AC=4+2=6,CCZ=1

工在Rt^ACC'中，由勾股定理得AC'=762+12=\/37(cm),

如图3,AD=2,DC'=1+4=5,

・•・在RtzIXADC'中，由勾股定理得AC'=722+52=V29(cm)

•・・5<a<扃，

•••蚂蚁爬行的最短路径长是5cm,

故答案为：5cm.

【点睛】

本题考查平面展开-最短路线问题和勾股定理，本题具有一定的代表性，是一道好题，注意

要分类讨论.

14.【分析】

这种立体图形求最短路径问题，可以展开成为平面内的问题解决，展开后可转化下图，所

以是个直角三角形求斜边的问题，根据勾股定理可求出.

【详解】

解：如图，一条直角边（即木棍的高）长20尺，

/

/

/

/

另一条直角边长7x3=21（尺），

因此葛藤长，2（）2+2『=29（尺）.

答：葛藤长29尺.

故答案为：29.

【点睛】

本题考查了平面展开最短路径问题，关键是把立体图形展成平面图形，本题是展成平面图

形后为直角三角形按照勾段定理可求出解.

15.5

【分析】

在直角4A3c中，依据勾股定理求出AC的长度，再算出过点8作BEJ_AC于点

E,通过等面积法求出8E,得到两个直角三角形，分别运用勾股定理算出AE、ED,两

者相加即为A3的长.

【详解】

解：如图，过点8作BE_LAC于点E，则NBEAugO:NBEDngO。，

•・•直角AABC中，NB=90。，AB=6,BC=8,

工AC=」AB?+BC?=10,

又...2SA8C=A8BC=AC，8E,AC=2BD

A6x8=10BE,30=5,

・•・应=4.8,

・：ZBEA=90°,/BED=90°

・••AE=dAB?-BE?=3.6，ED=y/BD2-BE2=1.4，

・•・AD=AE+ED=5.

故答案为：5.

【点睛】

本题考查了勾股定理，通过作直角三角形斜边上的高，既构造了两个直角三角形求位置线

段，又通过等面枳法求出了一条直角边的长度，为运用勾股定理求线段创造了条件；故在

求线段长时，可以考虑构造直角三角形.

10

16.—.

3

【分析】

根据八个直角三角形全等,四边形ABCD.EFGH.MNKT是正方形，得出CG=NG.

22

CF=DG=NF,再根据S1=(CG+DG)2,S2=GF,Sy=(NG-NF),

5,+S2+S3=10,即可得出答案.

【详解】

;八个直三角形全等，四边形ABCD,EFGH,MNKT是正方形

.\CG=NG,CF=DG=NF

・•・S1=(CG+DG)2=CG2+DG2+2CG・OG=GF2+2CG・DG

S?=GF2

S；二(NG—NF、=NG?+NF2-2NG・NF

2222

・•・S}+S2+S3=GF+2CGDG+GF+NG?+NF-2NG•NF=3GF=10

・•・GF2=—

3

c10

故u邑二可

故答案为孚.

【点睛】

本题主要考查了勾股定理的应用，用到的知识点由勾股定理和正方形、全等三角形的性质.

17.21

【分析】

在AB上截取AE=AD,连接CE,过点C作CF_LAB于点F,先证明AADCg/XAEC,得出

AE=AD=9,CE=CD=BC=1O的长度，再设EF=BF=x,在RtACFB和RSCFA中，由勾股定理求

出X,再根据AB=AE+EF+F3求得AB的长度.

【详解】

如图所示，在AB上截取AE=AD,连接CE,过点(：作CF_LAB于点F,

〈AC平分NBAD,

.\ZDAC=ZEAC.

在AAEC和z\ADC中，

AE=AD

</DAC=/EAC

AC=AC

AAADC^AAEC(SAS),

AAE=AD=9,CE=CD=BC=10,

又；CF_LAB,

AEF=BF,

设EF=BF=x.

•・•在RtACFB中，ZCFB=90°,

ACF2=CB2-BF2=102-x2,

•••在RSCFA中，ZCFA=90°,

/.CF2=AC2-AF2=172-(9+x)2,即102-x2=172-(9+x)2,

x=6,

.\AB=AE+EF+FB=9+6+6=21,

AAB的长为21.

故答案是：21.

【点睛】

考查全等二角形的判定和性质、勾股定理和一元二次方程等知识.解题的关键是作辅助

线，构造全等三角形，再运用用方程的思想解决问题.

18.6A/5

【分析】

由“SAS”可证,ABD四一ACE,4口•g・£阳可得1^)=5,24=4,

DF=EF，由勾股定理可求EF的长，即可求BC的长，由勾股定理可求AD的长.

【详解】

.•.ZDAE=NDAC+/2=90，

又•.2BAC=/DAC+/l=90，

在,.ABD和eACE中

AB=AC

-N1=N2,

AD=AE

QABDWAACE(SAS).

ABD=CE,N4=/B

•••NBAC=90，AB=AC,

・•・NB=/3=45

.•24=/B=45，

.•."CF=N3+/4=90，

.-.CE2+CF2=EF2，

,-.BD2+FC2=EF2.

•.•AF平分NDAE,

/DAF=NEAF，

在一DAF和AEAF中

AD=AE

«NDAF=乙ENF,

AF=AF

DAF咨.EAF(SAS).

DF=EF.

BD2+FC2=DF2.

/.DF2=BD2+FC2=62+82=1OO，

••・DF=IO

BC=BD+DF+FC=6+10+8=24,

・.・AB=AC,AG_LBC,

:.BG=AG=-BC=12,

2

.•.DG=BG-BD=12-6=6,

・•・AD=VAG2+DG2=6>/5

故答案为6不

【点睛】

考查等腰直角三角形的性质、勾股定理、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是

学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题.

19.49

【分析】

先计算出BC的长，再由勾股定理求出阴影部分的面积即可.

【详解】

VZACB=90°,AB=25,AC=24,

・•・BC2=AB2-AC2=252-242=49,

・•・阴影部分的面积=BC2=49,

故答案为：49.

【点睛】

此题考查勾股定理，能利川根据直角三角形计算得到所需的边长，题中根据勾股定理的图

形得到阴影部分面积等于BC的平方是解题的关键.

20.3

【分析】

根据题意利用折叠后图形全等，并利用等量替换和等腰三角形的性质进行综合分析求解.

【详解】

解：由题意可知

BC=15cm，AC=20cm，

BC=B'C=\5cm,AC=A'C=20cm,A'B,=2O—\5=5cm,

•・,ZACB=90°,

・•・（等量替换），CHLAB（三线合一），

AB=25cm,

利用勾股定理假设M8’的长为m,AM=AM'=25-lm,则有+（25-76）2=52,

解得〃?=3,

所以用8’的长为3.

【点睛】

本题考查几何的翻折问题，熟练掌握并综合利用等量替换和等腰三角形的性质以及勾股定

理分析是解题的关键.

三、解答题

21.（1）BE=1；（2）见解析；（3）），=（2-G卜

【分析】

（1）如图1，根据等边三角形的性质和四边形的内角和定理可得N8ED=90。，进而可得

N8DG30。，然后根据30。角的直角三角形的性质即可求出结果；

（2）过点。作。M_LA8于M,作0N_L4C于M如图2,根据AAS易证△M80g^/VC。，

则有BM=CMDM=DN,进而可根据ASA证明△£乂£）也△FN。，可得EM=FM再根据线

段的和差即可推出结论；

（3）过点。作DM_LA8「A4,如图3,同（2）的方法和已知条件可得DM=DA/=FA/=

EM、然后根据线段的和差关系可得BE+CF=2DM,BE-CF=2BM,在RtZ\8M。中，根据

30。角的直角三角形的性质可得。M=6BM,进而可得8£+CF=G（8—CF）,代入X、

y后整理即得结果.

【详解】

解：（1）如图1,〈△ABC是等边三角形，

，N8=NC=60°,BC=AC=AB=4.

•・•点。是线段BC的中点，

BD=DC=—8c=2.

2

*：DFLAC,即N4FO=90。，

/.Z4ED=360°-600-90*-120°=90°,

BED=90°,AZBDE=30°,

1

・・BE=—BD=L

2

E

D

图1

(2)过点。作。M_LA8于M,作。N_LAC于N,如图2,

则有N4M0=/BMD=NAND=ZC/VD=90°.

VNA=60°,

:.ZMDN=36Q°-60°-90°-90°=120°.

ZEDF=120°,

:・NMDE=NNDF.

在△M8。和△NC。中，

•；NBMD=NCND,ZB=ZC,BD=CD,

:.△MBD"ANCD(AAS),

:.BM=CN,DM=DN.

在△EM。和△FND中，

♦：NEMD=/FND,DM=DN,ZMDE=ZNDF,

:AEM睁AFND(ASA),

:.EM=FN,

11

..BE+CF=BM+EM+CN-FN=BM+CN=2BM=BD=—BC=—AB；

22

图2

(3)过点。作。M_LA8于M,如图3,同(2)的方法可得：BM=CN,DM=DN,EM=

FN.

\'DN=FN,

:,DM=DN=FN=EM,

:.BE+CF=BM+EM+FN-CN=NF+EM=2DM=x+y,

BE-CF=BM+EM-(FA/-CAZ)=BM+NC=2BM=x~y,

在中，VZBDM=30%：.BD=2BM,

；・DM=yjBD2-BM2=y[3BM，

x+y=百(x—y),整理，得y=(2_>/5)x.

E

N

图3

【点睛】

本题考查了等边三角形的性质、四边形的内角和定理、全等三角形的判定与性质、30。角的

直角三角形的性质以及勾股定理等知识，具有一定的综合性，正确添加辅助线、熟练掌握

上述知识是解题的关键.

22.(1)G：(2)150°；(3)V13.

【分析】

(1)根据等边三角形的性质可利用SAS证明△BCDgZXACE,再根据全等三角形的性质即

得结果；

(2)在AADE中，根据勾股定理的逆定理可得NAED=90。，进而可求出NAEC的度数，再

根据全等三角形的性质即得答案；

(3)过C作CP_LDE于点P,设AC与OE交于G,如图，根据等边三角形的性质和勾股定

理可得P£与CP的长，进而可得4£=CP,然后即可根据AAS证明△AEGgZXCPG,于是可

得4G=CG,PG=EG,根据勾股定理可求出2G的长，进一步即可求出结果.

【详解】

解：(1)•••△48C和△EDC都是等边三角形，

：,BC=AC,CD=CE=DE=2,ZACB=ZDCE=6Q°9

，N8CO=NACE,

在△8CO与中，

\'BC=AC,ZBCD=ZACE,CD=CE,

.•.△8COg44CE,

:.AE=BD=B

(2)在中，•:AD=S,AE=®DE=2,

：.DE2+AE2=2?+(6)2=(6J=AD2f

:.ZAED=90°t

VZDFC=60%

:.ZAEC=150°,

ABCD^/XACE,

，N8OC=NAEC=150°；

(3)过C作CP_LD£于点P,设AC与OE交于G,如图,

•••△CDE是等边三角形，

・・・PE=；DE=1，CP=V22-I2=次，

.\AE=CP,

在△AEG与ACPG中，

VZAEG=ZCPG=9Q°,£AGE=4CGP,AE=CP,

:.AAEG^ACPG,

：.AG=CG,PG=EG=—.

：,AC=2AG=y/\3.

【点睛】

本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理及其逆定理等知识,

熟练掌握上述知识、灵活应用全等三角形的判定与性质是解题的关键.

23.（1）梯子顶端离地面24米（2）梯子底端将向左滑动了8米

【解析】

试题分析：（1）构建数学模型，根据勾股定理可求解出梯子顶端离地面的距离；

（2）构建直角三角形，然后根据购股定理列方程求解即可.

试题解析：（1）如图，•「AB=25米,BE=7米，

梯子距离地面的高度AE=7252-72=24米.

答：此时梯子顶端离地面24米；

(2)•1•梯子下滑了4米，即梯子距离地面的高度CE=(24-4)=20米,

BD+BE=DE=y/cif-CE2=>/252-202=15，

DE=15-7=8（米），即下端滑行了8米.

答：梯子底端将向左滑动了8米.

24.②®⑤

【分析】

①先证得二♦ADP,利用邻补角和等腰直角三角形的性质求得NPEB=90。，利

用勾股定理求出BE,即可求得点8到直线AE的距离；

=

②根据①的结论,利用S..pi）+SAAB。=+^SBEP即可求得结论；

③在中，利用勾股定理求得A8*再利用三角形面积公式即可求得久也）；

④当4、P、。共线时，PC最小，利用对称的性质，八8二8C的长，再求得4c的长,

即可求得结论：

⑤先证得♦A3。3♦4£>£,得到NA3P=NA0E，根据条件得到NA3P=NM43,利

用互余的关系即可证得结论.

【详解】

①•・•♦A3。与.AEP都是等腰直角三角形，

AZBAD=90°,NE4P=90。，AB=AD^AE=AP，ZAPE=ZAEP=45°,

・•・ZEAB=ZPAD,

•••^ABE=^ADP（SAS）,

・•・ZAEB=ZAPD=180°-ZAPE=180°-45°=l35°,

・•・ZPEB=ZAEB-ZAEP=135°-45o=90°,

:・PE?+BE?=PB?，

•：AE=AP=4i，NE4P=90。，

，PE=gE=2,

:.22+螃=（⑺2,

解得：BE=5

作BH±AE交AE的延长线于点H,

VZAEP=45°,/PEB=9(f,

・•・ZHEB=180°-4PEB-ZAEP=180°-90°-45°=45°,

,点B到直线AE的距离为‘故①错误；

②由①知：.ABE=.ADP，EP=2,BE=B

：.SMPn+SMBP=SMBE+SMPB

-SMEP+SABEP

=lxAExAP+二xPExEB

22

=Lx及xa+大X2x、回

22

*

=1+6，故②正确

瓜

③在用-AHB中，由①知：EH=HB=w

3容

/.AH=AE+EH乙

=向卿+闺=5+2屿.

AB2=AH2+BH2

s,」ABA。=，AB2=2+6,故③正确；

°MRD222

所以当A、P、C共线时，PC最小，如图，连接BC，

④因为AC是定值，

B

•・，A、。关于BD的对称，

工AB=BC=J5+2G，

・•.AC=>J2BC=42^5+2^=110+469

・•・PCmin=AC-AP,

=40+46-也，故④错误；

⑤Y.A3O与.AEP都是等腰直角二角形，

ZBAD=90°>ZEAP=90°»AB=AD^AE=AP»

AB=AD

在.AB尸和♦4£）£：中，，ZBAP=ZDAE,

AP=AE

・•・^ABP=^ADE（SAS）,

・•・ZABP=ZADE，

・：AN=BN,

ZABP=ZNAB,

；,/EAN=ZADE,

,/NE4N+ND4N=90。，

・•・ZADE^ZDAN=90°,

:・ANIDE,故⑤正确：

综上，②③⑤正确，

故答案为：②③⑤.

【点睛】

本题是三角形的综合题，主要考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，

勾股定理的应用，三角形的面积公式，综合性强，全等三角形的判定和性质的灵活运用是

解题的关键.

25.(1)ZCBD=20°；(2)AD=6-；(3)ZXBCD的周长为m+2

4

【分析】

(1)根据折叠可得N1=NA=35°,根据三角形内角和定理可以计算出NABO55。，进而

得到NCBD=20°；

(2)根据折叠可得AD=DB,设CD=x,则AD=BD=8-x,再在RCCDB中利用勾股定理

可得X2+6?=(8-x)2,再解方程可得x的值，进而得到AD的长：

(3)根据三角形ACB的面积可得，AC・C5=〃7+1,

2

进而得到AC・BC=2m+2,再在RtZXCAB中，CA2+CB2=BA2,再把左边配成完全平方可得

CA+CB的长，进而得到ABCD的周长.

【详解】

C

D

AEB

:把4ABC沿直线DE折叠，使4ADE与ABDE重合，

/.Z1=ZA=35°,

VZC=90°,

.\ZABC=180°-90°-35c=55°,

AZ2=550-35°=20°,

即NCBD=20°；

(2)•・・把△ABC沿直线DE折叠，使AADE与ABDE重合，

/.AD=DB,

设CD=x,MAD=BD=8-x,

在RtZ\CDB中，CD2+CB2=BD2,

x2+62=(8-x)2,

7

解得：x=—,

4

7J

AD=8--=6一：

44

(3);△ABC的面积为m+1,

1

—AC*BC=m+l，

2

，AC・BC=2m+2,

•・,在RCCAB中，CA2+CB2=BA2,

CA2+CB2+2AC-BC=BA2+2AC-BC,

(CA+BC)2=m2+4m+4=(m+2)2,

.\CA+CB=m+2,

VAD=DB,

•••CD+DB+BC=m+2.

即ABCD的周氏为m+2.

【点睛】

此题主要考查了图形的翻折变换，以及勾股定理，完全平方公式，关键是掌握勾股定理，

以及折叠后哪些是对应角和对应线段.

26.(1)(5,0)；(2)见解析；(3)①P(4,2),②满足△4CP与△BOC全等的点

是Pl、P2fP3.

理由见解析

【分析】

(1)由题意口」以假设A(a,a)(a>0),根据AB403z=0Az,构建方程即“」解决问题；

(2)由角平分线的性质定理证明CH=CF,CG=CF即可解决问题；

(3)①如图3中，在BC的延长线上取点P,使得CP=DB,连接AP.只要证明

△ACP^ACDB(SAS),4ABP是等腰直角三角形即可解决问题；

②根据SAS即可判断满足AACP与"DC