专题42因式分解的应用（压轴题专项讲练）（北师大版）

专题4.2因式分解的应用

典例精析

【典例1】。，。，c三个数两两不等，且有M+b2+mab=b2+c2+mbc=c2+a2+mca,试求m的值.

【思路点拨】

Q2+匕2+mab=h2+c2+mbc=c2+a2+mca,得a?+b2+mab=b2+c2+mbc,移项后因式分解得

到(Q—c)(a+c+mb)=0,由a,〃，c三个数两两不等，那么a—cHO,得到Q+c+mb=0①，同理可

得a+b+me=0②，b+c+ma=0③，分a+匕+cH0和a+b+c=0两种状况求解即可.

【解题过程】

解：■.•a2+b2+mab=b2+c2+mbc=c2+a2+mca,

Aa2+b2+mab=b2+c2+mbc,

即a?+b2+mab-b2-c2-mbc=0,

Aa2—c2+mab—mbc=0,

:.(a+c)(a-c)+mb(a-c)=0,

:.(a-C)(Q+c+mb)-0,

•・Z,b,。三个数两两不等，

・・•a-cH0,

c+c+mb=0①，

同理可得a+b+me=0@,b+c+ma=0③，

当a+b+c工0时，

①+②+③得，2(Q+b+c)+m{a+b+c)=0,

A2(a+匕+c)+m(a+匕+c)=0,

工(a+b+c)(2+m)=0,

24-m=0,

解得m=-2,

当a+b+c=0时,

•.Z,b,c三个数两两不等，

/.a,b,c三个数中至少一个不是0,

设匕*0,

G4-c=—bH0,

*/G+c+mb=0,

:・-b+mb=0,

/.t(m-1)=0,

/.m-1=0>

解得m=1,

综上可知，/〃的值为一2或1.

学霸必刷

1.12022秋・福建泉州•八班级校考期中)m,日均为正整数且满意血九一2m-3九-20=0,那么m+九的最

小值是()

A.20B.30C.32D.37

【思路点拨】

利用因式分解把等式变形为(机-3)5-2)=26,再争论各种可能状况，求出/〃、〃的值，推断出最小值.

【解题过程】

解：mn—2m—3n-20=0,

m(n—2)—3n+6—6—20=0,

zn(n-2)-3(n-2)-26=0,

(m-3)(n-2)=26,

m,n均为正整数，

•••26=1x26,或26=2x13,

.(m-3=1rm—3=26(m—3=2fm—3=13

*'In-2=26*In-2=1'In-2=13*In-2=2，

4-n=32,m+n=32,m4-n=20,m+n=20,

・•・m+n的最小值为20.

应选：A.

2.(2022春・广东揭阳・八班级统考期末)x2+x=l,那么铲+2x3-x2-2x4-2023的值为()

A.2020B.2021C.2022D.2023

【思路点拨】

利用因式分解将原式进行分解，再整体代入即可求解.

【解题过程】

解：•・•/+X=1,

+2x3—x2-2x4-2023

=x4+x3+x3-x2-2x+2023

=x2(x2+x)+x3-x2-2x+2023

=x2+x3-x2-2x+2023

=x(x2+x)-x2-2x4-2023

=x-x2-2x4-2023

=-r2-x+2023

=-1+2023

=2022,

应选：C.

3.(2022春•湖南株洲•七班级株洲二中校考期中)a>b>c,M=crb+b2c+c2(bN=ab2+bc2+ca2,那么M与N

的大小关系是()

A.M>NB.M<NC.M=ND.不能确定

【思路点拨】

多项式比拟大小，采纳“作差法”，将多项式因式分解，再依据条件推断MN的符号，即可求解.

【解题过程】

解：M—N=32b+b2c+c2a)-(ab2+be2+ca2)

=G2b+b2c+c2a-ab2—be2—ca2

=02b—ca2+b2c—be24-c2a—ab2

=a2(b-c)+bc(b-c)+a(c2-b2)

=a2(b-c)+bc(b-c)+a(c+=(c-b')

=(b-C)(Q2+be—ac-ab)

=(b-C)(Q2-ac+be-ab)

=(b—C)[Q(Q—c)+b(c—a)]

=(b—c)(a—c)(a—b)

Va>b>c,

.\b-c>0,a-c>0,a—b>0,

(b—c)(tz—C)(Q—b)>0,即M—N>0,

应选：A.

4.(2023•全国•九班级专题练习)当x=2m+ri+2和x=m+2n时，多项式/+4x+6的值相等，H.m-

九十2H0,那么当％=+九+1时，多项式/+4%+6的值等于(

43139

A.—B.—C.3D.II

99

【思路点拨】

依据％=2m+n+2和％=m+2几时，多项式》2+4x+6的值相等，得到m—n+2=0或m+n+2=0,

由？n—71+2。0,得到7九+九+2=0,推出x=—1,即可得解.

【解题过程】

解：=2zn+n+2和x=m+2n时，多项式/+4%+6的值相等，

(2m+n+2)2+4(2m+n+2)+6=(m+2n)2+4(m+2n)+6,

:.(2m+n+4)2=(m+2n+2)2,

:.(2m+ri+4)2—(m+2几+2产=0

:.(2m+n+4+77i+2〃+2)(2m+n+4-m—2n-2)=0,

即：3(m+n+2)(771—n+2)=0,

/.m—n+2=0或m+71+2=0,

丁m-ri+2H0,

・\m+n+2=0,

当x=/n+?i+l时，x=-1,

・•・，+4x+6=(-1)2+4x(-1)+6=3；

应选C.

5.(2022春・重庆•九班级校联考期中)多项式力=/+2丫+租和8=)/2-2工+71(〃?，〃为常数)，以下

结论中正确的选项是()

①当第=2且7H+九=1时，无论):取何值，都有4+820；

②当m=九=0时，力xB所得的结果中不含一次项；

③当％=)/时，肯定有A工8：

④假设m+n=2且5+8=0,那么x=y；

⑤假设m="，/一8=—1.且工，y为整数，那么|x+y|=l.

A.①②④B.©©©C.①④⑤D.③④⑤

【思路点拨】

主要是运用整式的运算法则及因式分解等学问对各项进行一一推断即可.

【解题过程】

解：①当％=2且m+n=1.时，4+B=4+2y+nt+y2_4+九=y2+2y+1=(y+I)2,

•・•无论y取何值，总有(y+lpNO,

，无论y取何值，都有A+8NO,

故①正确；

22233

②当m=n=0时,Ax8=(产+2y)(y-2%)=xy-2x+2y-4xy,

••Mx8所得的结果中不含•次项；

故②正确；

③当％=)/时，A-B=x2+2y+m-(y2-2x+n)=x2+2x+m-x2+2x-n=4x

其结果与0无法比拟大小，

故③错误；

④假设m+几=2且力+8=0，那么4+B=x2+2y+m+y2-2x+n=x2+y2+2y-2x+2=0,

变形得：(x—1产+(y+1)2=0,

••A—19)=19

故④错误；

⑤假设m=n,A-B=-1且x,y为整数，

那么4-F=x2+2y+m-(y2-2x+n)=x2+2y-y2+2x=-1

x2-y2+2x4-2y4-1=0

变形得：a+1)2-(y-1)2=-1,

因式分解得：(x+y)(x-y+2)=-l,

:x,y为整数,那么必有迷+y|=l.

故⑤正确：

应选:B

6.(2022秋•七班级单元测试)正数a,b,c满意ab+2a+2b=儿+2b+2c=ac+2a+2c=12,那么

(a+2)(b+2)(c+2)=.

【思路点拨】

将式子ab+2a+2b=be+2b+2守因式分解为(ac)(b+2)=0,求得a=c,同理可得a=b=c,再ab+2a+2b=12

可化为a?+4al2=0,求出a的值，再求(a+2)(b+2)(c+2)得值即可.

【解题过程】

解：9：ab+2a+2b=bc+2b+2c,

:.abbc+2(ac)=0,

即(ac)(b+2)=0,

Vb>0,

Ab+2^0,

:.ac=O,

a=c,

同理可得a=b,b=c,

a=b=c,

ab+2a+2b=12可化为a2+4al2=0

A(a+6)(a2)=0,

la为正数,

a+6^0,

:.a2=0,

a=2,

即a=b=c=2,

：.(a+2)(b+2)(c+2)=(2+2)x(2+2)x(2+2)=64

故答案为64.

7.(2022秋・山东泰安•八班级校联考期中)Q=2021%+2000,b=2021x+2001,c=2021%+2002,

那么多项式a?+b2+c2-ab-be—ca的值为.

【思路点拨】

依据题意可得Q—b=—l,b-c=-l,a-c=-2,再利用提公因式法原式可变形为久2a2+2块+2。2-

2ab-2ac-2bc),再利用完全平方公式可变形为;[(a-b)?+(b-c)?+(Q-c)2],然后代入，即可求解.

【解题过程】

解：Va=2021%+2000,b=2021x4-2001,c=2021x+2002,

Ac-b=2021x+2000-2021x-2001=-1,

b-c=2021%+2001-2021x-2002=-1,

a-c=2021x+2000-2021%-2002=-2,

:.a2+b2+c2-ab-ac-be

1

=-(2a24-2b2+2c2—2ab—2ac—2bc)

1

=-(a2+d2-2ab4-d2+c2-2bc+a2+c2-2ac)

乙

=|[(a-b)2+(b-c)2+(a-c)2]

=?(-17+(-1)2+(-2)2]

=1x(1+1+4)

=3

故答案为：3

8.(2023秋・福建宁德•八班级校考阶段练习)a?=。+1,>2=b+i,且那么小+匕4值为

【思路点拨】

首先求出ab的值，再依据d+M=缶2+b2)2_2Mb2求出d4M的值

【解题过程】

解：a2=a+10,b2=b+1@,

①-②，得

a2-b2=a-b,

(a+b)(a-b)—(a-d)=0,

(a-b)(a+d—1)=0,

由于Q*b,

所以Q+b—1=0,

即a+b=1③，

①+②，得

a2b2=a+b+2,

。2+5=3④，

③平方，得

a?++2ab=1⑤，

⑤-④，得

2ab=-2,

ab=-1,

a4^b4

=(a2+b2)2—2(ab)2

=32-2X(-1)2

=9-2

=7.

9.(2023•江苏南通•八班级南通山家炳中学校考阶段练习)假设工丰y,B.x2-4x+y=0,y2-4y+x=0,

那么7+2xy+y3=.

【思路点拨】

依据-4x+y=o①，y2-4y+无=o②，可得％2=4%一y,y2=4y-x,由①一②可得产一4%+丫一

y2+4y-x=0,结合％Hy可得出无+y-5=0,然后利用％3+2xy+y，=%•/+2%y+y.y2,利用恒

等变换即可得出答案.

【解题过程】

解：•.32-4%+y=(®,

y2-4y+x=0@,

①一②，得：x2-4x+y-y2+4y-x=0,

即好一、2一5(%一丫)=0,

：,(x+y)(x-y)-5(x-y)=0,

:.(x—y)(x+y-5)=0

，：x丰y,

二%-y。0,

/.J+y-5=0,

即x+y=5,

"-4%+y=0,y2-4y+x=0,

•二，=4x—y,y2=4y—x,

Ax3+2xy4-y3

=x•7+2xy+y-y2

=x(4x—y)+2xy+y(4y—x)

=4x2—xy+2xy+4y2—xy

=4(x2+y2)

=4(4x—y+4y—幻

=4(3x+3y)

=12(%+y)

=12x5

=60.

故答案为：60.

10.(2023春•浙江•九班级专题练习)m2=2n+1,4n2=m4-l(m2n),那么m+2n=,4n3-

mn+2n2=.

【思路点拨】

由条件可以变形为m?—4"2=2"+1—m-1=2〃一m,因式分解从而可以求出其值；4n2=m+

1,4n3=mn+n,4n3-mn=n,可以得出层=：(租+i),2n2=+1).所以4/一mti+2/=

(4n3-mn)+2n2=n4-1(m+1)=^(2n+m+1)=1(-1+1)=0从而得出结论.

【解题过程】

解：Vm2=2n+1,4n2=m+l(m工2n),

:.m2—4n2=2n+1—7n—1

:.m2-4n2=2n-m,

/.(m+2n)(7n—Zn)=2n—m,

:.(m+2ri)(m—2n)+(m—2n)=0

(m+2n+l)(m—2n)=0

*.*m^2n,

An4-2n+1=0

.,.?n+2w=-1；

V4n2=m+1,

4n3=mn4-n,

/.4n3—mn=n.

V4n2=m4-1,

/.n2=+1),

/.2n2=+1).

.,.4n3-mn+2n2=(4n3-mn)+2n2=n++1)=1(2n+m+1)=1(-1+1)=0.

故答案是：-1;0.

11.(2023秋・湖北武汉•八班级湖北省水果湖其次中学校考期末)对于二次三项式M+mx+n(〃?、〃为常

数)，以下结论：

①假设n=36,且/十十71=(尤十a)2,那么a=6；

②假设m2〈4几，那么无论X为何值时，％2+mx+n都是正数；

③假设/+mx+n=(x+3)(x+a),那么3m-n=9：

④假设n=36,且/+m%+n=(%+。)(％+b),其中。、"为整数，那么小可能取值有10个.

其中正确的有.(请填写序号)

【思路点拨】

依据完全平方公式可以得/=36,从而得出。=±6,于是易推断结论①；依据租2<轨得出4n-m2>0,通

过配方将多项式/+加工+九变形为卜+/了+矢均隹断②说法正确；利用多项式乘多项式化简/+加工+

n=(x+3)(x+a)比照系数可推断③；利用因式分解的方法对各种类型进行分析即可推断④.

【解题过程】

解：①•••假设〃=36,且.v2+，依+〃=(x+a)2,那么有x2+〃u+36=f+2av+a2,

•••42=36，

解得:a=±6,

故①说法错误；

②•；〃尸<4〃，

4n-m2>0,

：♦x2+mx+n

22

TH4

=x^9+mx+n+--------

44

/m2\m2

=x9z+mx+—+n———

\4/4

22

=l/(+m2)\+^4n—^m>0

故无论x为何值时，/+mx+n都是正数，

故②说法正确；

③,•W+/MX+〃=(X+3)(x+Q),

­•x2^-nvc+n=x2+(a+3)x+3a,

.•.〃2=。+3,n=3a,

•••3〃〃2=3(a+3)3a=3a+93〃=9

故③说法正确；

④：〃=36,且jr+mx+n^x+a)(x-bb),

.,.X24-WX+36=X2+(Q+b)x+ab,

7n=a+b,〃=36,

■:a、b为整数,

•••柞应的数对为：1和36,1和36,2和18,2和18,3和12,3和12,4和9,4和9,6和6,6和6共

10对，因此，〃的值可能有10个，

故④说法正确.

综上所述，正确的说法有：②③④.

故答案为：②③④.

12.(2023春・江苏•七班级专题练习)求证:假设4%-y是7的倍数,其中x、y都是整数，那么8/+Wxy-3y2

是49的倍数.

【思路点拨】

由4%-y是7的倍数，设4x-y=7mbn为整数)，得y=4x-7m,把8/+10xy-3y2因式分解得(2%+

3y)(4x-y),从而代入y,即可得证.

【解题过程】

证明：・・・4x-y是7的倍数，设钛-y=7m(〃?为整数)，那么y=4%-77九，

:.8T2+10xy-3y2

=(2%+3y)(4x-y)

=(2x+12%-21m)(4x-4x+7m)

=7TH(14%—21m)

=49(2x—3m),

•・N、加是整数,

.*.n(2x-3?n)也是整数，

A8x2+lOxy-3y2是49的倍数.

13.(2022秋・上海青浦•七班级校考期中)证明：(a2+b2+c2)(x2+y2+z2)>(ax+dy+cz)2

【思路点拨】

2

依据完全平方公式进行计算得出(I+力2+c2)(%2+平+z2)_(ax+m+cz)2=(ay-bx)+

(az—ex)2+(bz-cy)2即可得证.

【解题过程】

解：(ay-bx)2=a2y2_2abxy+b2xz>0

(az-ex)2=a2z2-2acxz+c2x2>0,

(bz—cy)2=b2z2—2bcyz+c2y2>0,

:.(ay-bx)2+(az-ex)2+(bz-cy)2>0,

即a2y2_2abxy4-b2x2+a2z2—2acxz+c2x2+b2z2—2bcyz+c2y2>0,

22

整理得a2y2+a2z2+/,2X2+c2%2+炉+cy—2abxy—2acxz—2bcyz>0,

222222

*.*(a+b+c)(x+*+z)-(a%+by+cz)

=G2X2+a2y2+a2z2+b2x2+b2y2+b2z24-c2x2+c2y2+c2z2—a2x2—b2y2—c2z2—2ahxy—2bcyz

—2acxz

=G2y2+a2z2C2X2+/72%2+^z2+。2y2_2abxy—2bcyz-2acxz

=(ay—bx)2+(az-ex')2+(bz-cy)2,

(a2+b2+c2)(x2+y2+z2)>(ax+by+cz)2.

14.(2022春.四川成都.七班级校联考期中)阅读材料：把形如la/+以+c的二次三项式(或其一局部)配

成完全平方式的方法叫做配方法.配方法根本形式是完全平方公式的逆写，即M±2ab+b2=(a+by.

例如：0—1)2+3、(%—2y+2%、弓%一2)2+：/是/一2无+4的三种不同形式的配方(即“余项〃分别

是常数项、一次项、二次项).

请依据阅读材料解决以下问题：

⑴比照上面的例子，写出4%%9三种不同形式的配方;

(2)z—x+2y=4,zx+2xy+y2-6y4-13=0,求(一y尸的值；

(3)当％,y何值时，代数式5/-4%y+y2+6x+25取得最小值，最小值为多少？

【思路点拨】

(1)依据材料中的三种不同形式的配方，“余项〃分别是常数项、一次项、二次项，可解答；

(2)将/+}/2+轨一6丫+13配方，依据平方的非负性可得％和y的值，可解答；

(3)首先把等式变为4/-4肛+y2+/+6%+9+16,然后利用完全平方公式分解因式，变为两个非负

数和一个正数的和的形式，然后利用非负数的性质即可解决问题.

【解题过程】

(1)解：第一种：x2-4x+9=x2-4%+4+5=(%-2)2+5：

其次种：%2—4%4-9=%2—6%4-9+2%=(x-3)2+2x；

第三种：x2-4x+9=-x2-4%4-9+-x2=(-x-3)2+-x2；

(2)z-%+2y=4,zx+2xy+y2-6y4-13=0,

•••zx+2xy+y2-6y+13

=x(z+2y)+y2—6y+13

=x{x+4)+V-6y+13

=+y2+4x-6y+13

=0»

(x2+4x4-4)4-(y2-6y+9)=0,

(x4-2)z+(y-3)2=0,

x=-2,y=3,

,(一y尸=(-3)-2=1；

(3)5/-4xy+y2+6%+25,

=4x2-4xy+y2+x2+6x+9+16,

=(2%-y)2+(x+3)2+16,

v(2x-y)2+(x+3)2>0,

,px-y=0

，，tx+3=0'

解得忧二;.

•••当x=-3,y=-6时，代数式-4xy4y2I6x卜25的最个值是16.

15.(2022秋•重庆北硝•八班级西南高校附中校考阶段练习)假设一个正整数a可以表示为a=(h+l)(b-

2),其中〃为大于2的正整数,那么称。为“十字数””为〃的"十字点”.例如28=(6+1)x(6-2)=7x4.

(1)“十字点”为7的"十字数"为：]30的“十字点”为；

(2)假设b是。的“十字点”，且。能被(6-1)整除，其中〃为大于2的正整数，求〃的值；

(3)加的“十字点〃为〃，〃的“十字点〃为q,当m-n=18时，求p+q的值.

【思路点拨】

(1)依据十字点的定义Q=(b+1)(6-2)计算即可；

2

(2)先依据Q=(b+l)(b-2)得出Q=(b-l+2)(b-1-l)=(b-l)+(b-1)-2,再依据a能被(b-1)

整除，得出人的值，即可求出a的值；

(3)依据得出m=(p+l)(p-2)[p>2且为正整数)，n=(q+l)(q-2)①>2且为正整数)，再依据

根一n=18得出。+位1)8—4)=18,从而得出｛P；，；累6或解之即可得出〃、b,继

而得出答案.

【解题过程】

解：⑴“十字点”为7的"十字数〃a=(7+1)(7-2)=8x5=40,

V130=(124-1)(12-2)=13X10,工130的“十字点”为12；

(2)•"是。的"十字点”，

・・・a=(b+l)S-2)(力>2且为正整数)，

G=(/?-1+2)(b—1—l)=(b—I)?+(b—1)—2,

丁。能被(b—1)整除，

，(6-1)能整除2,

：.b\=\或R=2,

9：b>2,

:.b=3t

：.a=(3+1)(3-2)=4；

(3)•・•〃，的"十字点”为p,

Am=(p+l)(p-2)[p>2且为正整数)，

•••"的"十字点”为q，

=(q+l)(q-2)(q>2且为正整数)，

nt-n=18,

••(P+1)(P_2)—(q+l)(q-2)=18,

p2-p-2-qz+q+2=18,

•,«(p+q)(p-q)-(p-q)=i8,

/.(p+q-l)(p-q)=18,

Vm-n=18>0,p>2,q>2且〃、q为正整数；

••〃></，〃+g>4；

•\p+ql>3；

V18=3x6=2x9,

・・・叱一丁或广七9；

(p-q=3(p-q=2

解得：=[(不合题意舍去)，匕=?;

(q=2(q=4

Ap+q=10.

16.(2023春・江苏•七班级专题练习)阅读以下材料：

在因式分解中，把多项式中某些局部看作一个整体，用一个新的字母代替(即换元)，不仅可以简化要分

解的多项式的结构，而且能使式子的特点更加明显，便于观看如何进行因式分解，这种方法就是换元法.

对于(无2+5X+2)(/+5无+3)-12.

解法一：设/+5x=y,那么原式=(y+2)(y+3)-12=y2+5y—6

=(y4-6)(y-1)=(x24-+6)(x2+5x-1)=(x4-2)(x+3)(x24-5x—1)：

解法二：设/+2=m,5x=n,那么原式=(m+n)(?n+n+1)—12=(m+n)24-(m+n)—12

=(m+n+4)(m+n—3)=(x2+5%+6)(x2+5x-1)=(x+2)(x+3)(x2+5x—1).

请依据上面介绍的方法解决以下问题：

(1)因式分解：(x2—4x+l)(x2—4x+7)+9；

(2)因式分解：(x+y-2xy)(x+y-2')+(xy-I)2；

(3)求证：多项式(x十1)(%十2〕0十3)(工十6)+/的值肯定是非负数.

【思路点拨】

(1)仿照题意方法一、二求解即可；

(2)仿照题意方法二求解即可;

⑶先把多项式化成(7+7%+6)(%2+5%+6)+/,然后仿照题意方法二得到原式=(7+6X+6)2,由

此即可得答案.

【解题过程】

(1)解：解法一：设%2—4%="

那么原式=(y+l)(y+7)+9

=y2+8y+16

=(y+4)2

=(x2-4x+4)2

=(x-2)4；

方法二：设/+1=m,-4%=n,

那么原式=(7九+n)(m+九+6)+9

=(ni+n)2+6(m4-n)4-9

=(m+n+3)2

-(x2+1-4x+3)2

=(x2—4x+4)2

=(x-2)4；

(2)解：设x+y=m,xy=n,

那么原式=(m-2n)(m-2)+(九一l)2

=m2-2mn-2m+4n+n2-2n+1

=m2-2mn-2m+(n-I)2

=ri2—2m(ri+1)+(九+l)2

=(TH—n—l)2

=(x4-y-xy-l)2

=(x-l)2(l-y)2；

(3)解：(x+l)(x+2)(%+3)(x+6)+/

=(x2+7x+6)(%2+5X+6)+x2,

设，+6=m,x=n,

那么原式=(m+7n)(m+5n)+n2

=m2+12mn+36n2

=(m+6n)2

=(x2+6%+6尸，

V(x2+6x4-6)2>0,

(x+l)(x+2)(x+3)(x+6)+x2>0,

:.多项式(%+1)(%+2)(%+3)(%+6)+%?的值肯定是非负数.

17.(2023秋・吉林长春•八班级统考期末)我们知道，对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积,

可以得到一个数学等式.例如图①可以得到(。+28)3+匕)=。2+3帅+2/.请答复以下问题：

(1)写出图②中所表示的数学等式；

(2)猜想(a+b+c+d)2=.

(3)利用(1)中得到的结论，解决下面的问题：Q+b+c=12,ab+bc+ca=48,求的值;

(4)在(3)的条件下，假设〃、仄c分别是一个三角形的三边长，请推断该三角形的外形，并说明理由.

【思路点拨】

(1)依据大长方形面积等于其内部三个小正方形面积加上6个小长方形的面积进行求解即可；

(2)仿照题意画出图形求解即可;

(3)先求出(a+b+c)2=144,2ab+2bc+2ca=96,再把这2个等式代入(1)所求等式中求解即可;

(4)由(3)可得小+匕2++be+ca,进而推出(a-。)2+(a—c)?+(b-c)?=0,理由非负数

的性质即可推出a=b=c,那么该三角形是等边三角形.

【解题过程】

(1)解：由题意得，(a+匕+cP=M+2ab+2ac+2儿，

故答案为：(Q+b+。尸=Q2+〃++2ah+2ac+2bc

(2)解：由以下图可得：

(a+b+c+d)2=a?+匕2+02+42+2ab+2ac+lad+2bc+2bd+2cd,

故答案为：a?+/j2++w+2ab+2ac+2ad+2bc+2bd+2cd；

(3)解：a+b+c=12,ab-}■be+ca=48,

:.(a+b+c)?=122=144,2ab4-2bc+2ca=96,

V(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc,

Ac2+b2+c2=(a+b+c)2—(2ab+2ac+2bc)=144—96=48；

(4)解：该三角形为等边三角形，理由如下：

,；ab+be+CQ=48,a2+b2+c2=48,

.\a2+b2+c2=ab+be+ca,

*.2a2+2b2+2c2=2ab+2bc+2ca,

/.2a2+2h2+2c2-2ab-2bc-2ca=0,

:.(a2—2ab+b2)4-(a2-2ac+c2)+(b2-2bc+c2)=0,

/.(a-b)?+(a—c)2+(Z?-c)2=0,

V(a—b)2>0,(a—c)2>0,(b—c)2>0,

/.(a-bY=(a—c)2=(Z?-c)2=0,

/.G—b=0,a—c=0,b-c=0,

:,a=b=c,

，该三角形是等边三角形.

18.(2022秋・全国•八班级期末)在数的学习中，我们总会对其中一些具有某种特性的数进行争论，假设一

个正整数机是两个相差为3的数的乘积，即m=欣九+3),其中豌为正整数，那么称m为“如意数〃，九为m的

“如意起点”.例如：18=3x6,那么18是“如意数”，3为18的“如意起点”.

(1)假设k是88的“如意起点"，那么k=：假设。的“如意起点”为1,那么a=.

(2)把“如意数"x与"如意数”y的差记作E(x,y),其中%>y,E(x,y)>0,例如：40=5x8,10=2x5,

那么E(40,10)=40—10=30.假设“如意数”%的"如意起点”为s,"如意数"y的"如意起点”为£,当

E(ay)=48时,求;的最大值.

【思路点拨】

(1)依据“如意数”的特征列方程求解即可；

(2)依据“如意数”的定义得到％-丫=48,整理得到(s-t)(s+t+3)=48,由s、£都是正整数，推出s-t

和s+t+3都是正整数，且s+C+3>s-3把48分解成lx48=2x24=3X16=4X12=6x8,解

方程组即可求解.

【解题过程】

解：(1)假设&是88的“如意起点”，

依据题意得k(k+3)=88,整理得：1+3k-88=0,

因式分解得。-8)(々+11)=0,

•.Z为正整数，

；・k=8；

假设。的“如意起点〃为1,

依据题意得Q=1x(1+3)=4；

故答案为：8；4：

(2)VE(x,y)=48,

j-y=48,

又x=s(s+3),y=£(t+3),

:.x-y=s(s+3)-t(t+3)=48,即s?+3s—t2-3t=48,

/.(s-t)(s+t+3)=48,

,:s、£都是正整数，

As—t和s+t+3都是正整数，且s+£+3>s—3

V48=1x48=2x24=3x16=4x12=6x8,

•fST=1或(S-t=2或1ST=3或(ST=4或(S-t=6

**U+t+3=48+t+3=24”“Is+C+3=16-"Is+t+3=12."Is+C+3=8'

_23_13(_1£

(：：舍去)或限二;或;(舍去)或1I：工(舍去)，

故｝的最大值为2

IO

19.(2023秋・重庆大足•八班级统考期末)一个各个数位上的数字均不为0的四位正整数M=砺(Q>c),

以它的百位数字作为十位，个位数字作为个位，组成一个新的两位数s,假设s等于M的千位数字与十位数

字的平方差，那么称这个数M为“平方差数”，将它的百位数字和千位数字组成两位数近，个位数字和十位

数字组成两位数de,并记T(M)=ba+de.

例如：6237是“平方差数"，由于62-32=27,所以6237是“平方差数〃；

此时7(6237)=26+73=99.

又如：5135不是“平方差数〃，由于52—32=16工15,所以5135不是“平方差数”.

(1)推断7425是否是“平方差数”？并说明理由；

(2)假设M=丽是“平方差数"，且7(M)比M的个位数字的9倍大30,求全部满意条件的，平方差数”

M.

【思路点拨】

(1)依据“平方差数”的定义计算即可；

(2)由